Уравнение Пелля , также называемое уравнением Пелля – Ферма , представляет собой любое диофантово уравнение видагде n - заданное положительное неквадратное целое число, а целочисленные решения ищутся для x и y . В декартовых координатах уравнение представлено гиперболой ; решения возникают везде, где кривая проходит через точку, координаты x и y которой являются целыми числами, например, тривиальное решение с x = 1 и y = 0. Джозеф Луи Лагранж доказал, что, пока n не является полным квадратом, Уравнение Пелла имеет бесконечно много различных целочисленных решений. Эти растворы могут быть использованы , чтобы точно аппроксимировать на квадратный корень из п от рациональных чисел вида х / у .
Это уравнение впервые было изучено широко в Индии , начиная с Брахмагуптами , [1] , который нашел целое решениев его Brāhmasphuasiddhānta около 628. [2] Бхаскара II в двенадцатом веке и Нараяна Пандит в четырнадцатом веке оба нашли общие решения уравнения Пелла и других квадратных неопределенных уравнений. Бхаскаре II обычно приписывают развитие метода чакравалы , основанного на трудах Джаядевы и Брахмагупты. Решения конкретных примеров уравнения Пелла, таких как числа Пелла, возникающие из уравнения с n = 2, были известны гораздо дольше, со времен Пифагора в Греции и аналогичной даты в Индии. Уильям Браункер был первым европейцем, решившим уравнение Пелла. Название уравнения Пелла возникло из-за того, что Леонард Эйлер ошибочно приписал решение уравнения Брункера Джону Пеллу . [3] [4] [примечание 1]
История
Еще в 400 г. до н.э. в Индии и Греции математики изучали числа, возникающие из случая n = 2 уравнения Пелла,
и из тесно связанного уравнения
из-за связи этих уравнений с квадратным корнем из 2 . [5] Действительно, если x и y - натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению, то x / y является приближением √ 2 . Числа x и y, появляющиеся в этих приближениях, называемые числами стороны и диаметра , были известны пифагорейцам , и Прокл заметил, что в противоположном направлении эти числа подчиняются одному из этих двух уравнений. [5] Точно так же Баудхаяна обнаружил, что x = 17, y = 12 и x = 577, y = 408 - два решения уравнения Пелла, и что 17/12 и 577/408 - очень близкие приближения к квадратному корню из 2. . [6]
Позже Архимед аппроксимировал квадратный корень из 3 рациональным числом 1351/780. Хотя он не объяснил свои методы, это приближение может быть получено тем же способом, что и решение уравнения Пелла. [5] Аналогичным образом, проблема Архимеда крупного рогатого скота - древняя проблема слов о нахождении количества крупного рогатого скота, принадлежащего богу солнца Гелиосу - может быть решена путем переформулирования ее в виде уравнения Пелла. Рукопись , содержащая проблемные состояния , что он был изобретен Архимедом и записанные в письме Эратосфена , [7] и присвоение Архимеда , как правило , принято сегодня. [8] [9]
Примерно в 250 году нашей эры Диофант рассмотрел уравнение
где a и c - фиксированные числа, а x и y - переменные, для которых необходимо решить. Это уравнение отличается по форме от уравнения Пелла, но эквивалентно ему. Диофант решил уравнение для ( a , c ), равного (1, 1), (1, −1), (1, 12) и (3, 9). Аль-Караджи , персидский математик X века, работал над проблемами, аналогичными Диофанту. [10]
В индийской математике Брахмагупта обнаружил, что
форма того, что сейчас известно как личность Брахмагупты . Используя это, он умел «составлять» тройки. а также это были решения , чтобы сгенерировать новые тройки
- а также
Мало того, что это дало возможность генерировать бесконечно много решений для начиная с одного раствора, но также, разделив такой состав на часто можно было получить целочисленные или «почти целые» решения. Например, для, Брахмагупта составил тройку (10, 1, 8) (поскольку ) с собой, чтобы получить новую тройку (192, 20, 64). Разделив на 64 ('8' для а также ) дала тройку (24, 5/2, 1), которая при составлении сама с собой дала желаемое целочисленное решение (1151, 120, 1). Брахмагупта решил этим методом многие уравнения Пелла, доказав, что он дает решения, начинающиеся с целочисленного решениядля k = ± 1, ± 2 или ± 4. [11]
