В геометрии и комплексного анализа , А преобразование Мёбиуса в комплексной плоскости является рациональной функцией вида
Геометрически преобразование Мёбиуса может быть получено путем сначала выполнения стереографической проекции с плоскости на единичную двусферу , вращения и перемещения сферы в новое место и ориентацию в пространстве, а затем выполнения стереографической проекции (из нового положения сферы ) в самолет. [1] Эти преобразования сохраняют углы, отображают каждую прямую линию на линию или круг и отображают каждый круг на линию или круг.
Преобразования Мебиуса являются проективные преобразования по комплексной проективной прямой . Они образуют группу, называемую группой Мёбиуса , которая является проективной линейной группой PGL (2, C ). Вместе со своими подгруппами он имеет множество приложений в математике и физике.
Преобразования Мёбиуса названы в честь Августа Фердинанда Мёбиуса ; они также по-разному называются омографиями , гомографическими преобразованиями , дробно-линейными преобразованиями , билинейными преобразованиями или дробно-линейными преобразованиями .
Обзор
Преобразования Мёбиуса определены на расширенной комплексной плоскости (т.е. комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой ).
Стереографическая проекция идентифицируетсо сферой, которую тогда называют сферой Римана ; в качестве альтернативы,можно рассматривать как сложную проективную линию . Преобразования Мёбиуса - это в точности биективные конформные отображения сферы Римана в себя, т. Е. Автоморфизмы сферы Римана как комплексного многообразия ; в качестве альтернативы, они являются автоморфизмамикак алгебраическое многообразие. Следовательно, множество всех преобразований Мёбиуса образует группу по композиции . Эта группа называется группой Мёбиуса и иногда обозначается.
Группа Мёбиуса является изоморфна группой сохраняющей ориентации изометрий из гиперболического 3-пространства и , следовательно , играет важную роль при изучении гиперболического 3-многообразия .
В физике , то единичная компонента из группы Лоренца действует на небесной сфере , таким же образом , что группа Мёбиуса действует на сфере Римана. Фактически, эти две группы изоморфны. Наблюдатель, который ускоряется до релятивистских скоростей, увидит, как структура созвездий, наблюдаемая вблизи Земли, непрерывно трансформируется в соответствии с бесконечно малыми преобразованиями Мебиуса. Это наблюдение часто берется за отправную точку теории твисторов .
Некоторые подгруппы группы Мёбиуса образуют группы автоморфизмов других односвязных римановых поверхностей ( комплексной плоскости и гиперболической плоскости ). Таким образом, преобразования Мёбиуса играют важную роль в теории римановых поверхностей . Фундаментальная группа каждой римановой поверхности является дискретной подгруппой группы Мёбиуса (см фуксову группы и группа клейновой ). Особенно важной дискретной подгруппой группы Мёбиуса является модулярная группа ; он занимает центральное место в теории многих фракталов , модульных форм , эллиптических кривых и уравнений Пеллиана .
В более общем смысле преобразования Мёбиуса можно определить в пространствах размерности n > 2 как биективные конформные сохраняющие ориентацию отображения n -сферы в n- сферу. Такое преобразование является наиболее общей формой конформного отображения области. Согласно теореме Лиувилля преобразование Мёбиуса может быть выражено как композиция переносов, сходств , ортогональных преобразований и инверсий.
Определение
Общий вид преобразования Мёбиуса дается формулой
В случае c ≠ 0 это определение распространяется на всю сферу Римана путем определения
Если c = 0 , определим
Таким образом, преобразование Мёбиуса всегда является биективной голоморфной функцией от сферы Римана к сфере Римана.
Множество всех преобразований Мёбиуса образует группу по композиции . Этой группе можно дать структуру комплексного многообразия таким образом, чтобы композиция и инверсия были голоморфными отображениями . Тогда группа Мёбиуса является комплексной группой Ли . Группу Мебиуса обычно обозначаютпоскольку это группа автоморфизмов сферы Римана.
Фиксированные точки
Каждое неединичное преобразование Мёбиуса имеет две неподвижные точки на сфере Римана. Обратите внимание, что фиксированные точки здесь подсчитываются с кратностью ; параболические преобразования - это преобразования, в которых неподвижные точки совпадают. Одна или обе эти фиксированные точки могут быть бесконечно удаленными.
Определение фиксированных точек
Неподвижные точки преобразования
Когда c = 0, квадратное уравнение вырождается в линейное уравнение, и преобразование является линейным. Это соответствует ситуации, когда одна из неподвижных точек - бесконечно удаленная точка. Когда a ≠ d вторая неподвижная точка конечна и задается формулой
В этом случае преобразование будет простым преобразованием, состоящим из перемещений , вращений и растяжений :
Если c = 0 и a = d , то обе неподвижные точки находятся на бесконечности, и преобразование Мёбиуса соответствует чистому переносу:
Топологическое доказательство
Топологически тот факт, что (неединичные) преобразования Мёбиуса фиксируют 2 точки (с кратностью), соответствует тому, что эйлерова характеристика сферы равна 2:
Во-первых, проективная линейная группа PGL (2, K ) точно 3-транзитивна - для любых двух упорядоченных троек различных точек существует единственное отображение, которое переводит одну тройку в другую, как и для преобразований Мёбиуса, и тем же алгебраическое доказательство (по сути, подсчет размерностей , поскольку группа трехмерна). Таким образом, любая карта, фиксирующая не менее 3 точек, является тождественной.
