В физике , особенно в специальной теории относительности и общей теории относительности , четырехмерный тензор - это аббревиатура от тензора в четырехмерном пространстве - времени . [1]
Общие
Общие четырехтензоры обычно записываются в тензорной записи индекса как
с индексами, принимающими целые значения от 0 до 3, с 0 для времениподобных компонентов и 1, 2, 3 для пространственноподобных компонентов. Есть n контравариантных индексов и m ковариантных индексов. [1]
В специальной и общей теории относительности многие представляющие интерес четырехтензоры относятся к первому ( четырехвекторному ) или второму порядку, но встречаются тензоры более высокого порядка. Примеры перечислены далее.
В специальной теории относительности векторный базис может быть ограничен ортонормированием, и в этом случае все четыре-тензоры преобразуются при преобразованиях Лоренца . В общей теории относительности необходимы более общие преобразования координат, поскольку такое ограничение в общем случае невозможно.
Примеры
Тензоры первого порядка
В специальной теории относительности одним из простейших нетривиальных примеров четырехмерного тензора является четырехмерное смещение.
четырехмерный тензор с контравариантным рангом 1 и ковариантным рангом 0. Четыре-тензоры такого типа обычно называют четырехвекторами . Здесь компонент x 0 = ct дает смещение тела во времени (координата времени t умножается на скорость света c, так что x 0 имеет размерность длины). Остальные компоненты четырехмерного смещения образуют вектор пространственного смещения x = ( x 1 , x 2 , x 3 ). [1]
Четыре-импульса для массивных или безмассовых частиц является
объединяя его энергию (деленную на c ) p 0 = E / c и 3- импульс p = ( p 1 , p 2 , p 3 ). [1]
Для частицы с инвариантной массой , также известный как масса покоя , четыре импульса определяется как
с участием собственное время частицы.
Релятивистская масса являетсяс фактором Лоренца
Тензоры второго порядка
Метрика Минковского тензор с ортонормированному для (- +++) конвенции является
используется для вычисления элемента линии и поднятия и опускания индексов . Вышесказанное относится к декартовым координатам. В общей теории относительности метрический тензор задается гораздо более общими выражениями для криволинейных координат.
Угловой момент L = х ∧ р частицы с релятивистской массой т и релятивистским импульсом р (как измерено с помощью наблюдателя в лабораторной системе ) в сочетание с другой векторной величиной Н = т х - р т (без стандартного имени) в релятивистский тензор углового момента [2] [3]
с компонентами
Тензор энергии- континуума или поля , как правило принимает форму тензора второго порядка, и обычно обозначается через Т . Времяподобный компонент соответствует плотности энергии (энергия на единицу объема), смешанные пространственно-временные компоненты - плотности импульса (импульс на единицу объема), а чисто пространственноподобные части - трехмерному тензору напряжений.
Тензор электромагнитного поля сочетает в себе электрическое поле и Е и магнитное поле B [4]
Тензор электромагнитного смещения объединяет поле электрического смещения D и напряженность магнитного поля H следующим образом [5]
Намагниченности - поляризационный тензор сочетает в себе P и M полей [4]
Три тензора поля связаны соотношением
что эквивалентно определениям полей D и H.
Электрический дипольный момент д и магнитный дипольный момент μ частицы объединяются в единый тензор [6]
Тензор Риччи кривизны является еще тензором второго порядка.
Тензоры высших порядков
В общей теории относительности существуют тензоры кривизны, которые имеют тенденцию быть более высокого порядка, такие как тензор кривизны Римана и тензор кривизны Вейля, которые являются тензорами четвертого порядка.
Смотрите также
- Спиновый тензор
- Тетрада (общая теория относительности)
Рекомендации
- ^ a b c d Ламбурн, Роберт Дж. А. Относительность, гравитация и космология. Издательство Кембриджского университета. 2010 г.
- ^ Р. Пенроуз (2005). Дорога к реальности . старинные книги. С. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Примечание. Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют в этом определении латинские буквы, хотя обычно греческие индексы используются для обозначения векторов и тензоров в пространстве-времени.
- ^ М. Файнгольд (2008). Специальная теория относительности и как она работает . Джон Вили и сыновья . С. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4.
- ^ а б Вандерлинде, Джек (2004), классическая электромагнитная теория , Springer, стр. 313–328, ISBN 9781402026997
- ^ Барут, АО (январь 1980 г.). Электродинамика и классическая теория частиц и полей . Дувр. п. 96. ISBN 978-0-486-64038-9.
- ^ Барут, АО (январь 1980 г.). Электродинамика и классическая теория частиц и полей . Дувр. п. 73. ISBN 978-0-486-64038-9.В этой книге в тензоре не упоминается множитель c из-за других соглашений для тензора электромагнитного поля.