В математике , инъективны функции (также известные как инъекции , или один-к-одной функции ) является функцией , которая отображает различные элементы своей области в различные элементы его области значений . [1] Другими словами, каждый элемент из области значений функции является изображение из не более одного элемента своей области. [2] Термин « функция один-к-одному» не следует путать с взаимно-однозначным соответствием, которое относится к биективным функциям., которые являются такими функциями, что каждый элемент в кодомене является изображением ровно одного элемента в домене.
Гомоморфизм между алгебраическими структурами является функцией , которая совместима с операциями структур. Для всех распространенных алгебраических структур и, в частности, для векторных пространств , инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом . Однако в более общем контексте теории категорий определение мономорфизма отличается от определения инъективного гомоморфизма. [3] Таким образом, это теорема, что они эквивалентны для алгебраических структур; см. Гомоморфизм § Мономорфизм для более подробной информации.
Не инъективную функцию f иногда называют «многие к одному». [2]
Определение
Пусть f - функция , областью определения которой является множество. Функцияназывается инъективным при условии, что для всех а также в , если , тогда ; это, подразумевает . Эквивалентно, если, тогда .
Символично,
что логически эквивалентно контрапозитиву ,
Примеры
- Для любого множества X и любого подмножества S из X , на карте включение S → X (который посылает любой элемент s из S к себе) инъективна. В частности, тождественная функция X → X всегда инъективна (и фактически биективна).
- Если область определения функции - это пустое множество , то функция - это пустая функция , которая является инъективной.
- Если домен функции имеет один элемент (то есть это одноэлементный набор ), тогда функция всегда инъективна.
- Функция f : R → R, определенная формулой f ( x ) = 2 x + 1 , инъективна.
- Функция g : R → R, определенная формулой g ( x ) = x 2 , не является инъективной, потому что (например) g (1) = 1 = g (−1) . Однако, если g переопределен так, что его областью определения являются неотрицательные действительные числа [0, + ∞), то g инъективен.
- Экспоненциальная функция ехр: R → R определяется ехром ( х ) = е х инъективен (но не сюръективен , поскольку никакого реального значения не отображается в виде отрицательного числа).
- Натуральный логарифм функция LN: (0, ∞) → R определяются й ↦ пер й инъективно.
- Функция g : R → R, определенная формулой g ( x ) = x n - x , не является инъективной, поскольку, например, g (0) = g (1) = 0 .
В более общем смысле, когда X и Y являются действительной линией R , тогда инъективная функция f : R → R - это функция , график которой никогда не пересекается какой-либо горизонтальной линией более одного раза. Этот принцип называется тестом горизонтальной линии . [2]
Инъекции можно отменить
Функции с обратными слева всегда являются инъекциями. То есть, дано е : Х → Y , если существует функция г : Y → X , что для любого х ∈ Х ,
- g ( f ( x )) = x ( f может быть отменено с помощью g ), тогда f инъективен. В этом случае, например , называется втягивание из F . С другой стороны , е называется раздел о г .
И наоборот, каждая инъекция f с непустой областью имеет левый обратный g , который можно определить, зафиксировав элемент a в области определения f так, чтобы g ( x ) равнялся уникальному прообразу x под f, если он существует, и g ( x ) = a в противном случае. [6]
Левый обратный г не обязательно является обратным из F , так как композиция в другом порядке, е ∘ г , может отличаться от идентичности на Y . Другими словами, инъективная функция может быть «обращена» левой обратной, но не обязательно обратимой , что требует, чтобы функция была биективной .
Инъекции могут быть обратимыми
Фактически, чтобы превратить инъективную функцию f : X → Y в биективную (следовательно, обратимую ) функцию, достаточно заменить ее область значений Y ее фактическим диапазоном значений J = f ( X ) . То есть, пусть g : X → J такой, что g ( x ) = f ( x ) для всех x в X ; тогда g биективен. Действительно, F может быть пропущено , как вкл J , Y ∘ г , где включая J , Y является функцией включения из J в Y .
В более общем смысле инъективные частичные функции называются частичными биекциями .
Прочие свойства
- Если f и g инъективны, то f ∘ g инъективно.
- Если g ∘ f инъективно, то f инъективно (но g не обязательно).
- f : X → Y инъективно тогда и только тогда, когда для любых функций g , h : W → X всякий раз, когда f ∘ g = f ∘ h , то g = h . Другими словами, инъективные функции - это в точности мономорфизмы в категории « Множество множеств».
- Если F : X → Y инъективно и является подмножеством из X , то F -1 ( е ( )) = . Таким образом, A можно восстановить по его образу f ( A ).
- Если f : X → Y инъективно, а A и B являются подмножествами X , то f ( A ∩ B ) = f ( A ) ∩ f ( B ) .
- Каждую функцию h : W → Y можно разложить как h = f ∘ g для подходящей инъекции f и сюръекции g . Это разложение уникально с точностью до изоморфизма , и f можно рассматривать как функцию включения диапазона h ( W ) h как подмножества области Y области h .
- Если f : X → Y - инъективная функция, то Y имеет по крайней мере столько же элементов, сколько X , в смысле количественных чисел . В частности, если вдобавок происходит инъекция от Y до X , то X и Y имеют одинаковые кардинальные числа. (Это известно как теорема Кантора – Бернштейна – Шредера .)
- Если оба Х и Y имеет конечные с тем же числом элементов, то F : X → Y инъективен тогда и только тогда , когда F является сюръективным (в этом случае е является взаимно однозначным ).
- Инъективная функция, являющаяся гомоморфизмом двух алгебраических структур, является вложением .
- В отличие от сюръективности, которая представляет собой отношение между графиком функции и ее областью, инъективность является свойством только графика функции; то есть, является ли функция f инъективной, можно решить, рассматривая только график (а не область значений) f .
Доказательство инъективности функций
Доказательство инъективности функции f зависит от того, как функция представлена и какие свойства она имеет. Для функций, которые задаются некоторой формулой, есть основная идея. Мы используем определение инъективности, а именно, что если f ( x ) = f ( y ) , то x = y . [7]
Вот пример:
- е = 2 х + 3
Доказательство: Пусть F : X → Y . Предположим, что f ( x ) = f ( y ) . Итак, 2 x + 3 = 2 y + 3 ⇒ 2 x = 2 y ⇒ x = y . Следовательно, из определения следует инъективность f .
Есть несколько других методов доказательства инъективности функции. Например, в исчислении, если f - дифференцируемая функция, определенная на некотором интервале, тогда достаточно показать, что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если f - линейное преобразование, достаточно показать, что ядро f содержит только нулевой вектор. Если f - функция с конечным доменом, достаточно просмотреть список изображений каждого элемента домена и убедиться, что ни одно изображение не встречается дважды в списке.
Графический подход к действительнозначной функции f от действительной переменной x - это проверка горизонтальной линии . Если каждая горизонтальная линия пересекает кривую f ( x ) не более чем в одной точке, то f инъективна или взаимно однозначна.
Смотрите также
- Биекция, инъекция и сюръекция
- Инъективное метрическое пространство
- Монотонная функция
- Унивалентная функция
Заметки
- ^ "Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - один к одному" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .
- ^ а б в «Инъективный, сюръективный и биективный» . www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 .
- ^ «Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные карты предпучков - проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 7 декабря 2019 .
- ^ "Биекция, инъекция и сюрприз | Блестящая вики по математике и науке" . brilliant.org . Проверено 7 декабря 2019 .
- ^ Фарлоу, SJ "Инъекции, сюрпризы и биологические инъекции" (PDF) . math.umaine.edu . Проверено 6 декабря 2019 .
- ^ В отличие от соответствующего утверждения о том, что каждая сюръективная функция имеет правую обратную, это не требует аксиомы выбора , поскольку существование a подразумевается непустотой области. Однако это утверждение может потерпеть неудачу в менее традиционной математике, такой как конструктивная математика . В конструктивной математике включение {0,1} → R двухэлементного множества в вещественные числа не может иметь левого обратного, так как это нарушило бы неразложимость , давая ретракцию вещественной прямой к множеству {0,1} .
- ^ Уильямс, Питер. «Доказательство функций один-к-одному» . Архивировано из оригинала на 4 июня 2017 года.
Рекомендации
- Бартл, Роберт Г. (1976), Элементы реального анализа (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, п. 17 сл .
- Халмос, Пол Р. (1974), Теория наивных множеств , Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 978-0-387-90092-6, п. 38 сл .
Внешние ссылки
- Самые ранние случаи использования некоторых слов математики: статья о инъекции, сюръекции и взаимно-сопоставлении имеет историю инъекции и связанных с ней терминов.
- Khan Academy - Сюръективные (на) и инъективные (взаимно однозначные) функции: Введение в сюръективные и инъективные функции