Обобщенная теорема Стокса

Ведущий раздел этой статьи может быть слишком длинным для всей статьи . Помогите, переместив какой-нибудь материал из него в основную часть статьи. Пожалуйста, прочтите руководство по макету и руководство по разделу, чтобы убедиться, что в этом разделе по-прежнему содержатся все важные детали. Пожалуйста, обсудите этот вопрос на странице обсуждения статьи . ( Январь 2021 г. )

В векторном исчислении и дифференциальной геометрии , то обобщенная Теорема Стокса (иногда с апостроф в теореме Стокса или теоремы Стокса ), которая также называется теоремой Стокса-Картана , ^[1] является утверждение о интеграции в дифференциальных форм на многообразиях , которые оба упрощает и обобщает несколько теорем из векторного исчисления . Это обобщение фундаментальной теоремы исчисления Исаака Ньютона, которая связывает двумерные линейные интегралы с трехмерными поверхностными интегралами.^[2]

Теорема Стокса утверждает, что интеграл от дифференциальной формы ω по границе некоторого ориентируемого многообразия Ω равен интегралу от его внешней производной dω по всему Ω , т. Е.

${\ Displaystyle \ int _ {\ partial \ Omega} \ omega = \ int _ {\ Omega} d \ omega \ ,.}$

Теорема Стокса была сформулирована в своей современной форме Эли Картаном в 1945 году ^[3] после более ранней работы Вито Вольтерры , Эдуарда Гурса и Анри Пуанкаре по обобщению теорем векторного исчисления . ^{[4] [5]}

Эта современная форма теоремы Стокса является обширным обобщением классического результата, который лорд Кельвин сообщил Джорджу Стоуксу в письме от 2 июля 1850 года. ^{[6] [7] [8]} Стокс поставил теорему как вопрос о 1854 году. Экзамен на премию Смита , результатом которого стало его имя. Впервые он был опубликован Ганкель в 1861. ^{[8] [9]} Эта классическая Кельвина-Стокса теорема связывает поверхностный интеграл от ротора в виде векторного поля F над поверхностью (то есть, поток изcurl F ) в трехмерном евклидовом пространстве к линейному интегралу векторного поля по его границе (также известному как петлевой интеграл).

Пример простого классического векторного анализа

Пусть γ : [ , Ь ] → R ² является кусочно - гладким Жорданом плоских кривым . Кривая Жордана теорема вытекает , что Г делит R ² на две компоненты, компактный один и другой , который не является компактным. Обозначим через D компактную часть, ограниченную γ, и предположим, что ψ : D → R ³ гладкая, причем S  : = ψ ( D ) . Если Γ -пространственная кривая, заданная формулой Γ ( t ) = ψ ( γ ( t )) ^{[примечание 1]} и F - гладкое векторное поле на R ³ , тогда: ^{[10] [11] [12]}

${\ Displaystyle \ oint _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \, \ cdot \, d {\ mathbf {\ Gamma}} = \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {F} \, \ cdot \, d \ mathbf {S}}$

Это классическое утверждение является частным случаем сформулированной выше общей формулировки после отождествления векторного поля с 1-формой и его ротора с двойной формой посредством

${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot d\Gamma \to F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}$

${\displaystyle \nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} \to }$

${\displaystyle d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz)=(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y})\,dy\wedge dz+(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z})\,dz\wedge dx+(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x})\,dx\wedge dy}$.

Другие классические обобщения фундаментальной теоремы исчисления вроде теоремы о дивергенции и Грин теорема являются частными случаями общего состава , указанным выше , после того, как сделать стандартную идентификацию векторных полей с дифференциальными формами (разными для каждого из классических теорем).

Введение [ править ]

Основная теорема исчисления состояний , что интеграл от функции F над интервалом [ , Ь ] можно вычислить путем нахождения первообразной F из  F :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.}$

Теорема Стокса является обширным обобщением этой теоремы в следующем смысле.

• По выбору F ,dF/dx= f ( x ) . Говоря языком дифференциальных форм , это означает, что f ( x )  dx является внешней производной 0-формы, то есть функции F : другими словами, что dF = f  dx . Общие Стокса теорема относится к более высоким дифференциальным формам Q , а не только 0-форм , таким как F .
• Отрезок [ a , b ] - простой пример одномерного многообразия с краем . Его граница - это множество, состоящее из двух точек a и b . Интегрирование f по интервалу может быть обобщено до интегрирования форм на многомерном многообразии. Требуются два технических условия: многообразие должно быть ориентируемым и форма должна иметь компактный носитель, чтобы можно было получить хорошо определенный интеграл.
• Две точки a и b образуют границу замкнутого интервала. В более общем смысле теорема Стокса применима к ориентированным многообразиям M с краем. Границы ∂ М из M само многообразие и наследует естественную ориентация от таковых М . Например, естественная ориентация интервала дает ориентацию двух граничных точек. Интуитивно a наследует противоположную ориентацию, как b , поскольку они находятся на противоположных концах интервала. Итак, «интегрирование» F по двум граничным точкам a , b - это взятие разности F (б ) - F ( а ) .

Проще говоря, можно рассматривать точки как границы кривых, то есть как 0-мерные границы одномерных многообразий. Таким образом, точно так же, как можно найти значение интеграла ( f  dx = dF ) по одномерному многообразию ( [ a , b ] ), рассматривая антипроизводную ( F ) на 0-мерных границах ( { a , b }), можно обобщить основную теорему исчисления с некоторыми дополнительными оговорками, чтобы иметь дело со значением интегралов ( dω ) по n- мерным многообразиям ( Ω ), рассматривая первообразную ( ω) на ( n - 1) -мерных границах ( ∂Ω ) многообразия.

Итак, основная теорема гласит:

${\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}\,dF=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.}$

Формулировка гладких многообразий с краем [ править ]

Пусть Ω ориентированное гладкое многообразие с границей размерности п , и пусть α будет гладким п - дифференциальная форма , которая финитны на Ом . Сначала предположим, что α имеет компактный носитель в области единственной ориентированной координатной карты { U , φ } . В этом случае мы определим интеграл от α по Ω как

${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha \,,}$

то есть, через откат из & alpha ; к R ^н .

В более общем смысле интеграл от α над Ω определяется следующим образом: пусть { ψ _i } - разбиение единицы, ассоциированное с локально конечным покрытием { U _i , φ _i } (согласованно ориентированных) координатных карт, затем определим интеграл

${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha \,,}$

где каждый член в сумме оценивается путем возврата к R ^n, как описано выше. Эта величина четко определена; то есть не зависит ни от выбора карт координат, ни от разделения единицы.

Обобщенная теорема Стокса гласит:

Теорема. (Стокс-Картанно) Если это гладкое - форма с компактным носителем на гладком мерном многообразии с краем , обозначает границу из данной индуцированной ориентации , и этого отображение включения , то${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle i:\partial \Omega \hookrightarrow \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }i^{*}\omega .}$

Обычно, сокращенно , так как прообраз дифференциальной формы по карте включения просто его ограничение на своей области: . Здесь есть внешняя производная , которая определяется с использованием только коллектора структуры. Правую часть иногда пишут, чтобы подчеркнуть отсутствие границы у -многообразия . ^{[примечание 2]} (Этот факт также является следствием теоремы Стокса, поскольку для данного гладкого -мерного многообразия применение теоремы дважды дает для любой -формы , откуда следует, что .) Правая часть уравнения имеет вид часто используется для формулировки интегральных${\textstyle \int _{\partial \Omega }i^{*}\omega }$${\textstyle \int _{\partial \Omega }\omega }$${\displaystyle i^{*}\omega =\omega |_{\partial \Omega }}$${\displaystyle d}$${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega }$${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$${\displaystyle (n-2)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \partial (\partial \Omega )=\emptyset }$законы; левая часть приводит к эквивалентным дифференциальным формулировкам (см. ниже).

Теорема часто используется в ситуациях, когда является вложенным ориентированным подмногообразием некоторого большего многообразия, часто на котором определена форма .${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{k}}$${\displaystyle \omega }$

Топологические предварительные сведения; интеграция по цепочкам [ править ]

Пусть M - гладкое многообразие . А (гладкий) единственное число к -симплексу в М определяются как гладкое отображение из стандартного симплекса в R ^к к М . Группа С _к ( М , Z ) сингулярных к - цепи на М определены , чтобы быть свободной абелевой группой на множестве сингулярного K -simplices в M . Эти группы вместе с граничным отображением ∂ определяют цепной комплекс. Соответствующие гомологии (соответственно когомологий) группа изоморфна обычной сингулярной гомологии группы Н _к ( М , Z ) (или соотв. Сингулярных гомологий группы Н ^к ( М , Z ) ), определяется с использованием непрерывного , а не гладких симплексов в М .

С другой стороны, дифференциальные формы с внешней производной d в качестве связующего отображения образуют коцепной комплекс, который определяет группы когомологий де Рама H^k
_dR( М , Р ) .

Дифференциальные k -формы могут быть интегрированы по k- симплексу естественным образом, возвращаясь к R ^k . Расширение по линейности позволяет интегрировать по цепочкам. Это дает линейное отображение из пространства k -форм в k- ю группу сингулярных коцепей C ^k ( M , Z ) , линейных функционалов на C _k ( M , Z ) . Другими словами, k -форма ω определяет функционал

${\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega .}$

на k- цепях. Теорема Стокса гласит, что это цепное отображение когомологий де Рама в особые когомологии с действительными коэффициентами; внешняя производная d ведет себя как двойственная к ∂ на формах. Это дает гомоморфизм когомологий де Рама сингулярным когомологиям. На уровне форм это означает:

1. замкнутые формы, т. е. dω = 0 , имеют нулевой интеграл по границам , т. е. по многообразиям, которые можно записать как ∂∑ _c M _c , и
2. точные формы, т.е. ω = dσ , имеют нулевой интеграл по циклам , т.е. если сумма границ равна пустому множеству: ∑ _c M _c = ∅ .

Теорема де Рама показывает, что этот гомоморфизм на самом деле является изоморфизмом . Таким образом, верно обратное к 1 и 2 выше. Другими словами, если { c _i } - циклы, порождающие k- ю группу гомологий, то для любых соответствующих действительных чисел { a _i } существует замкнутая форма ω такая, что

${\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega =a_{i}\,,}$

и эта форма уникальна с точностью до форм.

Теорема Стокса о гладких многообразиях может быть получена из теоремы Стокса для цепей в гладких многообразиях и наоборот. ^[13] Формально последнее гласит: ^[14]

Основной принцип [ править ]

Чтобы упростить эти топологические аргументы, стоит изучить основной принцип, рассмотрев пример для d = 2 измерений. Основная идея может быть понята из диаграммы слева, которая показывает, что в ориентированном замощении многообразия внутренние пути пересекаются в противоположных направлениях; их вклады в интеграл по путям, таким образом, попарно компенсируют друг друга. Как следствие, остается только вклад от границы. Таким образом, достаточно доказать теорему Стокса для достаточно тонких мозаик (или, что то же самое, симплексов ), что обычно несложно.

Обобщение на грубые наборы [ править ]

Приведенная выше формулировка, в которой Ω - гладкое многообразие с краем, недостаточна для многих приложений. Например, если область интегрирования определяется как плоская область между двумя координатами x и графиками двух функций, часто бывает, что область имеет углы. В таком случае угловые точки означают, что Ω не является гладким многообразием с краем, поэтому приведенная выше формулировка теоремы Стокса неприменима. Тем не менее можно проверить, что вывод теоремы Стокса все еще верен. Это связано с тем, что Ω и его граница хорошо ведут себя вдали от небольшого набора точек ( набор нулевой меры ).

Версия теоремы Стокса, допускающая грубость, была доказана Уитни. ^[15] Предположим, что D - связное ограниченное открытое подмножество в R ⁿ . Вызов D стандартная область , если она удовлетворяет следующее свойство: Там существует подмножество Р из ∂ D , открытый в ∂ D , дополнение которого в ∂ D имеет Хаусдорфф ( п - 1) -меры нуля; и такой, что каждая точка P имеет обобщенный нормальный вектор . Это вектор v ( x) такая, что если система координат выбрана так, что v ( x ) является первым базисным вектором, то в открытой окрестности вокруг x существует гладкая функция f ( x ₂ , ..., x _n ) такая, что P является граф { x ₁ = f ( x ₂ ,…, x _n )}, а D - область { x ₁  : x ₁ < f ( x ₂,…, X _n )} . Уитни отмечает, что граница стандартной области представляет собой объединение набора нулевой хаусдорфовой ( n - 1) -меры и конечного или счетного объединения гладких ( n - 1) -многообразий, каждое из которых имеет область только на одном сторона. Затем он доказывает, что если D - стандартная область в R ⁿ , ω - это ( n - 1) -форма, определенная, непрерывная и ограниченная на D ∪ P , гладкая на D , интегрируемая на P и такая, что dωинтегрируема на D , то справедлива теорема Стокса, т. е.

${\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}d\omega \,.}$

Изучение теоретико-мерных свойств грубых множеств приводит к геометрической теории меры . Еще более общие версии теоремы Стокса были доказаны Федерером и Харрисоном. ^[16]

Особые случаи [ править ]

Общая форма теоремы Стокса с использованием дифференциальных форм более эффективна и проста в использовании, чем частные случаи. Традиционные версии могут быть сформулированы с использованием декартовых координат без использования механизма дифференциальной геометрии и, следовательно, более доступны. Кроме того, они стали старше, и в результате их имена стали более знакомыми. Традиционные формы часто считаются более удобными практикующими учеными и инженерами, но ненатуральность традиционной формулировки становится очевидной при использовании других систем координат, даже знакомых, таких как сферические или цилиндрические координаты. Существует вероятность путаницы в способах применения названий и использовании двойных формулировок.

Теорема Кельвина – Стокса [ править ]

Это (дуализированный) (1 + 1) -мерный случай для 1-формы (дуализированный, потому что это утверждение о векторных полях ). Этот частный случай часто называют теоремой Стокса во многих вводных университетских курсах по векторному исчислению и используется в физике и инженерии. Это также иногда называют теоремой о роторе .

Классический Кельвин-Стокс теорема связывает поверхностный интеграл от ротора в виде векторного поля над поверхностью Е в евклидове трехмерного пространства в криволинейном интеграле от векторного поля по его границе. Это частный случай общей теоремы Стокса (с n = 2 ), если мы отождествляем векторное поле с 1-формой, используя метрику на евклидовом 3-пространстве. Кривая интеграла линии, ∂Σ , должен иметь положительную ориентацию , а это означает , что ∂Σ точки против часовой стрелки , когда поверхность нормальные , п , точки к зрителю.

Одно из следствий теоремы Кельвина – Стокса состоит в том, что силовые линии векторного поля с нулевым ротором не могут быть замкнутыми контурами. Формулу можно переписать как:

Теорема Грина [ править ]

Теорема Грина сразу узнаваема как третье подынтегральное выражение обеих частей интеграла в терминах P , Q и R, упомянутых выше.

В электромагнетизме [ править ]

Два из четырех уравнений Максвелла содержат роторы трехмерных векторных полей, а их дифференциальная и интегральная формы связаны теоремой Кельвина – Стокса . Следует проявлять осторожность, чтобы избежать случаев с подвижными границами: частные производные по времени предназначены для исключения таких случаев. Если включены движущиеся границы, при замене интегрирования и дифференцирования вводятся термины, относящиеся к движению границы, не включенные в приведенные ниже результаты (см. Дифференцирование под знаком интеграла ):

Имя	Дифференциальная форма	Интегральная форма (с использованием теоремы Кельвина – Стокса плюс релятивистская инвариантность, ∫∂/∂ т … → d/dt∫… )
Уравнение Максвелла – Фарадея Закон индукции Фарадея :	${\displaystyle \quad \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\quad }$	${\displaystyle {\begin{aligned}\quad \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} \\&=-\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{aligned}}\quad }$(с C и S не обязательно стационарными)
Закон Ампера (с расширением Максвелла):	${\displaystyle \quad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\quad }$	${\displaystyle {\begin{aligned}\quad \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {H} \cdot d\mathbf {A} \\&=\iint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{aligned}}\quad }$(с C и S не обязательно стационарными)

Перечисленное выше подмножество уравнений Максвелла справедливо для электромагнитных полей, выраженных в единицах СИ . В других системах единиц, таких как CGS или гауссовские единицы , коэффициенты масштабирования для членов различаются. Например, в гауссовых единицах закон индукции Фарадея и закон Ампера принимают следующие формы: ^{[17] [18]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,\\\nabla \times \mathbf {H} &={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \,,\end{aligned}}}$

соответственно, где c - скорость света в вакууме.

Теорема о расходимости [ править ]

Точно так же теорема о расходимости

${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \operatorname {Vol} }\mathbf {F} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}}$

является частным случаем, если мы отождествляем векторное поле с ( n - 1) -формой, полученной сжатием векторного поля с евклидовой формой объема. Применением этого является случай F = f c, где c - произвольный постоянный вектор. Проработка дивергенции продукта дает

${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }=\mathbf {c} \cdot \oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$

Поскольку это верно для всех c, находим

${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$

См. Также [ править ]

• Лемма Чандрасекара – Вентцеля.

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Грунский, Гельмут (1983). Общая теорема Стокса . Бостон: Питман. ISBN 0-273-08510-7.
• Кац, Виктор Дж. (Май 1979 г.). «История теоремы Стокса». Математический журнал . 52 (3): 146–156. DOI : 10.2307 / 2690275 . JSTOR  2690275 .
• Лумис, Линн Гарольд ; Штернберг, Шломо (2014). Расширенный расчет . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-981-4583-93-0.
• Madsen, Ib ; Торнехаве, Йорген (1997). От исчисления к когомологиям: когомологии Де Рама и характеристические классы . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58956-8.
• Марсден, Джерролд Э .; Энтони, Тромба (2003). Векторное исчисление (5-е изд.). В. Х. Фриман.
• Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. ISBN 0-07-054235-X.
• Спивак, Михаил (1965). Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления . Сан-Франциско: Бенджамин Каммингс. ISBN 0-8053-9021-9.
• Стюарт, Джеймс (2009). Исчисление: концепции и контексты . Cengage Learning. С. 960–967. ISBN 978-0-495-55742-5.
• Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление: ранние трансцендентные функции (5-е изд.). Брукс / Коул.
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-7399-3.

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с теоремой Стокса на Викискладе?
• «Формула Стокса» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство теоремы о расходимости и теоремы Стокса.
• Исчисление 3 - теорема Стокса от lamar.edu - пояснительное объяснение
• «Теорема Стокса о многообразиях» . Алеф Зеро . 3 мая 2020 г. - через YouTube .