Первый общий метод решения уравнения Пелла (для всех N ) был дан Бхаскарой II в 1150 году, расширив методы Брахмагупты. Метод , называемый чакравала (циклический) , начинается с выбора двух относительно простых целых чисел. а также , затем составив тройку (то есть тот, который удовлетворяет ) с тривиальной тройкой получить тройной , который можно уменьшить до
Когда выбирается так, чтобы является целым числом, как и два других числа в тройке. Среди таких, метод выбирает тот, который минимизирует , и повторяет процесс. Этот метод всегда заканчивается решением (доказано Жозефом-Луи Лагранжем в 1768 году). Бхаскара использовал это, чтобы дать решение x = 1766319049, y = 226153980 для случая N = 61. [11]
Несколько европейских математиков заново открыли, как решить уравнение Пелла в 17 веке, по-видимому, не подозревая, что оно было решено почти пятьсот лет назад в Индии. Пьер де Ферма нашел, как решить уравнение, и в письме 1657 года бросил его английским математикам. [12] В письме к Кенелм Дигби , Бернард Френикл Де Бесси говорит , что Ферма нашел наименьшее решение для N до 150, и вызов Валлис решить случаи Н = 151 или 313. Оба Уоллиса и Уильям Браункер дал решения для них проблемы, хотя Уоллис в письме предполагает, что решение было принято Брункером. [13]
Связь Джона Пелла с уравнением заключается в том, что он исправил перевод Томаса Бранкера [14] книги Иоганна Рана 1659 года « Тойческая алгебра» [примечание 2] на английский язык с обсуждением решения уравнения Брункером. Леонард Эйлер ошибочно подумал, что это решение принадлежит Пеллю, в результате чего он назвал уравнение в честь Пелла. [4]
Общая теория уравнения Пелла, основанная на цепных дробях и алгебраических манипуляциях с числами видабыл разработан Лагранжем в 1766–1769 гг. [15]
Решения
Фундаментальное решение через непрерывные дроби
Позволять Обозначим последовательность дробей к регулярной непрерывной дроби для. Эта последовательность уникальна. Тогда пара ( x 1 , y 1 ), решающая уравнение Пелла и минимизирующая x, удовлетворяет условию x 1 = h i и y 1 = k i для некоторого i . Эта пара называется фундаментальным решением . Таким образом, фундаментальное решение может быть найдено путем выполнения разложения непрерывной дроби и проверки каждой последующей сходящейся дроби до тех пор, пока не будет найдено решение уравнения Пелла. [16]
Время нахождения фундаментального решения с использованием метода непрерывных дробей с помощью алгоритма Шёнхаге – Штрассена для быстрого целочисленного умножения находится в пределах логарифмического множителя размера решения, количества цифр в паре ( x 1 , y 1 ). Однако это не алгоритм с полиномиальным временем, потому что количество цифр в решении может достигать √ n , что намного больше, чем полиномиальное количество цифр во входном значении n . [17]
Дополнительные решения из фундаментального решения
Как только фундаментальное решение найдено, все оставшиеся решения могут быть вычислены алгебраически из
- [17]
расширение правой стороны, приравнивая коэффициенты изс обеих сторон и приравнивая другие члены с обеих сторон. Это дает рекуррентные соотношения
Краткое представление и более быстрые алгоритмы
Хотя для записи фундаментального решения ( x 1 , y 1 ) в виде пары двоичных чисел может потребоваться большое количество битов, во многих случаях оно может быть представлено более компактно в форме
используя гораздо меньшие целые числа a i , b i и c i .
Например, задача Архимеда о скоте эквивалентна уравнению Пелла, фундаментальное решение которого имеет 206545 цифр, если оно выписано явным образом. Однако решение также равно
где
а также а также имеют только 45 и 41 десятичную цифру соответственно. [17]
Методы, относящиеся к подходу квадратного сита для целочисленной факторизации, могут использоваться для сбора соотношений между простыми числами в числовом поле, генерируемого √ n , и для объединения этих отношений, чтобы найти представление продукта этого типа. Полученный алгоритм решения уравнения Пелла более эффективен, чем метод непрерывной дроби, хотя он все же занимает больше, чем полиномиальное время. В предположении обобщенной гипотезы Римана можно показать, что для этого требуется время.
