Радиус Земли

Радиус Земли
Поперечное сечение недр Земли
Основная информация
Система единиц	астрономия , геофизика
Единица	расстояние
Символ	R ⊕  или ,${\ displaystyle R_ {E}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {eE} }^{\mathrm {N} }}$
Конверсии
1 R ⊕ дюйм ...	... равно ...
Базовая единица СИ	6,3781 × 10 6  м [1]
Метрическая система	От 6,357 до 6,378 км
Английские единицы	От 3,950 до 3,963 миль

Геодезия
Основы Геодезия Геодинамика Геоматика История
Концепции Географическое расстояние Геоид Фигура Земли ( радиус Земли и окружность Земли ) Геодезические данные Геодезический Географическая система координат Горизонтальное представление положения Широта  / Долгота Проекция карты Справочный эллипсоид Спутниковая геодезия Система пространственной привязки Пространственные отношения
Технологии Global Nav. Сидел. Системы (ГНСС) Global Pos. Система (GPS) ГЛОНАСС (Россия) BeiDou (BDS) (Китай) Галилео (Европа) NAVIC (Индия) Квази-Зенит Сб. Sys. (QZSS) (Япония) Дискретная глобальная сетка и геокодирование
Стандарты (история) НГВД 29 Датум уровня моря 1929 г. OSGB36 Обзор боеприпасов Великобритании, 1936 г. СК-42 Система Координат 1942 года ED50 Европейский датум 1950 г. SAD69 Южноамериканский датум 1969 г. GRS 80 Геодезическая справочная система 1980 г. ISO 6709 Координаты географической точки. 1983 г. NAD 83 Североамериканский датум 1983 г. WGS 84 Мировая геодезическая система 1984 НАВД 88 Северная Америка, вертикальная система отсчета 1988 г. ETRS89 Европейское наземное вещание Ref. Sys. 1989 г. GCJ-02 Китайские запутанные данные 2002 г. Географический URI Интернет-ссылка на точку 2010 Международная наземная система отсчета Идентификатор системы пространственной привязки (SRID) Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM)
v т е

Радиус Земли (обозначается символом R _⊕ или ) - это расстояние от центра Земли до точки на ее поверхности или вблизи нее. Приближая фигуру Земли к земному сфероиду , радиус колеблется от максимума почти 6378 км (3963 мили) ( экваториальный радиус , обозначенный a ) до минимума почти 6357 км (3950 миль) ( полярный радиус , обозначенный b ). ${\displaystyle R_{E}}$

Номинальный радиус Земли иногда используется в качестве единицы измерения в астрономии и геофизики , который рекомендован Международным астрономическим союзом , чтобы быть экваториальный значение. ^[1]

Глобальное среднее значение обычно составляет 6 371 км (3 959 миль) с вариацией 0,3% (+/- 10 км) по следующим причинам. Международный союз геодезии и геофизики (МСГГ) обеспечивает три опорные значения: на средний радиус (R ₁ ) из трех радиусов , измеренных в двух точках экватора и полюса; authalic радиус , который является радиусом сферы , с одной и той же площадью поверхности (R ₂ ); и объемный радиус , который представляет собой радиус сферы, имеющей тот же объем, что и эллипсоид (R ₃ ). ^[2] Все три значения составляют около 6371 км (3959 миль).

Другие способы определения и измерения радиуса Земли включают радиус кривизны . Некоторые определения дают значения за пределами диапазона между полярным радиусом и экваториальным радиусом, потому что они включают местную или геоидальную топографию или потому что они зависят от абстрактных геометрических соображений.

Введение [ править ]

Вращение Земли , изменения внутренней плотности и внешние приливные силы заставляют ее форму систематически отклоняться от идеальной сферы. ^[a] Местная топография увеличивает дисперсию, в результате чего поверхность становится очень сложной. Наши описания земной поверхности должны быть проще, чем реальность, чтобы их можно было подобрать. Следовательно, мы создаем модели, приближающие характеристики поверхности Земли, обычно полагаясь на простейшую модель, которая соответствует потребностям.

