В математике , особенно в абстрактной алгебре , полугруппа с инволюцией или * -полугруппа - это полугруппа, снабженная инволютивным антиавтоморфизмом , который, грубо говоря, приближает ее к группе, потому что эта инволюция, рассматриваемая как унарный оператор, демонстрирует некоторые фундаментальные свойства операции взятия инверсии в группе: уникальность, двойное применение, «самоуменьшающееся», и тот же закон взаимодействия с бинарной операцией, что и в случае групповой инверсии. Поэтому неудивительно, что любая группа является полугруппой с инволюцией. Однако есть важные естественные примеры полугрупп с инволюцией, не являющихся группами.
Пример из линейной алгебры является мультипликативным моноидом из вещественных квадратных матриц порядка п ( так называемые полный линейный моноид ). Карту , которая посылает матрицу к ее транспонированной является инволюцию , потому что транспонированная корректно определено для любой матрицы и подчиняется закону ( АВ ) Т = В Т Т , который имеет ту же форму взаимодействия с умножением , как с обратными имеет в своем общая линейная группа (которая является подгруппой полного линейного моноида). Однако для произвольной матрицы AA T не равно единичному элементу (а именно диагональной матрице ). Другой пример, исходя из формального языка теории, является свободная полугруппа порождена непустого множества ( алфавит ), со строкой конкатенации в качестве бинарной операции и инволюции , являющейся карта , которая меняет на линейный порядок букв в строке. Третий пример из базовой теории множеств - это множество всех бинарных отношений между множеством и им самим, при этом инволюция является обратным отношением , а умножение задается обычной композицией отношений .
Полугруппы с инволюцией были явно названы в статье Виктора Вагнера 1953 года в результате его попытки связать теорию полугрупп с теорией полугруд . [1]
Формальное определение
Пусть S - полугруппа, бинарная операция которой записана мультипликативно. Инволюция в S - это унарная операция * на S (или преобразование *: S → S , x ↦ x *), удовлетворяющая следующим условиям:
- Для всех x в S ( x *) * = x .
- Для всех x , y в S имеем ( xy ) * = y * x *.
Полугруппа S с инволюцией * называется полугруппой с инволюцией.
Полугруппы, удовлетворяющие только первой из этих аксиом, принадлежат к большему классу U-полугрупп .
В некоторых приложениях вторая из этих аксиом была названа антидистрибутивной . [2] Что касается естественной философии этой аксиомы, HSM Coxeter заметил, что она «становится ясной, когда мы думаем о [x] и [y] как об операциях надевания носков и обуви, соответственно». [3]
Примеры
- Если S - коммутативная полугруппа, то тождественное отображение S - инволюция.
- Если S - группа, то отображение инверсии *: S → S, определенное как x * = x −1, является инволюцией. Более того, на абелевой группе и это отображение, и отображение из предыдущего примера являются инволюциями, удовлетворяющими аксиомам полугруппы с инволюцией. [4]
- Если S - инверсная полугруппа, то отображение инверсии - это инволюция, которая оставляет идемпотенты инвариантными . Как отмечалось в предыдущем примере, инверсионная карта не обязательно является единственной картой с этим свойством в инверсной полугруппе. Вполне могут быть другие инволюции, которые оставляют все идемпотенты инвариантными; например, тождественное отображение на коммутативной регулярной, а значит, и обратной полугруппе, в частности, на абелевой группе. Регулярная полугруппа является инверсной полугруппой тогда и только тогда , когда она допускает инволюцию , при которых каждом идемпотентном является инвариант. [5]
- В основе любой C * -алгебры лежит * -полугруппа. Важный примером является алгеброй М п ( С ) из п матрицы с размерностью п матриц над С , с сопряженным транспонированным как инволюция.
- Если X - множество, то множество всех бинарных отношений на X является * -полугруппой с *, заданным обратным отношением , и умножением, заданным обычной композицией отношений . Это пример * -полугруппы, которая не является регулярной полугруппой.
- Если X является набором, то набор всех конечных последовательностей (или строк ) членов X образует свободный моноид при операции конкатенации последовательностей с обращением последовательностей как инволюцией.