где N = log n - входной размер, аналогично квадратичному решету. [17]
Квантовые алгоритмы
Халлгрен показал, что квантовый компьютер может найти представление продукта, как описано выше, для решения уравнения Пелла за полиномиальное время. [18] Алгоритм Халлгрена, который можно интерпретировать как алгоритм поиска группы единиц действительного квадратичного числового поля , был расширен Шмидтом и Фёльмером на более общие поля. [19]
Пример
В качестве примера рассмотрим пример уравнения Пелла для n = 7; это,
Последовательность подходящих дробей для квадратного корня из семи:
ч / к (сходящийся) ч 2 - 7 к 2 (Пэлл-типа приближение) 2/1 −3 3/1 +2 5/2 −3 8/3 +1
Следовательно, фундаментальное решение образует пара (8, 3). Применение рекуррентной формулы к этому решению порождает бесконечную последовательность решений
- (1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ... (последовательность A001081 ( x ) и A001080 ( y ) в OEIS )
Самое маленькое решение может быть очень большим. Например, наименьшее решение дляэто (32188120829134849, 1819380158564160), и это уравнение, которое Френикл призвал Уоллиса решить. [20] Значения n такие, что наименьшее решениебольше, чем наименьшее решение для любого меньшего значения n, являются
- 1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949, ... (последовательность A033316 в OEIS ).
(Для этих записей см. OEIS : A033315 для x и OEIS : A033319 для y .)
Наименьшее решение уравнений Пелла
Ниже приведен список наименьшего решения (фундаментального решения) для с n ≤ 128. Для квадрата n нет решения, кроме (1, 0). Значения x - это последовательность A002350, а значения y - последовательность A002349 в OEIS .
п | Икс | y |
---|---|---|
1 | - | - |
2 | 3 | 2 |
3 | 2 | 1 |
4 | - | - |
5 | 9 | 4 |
6 | 5 | 2 |
7 | 8 | 3 |
8 | 3 | 1 |
9 | - | - |
10 | 19 | 6 |
11 | 10 | 3 |
12 | 7 | 2 |
13 | 649 | 180 |
14 | 15 | 4 |
15 | 4 | 1 |
16 | - | - |
17 | 33 | 8 |
18 | 17 | 4 |
19 | 170 | 39 |
20 | 9 | 2 |
21 год | 55 | 12 |
22 | 197 | 42 |
23 | 24 | 5 |
24 | 5 | 1 |
25 | - | - |
26 год | 51 | 10 |
27 | 26 год | 5 |
28 год | 127 | 24 |
29 | 9801 | 1820 г. |
30 | 11 | 2 |
31 год | 1520 | 273 |
32 | 17 | 3 |
п | Икс | y |
---|---|---|
33 | 23 | 4 |
34 | 35 год | 6 |
35 год | 6 | 1 |
36 | - | - |
37 | 73 | 12 |
38 | 37 | 6 |
39 | 25 | 4 |
40 | 19 | 3 |
41 год | 2049 г. | 320 |
42 | 13 | 2 |
43 год | 3482 | 531 |
44 год | 199 | 30 |
45 | 161 | 24 |
46 | 24335 | 3588 |
47 | 48 | 7 |
48 | 7 | 1 |
49 | - | - |
50 | 99 | 14 |
51 | 50 | 7 |
52 | 649 | 90 |
53 | 66249 | 9100 |
54 | 485 | 66 |
55 | 89 | 12 |
56 | 15 | 2 |
57 | 151 | 20 |
58 | 19603 | 2574 |
59 | 530 | 69 |
60 | 31 год | 4 |
61 | 1766319049 | 226153980 |
62 | 63 | 8 |
63 | 8 | 1 |
64 | - | - |
п | Икс | y |
---|---|---|
65 | 129 | 16 |
66 | 65 | 8 |
67 | 48842 | 5967 |
68 | 33 | 4 |
69 | 7775 | 936 |
70 | 251 | 30 |
71 | 3480 | 413 |
72 | 17 | 2 |
73 | 2281249 | 267000 |
74 | 3699 | 430 |
75 | 26 год | 3 |
76 | 57799 | 6630 |
77 | 351 | 40 |
78 | 53 | 6 |
79 | 80 | 9 |
80 | 9 | 1 |
81 год | - | - |
82 | 163 | 18 |
83 | 82 | 9 |
84 | 55 | 6 |
85 | 285769 | 30996 |
86 | 10405 | 1122 |
87 | 28 год | 3 |
88 | 197 | 21 год |
89 | 500001 | 53000 |
90 | 19 | 2 |
91 | 1574 | 165 |
92 | 1151 | 120 |
93 | 12151 | 1260 |
94 | 2143295 | 221064 |
95 | 39 | 4 |
96 | 49 | 5 |
п | Икс | y |
---|---|---|
97 | 62809633 | 6377352 |
98 | 99 | 10 |
99 | 10 | 1 |
100 | - | - |
101 | 201 | 20 |
102 | 101 | 10 |
103 | 227528 | 22419 |
104 | 51 | 5 |
105 | 41 год | 4 |
106 | 32080051 | 3115890 |
107 | 962 | 93 |
108 | 1351 | 130 |
109 | 158070671986249 | 15140424455100 |
110 | 21 год | 2 |
111 | 295 | 28 год |
112 | 127 | 12 |
113 | 1204353 | 113296 |
114 | 1025 | 96 |
115 | 1126 | 105 |
116 | 9801 | 910 |
117 | 649 | 60 |
118 | 306917 | 28254 |
119 | 120 | 11 |
120 | 11 | 1 |
121 | - | - |
122 | 243 | 22 |
123 | 122 | 11 |
124 | 4620799 | 414960 |
125 | 930249 | 83204 |
126 | 449 | 40 |
127 | 4730624 | 419775 |
128 | 577 | 51 |
Подключения
Уравнение Пелла связано с несколькими другими важными предметами математики.
Алгебраическая теория чисел
Уравнение Пелля тесно связано с теорией алгебраических чисел , поскольку формула
является нормой для кольца и для тесно связанного квадратичного поля . Таким образом, пара целых чисел решает уравнение Пелла тогда и только тогда, когда это блок с нормой 1 в. [21] Теорема Дирихле о единицах , что все единицыможет быть выражено как степень одной фундаментальной единицы (и умножение на знак), является алгебраическим подтверждением того факта, что все решения уравнения Пелла могут быть сгенерированы из фундаментального решения. [22] Фундаментальная единица, как правило, может быть найдена путем решения уравнения типа Пелля, но она не всегда напрямую соответствует фундаментальному решению самого уравнения Пелля, поскольку основная единица может иметь норму -1, а не 1, и ее коэффициенты могут быть полуцелыми числами, а не целыми.
Полиномы Чебышева
Демейер упоминает связь между уравнением Пелля и многочленами Чебышева : если T i ( x ) и U i ( x ) являются многочленами Чебышева первого и второго рода соответственно, то эти многочлены удовлетворяют форме уравнения Пелля в любом кольце многочленов R [ x ], где n = x 2 - 1: [23]
Таким образом, эти многочлены могут быть сгенерированы стандартной техникой для уравнений Пелля взятия степеней фундаментального решения:
Далее можно заметить, что если ( x i , y i ) являются решениями любого целочисленного уравнения Пелла, то x i = T i ( x 1 ) и y i = y 1 U i - 1 ( x 1 ). [24]
Непрерывные дроби
Общее развитие решений уравнения Пелля. в терминах непрерывных дробей измогут быть представлены, поскольку решения x и y приближаются к квадратному корню из n и, таким образом, являются частным случаем приближений непрерывной дроби для квадратичных иррациональных чисел . [16]
Отношение к непрерывным дробям подразумевает, что решения уравнения Пелла образуют полугрупповое подмножество модулярной группы . Так, например, если p и q удовлетворяют уравнению Пелла, то
- матрица единичного определителя . Произведения таких матриц принимают точно такую же форму, и, таким образом, все такие произведения дают решения уравнения Пелла. Частично это можно понять как результат того факта, что последовательные подходящие дроби непрерывной дроби обладают одним и тем же свойством: если p k −1 / q k −1 и p k / q k являются двумя последовательными подходящими дробями непрерывной дроби, то матрица
имеет определитель (−1) k .
Гладкие числа
Теорема Стёрмера применяет уравнения Пелла для поиска пар последовательных гладких чисел , положительных целых чисел, все простые множители которых меньше заданного значения. [25] [26] В рамках этой теории Стёрмер также исследовал отношения делимости между решениями уравнения Пелла; в частности, он показал, что каждое решение, кроме фундаментального, имеет простой множитель , который не делит n . [25]
Отрицательное уравнение Пелла
Отрицательное уравнение Пелла задается формулой
Это также было тщательно изучено; она может быть решена тем же методом непрерывных дробей и будет иметь решения тогда и только тогда, когда период непрерывной дроби имеет нечетную длину. Однако неизвестно, какие корни имеют нечетную длину периода и, следовательно, неизвестно, когда отрицательное уравнение Пелла разрешимо. Необходимым (но не достаточным) условием разрешимости является то, что n не делится на 4 или на простое число вида 4 k + 3. [примечание 3] Таким образом, например, x 2 - 3 ny 2 = −1 никогда не является разрешимым , но может быть x 2 - 5 ny 2 = −1. [27]
Первые несколько чисел n, для которых разрешимо x 2 - ny 2 = −1, равны
- 1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... (последовательность A031396 в OEIS ).
Доля n без квадратов, кратных k простым числам вида 4 m + 1, для которых разрешимо отрицательное уравнение Пелла, составляет не менее 40%. [28] Если отрицательное уравнение Пелла действительно имеет решение для определенного n , его фундаментальное решение приводит к фундаментальному уравнению для положительного случая, возводя в квадрат обе части определяющего уравнения:
подразумевает
Как указано выше, если отрицательное уравнение Пелла разрешимо, решение может быть найдено с использованием метода непрерывных дробей, как в положительном уравнении Пелла. Однако отношение рекурсии работает несколько иначе. С, следующее решение определяется через всякий раз, когда есть совпадение, т.е. когда k нечетно. В результате получается рекурсивное соотношение (по модулю знака минус, который несущественен из-за квадратичной природы уравнения)
что дает бесконечную башню решений отрицательного уравнения Пелля.
Обобщенное уравнение Пелла
Уравнение
называется обобщенным [ цитата ] (или общим [16] ) уравнением Пелла . Уравнение- соответствующая резольвента Пелля . [16] Рекурсивный алгоритм был предложен Лагранжем в 1768 году для решения уравнения, сводя проблему к случаю. [29] [30] Такие решения могут быть получены с использованием метода непрерывных дробей, как описано выше.
Если это решение а также это решение тогда такой, что это решение , принцип, названный мультипликативным принципом . [16]
Решение уравнения обобщенного Пелля используется для решения некоторых диофантовых уравнений и единиц отдельных колец , [31] [32] , и они возникают при изучении SIC-POVMs в квантовой теории информации . [33]
Уравнение
похож на резольвенту в том, что если минимальное решение можно найти, то все решения уравнения могут быть сгенерированы аналогично случаю . Для определенных, решения для могут быть созданы из тех, у кого , в том, что если затем каждое третье решение имеет четные x, y , порождая решение. [16]
Заметки
- ^ В Vollständige Anleitung zur Algebra Эйлера(стр. 227 и далее) он представляет решение уравнения Пелла, которое было взято из Commercium epistolicum Джона Уоллиса, в частности, Письмо 17 ( Epistola XVII ) и Письмо 19 ( Epistola XIX ) из:
- Уоллис, Джон, изд. (1658). Commercium epistolicum, de Quaestionibus quibusdam Mathematicis nuper тщеславие [ Переписка о некоторых недавно проведенных математических исследованиях ] (на английском, латинском и французском языках). Оксфорд, Англия: А. Личфилд.Буквы на латинице. Письмо 17 появляется на стр. 56–72. Письмо 19 появляется на стр. 81–91.
- Французские переводы писем Уоллиса: Ферма, Пьер де (1896). Кожевник, Пол; Генри, Чарльз (ред.). Oeuvres de Fermat (на французском и латыни). 3-й т. Париж, Франция: Gauthier-Villars et fils.Письмо 17 появляется на стр. 457–480. Письмо 19 появляется на стр. 490–503.
- Уоллис, Джон (1693). Opera Mathematica: de Algebra Tractatus; Historicus & Practicus [ Математические труды: Трактат по алгебре; исторический и как практикуется в настоящее время ] (на латыни, английском и французском языках). 2-й т. Оксфорд, Англия.Письмо 17 на стр. 789–798; письмо 19 на стр. 802–806. См. Также статьи Пелла, где Уоллис упоминает (стр. 235, 236, 244), что методы Пелла применимы к решению диофантовых уравнений:
- Де Алгебра Д. Иоганнис Пелли; & speciatim de Problematis imperfecteterminatis. (Об алгебре доктора Джона Пелла и особенно о не полностью определенной проблеме), стр. 234–236.
- Methodi Pellianae Экземпляр. (Пример метода Пелла), стр. 238–244.
- Экземпляр aliud Methodi Pellianae. (Другой пример метода Пелла), стр. 244–246.
- Уитфорд, Эдвард Эверетт (1912) "Уравнение Пелла", докторская диссертация, Колумбийский университет (Нью-Йорк, Нью-Йорк, США), с. 52.
- Хит, Томас Л. (1910). Диофант Александрийский: исследование по истории греческой алгебры . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 286.
- ^ Teutsch - устаревшая форма Deutsch, что означает «немецкий». Бесплатная электронная книга: немецкая алгебра (Google Книги)
- ^ Это потому, что из уравнения Пелла следует, что −1 - квадратичный вычет по модулю n .
Рекомендации
- ^ О'Коннор, Джей Джей; Робертсон, EF (февраль 2002 г.). «Уравнение Пелла» . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 13 июля 2020 .
- ^ Данэм, Уильям. «Теория чисел - теория чисел на Востоке» . Британская энциклопедия . Проверено 4 января 2020 года .
- ^ Еще в 1732–1733 годах Эйлер считал, что Джон Пелл разработал метод решения уравнения Пелла, хотя Эйлер знал, что Уоллис разработал метод его решения (хотя большую часть работы на самом деле проделал Уильям Броункер):
- Эйлер, Леонард (1732–1733). «De solutione problematum Diophantaeorum per numeros integros» [О решении диофантовых задач целыми числами]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Воспоминания Императорской Академии наук в Санкт-Петербурге) . 6 : 175–188.С п. 182: "В си в huiusmodi fuerit Numerus Квай nullo MODO объявлений ILLAS формул potest reduci, peculiaris объявлений invenienda р и др д adhibenda ЭСТ methodus, ква Олим IAM USI SÜNT Pellius и др Fermatius ." (Но если такое a - число, которое никак не может быть сведено к этим формулам, применяется особый метод нахождения p и q, который Пелл и Ферма использовали в течение некоторого времени.) Из стр. 183: «§ 19. Methodus haec extat descripta in operibus Wallisii , et hanc ob rem eam hic fusius non-expono». (§ 19. Этот метод существует, описанный в работах Уоллиса, и по этой причине я не представляю его здесь более подробно.)
- Lettre IX. Euler à Goldbach от 10 августа 1750 г. в: Фасс, PH, изд. (1843 г.). Соответствие Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle… [ Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров 18 века… ] (на французском, латинском и немецком языках). Санкт-Петербург, Россия. п. 37.Со стр. 37: «Pro hujusmodi quaestionibus resolndis excogitavit D. Pell Anglus peculiarem methodum в Wallisii operibus expositam». (Для решения таких вопросов англичанин доктор Пелл разработал особый метод, [который] показан в работах Уоллиса.)
- Эйлер, Леонард (1771). Vollständige Anleitung zur Algebra, II. Тейл [ Полное введение в алгебру, часть 2 ] (на немецком языке). Kayserlichen Akademie der Wissenschaften (Императорская Академия наук): Санкт-Петербург, Россия. п. 227.С п. 227: "§98. Hierzu hat vormals ein gelehrter Engländer, Namens Pell, eine ganz sinnreiche Methode erfunden, welche wir hier erklären wollen." (§.98 Относительно этого ученый англичанин по имени Пелл ранее нашел довольно гениальный метод, который мы объясним здесь.)
- Английский перевод: Эйлер, Леонард (1810). Элементы алгебры… . 2-й т. (2-е изд.). Лондон, Англия: Дж. Джонсон. п. 78.
- Хит, Томас Л. (1910). Диофант Александрийский: исследование по истории греческой алгебры . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 286. См., В частности, сноску 4.
- ^ а б Таттерсолл, Джеймс (2000). "Элементарная теория чисел в девяти главах" (PDF) . Выборочные обзоры в Интернете . Кембридж. 37 (10): 274. DOI : 10,5860 / choice.37-5721 . S2CID 118948378 . Архивировано из оригинального (PDF) 15 февраля 2020 года.
- ^ а б в Knorr, Уилбур Р. (1976), "Архимед и измерение окружности: новая интерпретация", Архив для истории точных наук , 15 (2): 115-140, DOI : 10.1007 / bf00348496 , MR 0497462 , S2CID 120954547.
- ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Баудхаяна" , MacTutor Архив истории математики , Университет Сент-Эндрюс.
- ^ Варди, И. (1998). «Проблема архимеда о скоте». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 105 (4): стр . 305–319. CiteSeerX 10.1.1.33.4288 . DOI : 10.2307 / 2589706 . JSTOR 2589706 .
- ^ Фрейзер, Питер М. (1972). Птолемеев Александрия . Издательство Оксфордского университета.
- ^ Вейль, Андре (1972). Теория чисел, исторический подход . Birkhäuser.
- ^ Изади, Фарзали (2015). «Конгруэнтные числа через уравнение Пелла и его аналог» (PDF) . Заметки по теории чисел и дискретной математике . 21 : 70–78.
- ^ а б Джон Стиллвелл (2002), Математика и ее история (2-е изд.), Springer, стр. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6
- ↑ В феврале 1657 года Пьер де Ферма написал два письма об уравнении Пелля. Одно письмо (на французском языке) было адресовано Бернару Френклю де Бесси, а другое (на латыни) было адресовано Кенелму Дигби, которого оно достигло через Томаса Уайта, а затем Уильяма Браункера.
- Ферма, Пьер де (1894). Кожевник, Пол; Генри, Чарльз (ред.). Oeuvres de Fermat (на французском и латыни). 2-й т. Париж, Франция: Gauthier-Villars et fils. С. 333–335.Письмо к Френклю появляется на стр. 333–334; письмо Дигби, стр. 334–335.
- Ферма, Пьер де (1896). Кожевник, Пол; Генри, Чарльз (ред.). Oeuvres de Fermat (на французском и латыни). 3-й т. Париж, Франция: Gauthier-Villars et fils. С. 312–313.
- Струик, Дирк Ян, изд. (1986). Справочник по математике, 1200–1800 . Принстон, Нью-Джерси, США: Princeton University Press. С. 29–30. ISBN 9781400858002.
- ↑ В январе 1658 года, в конце Эпистолы XIX (письмо 19), Уоллис горячо поздравил Браункера с его победой в битве умов против Ферма относительно решения уравнения Пелла. С п. 807 из (Wallis, 1693): "Et quidem cum Vir Nobilissimus, utut hac sibi suisque tam specificia putaverit, & altis impervia, ( quippe non omnis fert omnia tellus ) ut ab Anglis haud speraverit solutionem; profiteatur tamen qu'il sera pourtant ravi d'estre destrompé par cet ingenieux & scavant Signieur ; erit cur & ipse tibi gratuletur. Me quod attinet, humillimas est quod Rependam gratias, quod in Victoriae tuae partem advare dignatus es,… " (И действительно, благороднейший сэр [то есть виконт Браункер], он [то есть Ферма] мог подумать [иметь] все в себе такого эзотерического [предмета, то есть уравнения Пелля] с его непостижимой глубиной ( ибо не вся земля несет все вещи [т.е. не каждая нация может превзойти во всем]), так что он вряд ли ожидал решения от англичан; тем не менее он признает, что, тем не менее, он будет взволнован, если этот гениальный и ученый лорд [то есть Браункер] его разубедит; это будет для по той причине, что он [то есть Ферма] сам поздравил бы ты. Что касается меня, то я выражаю смиренную благодарность за то, что вы соизволили призвать меня принять участие в вашей Победе…) [Примечание: дата в конце письма Уоллиса - «20 января 1657 года»; однако эта дата соответствовала старому юлианскому календарю, от которого Британия окончательно отказалась в 1752 году : большая часть остальной Европы сочла бы эту дату 31 января 1658 года. См. даты в старом и новом стилях # Перенос дат исторических событий и возможные конфликты дат )
- ^ Ран, Иоганн Генрих (1668) [1659], Бранкер, Томас; Пелл (ред.), Введение в алгебру
- ^ "Решение d'un Problème d'Arithmétique", в Жозефе Альфреде Серре (ред.), Uvres de Lagrange , vol. 1. С. 671–731, 1867.
- ^ а б в г д е Андрееску, Титу; Андрица, Дорин (2015). Квадратичные диофантовы уравнения . Нью-Йорк : Спрингер. ISBN 978-0-387-35156-8.
- ^ а б в г Ленстра, HW, младший (2002), «Решение уравнения Пелла» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 49 (2): 182–192, MR 1875156
- ^ Холлгрен, Шон (2007), «полиномиальная квантовые алгоритмы для уравнения Пелля и главной проблемы идеальной», Журнал ACM , 54 (1): 1-19, DOI : 10,1145 / 1206035,1206039 , S2CID 948064
- ^ Schmidt, A .; Фёльмер, У. (2005), «Квантовый алгоритм с полиномиальным временем для вычисления группы единиц числового поля» (PDF) , Труды тридцать седьмого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений - STOC '05 , Нью-Йорк: ACM, Симпозиум по теории вычислений, стр. 475–480, CiteSeerX 10.1.1.420.6344 , DOI : 10.1145 / 1060590.1060661 , ISBN 1581139608, S2CID 6654142
- ^ Prime Curios !: 313
- ^ Кларк, Пит. "Уравнение Пелла" (PDF) . Университет Джорджии .
- ^ Конрад, Кит. "Теорема Дирихле о единицах" (PDF) . Дата обращения 14 июля 2020 .
- ^ Демейер, Йерун (2007), Диофантовы множества над кольцами многочленов и десятая проблема Гильберта для функциональных полей (PDF) , докторская диссертация, Гентский университет , стр. 70, архивировано из оригинального (PDF) 2 июля 2007 г. , извлечено 27 февраля 2009 г.
- ^ Барбо, Эдвард Дж. (2003), Уравнение Пелла , Проблемные книги по математике, Springer-Verlag, стр. Ch. 3, ISBN 0-387-95529-1, MR 1949691
- ^ а б Стёрмер, Карл (1897). "Quelques théorèmes sur l'équation de Pell"et leurs applications ». Скрифтер Виденскабс-сельскабет (Христиания), Мат.-Натурв. Кл . I (2).
- ^ Лемер, Д.Х. (1964). «К проблеме Стёрмера» . Иллинойсский журнал математики . 8 : 57–79. DOI : 10.1215 / IJM / 1256067456 . Руководство по ремонту 0158849 .
- ^ Ван, Цзяци; Цай, Лиде (декабрь 2013 г.). «Разрешимость отрицательного уравнения Пелла» (PDF) . Колледж Цинхуа : 5–6.
- ^ Кремона, Джон Э .; Одони, RWK (1989), "Некоторые результаты плотности для отрицательных уравнений Пелла; применение теории графов", Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 39 (1): 16–28, doi : 10.1112 / jlms / s2- 39.1.16 , ISSN 0024-6107
- ^ Лагранж, Жозеф-Луи (1736–1813) Автор текстов (1867–1892). Oeuvres de Lagrange. T. 2 / publiées par les soins de MJ-A. Серре [и Г. Дарбу]; [précédé d'une notice sur la vie et les ouvrages de J.-L. Лагранж, М. Деламбр] .
- ^ Мэтьюз, Кит. «Диофантово уравнение x2 - Dy2 = N, D> 0» (PDF) . Проверено 20 июля 2020 .
- ^ Бернштейн, Леон (1 октября 1975 г.). «Усеченные единицы в бесконечном числе полей алгебраических чисел степени 4». Mathematische Annalen . 213 (3): 275–279. DOI : 10.1007 / BF01350876 . ISSN 1432-1807 . S2CID 121165073 .
- ^ Бернштейн, Леон (1 марта 1974 г.). «О диофантовом уравнении x (x + d) (x + 2d) + y (y + d) (y + 2d) = z (z + d) (z + 2d)» . Канадский математический бюллетень . 17 (1): 27–34. DOI : 10,4153 / CMB-1974-005-5 . ISSN 0008-4395 .
- ^ Эпплби, Маркус; Flammia, Стивен; МакКоннелл, Гэри; Ярд, Джон (август 2017 г.). «SIC и теория алгебраических чисел». Основы физики . 47 (8): 1042–1059. arXiv : 1701.05200 . Bibcode : 2017FoPh ... 47.1042A . DOI : 10.1007 / s10701-017-0090-7 . ISSN 0015-9018 . S2CID 119334103 .
дальнейшее чтение
- Эдвардс, Гарольд М. (1996) [1977]. Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел . Тексты для выпускников по математике . 50 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90230-9. Руководство по ремонту 0616635 .
- Пинч, РГЭ (1988). «Одновременные уравнения Пеллиана» . Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc . 103 (1): 35–46. Bibcode : 1988MPCPS.103 ... 35P . DOI : 10.1017 / S0305004100064598 .
- Уитфорд, Эдвард Эверетт (1912). «Уравнение Пелла» (кандидатская диссертация) . Колумбийский университет.
- Уильямс, ХК (2002). «Решение уравнения Пелла». В Беннетте, Массачусетс; Берндт, Британская Колумбия ; Бостон, Н .; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Филипп, W. (ред.). Обзоры по теории чисел: доклады тысячелетней конференции по теории чисел . Натик, Массачусетс: А.К. Питерс. С. 325–363. ISBN 1-56881-162-4. Zbl 1043.11027 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Пелла» . MathWorld .
- О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Уравнение Пелла" , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
- Решатель уравнения Пелла ( n не имеет верхнего предела)
- Решатель уравнения Пелла ( n <10 ^ 10, также может возвращать решение для x ^ 2-ny ^ 2 = + -1, + -2, + -3 и + -4)