Каждая из широко используемых моделей включает некоторое понятие геометрического радиуса . Строго говоря, сферы - единственные твердые тела, у которых есть радиус, но более широкое употребление термина радиус распространено во многих областях, включая те, которые имеют дело с моделями Земли. Ниже приводится частичный список моделей земной поверхности в порядке от точного к более приблизительному:

• Реальная поверхность Земли
• Геоид , определяется средним уровнем моря в каждой точке на реальную поверхности ^[Ь]
• Сфероид , называемый также эллипсоидом вращения, геоцентрическая модель всей Земли, или еще геодезический для региональной работы ^[с]
• сфера

В случае геоида и эллипсоидов фиксированное расстояние от любой точки модели до указанного центра называется «радиусом Земли» или «радиусом Земли в этой точке» . ^[d] Также принято называть любой средний радиус сферической модели «радиусом Земли» . С другой стороны, при рассмотрении реальной поверхности Земли упоминание «радиуса» редко, поскольку в этом, как правило, нет практической необходимости. Скорее, полезно иметь высоту выше или ниже уровня моря.

Независимо от модели, любой радиус находится между полярным минимумом около 6357 км и экваториальным максимумом около 6378 км (от 3950 до 3963 миль). Следовательно, Земля отклоняется от идеальной сферы всего на треть процента, что поддерживает сферическую модель в большинстве контекстов и оправдывает термин «радиус Земли». Хотя конкретные значения различаются, концепции в этой статье распространяются на любую крупную планету .

Физика деформации Земли [ править ]

Вращение планеты приводит к тому, что она приближается к сплющенному эллипсоиду / сфероиду с выпуклостью на экваторе и уплощением на Северном и Южном полюсах , так что экваториальный радиус a больше полярного радиуса b примерно на aq . Константа сжатия q определяется выражением

${\displaystyle q={\frac {a^{3}\omega ^{2}}{GM}}\,,}$

где ω - угловая частота , G - гравитационная постоянная , M - масса планеты. ^[e] Для Земли1/q≈ 289 , что близко к измеренному обратному уплощению 1/ж≈ 298,257 . Вдобавок выпуклость на экваторе медленно меняется. Выпуклость уменьшалась, но с 1998 года выпуклость увеличилась, возможно, из-за перераспределения массы океана через течения. ^[4]

Изменение плотности и толщины земной коры вызывает изменение силы тяжести по поверхности и во времени, так что средний уровень моря отличается от эллипсоида. Эта разница представляет собой высоту геоида , положительную над эллипсоидом или за ее пределами, отрицательную под или внутри. Изменение высоты геоида составляет менее 110 м (360 футов) на Земле. Высота геоида может резко измениться из-за землетрясений (например, Суматра-Андаманское землетрясение ) или уменьшения ледяных масс (например, в Гренландии ). ^[5]

Не все деформации происходят внутри Земли. Гравитационное притяжение Луны или Солнца может вызвать изменение поверхности Земли в данной точке на десятые доли метра в течение почти 12-часового периода (см. Земной прилив ).

Радиус и местные условия [ править ]

С учетом местных и переходных влияний на высоту поверхности, значения, определенные ниже, основаны на модели «общего назначения», уточненной с максимальной точностью в пределах 5 м (16 футов) от высоты опорного эллипсоида и с точностью до 100 м (330 футов). среднего уровня моря (без учета высоты геоида).

Кроме того, радиус можно оценить по кривизне Земли в точке. Как и у тора , кривизна в точке будет наибольшей (самой плотной) в одном направлении (север-юг на Земле) и наименьшей (самой плоской) перпендикулярно (восток-запад). Соответствующий радиус кривизны зависит от местоположения и направления измерения от этой точки. Следствием этого является то, что расстояние до истинного горизонта на экваторе немного короче в направлении север-юг, чем в направлении восток-запад.

Таким образом, местные вариации ландшафта не позволяют определить единственный «точный» радиус. Можно только принять идеализированную модель. Со времени оценки Эратосфена было создано множество моделей. Исторически эти модели основывались на региональной топографии, давая наилучший опорный эллипсоид для исследуемой территории. По мере того как спутниковое дистанционное зондирование и особенно Глобальная система определения местоположения приобрели важность, были разработаны настоящие глобальные модели, которые, хотя и не так точны для региональных исследований, лучше всего приближают Землю в целом.