- Прямоугольная полоса на декартово произведение множества A с самим собой, то есть с элементами из A × A , с продуктом полугрупповой определяется как ( в , б ) ( гр , д ) = ( с , г ), причем инволюции является изменение порядка элементов пары ( a , b ) * = ( b , a ). Эта полугруппа также является регулярной полугруппой , как и все бэнды. [6]
Основные понятия и свойства
Элемент x полугруппы с инволюцией иногда называют эрмитовым (по аналогии с эрмитовой матрицей ), если он остается инвариантным инволюцией, то есть x * = x . Элементы формы xx * или x * x всегда эрмитовы, как и все степени эрмитового элемента. Как отмечалось в разделе примеров, полугруппа S является обратной полугруппой тогда и только тогда, когда S является регулярной полугруппой и допускает инволюцию, такую что каждый идемпотент эрмитов. [7]
Некоторые базовые понятия могут быть определены на * -полугруппах способом, который аналогичен понятиям, вытекающим из регулярного элемента в полугруппе . Частично изометрический является элементом сек таким образом, что SS * сек = с ; множество частичных изометрий полугруппы S обычно обозначается сокращенно PI ( S ). [8] проекция является элемент идемпотентных е , который также эрмитов, а это означает , что й = е и е * = е . Каждая проекция является частичной изометрией, а для каждой частичной изометрии s , s * s и ss * являются проекциями. Если e и f - проекции, то e = ef тогда и только тогда, когда e = fe . [9]
Частичные изометрии могут быть частично упорядочены по s ≤ t, определяемой как удержание, когда s = ss * t и ss * = ss * tt *. [9] Эквивалентно s ≤ t тогда и только тогда, когда s = et и e = ett * для некоторой проекции e . [9] В * -полугруппе, ПИ ( S ) является заказал группоид с частичным произведением дается с ⋅ т = й , если ы * ы = тт *. [10]
Примеры
В терминах примеров для этих понятий в * -полугруппе бинарных отношений на множестве частичные изометрии - это отношения, которые являются дифункциональными . Проекции в этой * -полугруппе являются отношениями частичной эквивалентности . [11]
В частичных изометриях в C * -алгебра точно те , которые определены в данном разделе. В случае M n ( C ) можно сказать больше. Если Е и F являются проекции, то Е ≤ F тогда и только тогда , когда им Е ⊆ им F . Для любой два проекции, если Е ∩ F = V , то единственная проекция J с изображением V и ядро на ортогональное дополнение из V является пересечением из Е и F . Поскольку проекторы образуют встречную полурешетку , частичные изометрии на M n ( C ) образуют обратную полугруппу с произведением. [12]
Другой простой пример этих понятий представлен в следующем разделе.
Понятия регулярности
Есть два связанных, но не идентичных понятия регулярности в * -полугруппах. Они были введены почти одновременно Nordahl & Scheiblich (1978) и, соответственно, Drazin (1979). [13]
Регулярные * -полугруппы (Нордаль и Шейблих)
Как упоминалось в предыдущих примерах , инверсные полугруппы являются подклассом * -полугрупп. Также из учебника известно, что инверсную полугруппу можно охарактеризовать как регулярную полугруппу, в которой любые два идемпотента коммутируют. В 1963 г. Борис М. Шейн показал, что следующие две аксиомы обеспечивают аналогичную характеристику инверсных полугрупп как подмногообразия * -полугрупп:
- х = хх * х
- ( хх *) ( х * х ) = ( х * х ) ( хх *)
Первый из них выглядит как определение обычного элемента, но на самом деле в терминах инволюции. Точно так же вторая аксиома, по-видимому, описывает коммутацию двух идемпотентов. Однако известно, что регулярные полугруппы не образуют разнообразия, поскольку их класс не содержит свободных объектов (результат, установленный Д. Б. Макалистером в 1968 г.). Эта линия рассуждений побудила Нордаля и Шейблиха начать в 1977 г. изучение (разнообразия) * -полугрупп, удовлетворяющих только первым из этих двух аксиом; из-за сходства по форме со свойством, определяющим регулярные полугруппы, они назвали это разнообразие регулярными * -полугруппами.
Несложным вычислением установить, что регулярная * -полугруппа также является регулярной полугруппой, поскольку x * оказывается инверсией x . Прямоугольная лента из примера 7 является регулярной * -полугруппой, не являющейся обратной полугруппой. [6] Также легко проверить, что в регулярной * -полугруппе произведение любых двух проекций является идемпотентом. [14] В вышеупомянутом примере прямоугольной ленты проекции являются элементами формы ( x , x ) и [как и все элементы ленты] идемпотентны. Однако две разные проекции в этой полосе не обязательно коммутируют, и их произведение не обязательно является проекцией, поскольку ( a , a ) ( b , b ) = ( a , b ).
