В математике , и в частности в топологии , пучок волокон (или, на английском языке : fiber bundle ) - это пространство , которое локально является пространством продукта , но глобально может иметь другую топологическую структуру . В частности, сходство между пространством и пространство для продуктов определяется с помощью непрерывного сюръективного отображения ,, что в малых областях E ведет себя как проекция из соответствующих областей к . Карта, называемая проекцией или погружением пучка, рассматривается как часть структуры пучка. Космосназывается полным пространством пучка волокон,как базовое пространство , иволокна .
В тривиальном случае просто , а отображение π - это просто проекция из пространства произведения на первый фактор. Это называется тривиальным расслоением . Примеры нетривиальных расслоений включают ленту Мёбиуса и бутылку Клейна , а также нетривиальные накрывающие пространства . Слои, такие как касательное расслоение к многообразию и более общие векторные расслоения, играют важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , как и главные расслоения .
Отображения между тотальными пространствами расслоений, которые «коммутируют» с отображениями проекций, называются отображениями расслоений , и класс расслоений образует категорию по отношению к таким отображениям. Связка из самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) наназывается раздел из. Пучки волокон можно специализировать несколькими способами, наиболее распространенный из которых требует, чтобы карты переходов между локальными тривиальными участками лежали в определенной топологической группе , известной как структурная группа , действующей на волокно..
История
В топологии термины волокно (нем. Faser ) и волоконное пространство ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зайферта в 1933 г. [1] [2], но его определения ограничиваются очень частным случаем. Однако главное отличие от современной концепции расслоенного пространства состояло в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) расслоенного (топологического) пространства E, не было частью структуры, а получено из нее как фактор - пространство Е . Первое определение послойного пространства было дано Хасслером Уитни в 1935 году [3] под названием пространство сфер , но в 1940 году Уитни изменил название на сферическое расслоение . [4]
Теория расслоенных пространств, частным случаем которых являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия, приписывается Зайферту, Хайнцу Хопфу , Жаку Фельдбау , [5] Уитни, Норману Стинроду , Чарльзу Эресманну , [6] [ 7] [8] Жан-Пьер Серр , [9] и другие.
Пучки волокон стали самостоятельным объектом исследования в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни. [10]
Уитни пришли к общему определению расслоения от его изучения более конкретного понятия сферы расслоения , [11] , что является расслоением, слой которого является сферой произвольной размерности. [12]
Формальное определение
Пучок волокон - это структура , где , , а также являются топологическими пространствами иявляется непрерывной сюръекцией, удовлетворяющей описанному ниже условию локальной тривиальности . Космосназывается базовым пространством расслоения,общее пространство , иволокна . Отображение π называется отображением проекции (или проекцией расслоения). В дальнейшем мы будем предполагать, что базовое пространствоэто связано .
Мы требуем этого для каждого , есть открытый район из (которую мы будем называть тривиализирующей окрестностью) такая, что существует гомеоморфизм (где - пространство произведения) таким образом, что π согласуется с проекцией на первый множитель. То есть следующая диаграмма должна коммутировать :
( 1 )
где это естественная проекция и является гомеоморфизмом. Набор всехназывается локальной тривиализацией расслоения.
Таким образом, для любого , прообраз гомеоморфен (так как proj 1 −1 ({ p }) очевидно) и называется слоем над p . Каждый пучок волокон- открытая карта , поскольку проекции продуктов - это открытые карты. Следовательнонесет фактор-топологию, определяемую отображением π .
Пучок волокон часто обозначается
( 2 )
это, по аналогии с короткой точной последовательностью , указывает, какое пространство является волокном, общее пространство и базовое пространство, а также карта от общего к базовому пространству.
Гладкое расслоение является расслоением в категории из гладких многообразий . Это,, , а также должны быть гладкими многообразиями, а все перечисленные выше функции должны быть гладкими отображениями .
Примеры
Тривиальный комплект
Позволять и разреши быть проекцией на первый фактор. потом является расслоением (из ) над . Здесьпродукт не только на местном уровне, но и на глобальном уровне . Любое такое расслоение называется тривиальным расслоением . Любое расслоение над стягиваемым CW-комплексом тривиально.