Экстремумы: экваториальный и полярный радиусы[ редактировать ]

Следующие радиусы получены из опорного эллипсоида Всемирной геодезической системы 1984 ( WGS-84 ) . ^[6] Это идеализированная поверхность, и измерения Земли, использованные для ее расчета, имеют погрешность ± 2 м как в экваториальном, так и в полярном измерениях. ^[7] Дополнительные расхождения, вызванные топографическими вариациями в определенных местах, могут быть значительными. При определении положения наблюдаемого местоположения использование более точных значений радиусов WGS-84 может не привести к соответствующему повышению точности . ^{[ требуется разъяснение ]}

Значение экваториального радиуса определено с точностью до 0,1 м в WGS-84. Значение полярного радиуса в этом разделе было округлено до ближайших 0,1 м, что, как ожидается, будет подходящим для большинства применений. Обратитесь к эллипсоиду WGS-84, если требуется более точное значение его полярного радиуса.

• Экваториальный радиус Земли a или большая полуось - это расстояние от ее центра до экватора, равное 6 378,1370 км (3 963,1906 миль). ^[8] Экваториальный радиус часто используется для сравнения Земли с другими планетами .

• Полярный радиус Земли b или малая полуось - это расстояние от ее центра до Северного и Южного полюсов, равное 6 356,7523 км (3 949 9028 миль).

Радиусы в зависимости от местоположения[ редактировать ]

Геоцентрический радиус[ редактировать ]

Геоцентрической радиус это расстояние от центра Земли до точки на поверхности сфероида на геодезической широты ф :

${\displaystyle R(\varphi )={\sqrt {\frac {(a^{2}\cos \varphi )^{2}+(b^{2}\sin \varphi )^{2}}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}}$

где a и b - соответственно экваториальный радиус и полярный радиус.

Геоцентрические радиусы экстремумов на эллипсоиде совпадают с экваториальным и полярным радиусами. Они являются вершинами эллипса и также совпадают с минимальным и максимальным радиусами кривизны.

Радиусы кривизны[ редактировать ]

Главные радиусы кривизны [ править ]

Различают два основных радиуса кривизны : по меридиональному и прямовертикальному нормальным участкам .

Меридиональный [ править ]

В частности, в меридиональной радиус Земли кривизны (в (север-юг) меридиане направление) на ф является:

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {(ab)^{2}}{{\big (}(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1-e^{2}}{a^{2}}}N(\varphi )^{3}\,.}$

где - эксцентриситет земли. Это радиус, который Эратосфен измерил при измерении дуги .${\displaystyle e}$

Prime vertical [ править ]

Если одна точка появилась точно к востоку от другой, можно найти приблизительную кривизну в направлении восток-запад. ^[f]

В этом Земле прайм-вертикальный радиус кривизны , также называемый поперечный радиусом Земли кривизны , определяются перпендикулярно (нормальным или ортогонально ) к М по геодезической широте ф есть: ^[г]

${\displaystyle N(\varphi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

Б. Р. Боуринг ^[9] дает геометрическое доказательство того, что это перпендикулярное расстояние от поверхности до полярной оси.

Конкретные ценности [ править ]

В меридиональном радиусе Земли кривизны на экваторе равен меридиан пола-LATUS прямой кишки :

б ²/а =  6335,439 км

В прайм-вертикальный радиус Земли кривизны на экваторе равен экваториальный радиус, N = .

В полярный радиус Земли кривизны (либо меридиональном или прайм-вертикали) составляет:

а ²/б =  6,399,594 км

Вывод [ править ]

Комбинированные радиусы кривизны [ править ]

Азимутальный[ редактировать ]

Азимутальный радиус кривизны Земли вдоль курса по азимуту (измеренному по часовой стрелке с севера) α на φ , получается из формулы кривизны Эйлера следующим образом: ^{[11] : 97}

${\displaystyle R_{\mathrm {c} }={\frac {1}{{\dfrac {\cos ^{2}\alpha }{M}}+{\dfrac {\sin ^{2}\alpha }{N}}}}\,.}$

Ненаправленный [ править ]

Можно комбинировать главные радиусы кривизны, указанные выше, ненаправленным образом.

В Землях гауссов радиус кривизны на широту ф является: ^[11]

${\displaystyle R_{\mathrm {a} }(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {K}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }R_{\mathrm {c} }(\alpha )\,d\alpha \,={\sqrt {MN}}={\frac {a^{2}b}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,.}$

Там , где K является гауссова кривизна , .${\displaystyle K=\kappa _{1}\,\kappa _{2}={\frac {\det \,B}{\det \,A}}}$

В земной средний радиус кривизны на широте ф является: ^{[11] : 97}

${\displaystyle R_{\mathrm {m} }={\frac {2}{{\dfrac {1}{M}}+{\dfrac {1}{N}}}}\,\!}$

Глобальные радиусы[ редактировать ]

Землю можно смоделировать как сферу во многих отношениях. В этом разделе описаны распространенные способы. Для различных радиусов, полученных здесь, используются обозначения и размеры, указанные выше для Земли, полученные из эллипсоида WGS-84 ; ^[6] а именно,

Экваториальный радиус : a = (+6 +378 0,1370 км )

Полярный радиус : b = (6 356 .7523 км )

Сфера является грубым приближением сфероида, который, в свою очередь, является приближением геоида, единицы измерения здесь указаны в километрах, а не в миллиметрах, подходящих для геодезии.

Номинальный радиус[ редактировать ]

В астрономии Международный астрономический союз обозначает номинальный экваториальный радиус Земли как 6 378,1 км (3 963,2 мили). ^{[1] : 3} номинальный полярный радиус Земли определяется как = 6,356.8 км (3,949.9 мили). Эти значения соответствуют условию нулевого земного прилива . Экваториальный радиус обычно используется в качестве номинального значения, если полярный радиус явно не требуется. ^{[1] : 4} Номинальный радиус служит единицей длины в астрономии . (Обозначения определены так, что их можно легко обобщить для других планет.${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {eE} }^{\mathrm {N} }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {pE} }^{\mathrm {N} }}$; например, для номинального полярного радиуса Юпитера .)${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {pJ} }^{\mathrm {N} }}$

Средний радиус [ править ]

В геофизике Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) определяет средний радиус Земли (обозначенный R ₁ ) как ^[2]

${\displaystyle R_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,\!}$

Множитель два объясняет двухосную симметрию сфероида Земли, специализацию трехосного эллипсоида. Для Земли средний радиус составляет 6371,0088 км (3958,7613 миль). ^[12]

Ауталический радиус [ править ]

Аутальный радиус Земли (что означает «равная площадь» ) - это радиус гипотетической идеальной сферы, имеющей такую ​​же площадь поверхности, как и опорный эллипсоид . МГГС обозначает authalic радиус , как R ₂ . ^[2] Для сфероида существует решение в замкнутой форме: ^[13]

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {\frac {a^{2}+{\frac {b^{2}}{e}}\ln {\left({\frac {1+e}{b/a}}\right)}}{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}{\frac {\tanh ^{-1}e}{e}}}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}\,,}$

где e ² =а ² - б ²/а ²и представляет собой площадь поверхности сфероида.

Для Земли автоматический радиус составляет 6371,0072 км (3958,7603 миль). ^[12]

Объемный радиус [ править ]

Другая сферическая модель определяется объемным радиусом Земли , который представляет собой радиус сферы, объем которой равен эллипсоиду. МГГС обозначает объемный радиус , как R ₃ . ^[2]

${\displaystyle R_{3}={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}\,.}$

Для Земли объемный радиус равен 6,371,0008 км (3,958,7564 мили). ^[12]

Радиус выпрямления [ править ]

Другой глобальный радиус - это радиус выпрямления Земли , дающий сферу с окружностью, равной периметру эллипса, описываемому любым полярным поперечным сечением эллипсоида. Для этого требуется эллиптический интеграл с учетом полярного и экваториального радиусов:

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {{a^{2}}\cos ^{2}\varphi +{b^{2}}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi \,.}$

Радиус выпрямления эквивалентен среднему меридиональному значению, которое определяется как среднее значение M : ^[13]

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\!M(\varphi )\,d\varphi \,.}$

Для пределов интегрирования [0,π/2], интегралы для радиуса выпрямления и среднего радиуса дают один и тот же результат, который для Земли составляет 6 367,4491 км (3 956,5494 миль).

Среднее меридиональное значение хорошо аппроксимируется полукубическим средним двух осей, ^{[ цитата необходима ]}

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx \left({\frac {a^{\frac {3}{2}}+b^{\frac {3}{2}}}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\,,}$

который отличается от точного результата менее чем на 1 мкм (4 × 10 ^{-5 дюймов}  ); среднее значение двух осей,

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx {\frac {a+b}{2}}\,,}$

около 6367,445 км (3956,547 миль), также можно использовать.

Глобальный средний радиус кривизны [ править ]

Глобальный средний радиус кривизны , усредненное по всем азимутам и во всех точках на поверхности, задается область , взвешенных с глобальной средней гауссовой кривизны:

${\displaystyle R_{4}={\frac {1}{2}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\!\cos \varphi \,R_{\mathrm {a} }(\varphi )\,d\varphi ={\frac {a}{2}}\,{\sqrt {{\frac {1}{e^{2}}}-1}}\,\ln {\frac {1+e}{1-e}}.}$

Для эллипсоида WGS 84 средняя кривизна равна 6370,994 км (3958,752 миль). ^{[ необходима цитата ]}

Топографические радиусы [ править ]

Приведенные выше математические выражения применяются к поверхности эллипсоида. В приведенных ниже случаях рассматривается топография Земли над или под опорным эллипсоидом . Как таковой, они являются топографическим геоцентрическим расстоянием , R _T , которая зависит не только от широты.

Топографические крайности [ править ]

• Максимальный R _t : вершина Чимборасо находится в 6384,4 км (3967,1 миль) от центра Земли.
• Минимальный R _t : дно Северного Ледовитого океана находится примерно в 6 352,8 км (3 947,4 миль) от центра Земли. ^[14]

Топографическое глобальное среднее [ править ]

В топографических средних геоцентрическом расстоянии средних высот везде, в результате чего значенияНа 230 м больше среднего радиуса IUGG , автономного радиуса или объемного радиуса . Это среднее топографическое значение составляет 6 371,230 км (3 958 899 миль) с погрешностью 10 м (33 фута). ^[15]

Производные величины: диаметр, окружность, длина дуги, площадь, объем. [ редактировать ]

Диаметр Земли просто в два раза больше радиуса Земли; например, экваториальный диаметр (2 a ) и полярный диаметр (2 b ). Для эллипсоида WGS84 это соответственно:

• 2a = 12,756,2740 км (7,926,3812 миль),
• 2b = 12,713,5046 км (7,899,8055 миль).

Окружность Земли равнадлине периметра . Экваториальной окружности это просто круг по периметру : С _е = 2πa , с точки зрения экваториального радиуса,. Полярная длина окружности равна С _р = 4м _р ,четыре раза больше четверти меридиана м _р = ае (е) , где полярный радиус Ь входит через эксцентриситет, е = (1-Ь ² / а ² ) ^0,5 ; подробности см. в Ellipse # Circumference .

Длина дуги более общих кривых поверхности , таких как дуги меридианов и геодезические , также может быть получена из экваториального и полярного радиусов Земли.

То же самое и для площади поверхности , основанной либо на картографической проекции, либо на геодезическом многоугольнике .

Объем Земли или опорного эллипсоида равен V =4/3π а ² б . Используя параметрыэллипсоида вращения WGS84 , a = 6,378,137 км и b = 6,356,752 3142 км , V = 1,08321 × 10 ¹²  км ³ (2,5988 × 10 ¹¹  куб. Миль) . ^[16]

Опубликованные значения [ править ]

В этой таблице приведены принятые значения радиуса Земли.

История [ править ]

Первое опубликованное упоминание о размере Земли появилось около 350 г. до н.э., когда Аристотель сообщил в своей книге « О небесах» ^[18], что математики предположили, что окружность Земли составляет 400 000 стадий . Ученые интерпретировали число Аристотеля как от очень точного ^[19] до почти вдвое большего истинного значения. ^[20] Первое известное научное измерение и расчет окружности Земли было выполнено Эратосфеном примерно в 240 г. до н.э. Оценки точности измерения Эратосфена колеблются от 0,5% до 17%. ^[21] И для Аристотеля, и для Эратосфена неопределенность в точности их оценок связана с современной неопределенностью относительно того, какую длину стадиона они имели в виду.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Меррифилд, Майкл Р. (2010). « Радиус Земли (и экзопланеты)» R ⊕ {\displaystyle R_{\oplus }} . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .