Критическая точка - это широкий термин, используемый во многих областях математики .
При работе с функциями действительного переменного , критическая точка является точкой в области функции , где функция либо не дифференцируема или производная равна нулю. [1] При работе с комплексными переменными , критическая точка , аналогично, точка в области определения функции, где она либо не голоморфна, либо производная равна нулю. [2] [3] Кроме того, для функции нескольких действительных переменных , А критической точкой является значением в своей области , где градиент не определен или равен нулю. [4]
Значение функции в критической точке является критическим значением .
Такое определение распространяется на дифференцируемые отображения между R м и R п , в критической точке бытием, в данном случае, в точке , где ранг из матрицы Якоби не максимален. Он распространяется дальше на дифференцируемые отображения между дифференцируемыми многообразиями как точки, в которых ранг матрицы Якоби уменьшается. В этом случае критические точки также называют точками бифуркации .
В частности, если C - плоская кривая , определяемая неявным уравнением f ( x , y ) = 0, то критические точки проекции на ось x , параллельную оси y, являются точками касательной к C параллельны оси y , то есть точки, в которых. Другими словами, критические точки - это те, в которых теорема о неявной функции неприменима.
Понятие критической точки позволяет математически описать астрономическое явление, которое было необъяснимо до времени Коперника . Стационарная точка на орбите планеты является точка траектории планеты на небесной сфере , где движение планеты , кажется, остановить перед перезапуском в другом направлении. Это происходит из-за критической точки проекции орбиты в окружность эклиптики .
Критическая точка функции одной переменной
Критическая точка функции из одной вещественной переменной , ф ( х ), это значение х 0 в области от F , где она не дифференцируема или его производное , равно 0 ( е '( х 0 ) = 0). [1] критическое значение является образом при F критической точки. Эти понятия могут быть визуализированы с помощью графика из F : в критической точке, график имеет горизонтальную касательную , если можно назначить один на всех.
Обратите внимание на то, как, для дифференцируемой функции , критическая точка такой же , как стационарная точка .
Хотя это легко визуализировать на графике (который представляет собой кривую), понятие критической точки функции не следует путать с понятием критической точки в некотором направлении кривой ( подробное определение см. Ниже ). Если g ( x , y ) - дифференцируемая функция двух переменных, то g ( x , y ) = 0 - неявное уравнение кривой. Критическая точка такой кривой, для проекции параллельно у оси х (отображение ( х , у ) → х ), является точкой кривой , где. Это означает, что касательная к кривой параллельна оси y , и что в этой точке g не определяет неявную функцию от x до y (см. Теорему о неявной функции ). Если ( x 0 , y 0 ) - такая критическая точка, то x 0 - соответствующее критическое значение . Такая критическая точка также называется точкой бифуркации , поскольку, как правило, при изменении x появляются две ветви кривой на стороне x 0 и ноль на другой стороне.
Из этих определений следует, что дифференцируемая функция f ( x ) имеет критическую точку x 0 с критическим значением y 0 тогда и только тогда, когда ( x 0 , y 0 ) является критической точкой ее графика для проекции, параллельной x -оси с тем же критическим значением y 0 . Если f не дифференцируема в x 0 из-за того, что касательная становится параллельной оси y, то x 0 снова является критической точкой f , но теперь (x 0 , y 0 ) является критической точкой его графика для проекции параллельно оси y .
Например, критические точки единичной окружности уравнения x 2 + y 2 - 1 = 0 - это (0, 1) и (0, -1) для проекции, параллельной оси x , и (1, 0) и (-1, 0) для направления, параллельного оси y . Если рассматривать верхний полукруг как график функции, то x = 0 является критической точкой с критическим значением 1 из-за того, что производная равна 0, а x = -1 и x = 1 являются критическими точками с критическим значением 0 из-за того, что производная не определена.
Примеры
- Функция f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 дифференцируема всюду с производной f ′ ( x ) = 2 x + 2. Эта функция имеет единственную критическую точку −1, поскольку это единственное число x 0. для которых 2 х 0 + 2 = 0. Эта точка является глобальным минимумом из F . Соответствующее критическое значение равно f (−1) = 2. График f представляет собой вогнутую вверх параболу , критическая точка - это абсцисса вершины, где касательная линия горизонтальна, а критическое значение - ордината вершины. и может быть представлен пересечением этой касательной линии и оси y .
- Функция f ( x ) = x 2/3 определена для всех x и дифференцируема при x ≠ 0 с производной f ′ ( x ) = 2 x −1/3 / 3. Поскольку f не дифференцируема при x = 0 и f '(x) ≠ 0 в противном случае, это единственная критическая точка. График функции F имеет излом в этой точке с вертикальной касательной. Соответствующее критическое значение f (0) = 0.