Далее, можно увидеть, отождествив группу Мёбиуса с что любая функция Мёбиуса гомотопна единице. В самом деле, любой член общей линейной группы может быть сведен к тождественному отображению методом исключения Гаусса-Жордана, это показывает, что проективная линейная группа также линейно связна, обеспечивая гомотопию тождественному отображению. Теорема Лефшеца – Хопфа утверждает, что сумма индексов (в данном контексте кратности) неподвижных точек отображения с конечным числом неподвижных точек равна числу Лефшеца отображения, которое в данном случае является следом тождественного отображения на группах гомологий, что является просто эйлеровой характеристикой.
Напротив, проективная линейная группа действительной проективной прямой PGL (2, R ) не нуждается в фиксации каких-либо точек, напримерне имеет (действительных) неподвижных точек: как комплексное преобразование оно фиксирует ± i [примечание 1] - в то время как отображение 2 x фиксирует две точки 0 и ∞. Это соответствует тому факту, что эйлерова характеристика окружности (действительная проективная прямая) равна 0, и, таким образом, теорема Лефшеца о неподвижной точке говорит только, что она должна фиксировать не менее 0 точек, а возможно и больше.
Нормальная форма
Преобразования Мёбиуса также иногда записываются через их неподвижные точки в так называемой нормальной форме . Сначала мы рассмотрим непараболический случай, когда есть две различные неподвижные точки.
Непараболический случай :
Каждое непараболическое преобразование сопряжено с растяжением / вращением, т. Е. Преобразованию вида
Если f имеет различные неподвижные точки ( γ 1 , γ 2 ), то преобразование имеет неподвижные точки в 0 и ∞ и, следовательно, является растяжением: . Тогда уравнение с неподвижной точкой для преобразования f можно записать
Решение для f дает (в матричной форме):
Из приведенных выше выражений можно вычислить производные функции f в неподвижных точках:
Заметим , что, учитывая упорядочение фиксированных точек, можно выделить один из множителей ( K ) из F в качестве характеристической константы из F . Изменение порядка неподвижных точек на противоположное эквивалентно взятию обратного множителя в качестве характеристической константы:
Для локсодромных преобразований, когда | k | > 1, говорят, что γ 1 - неподвижная точка отталкивания , а γ 2 - неподвижная точка притяжения . Для | k | <1, роли меняются.
Параболический случай :
В параболическом случае имеется только одна неподвижная точка γ . Преобразование, переводящее эту точку в ∞, равно
Здесь β называется длиной трансляции . Тогда формула неподвижной точки для параболического преобразования имеет вид
Решение для f (в матричной форме) дает
Обратите внимание , что β является не характерной константой F , которая всегда 1 для параболического преобразования. Из приведенных выше выражений можно вычислить:
Полюса трансформации
Точка называется полюсом из; это та точка, которая превращается в бесконечно удаленную точку при.
Обратный полюс это та точка, в которую преобразуется бесконечно удаленная точка. Точка посередине между двумя полюсами всегда совпадает с точкой посередине между двумя фиксированными точками:
Эти четыре точки являются вершинами параллелограмма, который иногда называют характеристическим параллелограммом преобразования.
Преобразование может быть задан двумя неподвижными точками γ 1 , γ 2 и полюсом.
Это позволяет нам вывести формулу для преобразования между k и дано :
Последнее выражение совпадает с одним из (взаимно обратных) соотношений собственных значений матрицы
Простые преобразования Мёбиуса и композиция
Преобразование Мебиуса может быть составлено в виде последовательности простых преобразований.
Следующие простые преобразования также являются преобразованиями Мёбиуса:
- это перевод .
- представляет собой комбинацию ( гомотетии и вращения ). Если то это вращение, если тогда это гомотетия.
- ( инверсия и отражение относительно действительной оси)
Составление простых преобразований
Если , позволять:
- ( Перевод с г / с )
- ( инверсия и отражение относительно действительной оси)
- ( гомотетия и вращение )
- (перевод а / с )
Тогда эти функции могут быть составлены , давая
Это,
Это разложение делает очевидными многие свойства преобразования Мёбиуса.
Элементарные свойства
Преобразование Мёбиуса эквивалентно последовательности более простых преобразований. Композиция делает очевидными многие свойства преобразования Мёбиуса.
Формула обратного преобразования
Существование обратного преобразования Мёбиуса и его явная формула легко выводятся из композиции обратных функций более простых преобразований. То есть определите функции g 1 , g 2 , g 3 , g 4 так , чтобы каждый g i был обратным к f i . Тогда композиция
Сохранение углов и обобщенных окружностей
Из этого разложения мы видим, что преобразования Мёбиуса переносят все нетривиальные свойства обращения окружности . Например, сохранение углов сводится к доказательству того, что инверсия окружности сохраняет углы, поскольку другие типы преобразований - это растяжение и изометрии (перенос, отражение, вращение), которые тривиально сохраняют углы.