Нетривиальные связки
Лента Мебиуса
Пожалуй, самый простой пример нетривиального пучка - лента Мебиуса . Он имеет круг, который проходит вдоль центра полосы в качестве основы. и отрезок для волокна , поэтому лента Мёбиуса - это расслоение отрезка прямой над окружностью. Район из (где ) - дуга; на картинке это длина одного из квадратов. Прообраз на картинке - (несколько скрученный) кусок полосы шириной четыре квадрата и один длинный.
Гомеоморфизм ( в разделе Формальное определение) существует, отображающий прообраз (упрощающая окрестность) среза цилиндра: изогнутый, но не скрученный. Эта пара локально тривиализирует полосу. Соответствующее тривиальное расслоениебыл бы цилиндром , но полоса Мёбиуса имеет общую «изгиб». Этот поворот виден только глобально; локально лента Мебиуса и цилиндр идентичны (выполнение одного вертикального разреза в любом из них дает одинаковое пространство).
Бутылка Клейна
Аналогичным нетривиальным пучком является бутылка Клейна , которую можно рассматривать как связку «скрученных» кругов над другим кругом. Соответствующее нескрученное (тривиальное) расслоение - это 2- тор ,.
Покрывающая карта
Покрытие пространства является расслоением таким образом, что пучок проекции является локальным гомеоморфизмом . Отсюда следует, что слой - дискретное пространство .
Векторные и главные расслоения
Особый класс расслоений, называемых векторными расслоениями , - это те, слои которых являются векторными пространствами (чтобы квалифицировать как векторное расслоение, структурная группа расслоения - см. Ниже - должна быть линейной группой ). Важные примеры векторных расслоений включают касательное расслоение и кокасательное расслоение гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения, можно построить кадр пучок из оснований , который является главным расслоением (см ниже).
Другой специальный класс расслоений, называемых главными расслоениями , - это расслоения, на слоях которых происходит свободное и транзитивное действие группызадано, так что каждый слой является главным однородным пространством . Пакет часто указывается вместе с группой, называя ее принципалом.-пучок. Группатакже является структурной группой расслоения. Учитывая представление из в векторном пространстве , векторное расслоение с в качестве структурной группы может быть создана связанная связка .
Наборы сфер
Сфера расслоение является расслоением, слой которого является п -сферы . Учитывая векторное расслоениес метрикой (например, касательное расслоение к риманову многообразию ) можно построить связанное расслоение единичных сфер , для которого слой над точкой - это множество всех единичных векторов в . Когда рассматриваемое векторное расслоение является касательным расслоениемрасслоение единичных сфер известно как единичное касательное расслоение .
Расслоение сфер частично характеризуется своим классом Эйлера , который является степенью класс когомологий в тотальном пространстве расслоения. В случаерасслоение сфер называется круговым расслоением, а класс Эйлера равен первому классу Черна , который полностью характеризует топологию расслоения. Для любой, учитывая класс Эйлера расслоения, можно вычислить его когомологии, используя длинную точную последовательность, называемую последовательностью Гизина .
Отображение торов
Если X - топологическое пространство иявляется гомеоморфизмом, то отображение тор имеет естественную структуру расслоения над окружностью со слоем. Отображение торов гомеоморфизмов поверхностей особенно важно в топологии трехмерных многообразий .
Факторные пространства
Если является топологической группой иэто замкнутая подгруппа , то при некоторых обстоятельствах, фактор - пространство вместе с факторной картой является расслоением, слоем которого является топологическое пространство . Необходимое и достаточное условие для () для образования расслоения состоит в том, что отображение допускают локальные сечения ( Стинрод 1951 , § 7).
Наиболее общие условия, при которых фактор-отображение допускает локальные сечения, неизвестны, хотя если является группой Ли изамкнутая подгруппа (и, следовательно, подгруппа Ли по теореме Картана ), то фактор-отображение является расслоением. Одним из примеров этого является расслоение Хопфа ,, который представляет собой расслоение над сферой чья общая площадь . С точки зрения групп Ли,можно отождествить со специальной унитарной группой . Абелева подгруппа диагональных матриц изоморфна круговой группе , а частное диффеоморфна сфере.
В более общем смысле, если любая топологическая группа и замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то расслоение.
