Дирак сопряженный

В квантовой теории поля , то сопряженная Дирака определяет двойную работу в спиноре Дирака . Сопряженный Дирака мотивирован необходимостью формировать из спиноров Дирака измеримые величины с хорошим поведением, заменяя обычную роль сопряженного эрмитова .

Возможно, чтобы избежать путаницы с обычным эрмитовым сопряженным , в некоторых учебниках не дается название сопряженного по Дираку, а просто называется « ψ -бар».

Определение [ править ]

Позвольте быть спинором Дирака . Тогда его дираковский сопряженный определяется как${\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ Equiv \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$

где обозначает эрмитово сопряженное к спинору , - времениподобную гамма-матрицу .${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$

Спиноры при преобразованиях Лоренца [ править ]

Группа Лоренца из специальной теории относительности не является компактной , поэтому спинорной представления о преобразованиях Лоренца , как правило , не унитарная . То есть, если - проективное представление некоторого преобразования Лоренца,${\ displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle \ psi \ mapsto \ lambda \ psi}$,

тогда вообще

${\ displaystyle \ lambda ^ {\ dagger} \ neq \ lambda ^ {- 1}}$.

Эрмитово сопряженное спинора преобразуется согласно

${\ Displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ mapsto \ psi ^ {\ dagger} \ lambda ^ {\ dagger}}$.

Следовательно, не является скаляром Лоренца и даже не эрмитовым .${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ psi}$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{\mu }\psi }$

Дирак, напротив, примыкает к преобразованию по

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto \left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}}$.

Используя тождество , преобразование сводится к${\displaystyle \gamma ^{0}\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}=\lambda ^{-1}}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}\lambda ^{-1}}$,

Таким образом, преобразовывается как скаляр Лоренца и как четырехвектор .${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

Использование [ править ]

Используя сопряжение Дирака, вероятность четырехтокового J для поля частиц со спином 1/2 может быть записана как

${\displaystyle J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

где c - скорость света, а компоненты J представляют плотность вероятности ρ и вероятность 3-тока j :

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})}$.

Взяв μ = 0 и используя соотношение для гамма-матриц

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I}$,

плотность вероятности становится

${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi }$.

См. Также [ править ]

• Уравнение Дирака
• Уравнение Рариты – Швингера

Ссылки [ править ]

• Б. Брансден и К. Иоахейн (2000). Квантовая механика , 2e, Пирсон. ISBN  0-582-35691-1 .
• М. Пескин и Д. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля , Westview Press. ISBN 0-201-50397-2 . 
• А. Зи (2003). Квантовая теория поля в двух словах , Princeton University Press. ISBN 0-691-01019-6 .