Кроме того, преобразования Мёбиуса отображают обобщенные окружности в обобщенные окружности, поскольку инверсия окружностей обладает этим свойством. Обобщенный круг - это либо круг, либо линия, последняя рассматривается как круг, проходящий через бесконечно удаленную точку. Обратите внимание, что преобразование Мёбиуса не обязательно отображает круги в окружности и линии в линии: оно может смешивать и то, и другое. Даже если он сопоставляет круг с другим кругом, он не обязательно сопоставляет центр первого круга с центром второго круга.
Сохранение перекрестного отношения
Кросс-отношения инвариантны относительно преобразований Мёбиуса. То есть, если преобразование Мёбиуса отображает четыре различные точки до четырех различных точек соответственно, то
Если одна из точек - бесконечно удаленная точка, тогда необходимо определить перекрестное отношение, взяв соответствующий предел; например, перекрестное соотношение является
Поперечное отношение четырех разных точек реально тогда и только тогда, когда через них проходит линия или круг. Это еще один способ показать, что преобразования Мёбиуса сохраняют обобщенные окружности.
Конъюгация
Две точки г 1 и г 2 являются сопряженными по отношению к обобщенной окружности С , если, учитывая обобщенный круг D , проходящая через г 1 и г 2 и резки C в двух точках и б , ( г 1 , г 2 ; через , б ) находятся в гармоническом поперечном отношении (т. е. их поперечное отношение равно -1). Это свойство не зависит от выбора окружности D . Это свойство также иногда называют симметричным относительно линии или окружности. [2] [3]
Две точки z , z ∗ сопряжены относительно прямой, если они симметричны относительно прямой. Две точки сопряжены относительно окружности, если они меняются местами инверсией относительно этой окружности.
Точка z ∗, сопряженная с z, когда L - прямая, определяемая вектором на основе e iθ в точке z 0, может быть явно задана как
Точка z ∗, сопряженная с z, когда C - окружность радиуса r с центром z 0, может быть явно задана как
Поскольку преобразования Мёбиуса сохраняют обобщенные окружности и кросс-отношения, они сохраняют также сопряжение.
Представления проективных матриц
Естественное действие PGL (2, C ) на комплексной проективной прямой CP 1 - это в точности естественное действие группы Мёбиуса на сфере Римана, где проективная прямая CP 1 и сфера Римана отождествляются следующим образом:
С каждой обратимой комплексной матрицей 2 × 2
Несложно проверить, что тогда произведение двух матриц будет ассоциировано с композицией двух соответствующих преобразований Мёбиуса. Другими словами, карта
Обратите внимание, что любая матрица, полученная умножением комплексным скаляром λ определяет то же преобразование, поэтому преобразование Мёбиуса определяет свою матрицу только с точностью до кратных скаляров. Другими словами: ядро из П состоит из всех скалярных кратных единичной матрицы I , и первой теоремы изоморфизма в теории групп состояний , что фактор - группа GL (2, C ) / (( C \ {0}) I ) является изоморфна группе Мёбиуса. Эта фактор-группа известна как проективная линейная группа и обычно обозначается PGL (2, C ).
Если кто-то ограничивает на матрицы детерминантной единицы отображение π ограничивается сюръективным отображением специальной линейной группы SL (2, C ) в группу Мёбиуса; в ограниченном случае ядро образовано плюс и минус единицей, и фактор-группа SL (2, C ) / {± I }, обозначаемая PSL (2, C ), поэтому также изоморфна группе Мёбиуса:
Обратите внимание, что есть ровно две матрицы с единичным определителем, которые можно использовать для представления любого данного преобразования Мёбиуса. То есть SL (2, C ) - это двойное покрытие PSL (2, C ). Поскольку SL (2, C ) односвязен, он является универсальным покрытием группы Мёбиуса. Следовательно, фундаментальной группой группы Мёбиуса является Z 2 .
Задание преобразования по трем точкам
Для набора из трех различных точек z 1 , z 2 , z 3 на сфере Римана и второго набора различных точек w 1 , w 2 , w 3 существует ровно одно преобразование Мёбиуса f ( z ) с f ( z i ) = w i для i = 1,2,3. (Другими словами: действие группы Мёбиуса на сфере Римана строго 3-транзитивно .) Есть несколько способов определить f ( z ) из заданных наборов точек.
Отображение сначала на 0, 1, ∞
Легко проверить, что преобразование Мёбиуса
Если аналогично определяется для отображения w 1 , w 2 , w 3 в 0, 1, ∞, то матрицакоторый отображает z 1,2,3 в w 1,2,3, становится
Стабилизатор {0, 1, ∞} (как неупорядоченного множества) - это подгруппа, известная как ангармоническая группа .
Явная детерминантная формула
Уравнение
Подгруппы группы Мебиуса
Если мы потребуем, чтобы коэффициенты a , b , c , d преобразования Мёбиуса были действительными числами с ad - bc = 1 , мы получим подгруппу группы Мёбиуса, обозначенную как PSL (2, R ) . Это группа тех преобразований Мёбиуса, которые отображают верхнюю полуплоскость H = x + i y : y > 0 в себя, и равна группе всех биголоморфных (или, что эквивалентно: биективных , конформных и сохраняющих ориентацию) отображений Н → Н . Если введена собственная метрика , верхняя полуплоскость становится моделью гиперболической плоскости H 2 , моделью полуплоскости Пуанкаре , а PSL (2, R ) - группой всех сохраняющих ориентацию изометрий H 2 в этой модели. модель.
