Ряд Фурье

В математике , А ряд Фурье ( / е ʊr я eɪ , - я ər /^[1] ) является периодической функцией , состоящий из гармонически связанных синусоид , в сочетании с помощью взвешенного суммирования. При соответствующих весах один цикл (или период ) суммирования может быть выполнен для аппроксимации произвольной функции в этом интервале (или всей функции, если она также является периодической). Таким образом, суммирование является синтезом другой функции. Дискретным временем преобразования Фурье является примером Фурье серии. Процесс получения весов, описывающих данную функцию, является формой анализа Фурье . Для функций на неограниченных интервалах аналогами анализа и синтеза являются преобразование Фурье и обратное преобразование.

Функция

{\ displaystyle s (x)}

(красный) - это сумма шести синусоидальных функций разных амплитуд и гармонически связанных частот. Их суммирование называется рядом Фурье. Преобразование Фурье,

{\ Displaystyle S (е)}

(синим цветом), который отображает зависимость амплитуды от частоты, показывает 6 частот ( в нечетных гармониках ) и их амплитуды ( 1 / нечетное число ).

История

Ряд Фурье назван в честь Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768–1830), который внес важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера , Жана ле Ронда д'Аламбера и Даниэля Бернулли . ^[A] Фурье ввел ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, опубликовав свои первые результаты в своей Mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps solides 1807 г. ( Трактат о распространении тепла в твердых телах ). и опубликовал его Théorie analytique de la chaleur ( Аналитическая теория тепла ) в 1822 году. Mémoire ввел анализ Фурье, в частности ряды Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт, что произвольная (сначала непрерывная ^[2], а затем обобщенная на любую кусочно- гладкую ^[3] ) функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Первое сообщение об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской Академией . ^[4] Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций восходят к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на деферентах и эпициклах .

Уравнение теплопроводности - это уравнение в частных производных . До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя частные решения были известны, если источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источник тепла был синусоидальной или косинусоидальной волной. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями . Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию ) простых синусоидальных и косинусоидальных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений . Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позже Петер Густав Лежен Дирихле ^[5] и Бернхард Риман ^[6]^[7]^[8] выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы могут быть применены к широкому кругу математических и физических задач, особенно к тем, которые связаны с линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, для которых собственными решениями являются синусоиды . Ряд Фурье имеет много таких применений в области электротехники , вибрации анализа, акустики , оптики , обработки сигналов , обработки изображений , квантовой механики , эконометрических , ^[9] теории оболочек , ^[10] и т.д.

Определение

Рассмотрим функцию с действительным знаком, ${\ displaystyle s (x)}$ , интегрируемая на отрезке длины ${\ displaystyle P}$ , который будет периодом ряда Фурье. Типичные примеры интервалов анализа:

{\ Displaystyle х \ в [0,1],}

а также

{\ displaystyle P = 1.}

{\ Displaystyle х \ в [- \ пи, \ пи],}

а также

{\ Displaystyle P = 2 \ pi.}

В процессе анализа определяются веса, индексированные целым числом. ${\ displaystyle n}$ , что также является количеством циклов ${\ Displaystyle п ^ {\ текст {th}}}$ гармоника в интервале анализа. Следовательно, длина цикла в единицах ${\ displaystyle x}$ , является ${\ displaystyle P / n}$ . И соответствующая частота гармоники ${\ displaystyle n / P}$ . В ${\ Displaystyle п ^ {\ текст {th}}}$ гармоники ${\ displaystyle \ sin \ left (2 \ pi x {\ tfrac {n} {P}} \ right)}$ а также ${\ displaystyle \ cos \ left (2 \ pi x {\ tfrac {n} {P}} \ right)}$ , а их амплитуды (веса) находятся интегрированием по интервалу длины ${\ displaystyle P}$ : ^[11]

Коэффициенты Фурье

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {n} & = {\ frac {2} {P}} \ int _ {P} s (x) \ cdot \ cos \ left ({\ tfrac {2 \ pi}) {P}} nx \ right) \, dx \\ b_ {n} & = {\ frac {2} {P}} \ int _ {P} s (x) \ cdot \ sin \ left ({\ tfrac { 2 \ pi} {P}} nx \ right) \, dx. \ End {align}}}

( Уравнение 1 )

Если ${\ displaystyle s (x)}$ является ${\ displaystyle P}$ -периодической, то достаточно любого интервала такой длины.
${\ displaystyle a_ {0}}$ а также ${\ displaystyle b_ {0}}$ можно свести к ${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {2} {P}} \ int _ {P} s (x) \, dx}$ а также ${\ displaystyle b_ {0} = 0}$ .
Многие тексты выбирают ${\ Displaystyle P = 2 \ pi}$ для упрощения аргумента синусоидальных функций.

Сумма синусоидальных компонентов ряда Фурье является периодической функцией, независимо от того, является ли периодическая исходная функция s ( x ) или нет .

Процесс синтеза (фактический ряд Фурье):

Ряд Фурье, синус-косинусная форма

{\ displaystyle {\ begin {align} s _ {_ {N}} (x) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left (a_ {n} \ cos \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx \ right) + b_ {n} \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx \ right) \ right). \ end {выравнивается}}}

( Уравнение 2 )

В общем, целое число ${\ displaystyle N}$ теоретически бесконечно. Даже в этом случае ряд может не сходиться или точно равняться ${\ displaystyle s (x)}$ при всех значениях ${\ displaystyle x}$ (например, одноточечный разрыв) в интервале анализа. Для «хороших» функций, типичных для физических процессов, обычно предполагается равенство.

Если

{\ displaystyle s (t)}

- функция, содержащаяся в интервале длины

{\ displaystyle P}

(и ноль в других местах), верхний правый квадрант является примером того, каковы его коэффициенты ряда Фурье (

{\ displaystyle A_ {n}}

) может выглядеть так, если сравнивать их с соответствующими частотами гармоник. Левый верхний квадрант - соответствующее преобразование Фурье

{\ displaystyle s (t).}

Суммирование ряда Фурье (не показано) синтезирует периодическое суммирование

{\ displaystyle s (t),}

тогда как обратное преобразование Фурье (не показано) синтезирует только

{\ displaystyle s (t).}

Используя тригонометрическую идентичность:

{\ Displaystyle A_ {n} \ cdot \ cos \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx- \ varphi _ {n} \ right) \ \ Equiv \ \ underbrace {A_ {n} \ cos (\ varphi _ {n})} _ {a_ {n}} \ cdot \ cos \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx \ right) + \ underbrace {A_ {n} \ sin ( \ varphi _ {n})} _ {b_ {n}} \ cdot \ sin \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx \ right),}

и определения ${\ Displaystyle A_ {п} \ треугольникq {\ sqrt {a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}}}}$ а также ${\ Displaystyle \ varphi _ {п} \ треугольник \ OperatorName {arctan2} (b_ {n}, a_ {n})}$ , пары синус и косинус могут быть выражены как одна синусоида со сдвигом фазы, аналогично преобразованию между ортогональными (декартовыми) и полярными координатами:

Ряд Фурье, амплитудно-фазовая форма

{\ displaystyle s _ {_ {N}} (x) = {\ frac {A_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} A_ {n} \ cdot \ cos \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx- \ varphi _ {n} \ right).}

( Уравнение 3 )

Обычная форма обобщения до комплексных значений ${\ displaystyle s (x)}$ (следующий раздел) получается с использованием формулы Эйлера для разделения функции косинуса на комплексные экспоненты. Здесь комплексное сопряжение обозначено звездочкой:

{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} \ cos \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx- \ varphi _ {n} \ right) & {} \ Equiv {\ tfrac {1 } {2}} e ^ {i \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx- \ varphi _ {n} \ right)} & {} + {\ tfrac {1} {2}} e ^ {- i \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx- \ varphi _ {n} \ right)} \\ & = \ left ({\ tfrac {1} {2}} e ^ {- i \ varphi _ {n}} \ right) \ cdot e ^ {i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} (+ n) x} & {} + \ left ({\ tfrac {1 } {2}} e ^ {- i \ varphi _ {n}} \ right) ^ {*} \ cdot e ^ {i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} (- n) x}. \ конец {массив}}}

Поэтому с определениями:

