В математике , то группа Гейзенберга , названная в честь Вернера Гейзенберга , представляет собой группу верхнетреугольных матриц 3 × 3 вида
при операции умножения матриц . Элементы a, b и c могут быть взяты из любого коммутативного кольца с единицей, часто принимаемого за кольцо действительных чисел (приводящее к «непрерывной группе Гейзенберга») или кольцо целых чисел (приводящее к «дискретной группе Гейзенберга») .
Непрерывная группа Гейзенберга возникает при описании одномерных квантово-механических систем, особенно в контексте теоремы Стоуна – фон Неймана . В более общем плане можно рассматривать группы Гейзенберга, связанные с n -мерными системами и, в большинстве случаев, с любым симплектическим векторным пространством .
Трехмерный корпус
В трехмерном случае произведение двух матриц Гейзенберга определяется выражением:
Как видно из члена ab ' , группа неабелева .
Нейтральный элемент группы Гейзенберга является единичной матрицей , а обратный элемент имеет вид
Группа является подгруппой двумерной аффинной группы Aff (2): действующий на соответствует аффинному преобразованию .
Есть несколько ярких примеров трехмерного случая.
Непрерывная группа Гейзенберга
Если a, b, c - действительные числа (в кольце R ), то имеется непрерывная группа Гейзенберга H 3 ( R ).
Это нильпотентная вещественная группа Ли размерности 3.
Помимо представления в виде вещественных матриц 3x3, непрерывная группа Гейзенберга также имеет несколько различных представлений в терминах функциональных пространств . По теореме Стоуна – фон Неймана существует с точностью до изоморфизма единственное неприводимое унитарное представление H, в котором его центр действует с заданным нетривиальным характером . Это представление имеет несколько важных реализаций или моделей. В модели Шредингера группа Гейзенберга действует на пространстве функций, интегрируемых с квадратом . В тета-представлении он действует в пространстве голоморфных функций на верхней полуплоскости ; он назван так из-за его связи с тета-функциями .
Дискретная группа Гейзенберга
Если a, b, c - целые числа (в кольце Z ), то имеется дискретная группа Гейзенберга H 3 ( Z ). Это неабелева нильпотентная группа . Он имеет два генератора,
и отношения
- ,
где
является образующей центра H 3 . (Обратите внимание, что обратные x , y и z заменяют 1 над диагональю на −1.)
По теореме Басса он имеет полиномиальную скорость роста порядка 4.
Любой элемент можно сгенерировать через
Группа Гейзенберга по нечетному простому модулю p
Если взять a, b, c в Z / p Z в качестве нечетного простого числа p , то получится группа Гейзенберга по модулю p . Это группа порядка p 3 с образующими x, y и соотношениями:
Аналоги групп Гейзенберга над конечными полями нечетного простого порядка p называются дополнительными специальными группами или, точнее, дополнительными специальными группами показателя p . В более общем смысле, если производная подгруппа группы G содержится в центре Z группы G , то отображение из G / Z × G / Z → Z является кососимметрическим билинейным оператором на абелевых группах.
Однако требование, чтобы G / Z было конечным векторным пространством, требует, чтобы подгруппа Фраттини группы G содержалась в центре, а требование, чтобы Z было одномерным векторным пространством над Z / p Z, требует, чтобы Z имел порядок p , поэтому если G неабелева, то G является дополнительным специальным. Если G является дополнительным специальным , но не имеет показатель степени р , то общую конструкцию ниже применительно к симплектическому векторного пространства G / Z не дает группу , изоморфную G .
Группа Гейзенберга по модулю 2
Группа Гейзенберга по модулю 2 имеет порядок 8 и изоморфна группе диэдра D 4 (симметрии квадрата). Обратите внимание, что если
- .
потом
а также
Элементы x и y соответствуют отражениям (с 45 ° между ними), тогда как xy и yx соответствуют поворотам на 90 °. Остальные отражения - xyx и yxy , а поворот на 180 ° - xyxy (= yxyx ).
