В математике , когомологии де Рама (имя Жорж де Рама ) представляет собой инструмент , принадлежащий как к алгебраической топологии и дифференциальной топологии , способный выразить основную топологическую информацию о гладких многообразиях в форме , особенно приспособленной для расчета и представления бетонов классов когомологий . Это теория когомологий, основанная на существовании дифференциальных форм с заданными свойствами.
Каждая точная форма закрыта, но обратное не всегда верно. С другой стороны, существует связь между нарушением точности и наличием «дырок». Группы когомологий де Рама - это набор инвариантов гладких многообразий, которые делают указанное выше соотношение количественным [1] и будут обсуждаться в этой статье.
Концепция интегрирования по формам имеет фундаментальное значение в дифференциальной топологии, геометрии и физике, а также дает один из наиболее важных примеров когомологий , а именно когомологии де Рама , которые (грубо говоря) точно измеряют степень, в которой основная теорема исчисление терпит неудачу в высших измерениях и на общих многообразиях.
- Теренс Тао , Дифференциальные формы и интеграция [2]
Определение
Комплекс де Рама является коцепной комплекс из дифференциальных форм на некотором гладком многообразии М , с внешней производной как дифференциал:
где Ω 0 ( M ) - пространство гладких функций на M , Ω 1 ( M ) - пространство 1 -форм и т. д. Формы, которые являются образом других форм при внешней производной , плюс постоянная функция 0 в Ω 0 ( M ) , называются точными, а формы, внешняя производная которых равна 0 , называются замкнутыми (см. Замкнутые и точные дифференциальные формы ); соотношение d 2 = 0 означает, что точные формы закрыты.
Напротив, закрытые формы не обязательно точны. Иллюстративным случаем является круг как многообразие, а 1- форма, соответствующая производной угла от опорной точки в ее центре, обычно записывается как dθ (описывается в Замкнутых и точных дифференциальных формах ). Не существует функции θ, определенной на всей окружности, такой, что dθ была бы ее производной; увеличение на 2 π при однократном обходе круга в положительном направлении влечет за собой многозначную функцию θ . Удаление одной точки окружности позволяет избежать этого, одновременно изменяя топологию многообразия.
Идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы определить классы эквивалентности замкнутых форм на многообразии. Две замкнутые формы α , β ∈ Ω k ( M ) классифицируются как когомологичные, если они отличаются точной формой, т. Е. Если α - β точное. Эта классификация индуцирует отношение эквивалентности на пространстве замкнутых форм в Ω k ( M ) . Затем определяется k -я группа когомологий де Рама быть множеством классов эквивалентности, то есть множеством замкнутых форм в Ω k ( M ) по модулю точных форм.
Заметим, что для любого многообразия M, состоящего из m несвязных компонент, каждая из которых связна , имеем
Это следует из того факта , что любая гладкая функция на М с нулевой производной всюду по отдельности постоянна на каждом из компонент связности M .
Вычисленные когомологии де Рама
Часто можно найти общие когомологии де Рама многообразия, используя упомянутый выше факт о нулевых когомологиях и последовательности Майера – Виеториса . Другой полезный факт состоит в том, что когомологии де Рама являются гомотопическим инвариантом. Хотя вычисления не приводятся, ниже приведены вычисленные когомологии де Рама для некоторых общих топологических объектов:
П -сферы
Для п -сферы ,, а также вместе с произведением открытых интервалов имеем следующее. Пусть n > 0, m ≥ 0 и I - открытый вещественный интервал. потом
П -тор
В -torus - декартово произведение: . Точно так же, позволяя здесь получаем
Мы также можем найти явные образующие для когомологий де Рама тора непосредственно с помощью дифференциальных форм. Учитывая фактормногообразие и дифференциальная форма мы можем сказать что является -инвариантно, если задан любой диффеоморфизм, индуцированный, у нас есть . В частности, откат любой формы на является -инвариантный. Кроме того, откат - это инъективный морфизм. В нашем случае дифференциальные формы находятся -инвариантно, поскольку . Но обратите внимание, что для не инвариант -форма. Это с инъективностью означает, что
Поскольку кольцо когомологий тора порождается взятие внешних произведений этих форм дает все явные представители когомологий де Рама тора.
Проколотое евклидово пространство
Проколотое евклидово пространство просто с удаленным источником.
Лента Мебиуса
Мы можем сделать вывод из того , что лента Мебиуса , М , может быть деформация втянута в 1 (т.е. реальной единичной окружности) -сфера, что:
Теорема де Рама
Стокса теорема является выражением двойственности между когомологий де Рама и гомологии из цепей . Он говорит, что спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования дает гомоморфизм из когомологий де Рамадля особых групп когомологий Теорема де Рама , доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что для гладкого многообразия M это отображение на самом деле является изоморфизмом .
Точнее, рассмотрим карту
определяется следующим образом: для любого , пусть I ( ω ) - элемент который действует следующим образом:
Теорема де Рама утверждает, что это изоморфизм между когомологиями де Рама и сингулярными когомологиями.
Внешнее произведение придает прямую сумму этих групп с кольцевой структурой. Дальнейший результат теоремы состоит в том, что два кольца когомологий изоморфны (как градуированные кольца ), где аналогичное произведение на особых когомологиях является чашечным произведением .