{\ Displaystyle c_ {n} \ треугольникq \ left \ {{\ begin {array} {lll} A_ {0} / 2 & = a_ {0} / 2, \ quad & n = 0 \\ {\ tfrac {A_ {n }} {2}} e ^ {- i \ varphi _ {n}} & = {\ tfrac {1} {2}} (a_ {n} -ib_ {n}), \ quad & n> 0 \\ c_ {| n |} ^ {*}, \ quad && n <0 \ end {array}} \ right \} \ quad = \ quad {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} s (x) \ cdot e ^ {- i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx} \ dx,}

конечный результат:

Ряд Фурье, экспоненциальная форма

{\ displaystyle s _ {_ {N}} (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} \ cdot e ^ {я {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx }.}

( Уравнение 4 )

Комплексные функции

Если ${\ displaystyle s (x)}$ является комплексной функцией действительной переменной ${\ displaystyle x,}$ оба компонента (действительная и мнимая части) являются действительными функциями, которые могут быть представлены рядом Фурье. Два набора коэффициентов и частичная сумма определяются как :

{\ displaystyle c _ {_ {Rn}} = {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} \ operatorname {Re} \ {s (x) \} \ cdot e ^ {- i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx} \ dx}

а также

{\ displaystyle c _ {_ {In}} = {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} \ operatorname {Im} \ {s (x) \} \ cdot e ^ {- i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx} \ dx}

{\ displaystyle s _ {_ {N}} (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} c _ {_ {Rn}} \ cdot e ^ {я {\ tfrac {2 \ pi} {P }} nx} + i \ cdot \ sum _ {n = -N} ^ {N} c _ {_ {In}} \ cdot e ^ {i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx} = \ sum _ {n = -N} ^ {N} \ left (c _ {_ {Rn}} + i \ cdot c _ {_ {In}} \ right) \ cdot e ^ {i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx}.}

Определение ${\ Displaystyle c_ {п} \ треугольник с _ {_ {Rn}} + я \ cdot c _ {_ {In}}}$ дает:

{\ displaystyle s _ {_ {N}} (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} \ cdot e ^ {я {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx }.}

( Уравнение 5 )

Это идентично уравнению 4, за исключением того, что ${\ displaystyle c_ {n}}$ а также ${\ displaystyle c _ {- n}}$ больше не являются комплексными конъюгатами. Формула для ${\ displaystyle c_ {n}}$ также без изменений:

{\ displaystyle {\ begin {align} c_ {n} & = {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} \ operatorname {Re} \ {s (x) \} \ cdot e ^ {- i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx} \ dx + i \ cdot {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} \ operatorname {Im} \ {s (x) \} \ cdot e ^ {- i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx} \ dx \\ [4pt] & = {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} \ left (\ имя оператора {Re} \ {s (x) \} + i \ cdot \ operatorname {Im} \ {s (x) \} \ right) \ cdot e ^ {- i {\ tfrac {2 \ pi} {P} } nx} \ dx \ = \ {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} s (x) \ cdot e ^ {- i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx} \ dx. \ end {выровненный}}}

Другие общие обозначения

Обозначение ${\ displaystyle c_ {n}}$ не подходит для обсуждения коэффициентов Фурье нескольких различных функций. Поэтому его обычно заменяют модифицированной формой функции ( ${\ displaystyle s}$ , в данном случае), например ${\ Displaystyle {\ шляпа {s}} [п]}$ или же ${\ Displaystyle S [п]}$ , а функциональная нотация часто заменяет нижний индекс:

{\ displaystyle {\ begin {align} s _ {\ infty} (x) & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {s}} [n] \ cdot e ^ {i \, 2 \ pi nx / P} \\ [6pt] & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} S [n] \ cdot e ^ {i \, 2 \ pi nx / P} && \ scriptstyle {\ mathsf {общий \ инженерный \ нотация}} \ конец {выровненный}}}

В технике, особенно когда переменная ${\ displaystyle x}$ представляет время, последовательность коэффициентов называется представлением в частотной области . Квадратные скобки часто используются, чтобы подчеркнуть, что область действия этой функции представляет собой дискретный набор частот.

Другое широко используемое представление в частотной области использует коэффициенты ряда Фурье для модуляции гребенки Дирака :

{\ Displaystyle S (е) \ \ треугольник \ \ сумма _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} S [n] \ cdot \ delta \ left (f - {\ frac {n} {P}} \ верно),}

где ${\ displaystyle f}$ представляет собой непрерывную частотную область. Когда переменная ${\ displaystyle x}$ имеет единицы секунд, ${\ displaystyle f}$ имеет единицы герц . «Зубцы» гребешка разнесены на несколько (то есть гармоник ) ${\ displaystyle 1 / P}$ , которая называется основной частотой . ${\ displaystyle s _ {\ infty} (х)}$ можно восстановить из этого представления с помощью обратного преобразования Фурье :

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ {S (f) \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} S [n] \ cdot \ delta \ left (f - {\ frac {n} {P}} \ right) \ right) e ^ {i2 \ pi fx} \ , df, \\ [6pt] & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} S [n] \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (f - {\ frac {n} {P}} \ right) e ^ {i2 \ pi fx} \, df, \\ [6pt] & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} S [ n] \ cdot e ^ {i \, 2 \ pi nx / P} \ \ \ треугольникq \ s _ {\ infty} (x). \ end {align}}}

Построенная функция ${\ Displaystyle S (е)}$ поэтому обычно называют преобразованием Фурье , даже несмотря на то, что интеграл Фурье периодической функции не сходится на частотах гармоник. ^[B]

Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны

Конвергенция

В инженерных приложениях обычно предполагается, что ряды Фурье сходятся почти везде (за исключением дискретных разрывов), поскольку функции, встречающиеся в инженерии, ведут себя лучше, чем функции, которые математики могут предоставить в качестве контрпримеров этому предположению. В частности, если ${\ displaystyle s}$ непрерывна, а производная от ${\ displaystyle s (x)}$ (который может существовать не везде) интегрируем с квадратом, то ряд Фурье ${\ displaystyle s}$ сходится абсолютно и равномерно к ${\ displaystyle s (x)}$ . ^[12] Если функция интегрируема с квадратом на интервале ${\ displaystyle [x_ {0}, x_ {0} + P]}$ , то почти в каждой точке ряд Фурье сходится к функции . Сходимость рядов Фурье также зависит от конечного числа максимумов и минимумов функции, которая широко известна как одно из условий Дирихле для рядов Фурье . См. Сходимость рядов Фурье . Можно определить коэффициенты Фурье для более общих функций или распределений, в таких случаях обычно представляет интерес сходимость по норме или слабая сходимость .

Четыре частичные суммы (ряд Фурье) длиной 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как приближение к прямоугольной волне улучшается по мере увеличения количества членов (анимация)
Четыре частные суммы (ряд Фурье) длиной 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как приближение к пилообразной волне улучшается по мере увеличения числа членов (анимация)
Пример сходимости к несколько произвольной функции. Обратите внимание на развитие «звона» (феномен Гиббса) на переходах в / из вертикальных участков.

Интерактивную анимацию можно увидеть здесь.

Примеры

Пример 1: простой ряд Фурье

График пилообразной волны , периодическое продолжение линейной функции

{\ Displaystyle s (х) = х / \ пи}

на интервале

{\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}

Анимированный сюжет первых пяти последовательных частичных рядов Фурье

Теперь воспользуемся приведенной выше формулой, чтобы получить разложение в ряд Фурье очень простой функции. Рассмотрим пилообразную волну

{\ displaystyle s (x) = {\ frac {x} {\ pi}}, \ quad \ mathrm {for} - \ pi

{\ displaystyle s (x + 2 \ pi k) = s (x), \ quad \ mathrm {for} - \ pi

В этом случае коэффициенты Фурье имеют вид

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {n} & = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} s (x) \ cos (nx) \, dx = 0, \ quad n \ geq 0. \\ [4pt] b_ {n} & = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} s (x) \ sin (nx) \, dx \\ [4pt] & = - {\ frac {2} {\ pi n}} \ cos (n \ pi) + {\ frac {2} {\ pi ^ {2} n ^ {2}}} \ sin (n \ pi) \\ [4pt] & = {\ frac {2 \, (- 1) ^ {n + 1}} {\ pi n}}, \ quad n \ geq 1. \ end {align}}}

Можно доказать, что ряд Фурье сходится к ${\ displaystyle s (x)}$ в каждой точке ${\ displaystyle x}$ где ${\ displaystyle s}$ дифференцируема, поэтому:

{\ displaystyle {\ begin {align} s (x) & = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos \ left (nx \ right) + b_ {n} \ sin \ left (nx \ right) \ right] \\ [4pt] & = {\ frac {2} {\ pi}} \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} \ sin (nx), \ quad \ mathrm {for} \ quad x- \ pi \ notin 2 \ pi \ mathbb {Z}. \ end {выравнивается}}}

( Ур.7 )

Когда ${\ Displaystyle х = \ пи}$ , ряд Фурье сходится к 0, который является полусуммой левого и правого пределов s в точке ${\ Displaystyle х = \ пи}$ . Это частный случай теоремы Дирихле для рядов Фурье.

