В математике , то гомоморфизм Черна-Вейль является базовой конструкцией в теории Черна-Вейль , которая вычисляет топологические инварианты векторных расслоений и главных расслоений на более гладкое многообразии М в терминах связей и кривизну представляющих классов в когомологиях де Рама колец М . То есть теория образует мост между областями алгебраической топологии и дифференциальной геометрии . Он был разработан в конце 1940-х годов Шиинг-Шеном Черном и Андре Вайлем., после доказательств обобщенной теоремы Гаусса – Бонне . Эта теория явилась важным шагом в теории характеристических классов .
Пусть G быть действительной или комплексной группы Ли с алгеброй Ли , и пусть обозначим алгебру -значные многочлены на (точно такой же аргумент работает, если мы использовали вместо .) Пусть- подалгебра неподвижных точек впри присоединенном действии группы G ; то есть подалгебра, состоящая из всех многочленов f таких, что, для всех g в G и x в,
Для главного G-расслоения P на M существует ассоциированный гомоморфизм-алгебры,
- ,
называется гомоморфизмом Черна – Вейля , где справа когомологии - это когомологии де Рама . Этот гомоморфизм получается взятием инвариантных многочленов от кривизны любой связности на данном расслоении. Если G компактна или полупроста, то кольцо когомологий классифицирующего пространства для G -расслоений, изоморфна алгебре инвариантных многочленов:
(Кольцо когомологий BG все еще может быть дано в смысле де Рама:
когда а также являются многообразиями.)
Определение гомоморфизма
Выберем любую форму связности ω в P и пусть Ω - соответствующая форма кривизны ; т.е., Внешняя ковариантная производная со. Если- однородная полиномиальная функция степени k ; т.е.для любого комплексного числа a и x в, то, рассматривая f как симметричный полилинейный функционал на(см. кольцо полиномиальных функций ), пусть
Разместите (скалярная) 2 к -форма на Р задается
где v i - касательные векторы к P , знак перестановки в симметрической группе на 2k числах(см. алгеброзначные формы Ли # Операции, а также Пфаффиан ).
Если к тому же f инвариантен; т.е., то можно показать, что является замкнутой формой , она спускается к единственной форме на M и что класс когомологий де Рама формы не зависит от. Во-первых, этозамкнутая форма следует из следующих двух лемм: [1]
- Лемма 1. Форма на P спускается к (единственному) виду на М ; т.е. на M есть форма, которая возвращается к .
- Лемма 2: если форма на P спускается к форме на M , то .
Действительно, вторая личность Бьянки говорити, поскольку D - градуированный вывод, Наконец, лемма 1 говорит удовлетворяет условию леммы 2.
Чтобы увидеть лемму 2, пусть - проекция, а h - проекцияна горизонтальное подпространство. Тогда лемма 2 является следствием того, что (ядро - в точности вертикальное подпространство.) Что касается леммы 1, первое замечание
что потому что и f инвариантен. Таким образом, можно определить по формуле:
где есть лифты : .
Далее мы покажем, что класс когомологий де Рама на M не зависит от выбора соединения. [2] Пусть- произвольные формы связности на P, и пустьбыть проекцией. Ставить
где t - гладкая функция на дано . Позволять быть формами кривизны . Позволятьбыть включениями. потом гомотопен . Таким образом, а также принадлежат к тому же классу когомологий де Рама в силу гомотопической инвариантности когомологий де Рама . Наконец, по естественности и однозначности спуска
и то же самое для . Следовательно, принадлежат к одному классу когомологий.
Таким образом, конструкция дает линейное отображение: (ср. Лемму 1)
Фактически, можно проверить, что полученная таким образом карта:
является гомоморфизмом алгебр .
Пример: классы Черна и характер Черна
Позволять а также его алгебра Ли. Для каждого x в, мы можем рассмотреть его характеристический многочлен по t : [3]
где i - квадратный корень из -1. потом инвариантные полиномы на , поскольку левая часть уравнения равна. К -м классом Черна гладкого комплексного вектора расслоения Е ранга п на многообразии М :
дан как образ при гомоморфизме Черна – Вейля, определяемом E (или, точнее, расслоением реперов E ). Если t = 1, тоинвариантный многочлен. Общий класс Черна из Е есть образ этого многочлена; это,
Непосредственно из определения можно показать, что и c, указанные выше, удовлетворяют аксиомам классов Черна. Например, для формулы суммы Уитни мы рассматриваем
где мы написали для 2-формы кривизны на M векторного расслоения E (так что она является потомком формы кривизны на расслоении реперов E ). Гомоморфизм Черна – Вейля остается тем же самым, если использовать это. Теперь предположим, что E - прямая сумма векторных расслоений'песок форма кривизны так что в матричном члене является блочно - диагональной матрицей с Q. я с»по диагонали. Тогда, поскольку, у нас есть:
где справа умножение - умножение кольца когомологий: чашечное произведение . Для свойства нормализации вычисляется первый класс Черна комплексной проективной прямой ; см. класс Черна # Пример: комплексное касательное расслоение сферы Римана .
С , [4] также имеем:
Наконец, характер Черна из Е задается
где - форма кривизны некоторой связности на E (поскольку нильпотентен, это многочлен от .) Тогда ch - гомоморфизм колец :
Теперь предположим, что в некотором кольце R, содержащем кольцо когомологий, происходит факторизация полинома по t :
где лежат в R (их иногда называют корнями Черна). Тогда.
Пример: классы Понтрягина
Если Е является гладким вещественными векторным расслоением на многообразии М , то к -му Понтрягину класса из Й определяются как:
где мы написали для усложнения из E . Эквивалентно, это образ при гомоморфизме Черна – Вейля инвариантного многочлена на предоставлено:
Гомоморфизм голоморфных векторных расслоений
Пусть Е быть голоморфную (комплексно) векторное расслоение на комплексном многообразии M . Форма кривизныиз Е , в отношении некоторой эрмитова метрики, это не только 2-формы, но на самом деле (1, 1) -форма (см голоморфных векторного расслоением # эрмитовых метрик на голоморфном векторное расслоении ). Следовательно, гомоморфизм Черна – Вейля принимает вид: с,
Заметки
- ^ Кобаяши-Номидзу 1969 , гл. XII.
- ^ Аргумент в пользу независимости от выбора соединения здесь взят из: Ахил Мэтью, Заметки об исчезновении Кодаиры в «Архивной копии» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 17 декабря 2014 года . Проверено 11 декабря 2014 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка ). Кобаяси-Номидзу, основная ссылка, дает более конкретный аргумент.
- ^ От редакции: это определение согласуется со ссылкой, за исключением того, что у нас есть t , которое там t −1 . Наш выбор кажется более стандартным и согласуется с нашейстатьей" Класс Черна ".
- ^ Доказательство: по определению. Теперь вычислите квадрат используя правило Лейбница.
Рекомендации
- Боттовский, Рауль (1973), "О гомоморфизме Черна-Вейле и непрерывные когомологиях групп Ли", достижений в области математики , 11 (3): 289-303, да : 10,1016 / 0001-8708 (73) 90012-1.
- Черн, Шиинг-Шен (1951), « Вопросы дифференциальной геометрии» , Институт перспективных исследований, записанные на мимеографе записи лекций..
- Черн, Шиинг-Шен (1995), Комплексные многообразия без теории потенциала , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0 . (Приложение к этой книге «Геометрия характеристических классов» представляет собой очень аккуратное и глубокое введение в развитие идей характеристических классов.)
- Черн, Шиинг-Шэнь ; Simons, Джеймс (1974), "Характерные формы и геометрические инварианты", Анналы математики , вторая серия, 99 (1): 48-69, DOI : 10,2307 / 1971013 , JSTOR 1971013.
- Кобаяси, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии, т. 2 (новое издание), Wiley-Interscience (опубликовано в 2004 г.), MR 0152974.
- Нарасимхан, MS ; Раманана, S. (1961), " О существовании универсальных связей" (PDF) , американский журнал математики , 83 (3): 563-572, DOI : 10,2307 / 2372896 , ЛВП : 10338.dmlcz / 700905 , JSTOR 2372896 , MR 0133772.
- Морита, Шигеюки (2000), "Геометрия дифференциальных форм", Переводы математических монографий , 201 , MR 1851352.
дальнейшее чтение
- Фрид, Дэниел С .; Хопкинс, Майкл Дж. (2013). "Формы Черна-Вейля и абстрактная теория гомотопий". Бюллетень Американского математического общества . (NS). 50 (3): 431–468. arXiv : 1301.5959 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-2013-01415-0 . Руководство по ремонту 3049871 .