В математике , нечеткие множества ( так называемый неопределенные наборы ) несколько , как наборы , чьи элементы имеют степени членства. Нечеткие множества были введены независимо Лотфи А. Заде и Дитером Клауа в 1965 году как расширение классического понятия множества. [1] [2] В то же время Салий (1965) определил более общий вид структуры, называемой L- соотношением , которую он изучал в абстрактном алгебраическом контексте. Нечеткие отношения, которые теперь используются во всей нечеткой математике.и имеют приложения в таких областях, как лингвистика ( De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000 ), принятие решений ( Kuzmin 1982 ) и кластеризация ( Bezdek 1978 ), являются частными случаями L- отношений, когда L - это единичный интервал [0, 1 ].
В классической теории множеств принадлежность элементов к набору оценивается в бинарных терминах в соответствии с двухвалентным условием - элемент либо принадлежит, либо не принадлежит набору. Напротив, теория нечетких множеств позволяет постепенно оценивать принадлежность элементов к множеству; это описывается с помощью функции принадлежности, имеющей значение в реальном единичном интервале [0, 1]. Нечеткие множества являются обобщением классических множеств, поскольку индикаторные функции (также известные как характеристические функции) классических множеств являются частными случаями функций принадлежности нечетких множеств, если последние принимают только значения 0 или 1. [3] В теории нечетких множеств классические двухвалентные множества обычно называются четкими наборами . Теория нечетких множеств может использоваться в широком диапазоне областей, в которых информация является неполной или неточной, например в биоинформатике . [4]
Определение
Нечеткое множество - это пара где является набором (часто требуется, чтобы он был непустым ) ифункция принадлежности. Справочный набор (иногда обозначается как или же ) называется универсумом дискурса , и для каждого Значение называется степенью принадлежности в . Функцияназывается функцией принадлежности нечеткого множества.
Для конечного множества нечеткое множество часто обозначается как
Позволять . потом называется
- не входит в нечеткое множество если (нет участника),
- полностью включено, если (полноправный член),
- частично включено, если(нечеткий член). [5]
(Четкое) множество всех нечетких множеств во вселенной обозначается (а иногда просто ). [6]
Для любого нечеткого множества а также определены следующие четкие множества:
- называется его α-разрезом (он же α-уровень )
- называется его сильным α-разрезом (также известным как сильное множество α-уровня )
- называется его опорой
- называется его ядром (или иногда ядром ).
Обратите внимание, что некоторые авторы понимают «ядро» иначе; см. ниже.
Другие определения
- Два нечетких множества а также являются равными () iff
- Нечеткое множество будет включен в нечетком множестве () iff
- Для любого нечеткого множества , любой элемент это удовлетворяет
- называется точкой пересечения .
- Учитывая нечеткое множество , любой , для которого не пусто, называется уровнем А.
- Набор уровней A - это набор всех уровнейпредставляющие собой четкие разрезы. Это изображение из:
- Для нечеткого множества , его высота определяется выражением
- где обозначает супремум , который существует, потому что непусто и ограничено сверху числом 1. Если U конечно, мы можем просто заменить супремум на максимум.
- Нечеткое множество называется нормализованным тогда и только тогда, когда
- В конечном случае, когда супремум максимален, это означает, что хотя бы один элемент нечеткого множества имеет полное членство. Непустое нечеткое множество может быть нормализовано с результатом разделив функцию принадлежности нечеткого множества на его высоту:
- Помимо сходства, это отличается от обычной нормализации тем, что нормализующая константа не является суммой.
- Для нечетких множеств действительных чисел ( U ⊆ ℝ) с ограниченным носителем, ширина определяется как
- В случае, когда является конечным множеством или, в более общем смысле, замкнутым множеством , ширина просто
- В n -мерном случае ( U ⊆ ℝ n ) сказанное выше можно заменить n- мерным объемом .
- В общем, это может быть определено с учетом любой меры на U , например, интегрированием (например, интегрированием Лебега ) .
- Настоящий нечеткий набор ( U ⊆ ℝ) называется выпуклым (в нечетком смысле, не путать с четким выпуклым множеством ), если и только если
- .
- Без ограничения общности мы можем взять x ≤ y , что дает эквивалентную формулировку
- .
- Это определение может быть расширено до одного для общего топологического пространства U : мы говорим, что нечеткое множество является выпуклой , если для любого подмножества Z из U , условие
- держит, где обозначает границу из Z и обозначает образ множества X (здесь ) под функцией f (здесь ).