Алгебра Гейзенберга
Алгебра Ли группы Гейзенберга (над действительными числами) известна как алгебра Гейзенберга. [1] Он представлен в пространствематрицы вида [2]
- ,
с участием . Следующие три элемента составляют основу:
- .
Базисные элементы удовлетворяют коммутационным соотношениям:
- .
Название «группа Гейзенберга» мотивировано предыдущими соотношениями, которые имеют ту же форму, что и канонические коммутационные соотношения в квантовой механике:
- ,
где - оператор позиции, - оператор импульса, а - постоянная Планка.
Группа Гейзенберга обладает особым свойством, что экспоненциальное отображение взаимно однозначно и на отображение из алгебры Ли к группе . [3]
Высшие измерения
Более общие группы Гейзенберга может быть определен для более высоких измерений в евклидовом пространстве и в более общем плане для симплектических векторных пространств . Простейший общий случай - это действительная группа Гейзенберга размерности, для любого целого . Как группа матриц, (или же чтобы указать, что это группа Гейзенберга над полем действительных чисел) определяется как группа матрицы с записями в и имеющий вид:
где
- a - вектор-строка длины n ,
- b - вектор-столбец длины n ,
- I n - единичная матрица размера n .
Структура группы
Это действительно группа, как показывает умножение:
а также
Алгебра Ли
Группа Гейзенберга - это односвязная группа Ли, алгебра Ли которой состоит из матриц
где
- a - вектор-строка длины n ,
- b - вектор-столбец длины n ,
- 0 n - нулевая матрица размера n .
Допуская e 1 , ..., e n канонический базис R n и полагая
ассоциированная алгебра Ли может быть охарактеризована каноническими коммутационными соотношениями ,
(1)
где p 1 , ..., p n , q 1 , ..., q n , z - образующие алгебры.
В частности, z - центральный элемент алгебры Ли Гейзенберга. Отметим, что алгебра Ли группы Гейзенберга нильпотентна.
Экспоненциальная карта
Позволять
который выполняет . Экспоненциальное отображение имеет значение
Экспоненциальное отображение любой нильпотентной алгебры Ли является диффеоморфизмом между алгеброй Ли и уникальной связанной подключен , односвязной группы Ли.
Это обсуждение (кроме заявлений , относящихся к измерению и группе Ли) , дополнительно применяется , если заменить R любого коммутативного кольца A . Соответствующая группа обозначается H n ( A ).
При дополнительном предположении, что простое число 2 обратимо в кольце A , экспоненциальное отображение также определено, так как оно сводится к конечной сумме и имеет приведенный выше вид (т.е. A может быть кольцом Z / p Z с нечетным простым числом p или любое поле по характеристике 0).
Теория представлений
Теория унитарного представления группы Гейзенберга довольно проста - позже обобщенная теорией Макки - и послужила мотивацией для ее введения в квантовую физику, как обсуждается ниже.
Для каждого ненулевого действительного числа , мы можем определить неприводимое унитарное представление из действующий в гильбертовом пространстве по формуле: [4]
Это представление известно как представление Шредингера . Мотивом для этого представления является действие экспоненциальных операторов положения и импульса в квантовой механике. Параметр описывает переводы в пространстве позиций, параметр описывает трансляции в импульсном пространстве, а параметр дает общий фазовый коэффициент. Фазовый множитель необходим для получения группы операторов, поскольку трансляции в пространстве позиций и трансляции в импульсном пространстве не коммутируют.
Ключевым результатом является теорема Стоуна – фон Неймана , которая утверждает, что любое (сильно непрерывное) неприводимое унитарное представление группы Гейзенберга, в котором центр действует нетривиально, эквивалентно для некоторых . [5] С другой стороны, все они эквивалентны алгебре Вейля (или алгебре CCR ) на симплектическом пространстве размерности 2 n .
