В математической области комплексного анализа эллиптические функции - это особый вид мероморфных функций, которые удовлетворяют двум условиям периодичности. Их называют эллиптическими функциями, потому что они происходят от эллиптических интегралов . Первоначально эти интегралы возникали при вычислении длины дуги эллипса .
Важными эллиптическими функциями являются эллиптические функции Якоби и функции Вейерштрасса.-функция .
Дальнейшее развитие этой теории привело к гиперэллиптическим функциям и модулярным формам .
Определение
Мероморфны функция называется эллиптической функцией, если есть два- линейные независимые комплексные числа такой, что
- а также .
Таким образом, эллиптические функции имеют два периода и поэтому также называются двоякопериодическими .
Решетка периодов и фундаментальная область
Если - эллиптическая функция с периодами он также считает, что
для каждой линейной комбинации с участием .
называется решеткой периодов .
Параллелограмм , порожденныйа также
называется фундаментальной областью.
Геометрически комплексная плоскость выложена параллелограммами. Все, что происходит в фундаментальной области, повторяется во всех остальных. По этой причине мы можем рассматривать эллиптическую функцию как функции с факторгруппой как их домен. Эта фактор-группа может быть представлена в виде параллелограмма с отождествленными противоположными сторонами, который топологически является тором . [1]
Теоремы Лиувилля
Следующие три теоремы известны как теоремы Лиувилля (1847 г.).
1-я теорема
Голоморфная эллиптическая функция постоянна. [2]
Это исходная форма теоремы Лиувилля, которая может быть выведена из нее. [3] Голоморфная эллиптическая функция ограничена, поскольку она принимает все свои значения на фундаментальной области, которая является компактной. Таким образом, он постоянен по теореме Лиувилля.
2-я теорема
Каждая эллиптическая функция имеет конечное число полюсов в а сумма его остатков равна нулю. [4]
Эта теорема означает, что не существует эллиптической функции, не равной нулю, с ровно одним полюсом первого порядка или ровно одним нулем первого порядка в фундаментальной области.
3-я теорема
Непостоянная эллиптическая функция принимает каждое значение одинаковое количество раз в считается с кратностью. [5]
Вейерштрасс -функция
Одной из важнейших эллиптических функций является функция Вейерштрасса. -функция. Для заданной решетки периодов это определяется
Она устроена таким образом, что в каждой точке решетки имеет полюс второго порядка. Термин есть, чтобы сделать ряд сходящимся.
является четной эллиптической функцией, что означает . [6]
Его производная
является нечетной функцией, т.е. [6]
Одним из основных результатов теории эллиптических функций является следующее: каждая эллиптическая функция относительно заданной решетки периодов можно выразить как рациональную функцию через а также . [7]
В -функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
а также константы, зависящие от . Точнее а также , где а также так называемые серии Эйзенштейна . [8]
На алгебраическом языке: поле эллиптических функций изоморфно полю
- ,
где изоморфизм отображает к а также к .
Связь с эллиптическими интегралами
Связь с эллиптическими интегралами имеет в основном историческую основу. Эллиптические интегралы были изучены Лежандром , чьи работы были приняты Нильсом Хенриком Абелем и Карлом Густавом Якоби .
Абель открыл эллиптические функции, взяв обратную функцию эллиптической интегральной функции
с участием . [9]
Дополнительно он определил функции [10]
а также
- .
После продолжения на комплексную плоскость они оказались двоякопериодическими и получили название эллиптических функций Абеля .
Эллиптические функции Якоби получаются аналогичным образом как функции, обратные эллиптическим интегралам.
Якоби рассмотрел интегральную функцию
и перевернул: . расшифровывается как sinus ampitudinis и является названием новой функции. [11] Затем он ввел функции cosinus ampitudinis и delta ampitudinis , которые определяются следующим образом:
- .
Только сделав этот шаг, Якоби смог доказать свою общую формулу преобразования эллиптических интегралов в 1827 году [12].
История
Вскоре после развития исчисления бесконечно малых теорию эллиптических функций начали итальянский математик Джулио ди Фаньяно и швейцарский математик Леонард Эйлер . Когда они пытались вычислить длину дуги лемнискаты, они столкнулись с проблемами, связанными с интегралами, содержащими квадратный корень из многочленов степени 3 и 4. [13] Было ясно, что эти так называемые эллиптические интегралы не могут быть решены с использованием элементарных функций. Фаньяно обнаружил алгебраическую связь между эллиптическими интегралами, что он опубликовал в 1750 году. [13] Эйлер немедленно обобщил результаты Фаньяно и сформулировал свою алгебраическую теорему сложения для эллиптических интегралов. [13]
За исключением комментария Ландена [14], его идеи не реализовывались до 1786 года, когда Лежандр опубликовал свою статью Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . [15] Впоследствии Лежандр изучал эллиптические интегралы и назвал их эллиптическими функциями . Лежандр ввел тройную классификацию - три типа - что было решающим упрощением довольно сложной теории в то время. Другие важные работы Лежандра: Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792), [16] Exercices de Calcul intégral (1811–1817), [17] Traité des fonctions elliptiques (1825–1832). [18] Математики почти не трогали работы Лежандра до 1826 года.
Впоследствии Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоби возобновили исследования и быстро обнаружили новые результаты. Сначала они инвертировали эллиптическую интегральную функцию. Следуя предложению Якоби в 1829 году, эти обратные функции теперь называются эллиптическими функциями . Одна из наиболее важных работ Якоби - Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, опубликованная в 1829 году. [19] Найденная Эйлер теорема сложения была сформулирована и доказана в ее общей форме Абелем в 1829 году. теории двоякопериодических функций рассматривались как разные теории. Они были объединены Брюе и Буке в 1856 году. [20] Гаусс открыл многие свойства эллиптических функций 30 лет назад, но так и не опубликовал ничего по этому поводу. [21]
Смотрите также
- Эллиптический интеграл
- Модульная группа
- Тета-функция Рамануджана
Рекомендации
- ^ Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке ) (.. 4., КОРР унд В Aufl ред.), Berlin: Springer, стр. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 258, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Джереми Грей (2015), Реальное и комплексное: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, стр. 118f, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 260, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 262, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ а б К. Чандрасекхаран (1985), Эллиптические функции (на немецком языке), Берлин: Springer-Verlag, стр. 28, ISBN 0-387-15295-4
- ^ Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 275, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Рольф Бусам (2006), Funktionentheorie 1 (на немецком языке) (4., korr. Und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 276, ISBN 978-3-540-32058-6
- ^ Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальное и комплексное: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, p. 74, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальное и комплексное: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, p. 75, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальное и комплексное: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, p. 82, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальное и комплексное: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, p. 81, ISBN 978-3-319-23715-2
- ^ а б в Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа в XIX веке . Чам. стр. 23f. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663 .
- ^ Джон Ланден: Исследование общей теоремы для нахождения длины любой дуги любой конической гиперболы с помощью двух эллиптических дуг, с некоторыми другими новыми и полезными теоремами, выведенными из них. В: Философские труды Лондонского королевского общества 65 (1775), Nr. XXVI, S. 283–289, JSTOR 106197 .
- ↑ Адриан-Мари Лежандр: Mémoire sur les intégrations par arcs d'ellipse. В: Histoire de l'Académie royale des Sciences Paris (1788), S. 616–643. - Ders .: Второй воспоминание о слиянии арок эллипса и о сравнении дуг. В: Histoire de l'Académie royale des Sciences Paris (1788), S. 644–683.
- ^ Лежандр: Мемуар ль transcendantes elliptiques , où l'на донна де méthodes faciles налить Comparer и др évaluer ца trancendantes, квьте comprennent Лез Арк d'эллипс, и др Квай себе rencontrent frèquemment данс ль приложение дю Расчитать Integral. Du Pont & Firmin-Didot, Paris 1792. Englische Übersetzung Записка об эллиптических трансцендентальных формах. В: Томас Лейборн: Новая серия математического репозитория . Группа 2. Глендиннинг, Лондон, 1809 г., часть 3, С. 1–34.
- ^ Адриан-Мари Лежандр: Упражнения по вычислению интеграла по различным порядкам трансцендантов и по квадратурам. 3 Bände. ( Группа 1 , Группа 2 , Группа 3). Париж 1811–1817 гг.
- ^ Адриан-Мари Лежандр: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, avec des tables pour en фасилитатор le Calcul numérique. 3 Bde. ( Группа 1 , Группа 2 , Группа 3/1 , Группа 3/2, Группа 3/3). Юзар-Курсье, Париж 1825–1832 гг.
- ^ Карл Густав Джейкоб Якоби: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Кенигсберг 1829 г.
- ^ Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа в XIX веке . Чам. п. 122. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663 .
- ^ Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа в XIX веке . Чам. п. 96. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663 .
Литература
- Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 16» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. с. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 . См. Также главу 18 . (рассматривает только случай действительных инвариантов).
- Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, в переводе на английский как AMS Переводы математических монографий Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2
- Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (см. Главу 1.)
- Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Ватсон . Курс современного анализа , Cambridge University Press, 1952 г.
Внешние ссылки
- "Эллиптическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- MAA, Перевод статьи Абеля об эллиптических функциях.
- Эллиптические функции и эллиптические интегралы на YouTube , лекция Уильяма А. Швальма (4 часа)
- Йоханссон, Фредрик (2018). «Численное вычисление эллиптических функций, эллиптических интегралов и модулярных форм». arXiv : 1806.06725 [ cs.NA ].