Разделы
Участок (или сечение ) из пучка волокон это непрерывное отображение такой, что для всех х в B . Поскольку пучки, как правило, не имеют глобально определенных секций, одной из целей теории является объяснение их существования. Препятствие к существованию секции часто может быть измерено с помощью класса когомологий, что приводит к теории характеристических классов в алгебраической топологии .
Самый известный пример - теорема о волосатом шаре , где класс Эйлера является препятствием для касательного расслоения 2-сферы, имеющего нигде не исчезающее сечение.
Часто бывает необходимо определять разделы только локально (особенно когда глобальные разделы не существуют). Локальное сечение пучка волокон является непрерывным отображениемгде U - открытое множество в B идля всех х в U . Еслиэто локальная карта тривиализация тогда локальные участки всегда существуют над U . Такие участки находятся в соответствии 1-1 с непрерывными отображениями.. Секции образуют связку .
Структурные группы и переходные функции
Пучки волокон часто имеют группу симметрий, которые описывают условия согласования между перекрывающимися локальными диаграммами тривиализации. В частности, пусть G - топологическая группа , непрерывно действующая на расслоении F слева. Мы ничего не теряем , если мы требуем G действовать добросовестно на F так , что можно рассматривать как группу гомеоморфизмов из F . G - атлас для расслоения ( Е , В , П , Р ) представляет собой совокупность локальных карт тривиализации такой, что для любого для перекрывающихся графиков а также функция
дан кем-то
где t ij : U i ∩ U j → G - непрерывное отображение, называемое функцией перехода . Два G -атласа эквивалентны, если их объединение также является G -атласом. G -расслоение является расслоением с классом эквивалентности G -atlases. Группа G называется структурной группой расслоения; аналогичный термин в физике - калибровочная группа .
В гладкой категории G -расслоение - это гладкое расслоение, где G - группа Ли, и соответствующее действие на F является гладким, а все функции перехода являются гладкими отображениями.
Функции перехода t ij удовлетворяют следующим условиям
Третье условие применяется на тройном перекрывается U я П U J ∩ U к и называется условием коцикличности (см Чех ). Важность этого состоит в том, что функции перехода определяют расслоение (если принять условие коцикла Чеха).
Главный G расслоением является G расслоением , где волокна F является главным однородным пространством для левого действия G сам ( что то же самое, можно указать , что действие G на слое F свободно и транзитивно, то есть регулярный ). В этом случае часто бывает удобно отождествить F с G и таким образом получить (правое) действие G на главном расслоении.
Связать карты
Полезно иметь представление о отображении между двумя пучками волокон. Предположим, что M и N - базовые пространства и а также расслоения над M и N соответственно. Отображение расслоения (или морфизм расслоения ) состоит из пары непрерывных [13] функций
такой, что . То есть коммутирует следующая диаграмма :
Для расслоений со структурной группой G , и полное пространства (справа) G -пространствами (такие как главное расслоение), расслоение морфизмы также должны быть G - эквивариантное на волокна. Это значит, чтотакже является G -морфизмом из одного G -пространства в другое, т. е. для всех а также .
Если базовые пространства M и N совпадают, то морфизм расслоения над M из расслоения к это карта такой, что . Это означает, что карта связкиохватывает идентичность М . Это, и диаграмма коммутирует
Предположим, что оба а также определены над одной и тем же базовым пространством М . Изоморфизм расслоения - это отображение расслоениямежду π E : E → M и π F : F → M такими, чтои такой, что φ также является гомеоморфизмом. [14]
Дифференцируемые пучки волокон
В категории дифференцируемых многообразий расслоения естественно возникают как субмерсии одного многообразия в другое. Не всякая (дифференцируемая) субмерсия ƒ: M → N с дифференцируемого многообразия M на другое дифференцируемое многообразие N порождает дифференцируемое расслоение. Во-первых, отображение должно быть сюръективным, а ( M , N , ƒ) называется расслоенным многообразием . Однако этого необходимого условия недостаточно, и обычно используется множество достаточных условий.