Этот пример подводит нас к решению проблемы Базеля .

Пример 2: мотивация Фурье

Распределение тепла в металлической пластине по методу Фурье

Разложение нашей функции в примере 1 в ряд Фурье выглядит сложнее, чем простая формула ${\ Displaystyle s (х) = х / \ пи}$ , поэтому не сразу понятно, зачем нужен ряд Фурье. Хотя существует множество приложений, мотивация Фурье заключалась в решении уравнения теплопроводности . Например, рассмотрим металлическую пластину в форме квадрата, стороны которого равны ${\ displaystyle \ pi}$ метров, с координатами ${\ Displaystyle (х, у) \ в [0, \ пи] \ раз [0, \ пи]}$ . Если внутри пластины нет источника тепла, и если температура трех из четырех сторон поддерживается при 0 градусах Цельсия, а четвертая сторона, заданная формулой ${\ displaystyle y = \ pi}$ , поддерживается при градиенте температуры ${\ Displaystyle Т (х, \ пи) = х}$ градусов Цельсия, для ${\ displaystyle x}$ в ${\ displaystyle (0, \ pi)}$ , то можно показать, что стационарное распределение тепла (или распределение тепла по истечении длительного периода времени) определяется выражением

{\ displaystyle T (x, y) = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} \ sin (nx) {\ sinh (ny) \ over \ sinh (n \ pi)}.}

Здесь sinh - функция гиперболического синуса . Это решение уравнения теплопроводности получается умножением каждого члена уравнения 7 на ${\ Displaystyle \ зп (ny) / \ зп (п \ пи)}$ . В то время как наш пример функции ${\ displaystyle s (x)}$ имеет излишне сложный ряд Фурье, распределение тепла ${\ Displaystyle Т (х, у)}$ нетривиально. Функция ${\ displaystyle T}$ не может быть записано как выражение в закрытой форме . Этот метод решения тепловой проблемы стал возможным благодаря работе Фурье.

Пример 3: анимация сложного ряда Фурье

"> Воспроизвести медиа

сложный ряд Фурье, сходящийся к рисунку буквы 'е'

Пример способности комплексного ряда Фурье рисовать любую двумерную замкнутую фигуру показан в смежной анимации комплексного ряда Фурье, сходящейся к рисунку в комплексной плоскости буквы «е» (для экспоненты). Анимация чередуется между быстрым вращением, чтобы на это ушло меньше времени, и медленным вращением, чтобы показать больше деталей. Члены комплексного ряда Фурье показаны в двух вращающихся плечах: одно плечо представляет собой совокупность всех членов комплексного ряда Фурье, которые вращаются в положительном направлении (против часовой стрелки, согласно правилу правой руки), другое плечо представляет собой совокупность всех членов комплексного ряда Фурье, которые вращаются в отрицательном направлении. Постоянный член, который вообще не вращается, равномерно делится между двумя плечами. Маленький кружок анимации представляет собой среднюю точку между протяженностью двух плеч, которая также является средней точкой между началом координат и аппроксимацией комплексного ряда Фурье, которая является символом «+» в анимации. (Исходный код GNU Octave для создания этой анимации находится здесь. ^[13] Обратите внимание, что анимация использует переменную 't' для параметризации рисунка в комплексной плоскости, что эквивалентно использованию параметра 'x' в подразделе этой статьи, посвященном комплексные функции.)

Другие приложения

Другое применение этого ряда Фурье - решение проблемы Базеля с использованием теоремы Парсеваля . Пример обобщает, и можно вычислить ζ (2 n ) для любого положительного целого числа n .

Начало

Жозеф Фурье писал: ^{[ сомнительно - обсудить ]}

${\ displaystyle \ varphi (y) = a_ {0} \ cos {\ frac {\ pi y} {2}} + a_ {1} \ cos 3 {\ frac {\ pi y} {2}} + a_ { 2} \ cos 5 {\ frac {\ pi y} {2}} + \ cdots.}$
Умножая обе стороны на ${\ displaystyle \ cos (2k + 1) {\ frac {\ pi y} {2}}}$ , а затем интегрирование из ${\ displaystyle y = -1}$ к ${\ displaystyle y = + 1}$ дает:
${\ displaystyle a_ {k} = \ int _ {- 1} ^ {1} \ varphi (y) \ cos (2k + 1) {\ frac {\ pi y} {2}} \, dy.}$
- Жозеф Фурье, Память о пропаганде игры в солидном корпусе . (1807) ^[14]^[C]

Это сразу дает любому коэффициенту а _K из тригонометрических рядов для ф ( у ) для любой функции , которая имеет такое расширение. Это работает, потому что если φ имеет такое разложение, то (при подходящих предположениях сходимости) интеграл

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {k} & = \ int _ {- 1} ^ {1} \ varphi (y) \ cos (2k + 1) {\ frac {\ pi y} {2}} \, dy \\ & = \ int _ {- 1} ^ {1} \ left (a \ cos {\ frac {\ pi y} {2}} \ cos (2k + 1) {\ frac {\ pi y } {2}} + a '\ cos 3 {\ frac {\ pi y} {2}} \ cos (2k + 1) {\ frac {\ pi y} {2}} + \ cdots \ right) \, ду \ конец {выровнено}}}

можно проводить посрочно. Но все термины, включающие ${\ displaystyle \ cos (2j + 1) {\ frac {\ pi y} {2}} \ cos (2k + 1) {\ frac {\ pi y} {2}}}$ для j ≠ k исчезают при интегрировании от -1 до 1, оставляя только k- й член.

В этих нескольких строках, которые близки к современному формализму, используемому в рядах Фурье, Фурье произвел революцию как в математике, так и в физике. Хотя подобные тригонометрические ряды ранее использовались Эйлером , Даламбером , Даниэлем Бернулли и Гауссом , Фурье полагал, что такие тригонометрические ряды могут представлять любую произвольную функцию. В каком смысле это на самом деле верно - это довольно тонкий вопрос, и многолетние попытки прояснить эту идею привели к важным открытиям в теориях сходимости , функциональных пространств и гармонического анализа .

Когда Фурье представил позднее конкурсное эссе в 1811 году, комиссия (в которую входили , среди прочего, Лагранж , Лаплас , Малюс и Лежандр ) пришла к выводу: ... способ, которым автор приходит к этим уравнениям, не лишен трудностей и ... его анализ, направленный на их интеграцию, по-прежнему оставляет желать лучшего в плане общности и даже строгости . ^{[ необходима цитата ]}

Рождение гармонического анализа

Со времен Фурье было обнаружено множество различных подходов к определению и пониманию концепции рядов Фурье, все из которых согласуются друг с другом, но каждый из них подчеркивает разные аспекты темы. Некоторые из наиболее мощных и элегантных подходов основаны на математических идеях и инструментах, которые не были доступны в то время, когда Фурье завершил свою первоначальную работу. Первоначально Фурье определил ряд Фурье для вещественнозначных функций вещественных аргументов и использовал функции синуса и косинуса в качестве базового набора для разложения.

С тех пор было определено множество других преобразований, связанных с Фурье , что распространило первоначальную идею на другие приложения. Эту общую область исследований теперь иногда называют гармоническим анализом . Однако ряд Фурье можно использовать только для периодических функций или для функций на ограниченном (компактном) интервале.

Расширения

Ряд Фурье на квадрате

Мы также можем определить ряд Фурье для функций двух переменных ${\ displaystyle x}$ а также ${\ displaystyle y}$ на площади ${\ Displaystyle [- \ пи, \ пи] \ раз [- \ пи, \ пи]}$ :

{\ displaystyle {\ begin {align} f (x, y) & = \ sum _ {j, k \ in \ mathbb {Z}} c_ {j, k} e ^ {ijx} e ^ {iky}, \ \ [5pt] c_ {j, k} & = {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x, y) e ^ {- ijx} e ^ {- iky} \, dx \, dy. \ end {align}}}

Помимо того, что он полезен для решения уравнений в частных производных, таких как уравнение теплопроводности, одним из примечательных применений ряда Фурье по квадрату является сжатие изображений . В частности, стандарт сжатия изображений jpeg использует двумерное дискретное косинусное преобразование , которое является преобразованием Фурье с использованием только базисных функций косинуса. ^{[ необходима цитата ]}

Ряд Фурье решеточно-периодической функции Браве

Трехмерная решетка Браве определяется как набор векторов вида:

{\ displaystyle \ mathbf {R} = n_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + n_ {2} \ mathbf {a} _ {2} + n_ {3} \ mathbf {a} _ {3} }

где ${\ displaystyle n_ {i}}$ целые числа и ${\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {я}}$ - три линейно независимых вектора. Предполагая, что у нас есть какая-то функция, ${\ Displaystyle F (\ mathbf {r})}$ , такое, что он удовлетворяет следующему условию для любого вектора решетки Браве ${\ Displaystyle \ mathbf {R}: е (\ mathbf {r}) = f (\ mathbf {R} + \ mathbf {r})}$ , мы могли бы составить из него ряд Фурье. Такого рода функцией может быть, например, эффективный потенциал, который один электрон «ощущает» внутри периодического кристалла. Тогда полезно составить ряд Фурье потенциала, применяя теорему Блоха . Во-первых, мы можем написать любой произвольный вектор ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ в системе координат решетки:

{\ displaystyle \ mathbf {r} = x_ {1} {\ frac {\ mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ mathbf {a} _ { 2}} {a_ {2}}} + x_ {3} {\ frac {\ mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}},}

где ${\ Displaystyle а_ {я} \ треугольник | \ mathbf {а} _ {я} |.}$

Таким образом, мы можем определить новую функцию,

{\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ треугольник f (\ mathbf {r}) = f \ left (x_ {1} {\ frac {\ mathbf {a} _ { 1}} {a_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ mathbf {a} _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} {\ frac {\ mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}} \ right).}

Эта новая функция, ${\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ , теперь является функцией трех переменных, каждая из которых имеет периодичность a ₁ , a ₂ , a ₃ соответственно:

{\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = g (x_ {1} + a_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = g (x_ {1} , x_ {2} + a_ {2}, x_ {3}) = g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} + a_ {3}).}

Это позволяет нам создать набор коэффициентов Фурье, каждый из которых индексируется тремя независимыми целыми числами. ${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}, m_ {3}}$ . В дальнейшем для обозначения этих коэффициентов мы будем использовать обозначения функций, где ранее мы использовали индексы. Если мы напишем ряд для g на интервале [0, a ₁ ] для x ₁ , мы можем определить следующее:

{\ displaystyle h ^ {\ mathrm {one}} (m_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ треугольникq {\ frac {1} {a_ {1}}} \ int _ {0} ^ {a_ {1}} g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ { 1}} \, dx_ {1}}

И тогда мы можем написать:

{\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {m_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} h ^ {\ mathrm {one}} (m_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1}}}

Дальнейшее определение:

{\ displaystyle {\ begin {align} h ^ {\ mathrm {two}} (m_ {1}, m_ {2}, x_ {3}) и \ треугольникq {\ frac {1} {a_ {2}}} \ int _ {0} ^ {a_ {2}} h ^ {\ mathrm {one}} (m_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2}} \, dx_ {2} \\ [12pt] & = {\ frac {1} {a_ {2}}} \ int _ {0} ^ {a_ {2}} dx_ {2} {\ frac {1} {a_ {1}}} \ int _ {0} ^ {a_ {1}} dx_ {1} g (x_ {1}, x_ { 2}, x_ {3}) \ cdot e ^ {- i2 \ pi \ left ({\ frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1} + {\ frac {m_ {2}}) {a_ {2}}} x_ {2} \ right)} \ end {align}}}

Мы можем написать ${\ displaystyle g}$ еще раз как:

{\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {m_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {m_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} h ^ {\ mathrm {two}} (m_ {1}, m_ {2}, x_ {3}) \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {m_ {1}} { a_ {1}}} x_ {1}} \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2}}}

Наконец, применив то же самое для третьей координаты, мы определяем:

{\ displaystyle {\ begin {align} h ^ {\ mathrm {three}} (m_ {1}, m_ {2}, m_ {3}) и \ треугольникq {\ frac {1} {a_ {3}}} \ int _ {0} ^ {a_ {3}} h ^ {\ mathrm {two}} (m_ {1}, m_ {2}, x_ {3}) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {m_ {3}} {a_ {3}}} x_ {3}} \, dx_ {3} \\ [12pt] & = {\ frac {1} {a_ {3}}} \ int _ {0} ^ {a_ {3}} dx_ {3} {\ frac {1} {a_ {2}}} \ int _ {0} ^ {a_ {2}} dx_ {2} {\ frac {1} {a_ { 1}}} \ int _ {0} ^ {a_ {1}} dx_ {1} g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ cdot e ^ {- i2 \ pi \ left ( {\ frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1} + {\ frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2} + {\ frac {m_ {3}) } {a_ {3}}} x_ {3} \ right)} \ end {align}}}

Мы пишем ${\ displaystyle g}$ в виде:

{\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {m_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {m_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {m_ {3} = - \ infty} ^ {\ infty} h ^ {\ mathrm {three}} (m_ {1}, m_ {2}, m_ {3}) \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1}} \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {m_ {2}} {a_ {2}) }}} x_ {2}} \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {m_ {3}} {a_ {3}}} x_ {3}}}

Перепланировка:

{\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {m_ {1}, m_ {2}, m_ {3} \ in \ mathbb {Z}} h ^ { \ mathrm {three}} (m_ {1}, m_ {2}, m_ {3}) \ cdot e ^ {i2 \ pi \ left ({\ frac {m_ {1}} {a_ {1}}} x_ {1} + {\ frac {m_ {2}} {a_ {2}}} x_ {2} + {\ frac {m_ {3}} {a_ {3}}} x_ {3} \ right)}. }

Теперь любой вектор обратной решетки можно записать как ${\ displaystyle \ mathbf {G} = \ ell _ {1} \ mathbf {g} _ {1} + \ ell _ {2} \ mathbf {g} _ {2} + \ ell _ {3} \ mathbf { g} _ {3}}$ , где ${\ displaystyle l_ {i}}$ целые числа и ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {i}}$ - векторы обратной решетки, можно использовать тот факт, что ${\ displaystyle \ mathbf {g_ {i}} \ cdot \ mathbf {a_ {j}} = 2 \ pi \ delta _ {ij}}$ чтобы вычислить, что для любого произвольного вектора обратной решетки ${\ displaystyle \ mathbf {G}}$ и произвольный вектор в пространстве ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ , их скалярное произведение:

{\ Displaystyle \ mathbf {G} \ cdot \ mathbf {r} = \ left (\ ell _ {1} \ mathbf {g} _ {1} + \ ell _ {2} \ mathbf {g} _ {2} + \ ell _ {3} \ mathbf {g} _ {3} \ right) \ cdot \ left (x_ {1} {\ frac {\ mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ mathbf {a} _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} {\ frac {\ mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}} } \ right) = 2 \ pi \ left (x_ {1} {\ frac {\ ell _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ ell _ {2}} { a_ {2}}} + x_ {3} {\ frac {\ ell _ {3}} {a_ {3}}} \ right).}

Итак, ясно, что в нашем разложении сумма фактически берется по векторам обратной решетки:

{\ Displaystyle е (\ mathbf {r}) = \ сумма _ {\ mathbf {G}} ч (\ mathbf {G}) \ cdot e ^ {я \ mathbf {G} \ cdot \ mathbf {r}}, }

где

{\ displaystyle h (\ mathbf {G}) = {\ frac {1} {a_ {3}}} \ int _ {0} ^ {a_ {3}} dx_ {3} \, {\ frac {1} {a_ {2}}} \ int _ {0} ^ {a_ {2}} dx_ {2} \, {\ frac {1} {a_ {1}}} \ int _ {0} ^ {a_ {1 }} dx_ {1} \, f \ left (x_ {1} {\ frac {\ mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ mathbf {a } _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} {\ frac {\ mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}} \ right) \ cdot e ^ {- i \ mathbf {G} \ cdot \ mathbf {r}}.}

Предполагая

{\ displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z) = x_ {1} {\ frac {\ mathbf {a} _ {1}} {a_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ mathbf {a} _ {2}} {a_ {2}}} + x_ {3} {\ frac {\ mathbf {a} _ {3}} {a_ {3}}},}

мы можем решить эту систему трех линейных уравнений относительно ${\ displaystyle x}$ , ${\ displaystyle y}$ , а также ${\ displaystyle z}$ с точки зрения ${\ displaystyle x_ {1}}$ , ${\ displaystyle x_ {2}}$ а также ${\ displaystyle x_ {3}}$ для вычисления элемента объема в исходной декартовой системе координат. Как только у нас есть ${\ displaystyle x}$ , ${\ displaystyle y}$ , а также ${\ displaystyle z}$ с точки зрения ${\ displaystyle x_ {1}}$ , ${\ displaystyle x_ {2}}$ а также ${\ displaystyle x_ {3}}$ , мы можем вычислить определитель Якоби :

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ dfrac {\ partial x_ {1}} {\ partial x}} & {\ dfrac {\ partial x_ {1}} {\ partial y}} & {\ dfrac {\ частичный x_ {1}} {\ partial z}} \\ [12pt] {\ dfrac {\ partial x_ {2}} {\ partial x}} & {\ dfrac {\ partial x_ {2}} {\ partial y }} & {\ dfrac {\ partial x_ {2}} {\ partial z}} \\ [12pt] {\ dfrac {\ partial x_ {3}} {\ partial x}} & {\ dfrac {\ partial x_ {3}} {\ partial y}} & {\ dfrac {\ partial x_ {3}} {\ partial z}} \ end {vmatrix}}}

который после некоторых вычислений и применения некоторых нетривиальных тождеств перекрестного произведения можно показать, что он равен:

{\ displaystyle {\ frac {a_ {1} a_ {2} a_ {3}} {\ mathbf {a} _ {1} \ cdot (\ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _) {3})}}}

(может быть полезно для упрощения вычислений работать в такой декартовой системе координат, в которой так уж получилось, что ${\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {1}}$ параллельно оси x , ${\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {2}}$ лежит в плоскости xy , а ${\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {3}}$ имеет компоненты всех трех осей). Знаменатель - это в точности объем примитивной элементарной ячейки, которая окружена тремя примитивными векторами. ${\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {1}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {2}}$ а также ${\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {3}}$ . В частности, теперь мы знаем, что

{\ displaystyle dx_ {1} \, dx_ {2} \, dx_ {3} = {\ frac {a_ {1} a_ {2} a_ {3}} {\ mathbf {a} _ {1} \ cdot ( \ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3})}} \ cdot dx \, dy \, dz.}

Мы можем написать сейчас ${\ Displaystyle ч (\ mathbf {G})}$ как интеграл с традиционной системой координат по объему примитивной ячейки, а не с ${\ displaystyle x_ {1}}$ , ${\ displaystyle x_ {2}}$ а также ${\ displaystyle x_ {3}}$ переменные:

{\ displaystyle h (\ mathbf {G}) = {\ frac {1} {\ mathbf {a} _ {1} \ cdot (\ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3 })}} \ int _ {C} d \ mathbf {r} f (\ mathbf {r}) \ cdot e ^ {- i \ mathbf {G} \ cdot \ mathbf {r}}}

письмо ${\ displaystyle d \ mathbf {r}}$ для элемента объема ${\ displaystyle dx \, dy \, dz}$ ; и где ${\ displaystyle C}$ примитивная элементарная ячейка, таким образом, ${\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {1} \ cdot (\ mathbf {а} _ {2} \ times \ mathbf {а} _ {3})}$ - объем примитивной элементарной ячейки.

Интерпретация гильбертова пространства

На языке гильбертовых пространств множество функций ${\ displaystyle \ left \ {e_ {n} = e ^ {inx}: n \ in \ mathbb {Z} \ right \}}$ является ортонормированным базисом пространства ${\ Displaystyle L ^ {2} ([- \ пи, \ пи])}$ квадратично интегрируемых функций на ${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ . Это пространство на самом деле является гильбертовым пространством со скалярным произведением, заданным для любых двух элементов. ${\ displaystyle f}$ а также ${\ displaystyle g}$ от:

{\ Displaystyle \ langle f, \, g \ rangle \; \ треугольник \; {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) g ^ { *} (х) \, dx,}

где

{\ displaystyle g ^ {*} (х)}

является комплексным сопряжением

{\ displaystyle g (x).}

Основной результат ряда Фурье для гильбертовых пространств может быть записан как

{\ displaystyle f = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ langle f, e_ {n} \ rangle \, e_ {n}.}

Как показано выше, синусы и косинусы образуют ортонормированный набор. Интеграл синуса, косинуса и их произведения равен нулю (зеленая и красная области равны и сокращаются), когда

{\ displaystyle m}

,

{\ displaystyle n}

либо функции разные, и π только в том случае, если

{\ displaystyle m}

а также

{\ displaystyle n}

равны, и используемая функция такая же.

Это в точности соответствует приведенной выше сложной экспоненциальной формулировке. Версия с синусами и косинусами также оправдана интерпретацией гильбертова пространства. Действительно, синусы и косинусы образуют ортогональный набор :

{\ Displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ cos (mx) \, \ cos (nx) \, dx = {\ frac {1} {2}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ cos ((nm) x) + \ cos ((n + m) x) \, dx = \ pi \ delta _ {mn}, \ quad m, n \ geq 1,}

{\ Displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ sin (mx) \, \ sin (nx) \, dx = {\ frac {1} {2}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ cos ((nm) x) - \ cos ((n + m) x) \, dx = \ pi \ delta _ {mn}, \ quad m, n \ geq 1}

(где δ _mn - символ Кронекера ), а

{\ Displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ cos (mx) \, \ sin (nx) \, dx = {\ frac {1} {2}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ sin ((n + m) x) + \ sin ((nm) x) \, dx = 0; \,}

кроме того, синусы и косинусы ортогональны постоянной функции ${\ displaystyle 1}$ . Ортонормированный базис для ${\ Displaystyle L ^ {2} ([- \ пи, \ пи])}$ состоящий из реальных функций, образован функциями ${\ displaystyle 1}$ а также ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ cos (nx)}$ , ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ sin (nx)}$ с n = 1, 2,…. Плотность их диапазона является следствием теоремы Стоуна – Вейерштрасса , но также следует из свойств классических ядер, таких как ядро Фейера .

Характеристики

Таблица основных свойств

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующий эффект в коэффициентах ряда Фурье. Обозначение:

Комплексное сопряжение обозначено звездочкой.
${\ Displaystyle е (х), г (х)}$ назначить ${\ displaystyle P}$ -периодические функции или функции, определенные только для ${\ displaystyle x \ in [0, P]}$ .
${\ Displaystyle F [n], G [n]}$ обозначим коэффициенты ряда Фурье (экспоненциальную форму) ${\ displaystyle f}$ а также ${\ displaystyle g}$ как определено в уравнении ( 5) .

Имущество	Область времени	Частотная область (экспоненциальная форма)	Замечания	Справка
Линейность	${\ Displaystyle а \ CDOT F (х) + б \ CDOT г (х)}$	${\ Displaystyle а \ cdot F [n] + b \ cdot G [n]}$	${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}}$
Обратное время / изменение частоты	${\ displaystyle f (-x)}$	${\ Displaystyle F [-n]}$		^[15]^{: с. 610}
Сопряжение времени	${\ displaystyle f ^ {*} (х)}$	${\ displaystyle F ^ {*} [- n]}$		^[15]^{: с. 610}
Обращение времени и спряжение	${\ displaystyle f ^ {*} (- х)}$	${\ Displaystyle F ^ {*} [п]}$
Реальная часть времени	${\ displaystyle \ operatorname {Re} {(f (x))}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (F [n] + F ^ {*} [- n])}$
Воображаемая часть времени	${\ displaystyle \ operatorname {Im} {(f (x))}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2i}} (F [n] -F ^ {*} [- n])}$
Реальная часть частоты	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {2}} (е (х) + е ^ {*} (- х))}$	${\ displaystyle \ operatorname {Re} {(F [n])}}$
Мнимая часть частоты	${\ displaystyle {\ frac {1} {2i}} (f (x) -f ^ {*} (- x))}$	${\ Displaystyle \ OperatorName {Im} {(F [п])}}$
Сдвиг во времени / Модуляция по частоте	${\ displaystyle f (х-х_ {0})}$	${\ displaystyle F [n] \ cdot e ^ {- i {\ frac {2 \ pi x_ {0}} {P}} n}}$	${\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {R}}$	^[15]^{: с. 610}
Сдвиг частоты / модуляция во времени	${\ Displaystyle е (х) \ cdot e ^ {я {\ гидроразрыва {2 \ pi n_ {0}} {P}} x}}$	${\ Displaystyle F [п-п_ {0}] \!}$	${\ displaystyle n_ {0} \ in \ mathbb {Z}}$	^[15]^{: с. 610}

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их четную и нечетную части , имеется четыре компонента, обозначенных ниже индексами RE, RO, IE и IO. И существует взаимно-однозначное отображение между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования: ^[16]

{\ displaystyle {\ begin {array} {rccccccccc} {\ text {Time domain}} & f & = & f _ {_ {\ text {RE}}} & + & f _ {_ {\ text {RO}}} & + & if_ { _ {\ text {IE}}} & + & \ underbrace {i \ f _ {_ {\ text {IO}}}} \\ & {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && \ \ \ {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && \ \ {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && \ \ \ {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} \\ {\ text {Частотный домен}} & F & = & F_ {RE} & + & \ overbrace {i \ F_ {IO}} & + & i \ F_ {IE} & + & F_ {RO} \ end {массив}}}

Отсюда очевидны различные отношения, например:

Преобразование вещественной функции ( $f RE + f RO$ ) - это четная симметричная функция $F RE + i F IO$ . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает действительную временную область.
Преобразование мнимозначной функции ( $i f IE + i f IO$ ) является нечетной симметричной функцией $F RO + i F IE$ , и верно обратное.
Преобразование четно-симметричной функции ( $f RE + i f IO$ ) - это вещественнозначная функция $F RE + F RO$ , и верно обратное.
Преобразование нечетно-симметричной функции ( $f RO + i f IE$ ) является мнимозначной функцией $i F IE + i F IO$ , и верно обратное.

Лемма Римана – Лебега.

Если ${\ displaystyle f}$ является интегрируемой , ${\ textstyle \ lim _ {| п | \ к \ infty} F [п] = 0}$ , ${\ textstyle \ lim _ {n \ to + \ infty} a_ {n} = 0}$ а также ${\ textstyle \ lim _ {n \ to + \ infty} b_ {n} = 0.}$ Этот результат известен как лемма Римана – Лебега .

Теорема Парсеваля

Если ${\ displaystyle f}$ принадлежит ${\ Displaystyle L ^ {2} (P)}$ (интервал длины ${\ displaystyle P}$ ) затем : ${\ textstyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ Bigl |} F [n] {\ Bigr |} ^ {2} = {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} | f (x) | ^ {2} \, dx.}$

Теорема Планшереля

Если ${\ displaystyle c_ {0}, \, c _ {\ pm 1}, \, c _ {\ pm 2}, \ ldots}$ коэффициенты и ${\ textstyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} <\ infty}$ тогда есть уникальная функция ${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} (P)}$ такой, что ${\ displaystyle F [n] = c_ {n}}$ для каждого ${\ displaystyle n}$ .

Теоремы о свертке

Дано ${\ displaystyle P}$ -периодические функции, ${\ displaystyle f _ {_ {P}}}$ а также ${\ displaystyle g _ {_ {P}}}$ с коэффициентами ряда Фурье ${\ Displaystyle F [п]}$ а также ${\ Displaystyle G [п],}$ ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {Z},}$

Точечное произведение : ${\ Displaystyle ч _ {_ {P}} (х) \ треугольник f _ {_ {P}} (х) \ cdot g _ {_ {P}} (х)}$ это также ${\ displaystyle P}$ -периодических, а его коэффициенты Фурье серии задаются дискретной свертки из ${\ displaystyle F}$ а также ${\ displaystyle G}$ последовательности : ${\ displaystyle H [n] = \ {F * G \} [n].}$
Периодическая свертка : ${\ Displaystyle ч _ {_ {P}} (х) \ треугольник q \ int _ {P} е _ {_ {P}} (\ tau) \ cdot g _ {_ {P}} (x- \ tau) \, d \ тау}$ это также ${\ displaystyle P}$ -периодический, с коэффициентами ряда Фурье : ${\ displaystyle H [n] = P \ cdot F [n] \ cdot G [n].}$
Двукратно бесконечная последовательность ${\ displaystyle \ left \ {c_ {n} \ right \} _ {n \ in Z}}$ в ${\ displaystyle c_ {0} (\ mathbb {Z})}$ - последовательность коэффициентов Фурье функции из ${\ Displaystyle L ^ {1} ([0,2 \ pi])}$ тогда и только тогда, когда это свертка двух последовательностей в ${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {Z})}$ . См. ^[17]

Производная собственность

Мы говорим что ${\ displaystyle f}$ принадлежит ${\ Displaystyle С ^ {к} (\ mathbb {T})}$ если ${\ displaystyle f}$ является 2 $π$ -периодической функцией на ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ который ${\ displaystyle k}$ дифференцируемо раз, а его k- ^я производная непрерывна.

Если ${\ Displaystyle е \ в С ^ {1} (\ mathbb {T})}$ , то коэффициенты Фурье ${\ displaystyle {\ widehat {f '}} [п]}$ производной ${\ displaystyle f '}$ можно выразить через коэффициенты Фурье ${\ Displaystyle {\ widehat {f}} [п]}$ функции ${\ displaystyle f}$ , по формуле ${\ displaystyle {\ widehat {f '}} [n] = в {\ widehat {f}} [n]}$ .
Если ${\ Displaystyle е \ в С ^ {к} (\ mathbb {T})}$ , тогда ${\ Displaystyle {\ widehat {е ^ {(к)}}} [п] = (дюйм) ^ {к} {\ widehat {f}} [п]}$ . В частности, поскольку при фиксированном ${\ Displaystyle к \ geq 1}$ у нас есть ${\ Displaystyle {\ widehat {е ^ {(к)}}} [п] \ к 0}$ в виде ${\ Displaystyle п \ к \ infty}$ , следует, что ${\ Displaystyle | п | ^ {к} {\ widehat {f}} [п]}$ стремится к нулю, что означает, что коэффициенты Фурье сходятся к нулю быстрее, чем k- я степень числа n для любого ${\ Displaystyle к \ geq 1}$ .

Компактные группы

Одно из интересных свойств преобразования Фурье, о котором мы упоминали, состоит в том, что оно переводит свертки в точечные произведения. Если это свойство, которое мы стремимся сохранить, можно построить ряд Фурье на любой компактной группе . Типичные примеры включают компактные классические группы . Это обобщает преобразование Фурье на все пространства вида L ² ( G ), где G - компактная группа, таким образом, что преобразование Фурье переводит свертки в поточечные произведения. Ряд Фурье существует и сходится аналогично случаю $[- π, π]$ .

Альтернативным расширением на компактные группы является теорема Питера – Вейля , которая доказывает результаты о представлениях компактных групп, аналогичные представлениям о конечных группах.

В атомные орбитали по химии частично описаны сферические гармоники , которые могут быть использованы для получения ряда Фурье на сфере .

Римановы многообразия

Если домен не является группой, внутренне определенная свертка отсутствует. Однако если ${\ displaystyle X}$ это компактное риманово многообразие , то есть оператор Лапласа-Бельтрами . Оператор Лапласа – Бельтрами - это дифференциальный оператор, соответствующий оператору Лапласа для риманова многообразия ${\ displaystyle X}$ . Тогда по аналогии можно рассматривать уравнения теплопроводности на ${\ displaystyle X}$ . Поскольку Фурье пришел к своей основе, пытаясь решить уравнение теплопроводности, естественным обобщением является использование в качестве основы собственных решений оператора Лапласа – Бельтрами. Это обобщает ряды Фурье на пространства типа ${\ Displaystyle L ^ {2} (X)}$ , где ${\ displaystyle X}$ - риманово многообразие. Ряд Фурье сходится аналогично ${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ дело. Типичный пример - взять ${\ displaystyle X}$ быть сферой с обычной метрикой, и в этом случае базис Фурье состоит из сферических гармоник .

Локально компактные абелевы группы

Обсуждаемое выше обобщение на компактные группы не распространяется на некомпактные неабелевы группы . Однако существует прямое обобщение на локально компактные абелевы (LCA) группы.