Подгруппа всех преобразований Мёбиуса, отображающих открытый диск D = z : | z | <1 себе состоит из всех преобразований вида
Поскольку обе указанные выше подгруппы служат группами изометрий H 2 , они изоморфны. Конкретный изоморфизм задается сопряжением с преобразованием
В качестве альтернативы рассмотрим открытый диск радиуса r с центром в точке r i . Модель диска Пуанкаре в этом диске становится идентичной модели верхней полуплоскости, когда r приближается к ∞.
Максимальная компактная подгруппа группы Мёбиусадано ( Tóth 2002 ) [4]
Икосаэдрические группы преобразований Мебиуса были использованы Феликсом Кляйном для получения аналитического решения уравнения пятой степени в ( Klein 1888 ); современная экспозиция представлена в ( Tóth 2002 ). [5]
Если мы потребуем, чтобы коэффициенты a , b , c , d преобразования Мёбиуса были целыми числами с ad - bc = 1, мы получим модулярную группу PSL (2, Z ), дискретную подгруппу в PSL (2, R ), важную в изучение решеток на комплексной плоскости, эллиптических функций и эллиптических кривых . Дискретные подгруппы в PSL (2, R ) известны как фуксовы группы ; они важны при изучении римановых поверхностей .
Классификация
В следующем обсуждении мы всегда будем предполагать, что представляющая матрица нормализована так, что .
Неидентичные преобразования Мебиуса обычно подразделяются на четыре типа: параболические , эллиптические , гиперболические и локсодромные , причем гиперболические преобразования являются подклассом локсодромных. Классификация имеет как алгебраическое, так и геометрическое значение. Геометрически разные типы приводят к различным преобразованиям комплексной плоскости, как показано на рисунках ниже.
Четыре типа можно различить, посмотрев на след . Отметим, что след инвариантен относительно сопряжения , т. Е.
Параболические преобразования
Нетождественное преобразование Мёбиуса, заданное матрицей детерминанта один называется параболическим, если
Множество всех параболических преобразований Мёбиуса с заданной фиксированной точкой ввместе с единицей образует подгруппу, изоморфную группе матриц
Характеристическая константа
Все непараболические преобразования имеют две неподвижные точки и определяются матрицей, сопряженной с
Эллиптические преобразования
Преобразование называется эллиптическим, если его можно представить в виде матрицычей след настоящий с
Преобразование эллиптическое тогда и только тогда, когда | λ | = 1 и λ ≠ ± 1. Письмо, эллиптическое преобразование сопряжено с
Обратите внимание, что для любого с характеристической постоянной k , характеристическая постояннаяэто к п . Таким образом, все преобразования Мёбиуса конечного порядка являются эллиптическими преобразованиями, а именно такими, в которых λ является корнем из единицы или, что то же самое, где α является рациональным кратным π . Простейшая возможность дробного кратного означает α = π / 2, что также является уникальным случаем, также обозначается как круговое преобразование ; геометрически это соответствует повороту на 180 ° вокруг двух фиксированных точек. Этот класс представлен в матричной форме как:
Гиперболические преобразования
Преобразование называется гиперболическим, если оно может быть представлено матрицейчей след настоящий с
Преобразование гиперболично тогда и только тогда, когда λ вещественно и λ ± 1.
Локсодромные преобразования
Преобразование называется локсодромным, еслинет в [0,4]. Преобразование локсодромно тогда и только тогда, когда.
Исторически навигация по локсодрому или румбу означает путь с постоянным пеленгом ; Результирующий путь представляет собой логарифмическую спираль , похожую по форме на преобразования комплексной плоскости, которые выполняет локсодромное преобразование Мёбиуса. См. Геометрические фигуры ниже.
Основная классификация
Трансформация | Квадрат следа | Множители | Представитель класса | |
---|---|---|---|---|
Круговой | σ = 0 | к = -1 | z ↦ - z | |
Эллиптический | 0 ≤ σ <4 | | k | = 1 | г ↦ е я θ г | |
Параболический | σ = 4 | k = 1 | г ↦ г + а | |
Гиперболический | 4 <σ <∞ | z ↦ e θ z | ||
Локсодромный | σ ∈ C \ [0,4] | z ↦ kz |
Реальный случай и примечание по терминологии
Для действительных чисел (если коэффициенты должны быть действительными) нет негиперболических локсодромных преобразований, а классификация делится на эллиптические, параболические и гиперболические, как и для вещественных коник . Терминология объясняется тем, что половина абсолютного значения трассы | tr | / 2 рассматривается как эксцентриситет преобразования - деление на 2 корректирует размер, поэтому идентичность имеет эксцентриситет 1 (tr / n иногда используется как альтернатива для трассы по этой причине), а абсолютное значение корректирует только то, что трасса определяется с коэффициентом ± 1 из-за работы в PSL. В качестве альтернативы можно использовать половину квадрата кривой в качестве прокси для квадрата эксцентриситета, как это было сделано выше; эти классификации (но не точные значения эксцентриситета, поскольку квадраты и абсолютные значения различны) согласуются для реальных трасс, но не для сложных трасс. Та же терминология используется для классификации элементов SL (2, R ) (2-кратное покрытие), и аналогичные классификации используются в других местах. Локсодромные превращения - это по существу сложное явление и соответствуют сложным эксцентриситетам.
Геометрическая интерпретация характеристической постоянной
На следующем рисунке изображены (после стереографического преобразования сферы в плоскость) две неподвижные точки преобразования Мёбиуса в непараболическом случае:
Характеристическая константа может быть выражена через ее логарифм :
Эллиптические преобразования
Если р = 0, то неподвижные точки не являются ни притягивающими, ни отталкивающими, а безразличными, и преобразование называется эллиптическим . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать все точки по кругу вокруг двух фиксированных точек. Если одна из неподвижных точек находится на бесконечности, это эквивалентно аффинному вращению вокруг точки.
Если мы возьмем однопараметрическую подгруппу, порожденную любым эллиптическим преобразованием Мёбиуса, мы получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует одни и те же две точки. Все остальные точки проходят по семейству окружностей, вложенных между двумя неподвижными точками на сфере Римана. В общем, две неподвижные точки могут быть любыми двумя разными точками.
Это имеет важное физическое толкование. Представьте себе, что какой-то наблюдатель вращается с постоянной угловой скоростью вокруг некоторой оси. Тогда мы можем принять две фиксированные точки за северный и южный полюса небесной сферы. Внешний вид ночного неба теперь непрерывно трансформируется точно так же, как описывается однопараметрической подгруппой эллиптических преобразований, разделяющих фиксированные точки 0, ∞, и с числом α, соответствующим постоянной угловой скорости нашего наблюдателя.
Вот несколько рисунков, иллюстрирующих влияние эллиптического преобразования Мёбиуса на сферу Римана (после стереографической проекции на плоскость):
Эти изображения иллюстрируют эффект одного преобразования Мёбиуса. Однопараметрическая подгруппа, которую он генерирует, непрерывно перемещает точки вдоль семейства дуг окружности, предложенных изображениями.
Гиперболические преобразования
Если α равно нулю (или кратно 2 π ), то преобразование называется гиперболическим . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать точки по круговым траекториям от одной фиксированной точки к другой.
Если мы возьмем однопараметрическую подгруппу, порожденную любым гиперболическим преобразованием Мёбиуса, мы получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует одни и те же две точки. Все остальные точки идут по некоторому семейству дуг окружностей вдали от первого неподвижной точки и в стороне второго неподвижной точки. В общем, две неподвижные точки могут быть любыми двумя разными точками на сфере Римана.
Это тоже имеет важное физическое толкование. Представьте, что наблюдатель ускоряется (с постоянной величиной ускорения) в направлении северного полюса своей небесной сферы. Затем внешний вид ночного неба преобразуется точно так же, как описывается однопараметрической подгруппой гиперболических преобразований, разделяющих фиксированные точки 0, ∞, с действительным числом ρ, соответствующим величине его вектора ускорения. Кажется, что звезды движутся по долготе от Южного полюса к Северному полюсу. (Долготы выглядят как дуги окружности при стереографической проекции от сферы на плоскость.)
Вот несколько рисунков, иллюстрирующих влияние гиперболического преобразования Мёбиуса на сферу Римана (после стереографической проекции на плоскость):
Эти изображения напоминают силовые линии положительного и отрицательного электрического заряда, расположенные в фиксированных точках, потому что круговые линии потока образуют постоянный угол между двумя фиксированными точками.
Локсодромные превращения
Если и ρ, и α отличны от нуля, то преобразование называется локсодромным . Эти преобразования имеют тенденцию перемещать все точки на S-образных траекториях от одной фиксированной точки к другой.
Слово « локсодромия » происходит от греческого: «λοξος (лохос), косой + δρόμος (дромос), курс ». При плавании с постоянным пеленгом - если вы сохраните курс (скажем) на северо-восток, вы в конечном итоге обойдете северный полюс по логарифмической спирали . В проекции меркатора такой курс представляет собой прямую линию, поскольку северный и южный полюса уходят в бесконечность. Угол, который образует локсодрома относительно линий долготы (т. Е. Ее наклон, «плотность» спирали), является аргументом k . Конечно, преобразования Мебиуса могут иметь две фиксированные точки где угодно, а не только на северном и южном полюсах. Но любое локсодромное преобразование будет сопряжено с преобразованием, которое перемещает все точки вдоль таких локсодромов.
Если мы возьмем однопараметрическую подгруппу, порожденную любым локсодромным преобразованием Мёбиуса, мы получим непрерывное преобразование, такое, что каждое преобразование в подгруппе фиксирует одни и те же две точки. Все остальные точки текут вдоль некоторого семейства кривых, подальше от первого неподвижной точки и в стороне второго неподвижной точки. В отличие от гиперболического случая, эти кривые являются не дугами окружности, а некоторыми кривыми, которые при стереографической проекции из сферы на плоскость выглядят как спиральные кривые, которые бесконечно часто вращаются против часовой стрелки вокруг одной фиксированной точки и бесконечно часто вращаются по часовой стрелке вокруг другой фиксированной точки. В общем, две неподвижные точки могут быть любыми двумя разными точками на сфере Римана.
Вы, вероятно, можете догадаться о физической интерпретации в случае, когда две фиксированные точки равны 0, ∞: наблюдатель, который одновременно вращается (с постоянной угловой скоростью) вокруг некоторой оси и движется вдоль одной оси, увидит появление ночного неба. преобразовываются в соответствии с однопараметрической подгруппой локсодромных преобразований с фиксированными точками 0, ∞ и с ρ, α, определяемыми соответственно величиной фактических линейной и угловой скоростей.
Стереографическая проекция
Эти изображения показывают преобразования Мёбиуса, стереографически проецируемые на сферу Римана . В частности, обратите внимание, что при проецировании на сферу частный случай неподвижной точки на бесконечности ничем не отличается от наличия неподвижных точек в произвольном месте.
Одна неподвижная точка на бесконечности | ||
Точки крепления диаметрально противоположные | ||
Неподвижные точки в произвольном месте | ||
Итерация преобразования
Если преобразование имеет неподвижные точки γ 1 , γ 2 и характеристическую постоянную k , то будет .
Это можно использовать для итерации преобразования или для его анимации, разбив его на шаги.
На этих изображениях показаны три точки (красная, синяя и черная), которые непрерывно повторяются при преобразованиях с различными характеристическими константами.
И эти изображения демонстрируют, что происходит, когда вы преобразуете круг с помощью гиперболических, эллиптических и локсодромных преобразований. Обратите внимание, что на эллиптических и локсодромных изображениях значение α равно 1/10.
Высшие измерения
В более высоких измерениях, A преобразование Мёбиуса является гомеоморфизм из, То одна точка компактификацией из, которая представляет собой конечную композицию инверсий в сферах и отражений в гиперплоскостях . [6] Теорема Лиувилля в конформной геометрии утверждает, что в размерности не менее трех все конформные преобразования являются преобразованиями Мёбиуса. Каждое преобразование Мёбиуса можно представить в виде
где , , является ортогональной матрицей , иравно 0 или 2. Группа преобразований Мёбиуса также называется группой Мёбиуса . [7]
Сохраняющие ориентацию преобразования Мёбиуса образуют связную компоненту тождества в группе Мёбиуса. В размерности n = 2 сохраняющие ориентацию преобразования Мёбиуса в точности соответствуют описанным здесь отображениям сферы Римана. Обращающие ориентацию получаются из них комплексным сопряжением. [8]
Область преобразований Мёбиуса, т. Е. , гомеоморфна n -мерной сфере. Канонический изоморфизм между этими двумя пространствами - это преобразование Кэли , которое само является преобразованием Мёбиуса пространства. Это отождествление означает, что преобразования Мёбиуса также можно рассматривать как конформные изоморфизмы. П -сфера вместе с действием группы Мёбиуса, является геометрической структурой (в смысле Клейн программы Erlangen ) под названием Мёбиусова геометрия . [9]
Приложения
Преобразование Лоренца
Изоморфизм группы Мебиуса с группой Лоренца был отмечен несколькими авторами: Основываясь на предыдущей работе Феликса Клейна (1893, 1897) [10] об автоморфных функциях, связанных с гиперболической геометрией и геометрией Мебиуса, Густавом Херглотцем (1909) [11] показали , что гиперболические движения (т.е. изометрические автоморфизмы из более гиперболического пространства ) , преобразующие единичную сферу в себя соответствуют преобразованиям Лоренца, с помощью которых Герглотца смог классифицировать однопараметрические преобразования Лоренца в локсодромических, эллиптического, гиперболического и параболических групп. Среди других авторов - Эмиль Артин (1957), [12] HSM Coxeter (1965), [13] и Роджер Пенроуз , Вольфганг Риндлер (1984) [14] и WM Olivia (2002) [15]
Пространство Минковского состоит из четырехмерного вещественного координатного пространства R 4, состоящего из пространства упорядоченных четверок ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) действительных чисел вместе с квадратичной формой
Заимствуя терминологию из специальной теории относительности , точки с Q > 0 считаются времениподобными ; кроме того, если x 0 > 0 , то точка называется указывающей в будущее . Точки с Q <0 называются пространственноподобными . Нуль - конус S состоит из тех точек , где Q = 0 ; будущий нулевой конус N + те точки на нулевом конусе с й 0 > 0 . Затем небесная сфера отождествляется с набором лучей в N + , начальная точка которого является началом координат R 4 . Набор линейных преобразований на R 4 с положительным определителем, сохраняющий квадратичную форму Q и сохраняющий направление времени, образуют ограниченную группу Лоренца SO + (1,3).
В связи с геометрией небесной сферы группа преобразований SO + (1,3) отождествляется с группой PSL (2, C ) преобразований Мёбиуса сферы. Каждому ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 4 сопоставим эрмитову матрицу
Определитель матрицы X равен Q ( х 0 , х 1 , х 2 , х 3 ) . Специальная линейная группа действует на пространстве таких матриц через
( 1 )
для каждого A ∈ SL (2, C ), и это действие SL (2, C ) сохраняет определитель X, поскольку det A = 1 . Поскольку определитель X отождествлен с квадратичной формой Q , SL (2, C ) действует преобразованиями Лоренца. По соображениям размерности SL (2, C ) покрывает окрестность единицы SO (1,3). Поскольку SL (2, C ) связен, он покрывает всю ограниченную группу Лоренца SO + (1,3). Кроме того, поскольку ядром действия ( 1 ) является подгруппа {± I }, переход к фактор-группе дает изоморфизм групп
( 2 )
Сосредоточив теперь внимание на случае, когда ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) равно нулю, матрица X имеет нулевой определитель и, следовательно, распадается как внешнее произведение комплексного двухвектора ξ с его комплексно сопряженным:
( 3 )
На двухкомпонентный вектор ξ действует SL (2, C ) способом, совместимым с ( 1 ). Теперь ясно, что ядро представления SL (2, C ) на эрмитовых матрицах есть {± I }.
Действие PSL (2, C ) на небесную сферу также можно описать геометрически с помощью стереографической проекции . Рассмотрим сначала гиперплоскость в R 4, заданную как x 0 = 1. Небесную сферу можно отождествить со сферой S + пересечения гиперплоскости с будущим нулевым конусом N + . Стереографическая проекция северного полюса (1,0,0,1) этой сферы на плоскость x 3 = 0 принимает точку с координатами (1, x 1 , x 2 , x 3 ) с
Вводя комплексную координату
( 4 )
Действие SO + (1,3) на точки N + не сохраняет гиперплоскость S + , но действие на точки в S + с последующим изменением масштаба так, чтобы результат снова был в S +, дает действие SO + ( 1,3) на сфере, переходящей в действие на комплексную переменную ζ. Фактически, это действие осуществляется посредством дробно-линейных преобразований, хотя это нелегко увидеть из этого представления небесной сферы. Наоборот, для любого дробно-линейного преобразования ζ переменная переходит в единственное преобразование Лоренца на N + , возможно, после подходящего (однозначно определенного) изменения масштаба.
Более инвариантное описание стереографической проекции, которое позволяет более четко видеть действие, состоит в том, чтобы рассматривать переменную ζ = z : w как отношение пары однородных координат для комплексной проективной прямой CP 1 . Стереографическая проекция переходит к преобразованию от C 2 - {0} к N +, которое однородно степени два по отношению к действительным масштабам.
( 5 )
что согласуется с ( 4 ) при ограничении масштабами, в которыхКомпоненты ( 5 ) в точности получаются из внешнего продукта
Таким образом, действие ограниченной группы Лоренца SO + (1,3) согласуется с действием группы Мёбиуса PSL (2, C ). Это мотивирует следующее определение. В размерности n ≥ 2 группа Мёбиуса Möb ( n ) - это группа всех сохраняющих ориентацию конформных изометрий круглой сферы S n самой себе. Реализуя конформную сферу как пространство указывающих в будущее лучей нулевого конуса в пространстве Минковского R 1, n + 1 , существует изоморфизм Möb ( n ) с ограниченной группой Лоренца SO + (1, n +1 ) преобразований Лоренца с положительным определителем, сохраняющих направление времени.
Вместо этого Кокстер начал с эквивалентной квадратичной формы
Он отождествил группу Лоренца с преобразованиями, для которых { x : Q ( x ) = -1} стабильно . Затем он интерпретировал x как однородные координаты, а { x : Q ( x ) = 0}, нулевой конус , как абсолют Кэли для гиперболического пространства точек { x : Q ( x ) <0}. Затем Кокстер ввел переменные
так что лоренц-инвариантная квадрика соответствует сфере Кокстер отмечает, что Феликс Кляйн также писал об этом соответствии, применяя стереографическую проекцию из (0, 0, 1) на комплексную плоскость. Кокстер использовал тот факт, что круги инверсной плоскости представляют собой плоскости гиперболического пространства, а общая гомография - это результат инверсий в двух или четырех окружностях, соответствующих общему гиперболическому смещению, которое является продуктом инверсий в двух или четырех плоскостях.
Гиперболическое пространство
Как видно выше, группа Мебиуса PSL (2, C ) действует на пространстве Минковского как группа тех изометрий, которые сохраняют начало координат, ориентацию пространства и направление времени. Ограничиваясь точками, где Q = 1 в положительном световом конусе, которые образуют модель гиперболического 3-пространства H 3 , мы видим, что группа Мёбиуса действует на H 3 как группа сохраняющих ориентацию изометрий. Фактически группа Мёбиуса равна группе сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического 3-пространства.
Если мы используем модель шара Пуанкаре , отождествляя единичный шар в R 3 с H 3 , то мы можем думать о сфере Римана как о «конформной границе» H 3 . Всякая сохраняющая ориентацию изометрия H 3 порождает преобразование Мёбиуса на сфере Римана и наоборот; это самое первое наблюдение, ведущее к гипотезам о соответствии AdS / CFT в физике.
