Электромагнитный четырехпотенциальный

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитостатический потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

Электромагнитный потенциал является релятивистская вектор - функция , из которой электромагнитное поле может быть получено. Он объединяет электрический скалярный потенциал и магнитный векторный потенциал в один четырехвектор . ^[1]

При измерении в данной системе отсчета и для данного датчика первая составляющая электромагнитного четырехпотенциала обычно принимается как электрический скалярный потенциал, а другие три составляющие составляют магнитный векторный потенциал. В то время как и скалярный, и векторный потенциал зависят от системы отсчета, электромагнитный четырехпотенциал лоренц-ковариантен .

Как и другие потенциалы, множество различных электромагнитных четырехпотенциалов соответствуют одному и тому же электромагнитному полю, в зависимости от выбора калибра.

В этой статье используется обозначение тензорного индекса и соглашение о знаках метрики Минковского (+ - - -) . См. Также ковариацию и контравариантность векторов, а также повышающие и понижающие индексы для получения более подробной информации об обозначениях. Формулы даны в единицах СИ и гауссовых единицах cgs .

Определение [ править ]

Электромагнитный потенциал может быть определен как: ^[2]

Единицы СИ	Гауссовские единицы
${\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left (\ phi / c, \ mathbf {A} \ right) \, \!}$	${\ displaystyle A ^ {\ alpha} = (\ phi, \ mathbf {A})}$

в котором ϕ - электрический потенциал , а A - магнитный потенциал ( векторный потенциал ). Единицами измерения A ^α являются В · с · м ^-1 в СИ и Mx · см ^-1 в гауссовых сгс .

Электрические и магнитные поля, связанные с этими четырьмя потенциалами, следующие: ^[3]

Единицы СИ	Гауссовские единицы
${\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}$	${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$
${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$	${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$

В специальной теории относительности электрическое и магнитное поля преобразуются под действием преобразований Лоренца . Это можно записать в виде тензора - тензора электромагнитного поля . Это записывается в терминах электромагнитного четырехпотенциала и четырехградиента как:

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

предполагая, что сигнатура метрики Минковского равна (+ - - -). Если указанная подпись вместо (- + + +), то . Это по существу определяет четырехпотенциал в терминах физически наблюдаемых величин, а также сводится к приведенному выше определению.${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }A^{\nu }}$

В шкале Лоренца [ править ]

Часто условие калибровки Лоренца в инерциальной системе отсчета используется для упрощения уравнений Максвелла следующим образом: ^[2]${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$

Единицы СИ	Гауссовские единицы
${\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$	${\displaystyle \Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }}$

где J ^α - составляющие четырехтока , а

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }}$

- оператор Даламбера . В терминах скалярного и векторного потенциалов это последнее уравнение принимает следующий вид:

Единицы СИ	Гауссовские единицы
${\displaystyle \Box \phi ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$	${\displaystyle \Box \phi =4\pi \rho }$
${\displaystyle \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} }$	${\displaystyle \Box \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} }$

Для данного распределения заряда и тока, ρ ( r , t ) и j ( r , t ) , решения этих уравнений в единицах СИ следующие: ^[3]

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime },t_{r})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ^{\prime },t_{r})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},}$

куда

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}$

это запаздывающее время . Иногда это также выражается с помощью

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',t_{r})=[\rho (\mathbf {r} ',t)],}$

где квадратные скобки означают, что время следует оценивать для запаздывающего времени. Конечно, поскольку приведенные выше уравнения являются просто решением неоднородного дифференциального уравнения , любое решение однородного уравнения может быть добавлено к ним, чтобы удовлетворить граничным условиям . Эти однородные решения в общем случае представляют собой волны, распространяющиеся от источников за пределами границы.

Когда указанные выше интегралы оцениваются для типичных случаев, например, для колеблющегося тока (или заряда), обнаруживается, что они дают как компонент магнитного поля, изменяющийся в соответствии с r ⁻² ( поле индукции ), так и компонент, уменьшающийся как r ⁻¹ ( поле излучения ). ^{[ требуется разъяснение ]}

Обсуждение [ править ]

Когда уплощенные к одной форме , можно разложить с помощью Hodge разложения теоремы в виде суммы с точным , в коточном и гармонической форме,

${\displaystyle A=d\alpha +\delta \beta +\gamma }$.

В сочетании с определением электромагнитного тензора F = dA это разложение показывает, что калибровочная свобода в A полностью содержится внутри dα и γ .

См. Также [ править ]

• Четыре вектора
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Уравнения Ефименко
• Глюонное поле

Ссылки [ править ]

• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е) . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853952-5.
• Джексон, JD (1999). Классическая электродинамика (3-е) . Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-30932-X.