n-сфера

В математике n - сфера или гиперсфера — это топологическое пространство , гомеоморфное стандартной n - сфере , которая представляет собой набор точек в ( n + 1) -мерном евклидовом пространстве , которые расположены на постоянном расстоянии r от неподвижная точка, называемая центром . Это обобщение обычной сферы в обычном трехмерном пространстве .. «Радиус» сферы — это постоянное расстояние от ее точек до центра. Когда сфера имеет единичный радиус, ее обычно называют единичной n -сферой или просто n - сферой для краткости. В терминах стандартной нормы n -сфера определяется как

Размерность n - сферы равна n , и ее не следует путать с размерностью ( n + 1) евклидова пространства, в которое она естественным образом встроена . n -сфера — это поверхность или граница ( n + 1) -мерного шара .

При n ≥ 2 n - сферы, являющиеся дифференциальными многообразиями , могут быть охарактеризованы ( с точностью до диффеоморфизма ) как односвязные n - мерные многообразия постоянной положительной кривизны . n -сферы допускают несколько других топологических описаний: например, они могут быть построены путем склеивания двух n -мерных евклидовых пространств, отождествления границы n -куба с точкой или (индуктивно) путем образования подвески ( п - 1)-сфера. 1-сфера — это 1-многообразие, представляющее собой окружность, которая не является односвязной. 0-сфера — это 0-многообразие, состоящее из двух точек, которые даже не связаны.

Для любого натурального числа n n -сфера радиуса r определяется как множество точек в ( n + 1) -мерном евклидовом пространстве , которые находятся на расстоянии r от некоторой фиксированной точки c , где r может быть любым положительным действительным числом и где c может быть любой точкой в ​​( n + 1) -мерном пространстве. Особенно:

Набор точек в ( n + 1) -пространстве, ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{n +1} ) , которые определяют n - сферу, представлен уравнением:${\ Displaystyle S ^ {п} (г)}$

Вышеупомянутая n -сфера существует в ( n +1) -мерном евклидовом пространстве и является примером n - многообразия . Форма объема ω n -сферы радиуса r задается выражением

Каркас из двух сфер как ортогональная проекция

Точно так же, как стереографическая проекция может проецировать поверхность сферы на плоскость, она также может проецировать трехмерную сферу в трехмерное пространство. На этом изображении показаны три направления координат, спроецированные на трехмерное пространство: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зеленый). Из-за конформного свойства стереографической проекции кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой окружности: кривые, пересекающие ⟨0,0,0,1⟩, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).

Графики объемов (V) и площадей поверхности (S) n -шаров радиуса 1. В [1] наведите курсор на точку, чтобы выделить ее и ее значение.

n относится к размеру окружающего евклидова пространства, которое также является внутренним размером твердого тела, объем которого указан здесь, но который на 1 больше, чем внутренний размер сферы, площадь поверхности которой указана здесь. Изогнутые красные стрелки показывают взаимосвязь между формулами для разных n . Коэффициент формулы на конце каждой стрелки равен коэффициенту формулы на конце этой стрелки, умноженному на коэффициент в наконечнике стрелки (где n в наконечнике стрелки относится к значению n , на которое указывает наконечник стрелки). Если бы направление нижних стрелок было изменено на обратное, их наконечники говорили бы, что они умножаются на 2π / n − 2 . Альтернативно, площадь поверхности S_{n +} 1 сферы в n + 2измерениях ровно в2 π R умножается на объем V _n , заключенный в сфере в n измерениях.

Набор равномерно распределенных точек на поверхности единичной 2-сферы, сгенерированный с использованием алгоритма Марсальи.