Если M и N компактны и связны, то любая субмерсия f : M → N порождает расслоение в том смысле, что существует расслоение F, диффеоморфное каждому из слоев такое, что ( E , B , π , F ) = ( M , N , ƒ, F ) - расслоение. (Сюръективность ƒ следует из предположений, уже данных в этом случае.) В более общем смысле, предположение компактности можно ослабить, если субмерсия: M → N предполагается сюръективным собственным отображением , что означает, что ƒ −1 ( K ) компактно для каждого компактного подмножества K из N . Еще одно достаточное условие, предложенное Эресманном (1951)
, состоит в том, что если ƒ: M → N - сюръективная субмерсия с M и N дифференцируемыми многообразиями , причем прообраз ƒ −1 { x } компактен и связен для всех x ∈ N , то ƒ допускает совместимую структуру расслоения ( Michor 2008 , §17).Обобщения
- Понятие связки применимо ко многим другим категориям в математике за счет соответствующей модификации условия локальной тривиальности; ср. главное однородное пространство и торсор (алгебраическая геометрия) .
- В топологии расслоение - это отображение π : E → B, которое обладает некоторыми теоретико-гомотопическими свойствами, общими с расслоениями. В частности, при мягких технических предположениях расслоение всегда обладает свойством гомотопического подъема или свойством гомотопического покрытия (подробности см. В Steenrod (1951 , 11.7)). Это определяющее свойство расслоения.
- Участок жгута волокон - это «функция, выходной диапазон которой постоянно зависит от входа». Это свойство формально отражено в понятии зависимого типа .
Смотрите также
- Характеристический класс
- Покрывающая карта
- Фибрация
- Калибровочная теория
- Набор хопфа
- I-связка
- Основной пакет
- Проективное расслоение
- Пакет Pullback
- Универсальный комплект
- Волокнистый коллектор
- Векторный набор
- Аффинный пакет
- Эквивариантный пучок
- Натуральный пучок
- Квазифибрация
Заметки
- ^ Зайферт, Герберт (1933). "Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume" . Acta Mathematica . 60 : 147–238. DOI : 10.1007 / bf02398271 .
- ^ "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" на проекте Евклид .
- ^ Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 21 (7): 464–468. DOI : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .
- ^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (2): 148–153. DOI : 10.1073 / pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .
- ^ Фельдбау, Жак (1939). "Sur la классификация волоконных пространств". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 208 : 1621–1623.
- ^ Эресманн, Чарльз (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Вершина. Alg. Париж . CNRS: 3–15.
- ^ Эресманн, Чарльз (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 224 : 1611–1612.
- ^ Эресманн, Чарльз (1955). "Различия в пролонгации фибрового пространства". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 240 : 1755–1757.
- ^ Серр, Жан-Пьер (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Приложения". Анналы математики . 54 (3): 425–505. DOI : 10.2307 / 1969485 . JSTOR 1969 485 .
- ↑ См. Стинрод (1951 , предисловие).
- ^ В своих ранних работах Уитни называл расслоения сфер «сферами-пространствами». См., Например:
- Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства» . Proc. Natl. Акад. Sci . 21 (7): 462–468. DOI : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .
- Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий» . Бык. Амер. Математика. Soc . 43 (12): 785–805. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1937-06642-0 .
- ^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории сферических расслоений» (PDF) . Proc. Natl. Акад. Sci . 26 (2): 148–153. DOI : 10.1073 / pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .
- ^ В зависимости от категории задействованных пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.
- ^ Или, по крайней мере, обратим в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.
Рекомендации
- Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
- Бликер, Дэвид (1981), теория калибровки и вариационные принципы , чтение, масса: издательство Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-10096-9
- Эресманн, Чарльз . "Бесконечные связи в несуществующем пространстве волоконно различимы". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Брюссель, 1950 . Жорж Тон, Льеж; Masson et Cie., Paris, 1951. С. 29–55.
- Хусемоллер, Дейл (1994), пучки волокон , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
- Мичор, Питер У. (2008), Вопросы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , Vol. 93, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2003-2
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Волокнистое пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press
Внешние ссылки
- Связка волокон , PlanetMath
- Роуленд, Тодд. «Пучок волокна» . MathWorld .
- Создание символической скульптуры Джона Робинсона "Вечность"
- Сарданашвили, Геннадий , Расслоения, многообразия струй и лагранжева теория. Лекции для теоретиков, arXiv : 0908.1886