Это обобщает преобразование Фурье на ${\ Displaystyle L ^ {1} (G)}$ или же ${\ Displaystyle L ^ {2} (G)}$ , где ${\ displaystyle G}$ группа LCA. Если ${\ displaystyle G}$ компактно, также получается ряд Фурье, сходящийся аналогично ${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ случай, но если ${\ displaystyle G}$ некомпактен, вместо него получается интеграл Фурье . Это обобщение приводит к обычному преобразованию Фурье, когда базовая локально компактная абелева группа ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ .

Таблица общих рядов Фурье

Некоторые общие пары периодических функций и их коэффициенты ряда Фурье показаны в таблице ниже. Применяются следующие обозначения:

${\ displaystyle f (x)}$ обозначает периодическую функцию, определенную на ${\ Displaystyle 0 <х \ leq P}$ .
${\ displaystyle a_ {0}, a_ {n}, b_ {n}}$ обозначить коэффициенты ряда Фурье (синус-косинусная форма) периодической функции ${\ displaystyle f}$ как определено в уравнении 1 .

Область времени ${\ displaystyle f (x)}$	Частотная область (синус-косинусная форма) ${\ displaystyle {\ begin {align} & a_ {0} \\ & a_ {n} \ quad {\ text {for}} n \ geq 1 \\ & b_ {n} \ quad {\ text {for}} n \ geq 1 \ конец {выровнено}}}$	Замечания	Справка
${\ displaystyle f (x) = A \ left \| \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {P}} x \ right) \ right \| \ quad {\ text {for}} 0 \ leq x < П}$	${\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = & {\ frac {4A} {\ pi}} \\ a_ {n} = & {\ begin {cases} {\ frac {-4A} {\ pi }} {\ frac {1} {n ^ {2} -1}} & \ quad n {\ text {even}} \\ 0 & \ quad n {\ text {odd}} \ end {cases}} \\ b_ {n} = & 0 \\\ конец {выровнено}}}$	Двухполупериодный выпрямленный синус	^[18]^{: с. 193}
${\ Displaystyle е (х) = {\ begin {case} A \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {P}} x \ right) & \ quad {\ text {for}} 0 \ leq x$	${\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = & {\ frac {2A} {\ pi}} \\ a_ {n} = & {\ begin {cases} {\ frac {-2A} {\ pi }} {\ frac {1} {n ^ {2} -1}} & \ quad n {\ text {even}} \\ 0 & \ quad n {\ text {odd}} \ end {cases}} \\ b_ {n} = & {\ begin {case} {\ frac {A} {2}} & \ quad n = 1 \\ 0 & \ quad n> 1 \ end {cases}} \\\ end {выровнено}} }$	Полуволновой выпрямленный синус	^[18]^{: с. 193}
${\ Displaystyle е (х) = {\ begin {case} A & \ quad {\ text {for}} 0 \ leq x$	${\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = & 2AD \\ a_ {n} = & {\ frac {A} {n \ pi}} \ sin \ left (2 \ pi nD \ right) \\ b_ {n} = & {\ frac {2A} {n \ pi}} \ left (\ sin \ left (\ pi nD \ right) \ right) ^ {2} \\\ конец {выровнено}}}$	${\ Displaystyle 0 \ Leq D \ Leq 1}$
${\ displaystyle f (x) = {\ frac {Ax} {P}} \ quad {\ text {for}} 0 \ leq x }>$	${\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = & A \\ a_ {n} = & 0 \\ b_ {n} = & {\ frac {-A} {n \ pi}} \\\ end {выровнено }}}$		^[18]^{: с. 192}
${\ displaystyle f (x) = A - {\ frac {Ax} {P}} \ quad {\ text {for}} 0 \ leq x }>$	${\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = & A \\ a_ {n} = & 0 \\ b_ {n} = & {\ frac {A} {n \ pi}} \\\ конец {выровнено} }}$		^[18]^{: с. 192}
${\ displaystyle f (x) = {\ frac {4A} {P ^ {2}}} \ left (x - {\ frac {P} {2}} \ right) ^ {2} \ quad {\ text { for}} 0 \ leq x }>$	${\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = & {\ frac {2A} {3}} \\ a_ {n} = & {\ frac {4A} {\ pi ^ {2} n ^ {2 }}} \\ b_ {n} = & 0 \\\ конец {выровнено}}}$		^[18]^{: с. 193}

Аппроксимация и сходимость рядов Фурье.

Вспоминая уравнение 5 ,

{\ displaystyle s _ {_ {N}} (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} S [n] \ e ^ {i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx} ,}

это тригонометрический полином степени ${\ displaystyle N}$ , как правило :

{\ displaystyle p _ {_ {N}} (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} p [n] \ e ^ {i {\ tfrac {2 \ pi} {P}} nx} .}

Свойство наименьших квадратов

Из теоремы Парсеваля следует, что :

Теорема. Тригонометрический полином ${\ displaystyle s _ {_ {N}}}$ - единственный лучший тригонометрический полином степени ${\ displaystyle N}$ приблизительный ${\ displaystyle s (x)}$ , в том смысле, что для любого тригонометрического полинома ${\ displaystyle p _ {_ {N}} \ neq s _ {_ {N}}}$ степени ${\ displaystyle N}$ , у нас есть :
${\ displaystyle \ | s _ {_ {N}} - s \ | _ {2} <\ | p _ {_ {N}} - s \ | _ {2},}$
где норма гильбертова пространства определяется как :
${\ displaystyle \ | g \ | _ {2} = {\ sqrt {{1 \ over P} \ int _ {P} | g (x) | ^ {2} \, dx}}.}$

Конвергенция

Благодаря свойству наименьших квадратов и полноте базиса Фурье мы получаем элементарный результат сходимости.

Теорема. Если ${\ displaystyle s}$ принадлежит ${\ Displaystyle L ^ {2} (P)}$ (интервал длины ${\ displaystyle P}$ ), тогда ${\ displaystyle s _ {\ infty}}$ сходится к ${\ displaystyle s}$ в ${\ Displaystyle L ^ {2} (P)}$ , это, ${\ displaystyle \ | s _ {_ {N}} - s \ | _ {2}}$ сходится к 0 как ${\ Displaystyle N \ rightarrow \ infty}$ .

Мы уже упоминали, что если ${\ displaystyle s}$ непрерывно дифференцируемо, то ${\ Displaystyle (я \ CDOT п) S [п]}$ - n- ^й коэффициент Фурье производной ${\ displaystyle s '}$ . По существу из неравенства Коши – Шварца следует , что ${\ displaystyle s _ {\ infty}}$ абсолютно суммируем. Сумма этого ряда - непрерывная функция, равная ${\ displaystyle s}$ , поскольку ряд Фурье в среднем сходится к ${\ displaystyle s}$ :

Теорема. Если ${\ displaystyle s \ in C ^ {1} (\ mathbb {T})}$ , тогда ${\ displaystyle s _ {\ infty}}$ сходится к ${\ displaystyle s}$ равномерно (а значит, и поточечно ).

Этот результат легко доказать, если ${\ displaystyle s}$ далее предполагается, что ${\ displaystyle C ^ {2}}$ , так как в этом случае ${\ Displaystyle п ^ {2} S [п]}$ стремится к нулю как ${\ Displaystyle п \ rightarrow \ infty}$ . В более общем смысле, ряд Фурье абсолютно суммируем, поэтому равномерно сходится к ${\ displaystyle s}$ , при условии, что ${\ displaystyle s}$ удовлетворяет условию Гельдера порядка ${\ displaystyle \ alpha> 1/2}$ . В абсолютно суммируемом случае неравенство :

{\ Displaystyle \ sup _ {x} | s (x) -s _ {_ {N}} (x) | \ leq \ sum _ {| n |> N} | S [n] |}

доказывает равномерную сходимость.

Известно множество других результатов, касающихся сходимости рядов Фурье , начиная от умеренно простого результата о том, что ряд сходится при ${\ displaystyle x}$ если ${\ displaystyle s}$ дифференцируема в ${\ displaystyle x}$ , к гораздо более сложному результату Леннарта Карлесона, что ряд Фурье ${\ displaystyle L ^ {2}}$ функция фактически сходится почти везде .

Эти теоремы и их неформальные вариации, которые не определяют условия сходимости, иногда в общем называют «теоремой Фурье» или «теоремой Фурье». ^[19]^[20]^[21]^[22]

Расхождение

Поскольку ряды Фурье обладают такими хорошими свойствами сходимости, многие часто удивляются некоторым отрицательным результатам. Например, ряд Фурье непрерывной T -периодической функции может не сходиться поточечно. ^{[ необходимая цитата ]} Принцип равномерной ограниченности дает простое неконструктивное доказательство этого факта.

В 1922 году Андрей Колмогоров опубликовал статью « Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout», в которой он привел пример интегрируемой по Лебегу функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Позже он построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится всюду ( Кацнельсон, 1976 ).

Смотрите также

Теорема ATS
Ядро Дирихле
Дискретное преобразование Фурье
Быстрое преобразование Фурье
Теорема Фейера
Фурье-анализ
Синус Фурье и ряды косинусов
преобразование Фурье
Феномен Гиббса
Ряд Лорана - замена q = e ^ix преобразует ряд Фурье в ряд Лорана или наоборот. Это используется в расширении q -серии j -инварианта .
Спектральный анализ методом наименьших квадратов
Многомерное преобразование
Спектральная теория
Теория Штурма – Лиувилля
Интегралы по теореме о вычетах от f [z], особенности, полюсы

Заметки

^ Эти трое сделали некоторые важные ранние работы над волновым уравнением , особенно Даламбер. Работа Эйлера в этой области была в основном уравнением Эйлера-Бернулли для пучка | одновременным / в сотрудничестве с Бернулли , хотя последний внес независимый вклад в теорию волн и колебаний. (См. Fetter & Walecka 2003 , стр. 209–210).
^ Поскольку интеграл, определяющий преобразование Фурье периодической функции, не сходится, необходимо рассматривать периодическую функцию и ее преобразование как распределения . В этом смысле ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {е ^ {я {\ гидроразрыва {2 \ pi nx} {P}}} \}}$ - дельта-функция Дирака , которая является примером распределения.
^ Эти слова не строго фурье. Хотя в цитируемой статье автор указан как Фурье, сноска указывает, что статья была написана Пуассоном (что она не была написана Фурье, также ясно из последовательного использования третьего лица для ссылки на него) и что это "по причинам исторического интереса", представленные как оригинальные мемуары Фурье.

Внешние ссылки

"Ряды Фурье" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Хобсон, Эрнест (1911). «Ряд Фурье» . Британская энциклопедия . 10 (11-е изд.). С. 753–758.
Вайсштейн, Эрик В. "Ряд Фурье" . MathWorld .
Джозеф Фурье - сайт о жизни Фурье, который использовался для исторического раздела этой статьи в Wayback Machine (архивировано 5 декабря 2001 г.)

Эта статья включает материал из примера серии Фурье на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[2] Эти трое сделали некоторые важные ранние работы над волновым уравнением , особенно Даламбер. Работа Эйлера в этой области была в основном уравнением Эйлера-Бернулли для пучка | одновременным / в сотрудничестве с Бернулли , хотя последний внес независимый вклад в теорию волн и колебаний. (См. Fetter & Walecka 2003 , стр. 209–210).

[13] Поскольку интеграл, определяющий преобразование Фурье периодической функции, не сходится, необходимо рассматривать периодическую функцию и ее преобразование как распределения . В этом смысле ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {е ^ {я {\ гидроразрыва {2 \ pi nx} {P}}} \}}$ - дельта-функция Дирака , которая является примером распределения.

[17] Эти слова не строго фурье. Хотя в цитируемой статье автор указан как Фурье, сноска указывает, что статья была написана Пуассоном (что она не была написана Фурье, также ясно из последовательного использования третьего лица для ссылки на него) и что это "по причинам исторического интереса", представленные как оригинальные мемуары Фурье.

[1] «Фурье» . Dictionary.com Полный . Случайный дом .

[Stillwell2013-3] Стиллвелл, Джон (2013). «Логика и философия математики в девятнадцатом веке» . In Ten, CL (ред.). История философии Рутледж . Том VII: Девятнадцатый век. Рутледж. п. 204. ISBN 978-1-134-92880-4. |volume=имеет дополнительный текст ( справка )

[iit.edu-4] Фасшауэр, Грег (2015). «Ряды Фурье и краевые задачи» (PDF) . Математика 461 Заметки к курсу, глава 3 . Департамент прикладной математики Технологического института Иллинойса . Дата обращения 6 ноября 2020 .

[Cajori1893-5] Каджори, Флориан (1893). История математики . Макмиллан. п. 283 .

[6] Лежен-Дирихле, Питер Густав (1829). « О сходимости тригонометрических рядов, которые служат для представления произвольной функции между двумя заданными пределами » [О сходимости тригонометрических рядов, которые служат для представления произвольной функции между двумя заданными пределами]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (на французском языке). 4 : 157–169. arXiv : 0806.1294 .

[7] "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" [О представимости функции тригонометрическим рядом]. Habilitationsschrift , Геттинген ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , vol. 13, 1867. Издано Рихардом Дедекиндом посмертно для Римана (на немецком языке). Архивировано 20 мая 2008 года . Проверено 19 мая 2008 года .

[8] Mascre, D .; Риман, Бернхард (1867 г.), «Посмертный тезис о представлении функций тригонометрическими рядами», в Граттан-Гиннесс, Айвор (изд.), Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 , Elsevier (опубликовано в 2005 г.), с. 49, ISBN 9780080457444

[9] Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория сложных функций: Чтения по математике . Springer. п. 29. ISBN 9780387971957.

[10] Нерлов, Марк; Гретер, Дэвид М .; Карвалью, Хосе Л. (1995). Анализ экономических временных рядов. Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика . Эльзевир. ISBN 0-12-515751-7.

[11] Вильгельм Флюгге , Напряжения в оболочках (1973), 2-е издание. ISBN 978-3-642-88291-3 . Первоначально опубликовано на немецком языке как Statik und Dynamik der Schalen (1937).

[12] Дорф, Ричард С .; Талларида, Рональд Дж. (1993). Карманный справочник формул электротехники (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. С. 171–174. ISBN 0849344735.

[14] Толстов, Георгий П. (1976). Ряд Фурье . Курьер-Дувр. ISBN 0-486-63317-9.

[cfs_example_src_code-15] Сепези, Дж. (2021 г.). «Геометрия экспоненциального роста» . К науке о данных. стр. раздел 5, исходный код GNU Octave.

[16] Фурье, Жан-Батист-Жозеф (1888). Гастон Дарбу (ред.). Oeuvres de Fourier [ Работы Фурье ] (на французском языке). Париж: Готье-Виллар и Филс. С. 218–219 - через Галлику.

[Shmaliy-18] а б в г Шмалий Ю.С. (2007). Сигналы непрерывного времени . Springer. ISBN 978-1402062711.

[ProakisManolakis1996-19] Proakis, John G .; Манолакис, Димитрис Г. (1996). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Прентис Холл. п. 291 . ISBN 978-0-13-373762-2.

[20] «Характеризации линейного подпространства, ассоциированного с рядом Фурье» . MathOverflow. 2010-11-19 . Проверено 8 августа 2014 .

[Papula-21] а б в г д Папула, Лотар (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [ Математические функции для инженеров и физиков ] (на немецком языке). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 978-3834807571.

[22] Зиберт, Уильям МакК. (1985). Цепи, сигналы и системы . MIT Press. п. 402. ISBN. 978-0-262-19229-3.

[23] Marton, L .; Мартон, Клэр (1990). Успехи электроники и электронной физики . Академическая пресса. п. 369. ISBN. 978-0-12-014650-5.

[24] Кузманы, Ганс (1998). Спектроскопия твердого тела . Springer. п. 14. ISBN 978-3-540-63913-8.

[25] Pribram, Karl H .; Ясуэ, Кунио; Джибу, Мари (1991). Мозг и восприятие . Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс. п. 26. ISBN 978-0-89859-995-4.

[1]

Ряд Фурье

История

Определение

Комплексные функции

Другие общие обозначения

Конвергенция

Примеры

Пример 1: простой ряд Фурье

Пример 2: мотивация Фурье

Пример 3: анимация сложного ряда Фурье

Другие приложения

Начало

Рождение гармонического анализа

Расширения

Ряд Фурье на квадрате

Ряд Фурье решеточно-периодической функции Браве

Интерпретация гильбертова пространства

Характеристики

Таблица основных свойств

Свойства симметрии

Лемма Римана – Лебега.

Теорема Парсеваля

Теорема Планшереля

Теоремы о свертке

Производная собственность

Компактные группы

Римановы многообразия

Локально компактные абелевы группы

Таблица общих рядов Фурье

Аппроксимация и сходимость рядов Фурье.

Свойство наименьших квадратов

Конвергенция

Расхождение

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

дальнейшее чтение

Внешние ссылки