Операции с нечеткими множествами
Хотя дополнение нечеткого множества имеет единственное наиболее распространенное определение, другие основные операции, объединение и пересечение, действительно имеют некоторую двусмысленность.
- Для данного нечеткого множества , его дополнение (иногда обозначается как или же ) определяется следующей функцией принадлежности:
- .
- Пусть t - t-норма , а s - соответствующая s-норма (также известная как t-конорма). Дана пара нечетких множеств, их пересечение определяется:
- ,
- и их союз определяется:
- .
По определению t-нормы мы видим, что объединение и пересечение коммутативны , монотонны , ассоциативны и имеют как нулевой, так и единичный элемент . Для пересечения это ∅ и U соответственно, а для объединения - наоборот. Однако объединение нечеткого множества и его дополнения может не привести к полному универсуму U , а их пересечение может не дать пустого множества ∅. Поскольку пересечение и объединение ассоциативны, естественно определить пересечение и объединение конечного семейства нечетких множеств рекурсивно.
- Если стандартный отрицатель заменяется другим сильным отрицателем , разность нечетких множеств может быть обобщена следующим образом:
- Тройка нечеткого пересечения, объединения и дополнения образует Триплет Де Моргана . То есть на эту тройку распространяются законы Де Моргана .
- Примеры нечетких пар пересечений / объединений со стандартным отрицателем можно получить из примеров, приведенных в статье о t-нормах .
- Нечеткое пересечение, вообще говоря, не идемпотентно , потому что стандартная t-норма min - единственная, которая обладает этим свойством. Действительно, если арифметическое умножение используется в качестве t-нормы, результирующая операция нечеткого пересечения не будет идемпотентной. То есть итеративное пересечение нечеткого множества с самим собой не является тривиальным. Вместо этого он определяет m -ю степень нечеткого множества, которое можно канонически обобщить для нецелочисленных показателей следующим образом:
- Для любого нечеткого множества а также ν-я степень определяется функцией принадлежности:
Случай экспоненты два достаточно особенный, чтобы дать ему имя.
- Для любого нечеткого множества концентрация определено
Принимая , у нас есть а также
- Данные нечеткие множества , нечеткая разность множеств , также обозначается , может быть определен напрямую через функцию принадлежности:
- что значит , например:
- [7]
- Другое предложение по разнице в наборах может быть следующим:
- [7]
- Предложения о различиях симметричных нечетких множеств были сделаны Дюбуа и Прад (1980) либо путем взятия абсолютного значения , что дает
- или используя комбинацию только max , min и стандартного отрицания, давая
- [7]
- Аксиомы для определения обобщенных симметричных разностей, аналогичные аксиомам для t-норм, t-конорм и отрицателей, были предложены Вемуром и др. (2014) с предшественниками Alsina et. al. (2005) и Bedregal et. al. (2009). [7]
- В отличие от четких множеств, операции усреднения также могут быть определены для нечетких множеств.
Непересекающиеся нечеткие множества
В отличие от общей неоднозначности операций пересечения и объединения, существует ясность для непересекающихся нечетких множеств: два нечетких множества не пересекаются тогда и только тогда
что эквивалентно
- ∄ {\ displaystyle \ nexists}
а также эквивалентен
Мы помним, что min / max - это пара / s-norm, и любая другая пара здесь также будет работать.
Нечеткие множества не пересекаются тогда и только тогда, когда их носители не пересекаются согласно стандартному определению четких множеств.
Для непересекающихся нечетких множеств любое пересечение даст ∅, и любое объединение даст тот же результат, который обозначается как
с его функцией принадлежности, заданной
Обратите внимание, что только одно из обоих слагаемых больше нуля.
Для непересекающихся нечетких множеств верно следующее:
Это можно обобщить на конечные семейства нечетких множеств следующим образом: для данного семейства нечетких множеств с индексным множеством I (например, I = {1,2,3, ..., n }). Это семейство (попарно) не пересекается тогда и только тогда, когда
Семейство нечетких множеств не пересекается, если семейство основных опор не пересекается в стандартном смысле для семейств четких множеств.
Независимо от пары t / s-норм, пересечение непересекающегося семейства нечетких множеств снова даст ∅, в то время как объединение не имеет двусмысленности:
с его функцией принадлежности, заданной
Снова только одно из слагаемых больше нуля.
Для непересекающихся семейств нечетких множеств верно следующее:
Скалярная мощность
Для нечеткого множества с конечной опорой (т. е. «конечное нечеткое множество»), его мощность (также известная как скалярная мощность или количество сигм ) определяется как
- .
В случае, когда само U является конечным множеством, относительная мощность определяется выражением
- .
Это можно обобщить, чтобы дивизор был непустым нечетким множеством: для нечетких множеств с G ≠ ∅, мы можем определить относительную мощность как:
- ,
что очень похоже на выражение для условной вероятности . Примечание:
- здесь.
- Результат может зависеть от конкретного выбранного пересечения (t-нормы).
- Для результат однозначен и напоминает предыдущее определение.
Расстояние и сходство
Для любого нечеткого множества функция принадлежности можно рассматривать как семью . Последний представляет собой метрическое пространство с несколькими метриками.известен. Метрика может быть получена из нормы (векторной нормы) через
- .
Например, если конечно, т.е. , такая метрика может быть определена следующим образом:
- где а также представляют собой последовательности действительных чисел от 0 до 1.
Для бесконечного , максимум можно заменить супремумом. Поскольку нечеткие множества однозначно определяются их функцией принадлежности, эту метрику можно использовать для измерения расстояний между нечеткими множествами в одном и том же юниверсе:
- ,
что становится в приведенном выше примере:
Опять бесконечно максимум должен быть заменен супремумом. Другие расстояния (например, каноническая 2-норма) могут расходиться, если бесконечные нечеткие множества слишком разные, например, а также .
Меры подобия (здесь обозначаются ) может быть получено из расстояния, например, после предложения Коци:
- если конечно, еще,
или после Уильямса и Стила:
- если конечно, еще
где - параметр крутизны и . [6]
Другое определение интервальных (скорее `` нечетких '') мер сходства также предоставляется Beg и Ashraf. [6]
L- нечеткие множества
Иногда используются более общие варианты понятия нечеткого множества, когда функции принадлежности принимают значения в (фиксированной или переменной) алгебре или структуре. определенного вида; обычно требуется, чтобыбыть хотя бы позетом или решеткой . Их обычно называют L- нечеткими множествами , чтобы отличить их от тех, которые оцениваются на единичном интервале. Обычные функции принадлежности со значениями в [0, 1] тогда называются [0, 1] -значными функциями принадлежности. Подобные обобщения были впервые рассмотрены в 1967 году Джозефом Гогуэном , учеником Заде. [8] Классическое следствие может указывать значения истинности и принадлежности с помощью {f, t} вместо {0, 1}.
Расширение нечетких множеств было предоставлено Атанасовым и Баруахом. Интуиционистское нечеткое множество (IFS) характеризуется двумя функциями:
- 1. - степень принадлежности x
- 2. - степень непринадлежности к x
с функциями с участием
Это похоже на ситуацию, когда какой-то человек обозначен голосование
- для предложения : (),
- против этого: (),
- или воздержаться от голосования: ().
В конце концов, у нас есть процент одобрений, процент отказов и процент воздержавшихся.
Для этой ситуации могут быть определены специальные «интуитивно нечеткие» отрицатели, t- и s-нормы. С участием и объединив обе функции для эта ситуация напоминает особый вид L- нечетких множеств.
Еще раз, это было расширено путем определения нечетких множеств изображений (PFS) следующим образом: PFS A характеризуется тремя функциями, отображающими U в [0, 1]:, «степень положительного членства», «степень нейтрального членства» и «степень отрицательного членства» соответственно и дополнительное условие Это расширяет приведенный выше образец голосования за счет дополнительной возможности «отказа в голосовании».
С участием и специальные «нечеткие» отрицатели, t- и s-нормы, это похоже на еще один тип L- нечетких множеств. [9] [10]
Нейтрософные нечеткие множества
Концепция IFS была расширена до двух основных моделей. Двумя расширениями IFS являются нейтрософные нечеткие множества и пифагоровы нечеткие множества. [11]
Нейтрософные нечеткие множества были введены Смарандаче в 1998 году. [12] Как и IFS, нейтрософные нечеткие множества имеют две предыдущие функции: одну для принадлежности и еще один за не членство . Основное отличие состоит в том, что у нейтрософных нечетких множеств есть еще одна функция: для неопределенных. Это значение указывает на степень неуверенности в том, что объект x принадлежит набору. Эта концепция неопределенногоvalue может быть особенно полезным, когда нельзя быть очень уверенным в значениях членства или отсутствия членства для элемента x . [13] Таким образом, нейтрософные нечеткие множества связаны со следующими функциями:
- 1. - степень принадлежности x
- 2. - степень непринадлежности к x
- 3. - степень неопределенности значения x
Пифагоровы нечеткие множества
Другое расширение IFS - это так называемые нечеткие множества Пифагора. Нечеткие множества Пифагора более гибкие, чем IFS. IFS основаны на ограничении, что в некоторых случаях может рассматриваться как слишком ограничительное. Вот почему Ягер предложил концепцию нечетких пифагоровых множеств. Такие множества удовлетворяют ограничению, что напоминает теорему Пифагора. [14] [15] [16] Пифагоровы нечеткие множества могут быть применимы к реальным приложениям, в которых предыдущее условиене действует. Однако менее ограничительное условиеможет быть подходящим для большего количества доменов. [11] [13]
Нечеткая логика
Как расширение случая многозначной логики оценки () пропозициональных переменных () в набор степеней принадлежности () можно рассматривать как функции принадлежности, отображающие предикаты в нечеткие множества (или, более формально, в упорядоченный набор нечетких пар, называемый нечетким отношением). С помощью этих оценок многозначная логика может быть расширена, чтобы учесть нечеткие предпосылки, из которых могут быть сделаны дифференцированные выводы. [17]
Это расширение иногда называют «нечеткой логикой в узком смысле» в отличие от «нечеткой логики в более широком смысле», которая возникла в инженерных областях автоматизированного управления и инженерии знаний и охватывает многие темы, связанные с нечеткими множествами и «приближенными рассуждениями». . " [18]
Промышленные применения нечетких множеств в контексте «нечеткой логики в широком смысле» можно найти в нечеткой логике .
Нечеткое число и единственное число
Нечеткое число является выпуклым, нормализовали нечеткое множестводействительных чисел, функция принадлежности которых, по крайней мере, непрерывна сегментарно [ требуется пояснение ] и имеет функциональное значениехотя бы один элемент. [3] Из-за предполагаемой выпуклости максимум (из 1) равен
- либо интервал: нечеткий интервал , его ядро - четкий интервал (средний интервал) с нижней границей
- и верхняя граница
- .
- или уникальный: нечеткое число , его ядро - одноэлемент ; расположение максимума
- ℩ C ( A ) = ℩ (где ℩ читается как « the »);
- который присвоит нечеткому числу "резкое" число в дополнение к параметрам нечеткости, таким как .
Нечеткие числа можно сравнить с веселой игрой «Угадай свой вес», где кто-то угадывает вес участника, причем более точные предположения более верны, и где угадывающий «выигрывает», если он или она угадает достаточно близкое к весу участника, с помощью фактический вес полностью правильный (отображение на 1 функцией принадлежности).
Нечеткий интервал является нечетким множеством с основным интервалом, т.е. средним интервалом, элементы которого имеют значение функции принадлежности . Последнее означает, что нечеткие интервалы - это нормализованные нечеткие множества. Как и в случае с нечеткими числами, функция принадлежности должна быть выпуклой, нормализованной, по крайней мере, сегментно непрерывной . [19] Подобно четким интервалам, нечеткие интервалы могут достигать бесконечности. Ядро нечеткого интервала определяется как «внутренняя» часть без «исходящих» частей, где значение членства является постоянным до бесконечности. Другими словами, наименьшее подмножество где константа вне его, определяется как ядро.
Однако существуют и другие концепции нечетких чисел и интервалов, поскольку некоторые авторы не настаивают на выпуклости.
Нечеткие категории
Использование принадлежности к множеству в качестве ключевого компонента теории категорий можно обобщить на нечеткие множества. Этот подход, начатый в 1968 году вскоре после введения теории нечетких множеств [20], привел к развитию категорий Гогена в 21 веке. [21] [22] В этих категориях вместо использования членства в двухзначных множествах используются более общие интервалы, которые могут быть решетками, как в L- нечетких множествах. [22] [23]
Уравнение нечеткой связи
Нечеткое уравнение соотношения является уравнением вида A · R = B , где и В являются нечеткими множествами, R является нечетким отношением, и · R обозначает композицию из А с R [ править ] .
Энтропия
Мера нечеткости d для нечетких множеств вселенной должен выполнять следующие условия для всех :
- если четкий набор:
- имеет уникальный максимум тогда и только тогда
- что означает , что Б является «четче» , чем A .
В таком случае называется энтропия нечеткого множества A .
Для конечных энтропия нечеткого множества дан кем-то
- ,
или просто
где является функция Шеннона (естественная функция энтропии)
а также - константа, зависящая от единицы измерения и используемого основания логарифма (здесь мы использовали натуральное основание e ). Физическая интерпретация к является постоянной Больцмана к B .
Позволять - нечеткое множество с непрерывной функцией принадлежности (нечеткая переменная). потом
и его энтропия
- [24] [25]
Расширения
Существует множество математических построений, похожих или более общих, чем нечеткие множества. С тех пор, как в 1965 году были введены нечеткие множества, было разработано много новых математических построений и теорий, касающихся неточностей, неточностей, двусмысленности и неопределенности. Некоторые из этих конструкций и теорий являются расширениями теории нечетких множеств, в то время как другие пытаются математически смоделировать неточность и неопределенность другим способом ( Burgin & Chunihin 1997
; Kerre 2001 ; Deschrijver and Kerre, 2003).Смотрите также
- Альтернативная теория множеств
- Дефаззификация
- Нечеткое понятие
- Нечеткая математика
- Операции с нечеткими множествами
- Нечеткая подалгебра
- Интервальный конечный элемент
- Линейная частичная информация
- Мультимножество
- Нейро-нечеткий
- Грубая нечеткая гибридизация
- Грубый набор
- Индекс сходства Соренсена
- Нечеткие множества и системы типа 2
- Неопределенность
Рекомендации
- ^ Л. Заде (1965) "Нечеткие множества" архивации 2015-08-13 на Wayback Machine . Информация и контроль 8 (3) 338–353.
- ^ Клауа, Д. (1965) Über einen Ansatz zur mehrwertigen Mengenlehre. Monatsb. Deutsch. Акад. Wiss. Берлин, 7, 859–876. Недавний подробный анализ этой статьи был предоставлен Gottwald, S. (2010). «Ранний подход к ступенчатой идентичности и ступенчатой принадлежности к теории множеств». Нечеткие множества и системы . 161 (18): 2369–2379. DOI : 10.1016 / j.fss.2009.12.005 .
- ^ а б Д. Дюбуа и Х. Прад (1988) Нечеткие множества и системы. Academic Press, Нью-Йорк.
- ^ Liang, Lily R .; Лу, Шиён; Ван, Сюэна; Лу, Йи; Мандал, Винай; Патаксил, Доррелин; Кумар, Дипак (2006). «FM-тест: основанный на теории нечетких множеств подход к анализу данных дифференциальной экспрессии генов» . BMC Bioinformatics . 7 : S7. DOI : 10.1186 / 1471-2105-7-S4-S7 . PMC 1780132 . PMID 17217525 .
- ^ «AAAI» . Архивировано из оригинального 5 -го августа 2008 года.
- ^ a b c Исмат Бег, Самина Ашраф: Меры подобия для нечетких множеств , по адресу: Applied and Computational Mathematics, март 2009 г., доступно на Research Gate с 23 ноября 2016 г.
- ^ а б в г Н. Вемури, А.С. Хариш, М.С. Сринат: разность множеств и симметричная разность нечетких множеств , в: Теория нечетких множеств и ее приложения, 2014, Липтовски Ян, Словацкая Республика
- ^ Гогуэн, Джозеф А. , 196, " L- нечеткие множества". Журнал математического анализа и приложений 18 : 145–174
- ^ Буй Конг Куонг, Владик Крейнович, Роан Тхи Нган: Классификация представимых операторов t-нормы для нечетких наборов изображений , в: Технические отчеты департаментов (CS). Документ 1047, 2016
- ^ Tridiv Джиоти Neog, Душмант Кумар Сут: комплемент протяженного нечеткого множества , в: Международный журнале Computer Applications (097 5-8887), Том 29 № 3, сентябрь 2011
- ^ а б в Янасэ Дж., Триантафиллу Э. (2019). «Систематический обзор компьютерной диагностики в медицине: прошлое и настоящее». Экспертные системы с приложениями . 138 : 112821. DOI : 10.1016 / j.eswa.2019.112821 .
- ^ Смарандаче, Флорентин (1998). Нейтрософия: нейтрософская вероятность, набор и логика: аналитический синтез и синтетический анализ . Американская исследовательская пресса. ISBN 978-1879585638.
- ^ а б Янасэ Дж., Триантафиллу Э. (2019). «Семь ключевых вызовов будущего компьютерной диагностики в медицине». Международный журнал медицинской информатики . 129 : 413–422. DOI : 10.1016 / j.ijmedinf.2019.06.017 . PMID 31445285 .
- ^ Ягер, Рональд Р. (июнь 2013 г.). «Пифагоровы нечеткие подмножества». Совместный Всемирный Конгресс IFSA 2013 и Ежегодное собрание NAFIPS (IFSA / NAFIPS). IEEE : 57–61. DOI : 10.1109 / IFSA-NAFIPS.2013.6608375 . ISBN 978-1-4799-0348-1. S2CID 36286152 .
- ^ Ягер, Рональд Р. (2013). «Уровни пифагорейского членства в многокритериальном принятии решений». Транзакции IEEE в нечетких системах . 22 (4): 958–965. DOI : 10.1109 / TFUZZ.2013.2278989 . S2CID 37195356 .
- ^ Ягер, Рональд Р. (декабрь 2015 г.). Свойства и приложения нечетких множеств Пифагора . Спрингер, Чам. С. 119–136. ISBN 978-3-319-26302-1.
- ^ Зигфрид Готвальд , 2001. Трактат о многозначной логике . Болдок, Хартфордшир, Англия: Research Studies Press Ltd., ISBN 978-0-86380-262-1
- ^ « Концепция лингвистической переменной и ее применение для приблизительного рассуждения », Информационные науки 8 : 199–249, 301–357; 9 : 43–80.
- ^ « Нечеткие множества как основа теории возможностей », Нечеткие множества и системы 1 : 3–28
- ^ JA Goguen "Категории нечетких множеств: приложения неканторовской теории множеств" докторская диссертация Калифорнийского университета, Беркли, 1968
- ^ Майкл Винтер "Категории Гогена: категорический подход к L-нечетким отношениям" 2007 SpringerISBN 9781402061639
- ^ a b Майкл Винтер "Теория представлений категорий Гогена" Нечеткие множества и системы Том 138, выпуск 1, 16 августа 2003 г., страницы 85–126
- ^ Goguen, JA, "L-нечеткие множества". Журнал математического анализа и приложений 18 (1): 145–174, 1967.
- ^ Сюэчэн, Лю (1992). «Энтропия, мера расстояния и мера подобия нечетких множеств и их отношений». Нечеткие множества и системы . 52 (3): 305–318. DOI : 10.1016 / 0165-0114 (92) 90239-Z .
- ^ Ли, Сян (2015). «Нечеткая кросс-энтропия» . Журнал анализа неопределенностей и приложений . 3 . DOI : 10,1186 / s40467-015-0029-5 .
- Алхазале С. и Саллех А.Р. Теория нечетких мягких множеств , абстрактный и прикладной анализ, 2012, статья ID 350600, 20 стр.
- Атанасов К.Т. (1983) Интуиционистские нечеткие множества , VII сессия ИТКР, София (депонировано в Центральной научно-технической библиотеке Болгарской академии наук, 1697/84) (на болгарском языке)
- Атанасов К. (1986) Интуиционистские нечеткие множества, нечеткие множества и системы, т. 20, № 1, стр. 87–96.
- Баруа, Хеманта К. (2011) Теория нечетких множеств: убеждения и реальности, Международный журнал энергетики, информации и коммуникаций, том 2, выпуск 2, 1-22.
- Баруа, Хеманта К. (2012) Введение в теорию неточных множеств: математика частичного присутствия, Международный журнал вычислительных и математических наук, Vol. 2, № 2, 110 - 124.
- Бездек, JC (1978). «Нечеткие разбиения и отношения и аксиоматическая основа кластеризации». Нечеткие множества и системы . 1 (2): 111–127. DOI : 10.1016 / 0165-0114 (78) 90012-X .
- Близард, WD (1989) Действительные мультимножества и нечеткие множества, нечеткие множества и системы, т. 33, стр. 77–97.
- Brown, JG (1971) A Note on Fuzzy Sets, Information and Control, v. 18, pp. 32–39.
- Brutoczki Kornelia: Fuzzy Logic (Diploma) - Хотя этот скрипт имеет много странностей и недостатков из-за его неполноты, его можно использовать в качестве шаблона для упражнения по устранению этих проблем.
- Бургин, М. Теория именованных множеств как основа математики, Структуры в математических теориях, Сан-Себастьян, 1990, стр. 417–420.
- Бургин М., Чунихин А. (1997) Именованные множества в анализе неопределенности, в Методологических и теоретических проблемах математики и информатики, Киев, стр. 72–85.
- Джанпьеро Каттанео и Давиде Чуччи, «Алгебры Гейтинга Вайсберга как абстрактная среда, связывающая нечеткие и грубые множества» в JJ Alpigini et al. (Ред.): RSCTC 2002, LNAI 2475, стр. 77–84, 2002. DOI : 10.1007 / 3-540-45813-1_10
- Чаморро-Мартинес, Дж. И др.: Обсуждение нечеткой мощности и количественной оценки. Некоторые приложения в обработке изображений , SciVerse ScienceDirect: Fuzzy Sets and Systems 257 (2014) 85–101, 30 мая 2013 г.
- Чапин, EW (1974) Многозначная теория множеств, I, Нотр-Дам Дж. Формальная логика, т. 15, стр. 619–634
- Чапин, EW (1975) Многозначная теория множеств, II, Нотр-Дам Дж. Формальная логика, т. 16, стр. 255–267
- Крис Корнелис, Мартин Де Кок и Этьен Э. Керр, [Интуиционистские нечеткие грубые множества: на перекрестке несовершенного знания], Expert Systems, т. 20, выпуск 5, стр. 260–270, 2003 г.
- Корнелис, К., Дешрайвер, К., и Керр, Э. (2004) Импликация в интуиционистской и интервальнозначной теории нечетких множеств: построение, классификация, применение, Международный журнал приближенного мышления, т. 35, стр. 55–95
- Де Кок, Мартина; Боденхофер, Ульрих; Керр, Этьен Э. (1–4 октября 2000 г.). Моделирование лингвистических выражений с помощью нечетких отношений . Материалы 6-й Международной конференции по мягким вычислениям. Иидзука, Япония. С. 353–360. CiteSeerX 10.1.1.32.8117 .
- Демирчи, М. (1999) Подлинные множества, нечеткие множества и системы, т. 105, стр. 377–384.
- Deschrijver, G .; Керре, EE (2003). «О связи между некоторыми расширениями теории нечетких множеств». Нечеткие множества и системы . 133 (2): 227–235. DOI : 10.1016 / S0165-0114 (02) 00127-6 .
- Дидье Дюбуа, Анри М. Прад, изд. (2000). Основы нечетких множеств . Справочники серии нечетких множеств. 7 . Springer. ISBN 978-0-7923-7732-0.
- Фэн Ф. Обобщенные грубые нечеткие множества на основе мягких множеств , Soft Computing, июль 2010 г., том 14, выпуск 9, стр. 899–911
- Gentilhomme, Y. (1968) Les ensembles flous en linguistique, Cahiers Linguistique Theoretique Appliqee, 5, стр. 47–63
- Гоген, Дж. А. (1967) L-нечеткие множества, Journal Math. Приложение для анализа, т. 18, стр. 145–174.
- Готвальд, С. (2006). "Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть I: модельные и аксиоматические подходы". Studia Logica . 82 (2): 211–244. DOI : 10.1007 / s11225-006-7197-8 . S2CID 11931230 .. Готвальд, С. (2006). "Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть II: Теоретико-категориальные подходы". Studia Logica . 84 : 23–50. DOI : 10.1007 / s11225-006-9001-1 . S2CID 10453751 . препринт ..
- Граттан-Гиннесс, I. (1975) Нечеткое членство, отображаемое на интервал и многозначные величины. Z. Math. Логик. Grundladen Math. 22. С. 149–160.
- Гржимала-Буссе, Дж. Изучение примеров, основанных на грубых мультимножествах, в Трудах 2-го Международного симпозиума по методологиям интеллектуальных систем, Шарлотт, Северная Каролина, США, 1987, стр. 325–332
- Гилис Р.П. (1994) Квантовые множества и пучки над квантами, Liet. Матем. Каток, т. 34, № 1, с. 9–31.
- Ульрих Хёле, Стивен Эрнест Родабо, изд. (1999). Математика нечетких множеств: логика, топология и теория меры . Справочники серии нечетких множеств. 3 . Springer. ISBN 978-0-7923-8388-8.
- Jahn, KU (1975) Intervall-wertige Mengen, Math.Nach. 68. С. 115–132.
- Кауфманн, Арнольд . Введение в теорию нечетких подмножеств. Vol. 2. Академический пр., 1975.
- Керре, Э.Е. (2001). «Первый взгляд на альтернативы теории нечетких множеств». В Б. Ройше; KH. Темме (ред.). Вычислительный интеллект в теории и практике . Гейдельберг: Physica-Verlag. С. 55–72. DOI : 10.1007 / 978-3-7908-1831-4_4 . ISBN 978-3-7908-1357-9. Отсутствует или пусто
|title=
( справка ) - Джордж Дж. Клир; Бо Юань (1995). Нечеткие множества и нечеткая логика: теория и приложения . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-101171-7.
- Кузьмин, В.Б. (1982). «Построение групповых решений в пространствах строгих и нечетких двоичных отношений». Наука, Москва.
- Лейк, Дж. (1976) Множества, нечеткие множества, мультимножества и функции , J. London Math. Soc., II Ser., V. 12, pp. 323–326
- Мэн Д., Чжан X. и Цинь К. Мягкие грубые нечеткие множества и мягкие нечеткие грубые множества , «Computers & Mathematics with Applications», т. 62, выпуск 12, 2011 г., стр. 4635–4645
- Миямото, С. Нечеткие мультимножества и их обобщения, в «Обработка мультимножеств», LNCS 2235, стр. 225–235, 2001.
- Молодцов О. (1999) Теория мягких множеств - первые результаты, Вычислительная техника и математика с приложениями, т. 37, № 4/5, стр. 19–31
- Мур, Р. Э. Интервальный анализ, Нью-Йорк, Прентис-Холл, 1966.
- Накамура А. (1988) Нечеткие грубые множества, «Заметки о многозначной логике в Японии», т. 9, стр. 1–8.
- Нариньяни, А.С. Недоопределенные множества - новый тип данных для представления знаний, Препринт 232, Проект ВОСТОК, выпуск 4, Новосибирск, Вычислительный центр АН СССР, 1980
- Pedrycz, W. Затененные множества: представление и обработка нечетких множеств, IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics, Part B, 28, 103–109, 1998.
- Радецки, Т. Уровневые нечеткие множества, «Журнал кибернетики», том 7, выпуск 3–4, 1977 г.
- Радзиковска, AM и Этьен Э. Керр, EE О L-нечетких грубых множествах , искусственном интеллекте и мягких вычислениях - ICAISC 2004, 7-я Международная конференция, Закопане, Польша, 7–11 июня 2004 г., Труды; 01/2004
- Салий, В.Н. (1965). «Бинарные L-отношения». Изв. Выш. Учебн. Завед. Математика . 44 (1): 133–145.
- Рамакришнан, Т.В., и Сабу Себастьян (2010) «Исследование множественных нечетких множеств», Int. J. Appl. Математика. 23, 713–721.
- Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2010) Мульти-нечеткие множества, Int. Математика. Forum 50, 2471–2476.
- Сабу Себастьян и Рамакришнан, TV (2011) Мульти-нечеткие множества: расширение нечетких множеств , Fuzzy Inf.Eng. 1, 35–43.
- Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2011) Многочисленные нечеткие расширения функций, Развитие адаптивного анализа данных 3, 339–350.
- Сабу Себастьян и Рамакришнан, TV (2011) Мульти-нечеткое расширение четких функций с помощью мостовых функций , Ann. Нечеткая математика. Поставить в известность. 2 (1), 1–8
- Sambuc, R. Fonctions φ-floues: Application a l'aide au Diagnostic en Patologie Thyroidienne, Ph. D. Thesis Univ. Марсель, Франция, 1975 год.
- Зайзинг, Рудольф: фаззификация систем. Возникновение теории нечетких множеств и ее первоначальные приложения - разработки до 1970-х годов (Исследования нечеткости и мягких вычислений, том 216), Берлин, Нью-Йорк, [и др.]: Springer 2007.
- Смит, Нью-Джерси (2004) Нечеткость и размытые множества, J. Фил. Логика », 33, с. 165–235.
- Верро, Николас: Нечеткая классификация онлайн-клиентов , Фрибургский университет, Швейцария, 2008 г., Глава 2
- Ягер Р. Р. (1986) О теории мешков, Международный журнал общих систем, т. 13, стр. 23–37.
- Яо, YY, Комбинация грубых и нечетких множеств на основе наборов α-уровня, в: Rough Sets and Data Mining: Analysis for Disprecise Data, Lin, TY and Cercone, N. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, Boston, pp. 301–321, 1997.
- YY Yao, Сравнительное исследование нечетких множеств и грубых множеств, Информационные науки, т. 109, выпуск 1–4, 1998 г., стр. 227 - 242
- Заде, Л. (1975) Концепция лингвистической переменной и ее применение для приближенного рассуждения –I, Информ. Sci., Т. 8, стр. 199–249.
- Ханс-Юрген Циммерманн (2001). Теория нечетких множеств и ее приложения (4-е изд.). Kluwer. ISBN 978-0-7923-7435-0.