Полугруппы, удовлетворяющие только x ** = x = xx * x (но не обязательно антидистрибутивности * по умножению), также изучались под названием I-полугруппы .
P-системы
Проблема определения того, когда регулярная полугруппа является регулярной * -полугруппой (в смысле Нордала и Шейблиха), была рассмотрена М. Ямада (1982). Он определил P-систему F (S) как подмножество идемпотентов S, обычно обозначаемых E (S). Используя обычное обозначение V ( a ) для обратных к a , F (S) должно удовлетворять следующим аксиомам:
- Для любого а из S существует единственное а ° в V ( а ) такое, что аа ° и а ° а лежат в F (S).
- Для любого a в S и b в F (S), a ° ba принадлежит F (S), где ° - четко определенная операция из предыдущей аксиомы
- Для любых a , b из F (S) ab принадлежит E (S); примечание: не обязательно в F (S)
Регулярная полугруппа S является * -регулярной полугруппой, как определено Нордалом и Шейблихом, тогда и только тогда, когда она имеет p-систему F (S). В этом случае F (S) - это множество проекций S относительно операции °, определенной F (S). В обратной полугруппе вся полурешетка идемпотентов является p-системой. Кроме того, если регулярная полугруппа S имеет мультипликативно замкнутую p-систему (т. Е. Подполугруппу), то S является обратной полугруппой. Таким образом, p-систему можно рассматривать как обобщение полурешетки идемпотентов обратной полугруппы.
* -регулярные полугруппы (Дразин)
Полугруппа S с инволюцией * называется * полугруппа - регулярной (в смысле Дрэйзина) , если для каждого х в S , х * является Н -эквивалентна некоторыми обратными х , где Н представляет собой Грин отношение Н . Это определяющее свойство можно сформулировать несколькими эквивалентными способами. Другой вариант - сказать, что каждый L -класс содержит проекцию. Аксиоматическое определение - это условие, что для каждого x в S существует элемент x ′ такой, что x ′ xx ′ = x ′ , xx ′ x = x , ( xx ′) * = xx ′ , ( x ′ x ) * = х ' х . Майкл П. Дразин первым доказал, что для данного x элемент x ′, удовлетворяющий этим аксиомам, единственен. Он называется инверсией Мура – Пенроуза к x . Это согласуется с классическим определением обратной матрицы Мура – Пенроуза квадратной матрицы.
Одним из мотивов изучения этих полугрупп является то, что они позволяют обобщить свойства обратного Мура – Пенроуза из а также к более общим наборам.
В мультипликативной полугруппе квадратных матриц порядка n M n ( C ) отображение, которое сопоставляет матрицу A ее эрмитово сопряженному A *, является инволюцией. Полугруппа M n ( C ) является * -регулярной полугруппой с этой инволюцией. Мур-Пенроуз инверсия А в этом * -регулярном полугруппы является классической Мура-Пенроуз инверсией A .
Свободная полугруппа с инволюцией
Как и все многообразия, категория полугрупп с инволюцией допускает свободные объекты . Построение свободной полугруппы (или моноида) с инволюцией основано на построении свободной полугруппы (и, соответственно, свободного моноида). Более того, конструкция свободной группы легко выводится, уточняя конструкцию свободного моноида с инволюцией. [15]
В генераторах свободной полугруппы с инволюцией являются элементами объединения двух ( equinumerous ) непересекающихся множеств в взаимно однозначном соответствии :. (Здесь обозначениеподчеркнул, что объединение на самом деле является дизъюнктным объединением .) В случае, когда два множества конечны, их объединение Y иногда называют алфавитом с инволюцией [16] или симметричным алфавитом . [17] Пусть быть биекцией; естественно продолжается до биекции по существу, взяв несвязное объединение (как множество) с обратным ему , или в кусочной записи: [18]
Теперь построим как свободная полугруппа на обычным способом с бинарной (полугрупповой) операцией над будучи конкатенации :
- для некоторых писем
Биекция на затем расширяется как биекция определяется как инверсия строк элементов состоящие из более чем одной буквы: [16] [18]
Это отображение является инволюцией на полугруппе. Таким образом, полугруппа с картой полугруппа с инволюции, называется свободной полугруппы с инволюцией на X . [19] (Нерелевантность конкретной идентичности и биекции этот выбор терминологии объясняется ниже в терминах универсального свойства конструкции.) Обратите внимание, что в отличие от примера 6 , инволюция каждой буквы является отдельным элементом в алфавите с инволюцией, и, следовательно, то же наблюдение распространяется на свободную полугруппа с инволюцией.
Если в приведенной выше конструкции вместо мы используем бесплатный моноид , которая представляет собой свободную полугруппу, расширенную пустым словом (который является единичным элементом из моноида ), и соответствующим образом продолжить инволюцию с помощью , получаем свободный моноид с инволюцией . [18]
Вышеупомянутая конструкция - фактически единственный способ расширить данную карту. из к , к инволюции на (и аналогично ). Квалификатор «свободный» для этих конструкций оправдан в обычном смысле того, что они являются универсальными конструкциями . В случае свободной полугруппы с инволюцией для произвольной полугруппы с инволюцией и карта , то гомоморфизм полугрупп существует такое, что , где - карта включения, а композиция функций взята в порядке диаграммы . [19] Построениекак полугруппа с инволюцией единственна с точностью до изоморфизма . Аналогичное рассуждение справедливо для свободного моноида с инволюцией в терминах гомоморфизмов моноидов и единственности с точностью до изоморфизма конструкции как моноид с инволюцией.
Построение свободной группы не очень далеко от конструкции свободного моноида с инволюцией. Дополнительный ингредиент, необходимый для определения понятия сокращенного слова и правила перезаписи для создания таких слов, просто удаляя любые смежные пары букв формы или же . Можно показать, что порядок перезаписи (удаления) таких пар не имеет значения, т.е. любой порядок удалений дает тот же результат. [15] ( В противном случае говоря, эти правила определяют сливающиеся системы переписывания.) Эквивалентное свободная группа строятся из свободного моноида с инволюцией, принимая фактор последнего по конгруэнции , которое иногда называют конгруэнцией Дика - в определенном смысле оно обобщает язык Дика на несколько видов «скобок». Однако упрощение в конгруэнции Дика имеет место независимо от порядка. Например, если ")" является обратным символу "(", то; односторонняя конгруэнтность, которая появляется в собственно языке Дейка, который соответствует только называется (возможно, сбивающим с толку) конгруэнцией Шамира . Фактор свободного моноида с инволюцией по конгруэнции Шамира - это не группа, а моноид; тем не менее , она была названа свободной половина группы своего первым discoverer- Эли Шамиром -Хотя совсем недавно она была названа инволютивным моноид , порожденным X . [17] [20] (Этот последний выбор терминологии, однако, противоречит использованию «инволютивного» для обозначения любой полугруппы с инволюцией - практика, также встречающаяся в литературе. [21] [22] )
Бэра * -полугруппы
* -Полугруппой Бэра называется * -полугруппа с (двусторонним) нулем, в которой правый аннулятор каждого элемента совпадает с правым идеалом некоторой проекции; это свойство формально выражается как: для всех x ∈ S существует проекция e такая, что
- { y ∈ S | xy = 0} = eS . [22]
На самом деле проекция e однозначно определяется x . [22]
В последнее время * -полугруппы Бэра стали называть также полугруппами Фулиса в честь Дэвида Джеймса Фулиса, который их глубоко изучал. [23] [24]
Примеры и приложения
Множество всех бинарных отношений на множестве (из примера 5 ) является * -полугруппой Бэра. [25]
Baer * -полугруппы встречаются и в квантовой механике , [22] , в частности , в качестве мультипликативных полугрупп Бэра * -кольца .
Если H - гильбертово пространство , то мультипликативная полугруппа всех ограниченных операторов в H является бэровской * -полугруппой. Инволюция в этом случае отображает оператор в сопряженный . [25]
Baer * -полугруппа позволяют координатизации из ортомодулярных решеток . [23]
Смотрите также
- Категория кинжала (также известная как категория с инволюцией) - обобщает понятие
- *-алгебра
- Специальные классы полугрупп
Заметки
- ^ Кристофер Холлингс (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 265. ISBN 978-1-4704-1493-1.
- ^ Крис Бринк; Вольфрам Каль; Гюнтер Шмидт (1997). Реляционные методы в информатике . Springer. п. 4. ISBN 978-3-211-82971-4.
- ^ HSM Coxeter, Введение в геометрию , стр. 33
- ^ К. ван ден Берг; JPR Christensen; П. Рессель (2012). Гармонический анализ на полугруппах: теория положительно определенных и родственных функций . Springer Science & Business Media. С. 87–88. ISBN 978-1-4612-1128-0.
- ^ Манн, лемма 1
- ^ а б Нордаль и Шейблих
- ^ Easdown, Дэвид и WD Munn. «О полугруппах с инволюцией». Бюллетень Австралийского математического общества 48.01 (1993): 93–100.
- ^ Лоусон, стр. 116
- ^ a b c Лоусон, стр. 117
- ^ Лоусон, стр. 118
- ^ Lawson с.122 и с.35
- ^ Lawson стр.120
- ^ Crvenkovic и Долинка
- ^ Нордаль и Шейблих, теорема 2.5
- ^ а б Лоусон стр. 51
- ^ а б Анджей Эренфойхт; Т. Харью; Гжегож Розенберг (1999). Теория 2-структур: основа для декомпозиции и преобразования графов . World Scientific. С. 13–14. ISBN 978-981-02-4042-4.
- ^ а б Жак Сакарович. Элементы теории автоматов . Издательство Кембриджского университета. С. 305–306.
- ^ а б в Стивен Липскомб (1996). Симметричные обратные полугруппы . American Mathematical Soc. п. 86. ISBN 978-0-8218-0627-2.
- ^ а б Лоусон стр. 172
- ^ Ион Петре и Арто Саломаа (2009). «Алгебраические системы и выталкивающие автоматы». В Манфреде Дросте; Вернер Куич; Хайко Фоглер (ред.). Справочник по взвешенным автоматам . Springer. п. 271. ISBN. 978-3-642-01492-5.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ Карл-Герман Неб (2000). Голоморфность и выпуклость в теории Ли . Вальтер де Грюйтер. п. 21. ISBN 978-3-11-015669-0.
- ^ а б в г Энрико Г. Бельтраметти; Джанни Кассинелли (2010) [1981]. Логика квантовой механики . Издательство Кембриджского университета. п. 178. ISBN 978-0-521-16849-6.
- ^ а б ТС Блит (2006). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer Science & Business Media. С. 101–102. ISBN 978-1-84628-127-3.
- ^ Хардинг, Джон. «Кинжалы, ядра, бэровские * -полугруппы и ортомодулярность». Журнал философской логики . 6 апреля 2013 г. doi : 10.1007 / s10992-013-9275-5
- ^ a b Foulis, DJ Относительные инверсии в * -полугруппах Бэра. Michigan Math. J. 10 (1963), нет. 1, 65–84. DOI : 10.1307 / MMJ / 1028998825 .
Рекомендации
- Марк В. Лоусон (1998). «Обратные полугруппы: теория частичных симметрий». Всемирный научныйISBN 981-02-3316-7
- DJ Foulis (1958). Инволюционные полугруппы , докторская диссертация, Тулейнский университет, Новый Орлеан, Луизиана. Публикации DJ Foulis (доступ 5 мая 2009 г.)
- WD Манн, Специальные инволюции , в AH Clifford, KH Hofmann, MW Mislove, Теория полугрупп и ее приложения: материалы конференции 1994 года, посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда , Cambridge University Press, 1996, ISBN 0521576695 . Это недавняя обзорная статья о полугруппе с (специальной) инволюцией.
- Дразин М. П. Регулярные полугруппы с инволюцией // Тр. Symp. о регулярных полугруппах (DeKalb, 1979), 29–46.
- Нордаль, Т. Е., и Г. Е. Шейблих, Регулярные * полугруппы, Форум полугрупп , 16 (1978), 369–377.
- Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах , Semigroup Forum , 24 (1), декабрь 1982 г., стр. 173–187.
- С. Црвенкович, Игорь Долинка, " Многообразия инволюционных полугрупп и инволюционных полуколец: обзор ", Бюллетень Общества математиков Баня-Луки, вып. 9 (2002), 7–47.
- Эта статья включает материал из Free полугруппы с инволюцией на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .