Энергетический оператор

В квантовой механике , энергия определяется с точки зрения энергетического оператора , действующего на волновой функции системы , как следствие симметрии время перевода .

Определение [ править ]

Выдается: ^[1]

${\ displaystyle {\ hat {E}} = я \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \, \!}$

Он действует на волновую функцию ( амплитуду вероятности для разных конфигураций системы)

${\ Displaystyle \ Пси \ влево (\ mathbf {г}, т \ вправо) \, \!}$

Заявление [ править ]

Оператор энергии соответствует полной энергии системы. Уравнение Шредингера описывает пространственную и временную зависимость медленно меняющейся ( нерелятивистской ) волновой функции квантовой системы. Решение этого уравнения для связанной системы является дискретным (набор разрешенных состояний, каждое из которых характеризуется уровнем энергии ), что приводит к концепции квантов .

Уравнение Шредингера [ править ]

Используя оператор энергии в уравнении Шредингера :

${\ Displaystyle я \ hbar {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, t ) \, \!}$

может быть получен:

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ hat {E}} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t ) \\\ конец {выровнено}} \, \!}$

где i - мнимая единица , ħ - приведенная постоянная Планка и - оператор Гамильтона .${\ displaystyle {\ hat {H}}}$

В стационарном состоянии дополнительно возникает не зависящее от времени уравнение Шредингера :

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} & E \ Psi (\ mathbf {r}, \, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t) \\\ end {выровнено }} \, \!}$

где E - собственное значение энергии.

Уравнение Клейна – Гордона [ править ]

Релятивистская масса и энергия :

${\ Displaystyle E ^ {2} = (шт) ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2} \, \!}$

где E = полная энергия, p = полный 3- импульс частицы, m = инвариантная масса и c = скорость света , аналогичным образом может дать уравнение Клейна – Гордона :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {E}}^{2}=c^{2}{\hat {p}}^{2}+(mc^{2})^{2}\\&{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {p}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}\,\!}$

то есть:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\Psi \,\!}$

Вывод [ править ]

Оператор энергии легко выводится с помощью волновой функции свободных частиц ( решение плоской волны уравнения Шредингера). ^[2] Начиная с одного измерения волновая функция

${\displaystyle \Psi =e^{i(kx-\omega t)}\,\!}$

Производная по времени от Ф является

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i\omega e^{i(kx-\omega t)}=-i\omega \Psi \,\!}$.

По соотношению Де Бройля :

${\displaystyle E=\hbar \omega \,\!}$,

у нас есть

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}\Psi \,\!}$.

Перестановка уравнения приводит к

${\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\,\!}$,

где коэффициент энергии E - это скалярное значение, энергия частицы и измеренное значение. Частная производная является линейным оператором , так это выражение является оператором для получения энергии:

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!}$.

Можно сделать вывод, что скаляр E является собственным значением оператора, а является оператором. Обобщая эти результаты:${\displaystyle {\hat {E}}\,\!}$

${\displaystyle {\hat {E}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi \,\!}$

Для трехмерной плоской волны

${\displaystyle \Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$

вывод в точности идентичен, поскольку не вносится никаких изменений в член, включающий время и, следовательно, производную по времени. Поскольку оператор линейный , они действительны для любой линейной комбинации плоских волн, и поэтому они могут воздействовать на любую волновую функцию, не влияя на свойства волновой функции или операторов. Следовательно, это должно быть верно для любой волновой функции. Оказывается, он работает даже в релятивистской квантовой механике , такой как уравнение Клейна – Гордона выше.

См. Также [ править ]

• Симметрия перевода времени
• Постоянная Планка
• Уравнение Шредингера
• Оператор моментума
• Гамильтониан (квантовая механика)
• Сохранение энергии
• Комплексное число
• Стационарное состояние

Ссылки [ править ]