Поскольку группа Гейзенберга является одномерным центральным расширением группы , Ее неприводимые унитарные представления можно рассматривать как неприводимые унитарные проективные представления о. Концептуально представленное выше представление представляет собой квантово-механический аналог группы трансляционных симметрий на классическом фазовом пространстве,. Тот факт, что квантовая версия является только проективным представлениемпредлагается уже на классическом уровне. Гамильтоновыми генераторами трансляций в фазовом пространстве являются функции положения и импульса. Однако оболочка этих функций не образует алгебру Ли под скобкой Пуассона , посколькуСкорее, диапазон функций положения и импульса, а также констант образует алгебру Ли под скобкой Пуассона. Эта алгебра Ли является одномерным центральным расширением коммутативной алгебры Ли, изоморфная алгебре Ли группы Гейзенберга.
О симплектических векторных пространствах
Общая абстракция группы Гейзенберга строится из любого симплектического векторного пространства . [6] Например, пусть ( V , ω) - конечномерное вещественное симплектическое векторное пространство (так что ω - невырожденная кососимметрическая билинейная форма на V ). Группа Гейзенберга H ( V ) на ( V , ω) (или просто V для краткости) - это множество V × R, наделенное групповым законом
Группа Гейзенберга является центральным расширением аддитивной группы V . Таким образом, существует точная последовательность
Любое симплектическое векторное пространство допускает базис Дарбу { e j , f k } 1 ≤ j , k ≤ n такой, что ω ( e j , f k ) = δ j k, и где 2 n - размерность V (размерность V равна обязательно даже). В терминах этого базиса каждый вектор распадается как
Д и р являются канонически сопряженные координаты .
Если { e j , f k } 1 ≤ j , k ≤ n является базисом Дарбу для V , то пусть { E } будет базисом для R , и { e j , f k , E } 1 ≤ j , k ≤ n является соответствующим основанием для V × R . Тогда вектор в H ( V ) задается формулой
и групповой закон становится
Поскольку основное многообразие группы Гейзенберга является линейным пространством, векторы в алгебре Ли могут быть канонически отождествлены с векторами в группе. Алгебра Ли группы Гейзенберга задается коммутационным соотношением
или написано в терминах базиса Дарбу
а все остальные коммутаторы исчезают.
Также возможно определить групповой закон другим способом, но это даст группу, изоморфную группе, которую мы только что определили. Чтобы избежать путаницы, мы будем использовать u вместо t , поэтому вектор задается как
и групповой закон
Элемент группы
затем можно представить в виде матрицы
- ,
что дает точное матричное представление H ( V ). У в этой формулировке связано с т в предыдущей постановке на, так что значение t для продукта составляет
- ,
как прежде.
Изоморфизм к группе с использованием верхнетреугольных матриц основан на разложении V в базис Дарбу, что равносильно выбору изоморфизма V ≅ U ⊕ U *. Хотя новый групповой закон дает группу, изоморфную указанной выше, группу с этим законом иногда называют поляризованной группой Гейзенберга как напоминание о том, что этот групповой закон основан на выборе базиса (выборе лагранжевого подпространства из V является поляризация ).
Для любой алгебры Ли, существует единственная связная , односвязная группа Ли G . Все остальные подключенные группы Ли с одной и той же алгебры Ли как G имеют вид G / N , где N является центральной дискретной группы в G . В этом случае в центре H ( V ) является R и только дискретные подгруппы изоморфны Z . Таким образом, H ( V ) / Z - другая группа Ли, разделяющая эту алгебру Ли. Следует отметить, что эта группа Ли не допускает точных конечномерных представлений; он не изоморфен какой-либо группе матриц. Однако у него есть хорошо известное семейство бесконечномерных унитарных представлений.
Связь с алгеброй Вейля
Алгебра Ли группы Гейзенберга была описана выше (1) как алгебра Ли матриц. Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта применяется для определения универсальной обертывающей алгебры . Среди других свойств универсальная обертывающая алгебра - это ассоциативная алгебра, в которую инъективно впитывается.
Таким образом, по теореме Пуанкаре – Биркгофа – Витта это свободное векторное пространство, порожденное мономами
где все показатели неотрицательны.
Вследствие этого, состоит из действительных многочленов
с коммутационными соотношениями
Алгебра тесно связана с алгеброй дифференциальных операторов на ℝ n с полиномиальными коэффициентами, поскольку любой такой оператор имеет единственное представление в виде
Эта алгебра называется алгеброй Вейля . Из абстрактной чепухи следует, что алгебра Вейля W n является фактором. Однако это также легко увидеть непосредственно из представленных выше изображений; а именно отображением
Приложения
Параметризация квантовой механики Вейля
Приложение , которое привело Герман Вейль к явной реализации группы Гейзенберга был вопрос о том, почему картина Шредингера и Гейзенберга картина физически эквивалентны. Абстрактно, причиной является теорема Стоуна – фон Неймана : существует единственное унитарное представление с заданным действием элемента центральной алгебры Ли z с точностью до унитарной эквивалентности: все нетривиальные элементы алгебры эквивалентны обычному положению и импульсу операторы.
Таким образом, картина Шредингера и картина Гейзенберга эквивалентны - это просто разные способы реализации этого по существу уникального представления.
Тета-представление
Тот же результат единственности был использован Дэвидом Мамфордом для дискретных групп Гейзенберга в его теории уравнений, определяющих абелевы многообразия . Это большое обобщение подхода, используемого в эллиптических функциях Якоби , который является случаем группы Гейзенберга по модулю 2, порядка 8. Простейшим случаем является тета-представление группы Гейзенберга, дискретный случай которой дает тета-функцию .
Фурье-анализ
Группа Гейзенберга также встречается в анализе Фурье , где она используется в некоторых формулировках теоремы Стоуна – фон Неймана . В этом случае можно понять, что группа Гейзенберга действует на пространстве функций, интегрируемых с квадратом ; результатом является представление групп Гейзенберга, иногда называемое представлением Вейля.
Как субриманово многообразие
Трехмерную группу Гейзенберга H 3 ( R ) на вещественных числах также можно понимать как гладкое многообразие и, в частности, как простой пример субриманова многообразия . [7] Для точки p = ( x , y , z ) в R 3 определим дифференциальную 1-форму Θ в этой точке как
Это одна форма принадлежит кокасательного расслоения из R 3 ; это,
является отображением на касательном расслоении . Позволять
Видно, что H является подрасслоением касательного расслоения T R 3 . Cometric на H задается путем проецирования векторов для двумерного пространства , натянутого на векторы в х и у направлении. То есть при заданных векторах а также в T R 3 внутренний продукт задается как
Полученная структура превращает H в многообразие группы Гейзенберга. Ортонормированный репер на многообразии задается векторными полями Ли
которые подчиняются соотношениям [ X , Y ] = Z и [ X , Z ] = [ Y , Z ] = 0. Будучи векторными полями Ли, они образуют левоинвариантный базис для действия группы. В геодезических на многообразии являются спиралями, выступающий вниз по кругу в двух измерениях. То есть, если
геодезическая кривая, то кривая представляет собой дугу окружности, а
с интегралом, ограниченным двумерной плоскостью. То есть высота кривой пропорциональна площади круга, образуемого дугой окружности , что следует из теоремы Стокса .
Группа Гейзенберга локально компактной абелевой группы
В более общем случае можно определить группу Гейзенберга локально компактной абелевой группы K , снабженной мерой Хаара . [8] Такая группа имеет двойственную по Понтрягину , состоящий из всех непрерывных -значные характеры на K , которая также является локально компактной абелевой группой, если наделена компактно-открытой топологией . Группа Гейзенберга, ассоциированная с локально компактной абелевой группой K, является подгруппой унитарной группыпорождается переводами из K и умножениями на элементы.
Более подробно, гильбертово пространство состоит из квадратично интегрируемых комплекснозначных функций на K . Переводы в K образуют унитарное представление о K в качестве операторов:
для . То же самое и с умножением на символы:
для . Эти операторы не коммутируют, а вместо этого удовлетворяют
умножение на фиксированное комплексное число единичного модуля.
Итак, группа Гейзенберга связан с K представляет собой тип центрального расширения из, через точную последовательность групп:
Более общие группы Гейзенберга описываются 2-коцилами в группе когомологий . Существование двойственности между а также рождает канонический коцикл, но обычно бывают и другие.
Группа Гейзенберга действует неприводимо на . Действительно, непрерывные характеры разделяют точки [9], поэтому любой унитарный оператор что ездит с ними, это множитель . Но переключение с переводами подразумевает, что множитель постоянен. [10]
Версия теоремы Стоуна – фон Неймана , доказанная Джорджем Макки , верна для группы Гейзенберга.. [11] [12] Преобразование Фурье является уникальным переплетением между представлениями а также . См. Обсуждение в теореме Стоуна – фон Неймана # Связь с преобразованием Фурье для подробностей.
Смотрите также
- Канонические коммутационные соотношения
- Преобразование Вигнера – Вейля
- Теорема Стоуна – фон Неймана
- Проективное представление
Заметки
- ^ Woit, Питер. Разделы теории представлений: алгебра Гейзенберга (PDF) .
- ^ Холл 2015 Предложение 3.26
- ^ Холл 2015 Глава 2, Упражнение 9
- ^ Hall 2013 Предложение 14,7
- ^ Холл 2013 Теорема 14.8
- ^ Ханс Тилгнер, " Класс разрешимых групп Ли и их связь с каноническим формализмом. Архивировано 05.06.2011 в Wayback Machine ", Анналы института Анри Пуанкаре (A) Physique théorique , 13 no. 2 (1970), стр. 103-127.
- ^ Ричард Монтгомери, Экскурсия по субримановым геометриям, их геодезическим и приложениям (математические обзоры и монографии, том 91) , (2002) Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1391-9 .
- ^ Дэвид Мамфорд (1991), "Тата лекции по тета III", Прогресс в математике , Биркхаузер, 97
- ^ Карл Генрих Хофманн, Сидней А. Моррис (2006), Структура компактных групп: учебник для студентов, руководство для экспертов , Исследования Де Грюйтера по математике 25 (2-е исправленное издание), Вальтер де Грюйтер, ISBN 9783110190069
- ^ Этот аргумент появляется в несколько ином параметре в Роджер Хау (1980), «О роли группы Гейзенберга в гармонического анализа», Бюллетень Американского математического общества , 3 (2): 821-844, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1980-14825-9 , М.Р. 0578375
- ^ Джордж Макки (1949), "Об одной теореме Стоуна и фон Неймана", Дюк математический журнал , 16 (2): 313-326, DOI : 10,1215 / s0012-7094-49-01631-2
- ^ A Prasad (2009), Простое доказательство теоремы Стоуна – фон Неймана – Макки , arXiv : 0912.0574 , doi : 10.1016 / j.exmath.2010.06.001
Рекомендации
- Бинц, Эрнст; Стручки, Соня (2008). Геометрия групп Гейзенберга . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4495-3.
- Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для выпускников по математике. 222 (второе изд.). Springer. ISBN 978-3319134666.
- Хау, Роджер (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе» . Бюллетень Американского математического общества . 3 (2): 821–843. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1980-14825-9 . Руководство по ремонту 0578375 .
- Кириллов, Александр А. (2004). "Глава 2:" Представления и орбиты группы Гейзенберга ". Лекции по методу орбит . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3530-0.
- Макки, Джордж (1976). Теория представлений унитарных групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0226500522.
Внешние ссылки
- Groupprops, The Group Properties Wiki Группа унитреугольных матриц UT (3, p)