- Функция абсолютного значения f (x) = | x | дифференцируема всюду, кроме критической точки x = 0, где она имеет точку глобального минимума с критическим значением 0.
- Функция f ( x ) = 1 / x не имеет критических точек. Точка x = 0 не является критической, потому что она не входит в область определения функции.
Расположение критических точек
По теореме Гаусса-Лукас , все критических точек полиномиальной функции в в комплексной плоскости находятся внутри выпуклая оболочка из корней функции. Таким образом, для полиномиальной функции только с действительными корнями все критические точки действительны и находятся между наибольшим и наименьшим корнями.
Гипотеза Сендова утверждает, что если все корни функции лежат в единичном круге на комплексной плоскости, то существует по крайней мере одна критическая точка в пределах единичного расстояния от любого заданного корня.
Критические точки неявной кривой
Критические точки играют важную роль в изучении плоских кривых , определяемое неявными уравнениями , в частности , для черчения их и определить их топологию . Понятие критической точки, которое используется в этом разделе, может показаться отличным от того, что использовалось в предыдущем разделе. Фактически это конкретизация простого случая приведенного ниже общего понятия критической точки .
Таким образом, мы рассматриваем кривую C, заданную неявным уравнением, где f - дифференцируемая функция двух переменных, обычно двумерный многочлен . Точки кривой - это точки евклидовой плоскости , декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению. Есть две стандартные проекции а также , определяется а также которые отображают кривую на оси координат . Их называют проекцией, параллельной оси y, и проекцией, параллельной оси x , соответственно.
Точка С является критической для , если касательная к C существует и параллельна оси y . В этом случае изображения с помощьюкритической точки и касательной являются одной и той же точкой оси x , называемой критическим значением . Таким образом, точка имеет решающее значение дляесли его координаты являются решением системы уравнений :
Отсюда следует, что данное определение является частным случаем общего определения критической точки, которое дается ниже .
Определение критической точки для похож. Если C - график функции , то ( x , y ) критично длятогда и только тогда, когда x является критической точкой g и что критические значения совпадают.
Некоторые авторы определяют критические точки из С как точками , которые имеют решающее значение для любого или же , хотя они зависят не только от C , но и от выбора координатных осей. Также от авторов зависит, будут ли особые точки рассматриваться как критические. Фактически особые точки - это точки, удовлетворяющие
- ,
и, таким образом, являются решениями любой системы уравнений, характеризующих критические точки. В этом более общем определении критические точки дляявляются точками, в которых теорема о неявной функции неприменима.
Использование дискриминанта
Когда кривая C является алгебраической, то есть когда она определяется двумерным многочленом f , дискриминант является полезным инструментом для вычисления критических точек.
Здесь мы рассматриваем только проекцию ; Аналогичные результаты применимы кпоменяв местами x и y .
Позволять быть дискриминант из F рассматривается как многочлен от у с коэффициентами , которые являются многочленами от х . Таким образом, этот дискриминант является многочленом от x, который имеет критические значения среди его корней.
Точнее, простой корень является либо критическим значением например соответствующая критическая точка является точкой , которая не является особой , ни точка перегиба, или х координата на асимптоте , которая параллельна у оси х и касается «на бесконечности» к точке перегиба (перегиб) асимптота.
Множественный корень дискриминанта соответствует либо нескольким критическим точкам, либо асимптотам перегиба, имеющим одно и то же критическое значение, либо критической точке, которая также является точкой перегиба, либо особой точке.
Несколько переменных
Для функции нескольких вещественных переменных точка P (то есть набор значений для входных переменных, который рассматривается как точка в R n ) является критической, если это точка, в которой градиент не определен или градиент равен нулю. . [4] Критические значения - это значения функции в критических точках.
Критическая точка (где функция дифференцируема) может быть либо локальным максимумом , либо локальным минимумом, либо седловой точкой . Если функция по меньшей мере , дважды непрерывно дифференцируемые различные случаи могут быть выделены путем рассмотрения собственных значений на гессенском матрицы вторых производных.
Критическая точка, в которой матрица Гессе невырождена , называется невырожденной , а знаки собственных значений гессиана определяют локальное поведение функции. В случае функции одной переменной гессиан - это просто вторая производная , рассматриваемая как матрица 1 × 1, которая неособа тогда и только тогда, когда она не равна нулю. В этом случае невырожденная критическая точка является локальным максимумом или локальным минимумом, в зависимости от знака второй производной, которая положительна для локального минимума и отрицательна для локального максимума. Если вторая производная равна нулю, критическая точка обычно является точкой перегиба , но также может быть точкой волнистости , которая может быть локальным минимумом или локальным максимумом.
Для функции n переменных количество отрицательных собственных значений матрицы Гессе в критической точке называется индексом критической точки. Невырожденная критическая точка является локальным максимумом тогда и только тогда, когда индекс равен n , или, что то же самое, если матрица Гессе отрицательно определена ; это локальный минимум, если индекс равен нулю или, что то же самое, если матрица Гессе положительно определена . Для других значений индекса невырожденная критическая точка - это седловая точка , то есть точка, которая является максимумом в одних направлениях и минимумом в других.
Приложение к оптимизации
По теореме Ферма все локальные максимумы и минимумы непрерывной функции находятся в критических точках. Следовательно, чтобы найти локальные максимумы и минимумы дифференцируемой функции, теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях. Это не очень хорошо работает на практике , поскольку она требует решений в нелинейную систему из системы уравнений , которая является сложной задачей. Обычные численные алгоритмы гораздо более эффективны для поиска локальных экстремумов, но не могут подтвердить, что были найдены все экстремумы. В частности, при глобальной оптимизации эти методы не могут подтвердить, что результат действительно является глобальным оптимумом.
Когда минимизируемая функция является многомерным полиномом , критические точки и критические значения являются решениями системы полиномиальных уравнений , и современные алгоритмы решения таких систем обеспечивают конкурентоспособные сертифицированные методы поиска глобального минимума.
Критическая точка дифференцируемой карты
Учитывая дифференцируемое отображение F из R т в R п , то критические точки из F являются точками R м , где ранг матрицы Якоби из F не является максимальным. [5] Образ критической точки при f называется критическим значением . Точка в дополнении набора критических значений называется регулярным значением . Теорема Сарда утверждает, что множество критических значений гладкого отображения имеет нулевую меру .
Некоторые авторы [6] дают несколько иное определение: критическая точка из F является точкой R м , где ранг матрицы Якоби из F меньше , чем п . Согласно этому соглашению, все точки являются критическими, когда m < n .
Эти определения распространяются на дифференциальные отображения между дифференцируемыми многообразиями следующим образом. Позволять- дифференциальное отображение между двумя многообразиями V и W соответствующих размерностей m и n . В окрестности точки р из V и от F ( р ) , графики являются Диффеоморфизмы а также Точка p является критической для f, если имеет решающее значение для Это определение не зависит от выбора карт, поскольку отображения переходов являются диффеоморфизмами, их матрицы Якоби обратимы, и умножение на них не изменяет ранг матрицы Якоби Если M гильбертово многообразие (не обязательно конечномерное) и е является вещественная функция , то мы говорим , что р является критической точкой F , если F является не погружение в воду на р . [7]
Приложение к топологии
Критические точки имеют основополагающее значение для изучения топологии из многообразия и вещественных алгебраических многообразий . В частности, они являются основным инструментом для теории Морса и теории катастроф .
Связь между критическими точками и топологией появляется уже на более низком уровне абстракции. Например, пусть быть подмногообразием и P - точка внеКвадрат расстояния до P от точки является дифференциальным отображением такое, что каждая связная компонента содержит хотя бы критическую точку, где расстояние минимально. Отсюда следует, что количество компонент связности ограничено сверху числом критических точек.
В случае вещественных алгебраических многообразий это наблюдение, связанное с теоремой Безу, позволяет нам ограничить количество компонент связности функцией степеней многочленов, определяющих многообразие.
Смотрите также
- Особая точка кривой
- Теория сингулярности
- Теорема Гаусса – Лукаса
Рекомендации
- ^ a b Задачи математического анализа . Демидовец, Борис П., Бараненков, Г. Москва (IS): Москва. 1964. ISBN. 0846407612. OCLC 799468131 .CS1 maint: другие ( ссылка )
- ^ 1941-, Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс / Коул. ISBN 9780495011668. OCLC 144526840 .CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
- ^ 1941-, Ларсон, Рон (2010). Исчисление . Эдвардс, Брюс Х., 1946- (9-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Брукс / Коул, Cengage Learning. ISBN 9780547167022. OCLC 319729593 .CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
- ^ а б Адамс, Роберт А .; Эссекс, Кристофер (2009). Исчисление: полный курс . Пирсон Прентис Холл . п. 744 . ISBN 978-0-321-54928-0.
- ^ Карму, Манфредо Пердигау ду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-212589-7.
- ^ Лафонтен, Жак (2015). Введение в дифференциальные многообразия . Издательство Springer International. DOI : 10.1007 / 978-3-319-20735-3 . ISBN 978-3-319-20734-6.
- ^ Серж Ланг , Основы дифференциальной геометрии с. 186, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0541-8