Теоретико-пучковый изоморфизм де Рама
Когомологии де Рама изоморфные к когомологиям Чеха , где это пучок из абелевых групп определяется для всех связанных открытых множеств , а для открытых множеств такой, что , групповой морфизм дается тождественным отображением на и где хорошая открытая крышка из (т.е. все открытые наборы в открытой крышке является стягивает в точку, и все конечные пересечения множеств влибо пусты, либо стягиваются в точку). Другими словами- постоянный пучок, задаваемый пучком постоянного предпучка, задавая.
Другими словами, если компактное многообразие C m +1 размерности, то для каждого , существует изоморфизм
где левая часть - это -я группа когомологий де Рама, а правая часть - когомологии Чеха для постоянного пучка со слоем
Доказательство
Позволять обозначим пучок ростков из-формируется на (с участием пачка функции на ). По лемме Пуанкаре следующая последовательность пучков точна (в категории пучков):
Эта последовательность теперь разбивается на короткие точные последовательности
Каждый из них индуцирует длинную точную последовательность в когомологиях. Поскольку пачкафункции на многообразии допускают разбиения единицы , пучковые когомологии исчезает для . Таким образом, длинные точные последовательности когомологий в конечном итоге разделяются на цепочку изоморфизмов. На одном конце цепочки находятся когомологии Чеха, а на другом - когомологии де Рама.
Связанные идеи
Когомологии де Рама вдохновили множество математических идей, включая когомологии Дольбо , теорию Ходжа и теорему Атьи – Зингера об индексе . Однако даже в более классических контекстах теорема вдохновила на ряд разработок. Во-первых, теория Ходжа доказывает, что существует изоморфизм между когомологиями, состоящими из гармонических форм, и когомологиями де Рама, состоящими из замкнутых форм по модулю точных форм. Это опирается на соответствующее определение гармонических форм и теорему Ходжа. Для получения дополнительной информации см. Теорию Ходжа .
Гармонические формы
Если M - компактное риманово многообразие , то каждый класс эквивалентности всодержит ровно одну гармоническую форму . То есть каждый член данного класса эквивалентности замкнутых форм можно записать как
где точно и гармонично: .
Любая гармоническая функция на связном компактном римановом многообразии является константой. Таким образом, этот конкретный репрезентативный элемент можно понимать как экстремум (минимум) всех когомологически эквивалентных форм на многообразии. К примеру, на 2 - тора , то можно представить себе постоянную 1 -форму как тот , где все «волосы» расчесывают аккуратно в том же направлении (и все «волос» , имеющей такую же длину). В этом случае имеется два когомологически различных гребенки; все остальные - линейные комбинации. В частности, это означает , что первое число Бетти в течение 2 -х -тор это два. В более общем плане на-мерный тор , можно рассмотреть различные расчесывания -формы на торе. Есть выберите такие расчесывания, которые можно использовать для формирования базисных векторов для ; в-е число Бетти для группы когомологий де Рама для -тор таким образом выберите .
Точнее, для дифференциального многообразия M можно снабдить его некоторой вспомогательной римановой метрикой . Тогда лапласиан определяется
с участием внешняя производная икодифференциал . Лапласиане является однородным (в классификации ) линейного дифференциального оператора , действующего на внешней алгебре из дифференциальных форм : мы можем смотреть на его действия на каждом компоненте степени в отдельности.
Если это компактное и ориентированные , то размерность в ядре лапласиана , действующих на пространстве K -форм тогда равна (по теории Ходжи ) к де Раме группы когомологий в степени: лапласиан выделяет единственную гармоническую форму в каждом классе когомологий замкнутых форм . В частности, пространство всех гармонических-формируется на изоморфен Размерность каждого такого пространства конечна и задается -е число Бетти .
Разложение Ходжа
Позволять - компактное ориентированное риманово многообразие . Разложение Ходжа утверждает , что любая-форма на однозначно разбивается на сумму трех компонентов L 2 :
где точно, совпадает с точной точностью, и гармоничен.
Говорят, что форма закрыто, если и совпадают, если для какой-то формы , и это гармоничен, если лапласиан равен нулю, . Это следует из того, что точные и совпадающие формы ортогональны; тогда ортогональное дополнение состоит из замкнутых и совместно замкнутых форм, то есть из гармонических форм. Здесь ортогональность определяется по отношению к L 2 скалярного произведения на:
Используя пространства Соболева или распределения , разложение может быть расширено, например, до полного (ориентированного или нет) риманова многообразия. [3]
Смотрите также
- Теория Ходжа
- Интегрирование вдоль волокон (для когомологий де Рама продвижение вперед дается интегрированием )
Цитаты
- ^ Ли 2013 , стр. 440.
- ^ Теренс, Тао. «Дифференциальные формы и интегрирование» (PDF) . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Жан-Пьер Демайли, Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия, глава VIII, § 3.
Рекомендации
- Ли, Джон М. (2013). Введение в гладкие многообразия . Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8.
- Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
- Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
- Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90894-6
Внешние ссылки
- Идея когомологий де Рама в проекте Mathifold
- "Когомологии Де Рама" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]