Смотрите также
- Билинейное преобразование
- Конформная геометрия
- Фуксова группа
- Обобщенный круг
- Гиперболическая геометрия
- Бесконечные композиции аналитических функций
- Инверсионное преобразование
- Клейнианская группа
- Геометрия сферы Ли
- Линейное дробное преобразование
- Теорема Лиувилля (конформные отображения)
- Группа Лоренца
- Модульная группа
- Модель полуплоскости Пуанкаре
- Проективная геометрия
- Проективная прямая над кольцом
- Теория представлений группы Лоренца.
Заметки
- ^ Геометрически эта карта представляет собой стереографическую проекцию поворота на 90 ° вокруг ± i с периодом 4, который занимает
Рекомендации
Конкретный
- ^ Арнольд и Роджнесс 2008 , теорема 1.
- ^ Олсен, Джон, Геометрия преобразований Мебиуса (PDF)
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Симметричные точки» . MathWorld .
- ^ Tóth 2002 , раздел 1.2, Вращения и преобразования Мебиуса, стр. 22 .
- ^ Tóth 2002 , раздел 1.6, Дополнительная тема: Теория Икосаэдра Клейна, с. 66 .
- ^ Иванец, Тадеуш и Мартин, Гавен, Теорема Лиувилля, Анализ и топология, 339–361, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1998 г.
- ^ JB Wilker (1981) "Инверсивная геометрия", MR0661793
- ^ Бергер, Марсель (1987), Геометрия II , Springer (Universitext), стр. 18.10
- ^ Акивис, Макс; Голдберг, Владислав (1992), Конформная дифференциальная геометрия и ее обобщения , Wiley-Interscience
- ^ Феликс Клейн (1893), Nicht-Euklidische Geometrie , Autogr. Vorl., Геттинген;
Роберт Фрике и Феликс Кляйн (1897), Autormorphe Funktionen I. , Тойбнер , Лейпциг - ^ Herglotz, Gustav (1910) [1909], «Uber den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper» [О телах, которые должны быть обозначены как «жесткие» с точки зрения принципа относительности] (PDF) , Annalen der Physik ( на немецком языке), 336 (2): 393–415, Bibcode : 1910AnP ... 336..393H , doi : 10.1002 / andp.19103360208
- ^ Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра , страница 204
- ^ HSM Coxeter (1967) "Группа Лоренца и группа омографий", в LG Kovacs & BH Neumann (редакторы) Труды Международной конференции по теории групп, состоявшейся в Австралийском национальном университете, Канберра, 10-20 августа 1965 г. ,Издательство Gordon and Breach Science
- ^ Пенроуза & Риндлер 1984 , стр. 8-31.
- ^ Оливия, Вальдир Мунис (2002). «Приложение B: преобразования Мёбиуса и группа Лоренца». Геометрическая механика . Springer. С. 195–221. ISBN 3-540-44242-1. МИСТЕР1990795 .
Общий
- Арнольд, Дуглас Н .; Рогнесс, Джонатан (2008), «Обнаруженные преобразования Мебиуса» (PDF) , Уведомления AMS , 55 (10): 1226–1231
- Бирдон, Алан Ф. (1995), Геометрия дискретных групп , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90788-8
- Холл, Г.С. (2004), Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности , Сингапур: World Scientific, ISBN 978-981-02-1051-9 (См. Главу 6 для классификации с точностью до сопряженности подалгебр Ли алгебры Ли группы Лоренца.)
- Каток, Светлана (1992), Fuchsian Groups , Чикаго: University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-42583-2 См. Главу 2 .
- Кляйн, Феликс (1888), Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени (Dover ed.), ISBN 978-0-486-49528-6.
- Кнопп, Конрад (1952), Элементы теории функций , Нью-Йорк: Довер, ISBN 978-0-486-60154-0 (См. Главы 3–5 этой классической книги, где вы найдете прекрасное введение в сферу Римана, стереографическую проекцию и преобразования Мёбиуса.)
- Мамфорд, Дэвид ; Сериал, Кэролайн; Райт, Дэвид (2002), Жемчуг Индры: видение Феликса Кляйна , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35253-6 (Направлено на нематематиков, дает отличное изложение теории и результатов, богато иллюстрированное диаграммами.)
- Нидхэм, Тристан (1997), визуальный комплексный анализ , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853446-4 (См. Главу 3 для прекрасно иллюстрированного введения в преобразования Мёбиуса, включая их классификацию с точностью до сопряжения.)
- Пенроуз, Роджер ; Риндлер, Вольфганг (1984), Спиноры и пространство-время, Том 1: Двухспиновое исчисление и релятивистские поля , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-24527-2
- Швердтфегер, Ганс (1979), Геометрия комплексных чисел , Дувр, ISBN 978-0-486-63830-0 (См. Главу 2 для ознакомления с преобразованиями Мёбиуса.)
- Тот, Габор (2002), Конечные группы Мебиуса, минимальные погружения сфер и модули
дальнейшее чтение
- Лоусон, М.В. (1998). «Обратный моноид Мёбиуса» . Журнал алгебры . 200 (2): 428. DOI : 10,1006 / jabr.1997.7242 .
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с преобразованием Мёбиуса на Викискладе?
- "Квазиконформное отображение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Галерея конформных карт
- Вайсштейн, Эрик В. "Дробное линейное преобразование" . MathWorld .