Групповое действие

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Для равностороннего треугольника вращение против часовой стрелки на 120 ° вокруг центра треугольника переводит каждую вершину треугольника в другую. Циклическая группа С ₃ , состоящих из вращений на 0 °, 120 ° и 240 ° действуют на множество из трех вершин.

В математике , A группа действия на пространстве является групповым гомоморфизмом данной группы в группу преобразований пространства. Точно так же действие группы на математической структуре - это групповой гомоморфизм группы в группу автоморфизмов структуры. Говорят, что группа действует на пространство или структуру. Если группа воздействует на структуру, она обычно также действует на объекты, построенные из этой структуры. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидовом пространствеа также на нарисованных в ней фигурах. В частности, он действует на множестве всех треугольников . Аналогично, группа симметрии одного многогранника действует на вершинах , по краям , а грани многогранника.

Групповое действие на (конечномерном) векторном пространстве называется представлением группы. Это позволяет идентифицировать множество групп с подгруппами GL ( п , К ) , в группе обратимых матриц размерности п над полем K .

Симметричная группа S _п действует на любом множестве с п элементами перестановки элементов набора. Хотя группа всех перестановок набора формально зависит от набора, концепция группового действия позволяет рассматривать одну группу для изучения перестановок всех наборов с одинаковой мощностью .

Определение [ править ]

Действие левой группы [ править ]

Если G - группа с единичным элементом e , а X - множество, то ( левое ) групповое действие α группы G на X является функцией

${\ Displaystyle \ альфа \ двоеточие G \ раз от X \ до X,}$

(где α ( g , x ) часто сокращается до gx или g ⋅ x, когда рассматриваемое действие ясно из контекста)

который удовлетворяет следующим двум аксиомам: ^[1]

Личность:	${\ Displaystyle е \ cdot х = х}$
Совместимость:	${\ Displaystyle г \ CDOT (ч \ CDOT х) = (гх) \ CDOT х}$

для всех г и ч в G и всех х в X .

Говорят, что группа G действует на X (слева). Множество X вместе с действием G называется ( левый ) G - множество .

Из этих двух аксиом следует, что для любого фиксированного g в G функция из X в себя, которая отображает x в g ⋅ x, является биекцией, а обратная биекция - соответствующим отображением для g ⁻¹ . Следовательно, можно эквивалентно определить групповое действие G на X как групповой гомоморфизм из G в симметрическую группу Sym ( X ) всех биекций из X в себя. ^[2]

Действие правой группы [ править ]

Аналогичным образом, правая группа действий из G на X является функцией

${\ Displaystyle \ альфа \ двоеточие X \ раз от G \ до X,}$

(где α ( x , g ) часто сокращается до xg или x ⋅ g, когда рассматриваемое действие ясно из контекста)

который удовлетворяет аналогичным аксиомам:

Личность:	${\ Displaystyle х \ cdot е = х}$
Совместимость:	${\ Displaystyle (х \ cdot g) \ cdot h = x \ cdot (gh)}$

для всех г и ч в G и всех х в X .

Разница между левым и правым действиями заключается в порядке, в котором продукт gh действует на x . Для левого действия сначала действует h , затем - g . Для правильного действия сначала действует g , затем h - второе. Из-за формулы ( gh ) ⁻¹ = h ⁻¹ g ⁻¹ , левое действие может быть построено из правого действия путем компоновки с обратной операцией группы. Кроме того, правое действие группы G на X можно рассматривать как левое действие ее противоположной группы G ^op наX .

Таким образом, для установления общих свойств групповых действий достаточно рассмотреть только левые действия. Однако есть случаи, когда это невозможно. Например, умножение группы вызывает как левое, так и правое действие над самой группой - умножение слева и справа, соответственно.

Типы действий [ править ]

Действие G на X называется:

• Переходная , если Х является непустым , а если для каждой пары х , у в X существует г в G такимчто г ⋅ х = у . Такнапример, действие симметрической группы X является переходным, действием общей линейной группы или специальной линейной группа векторного пространства V на V ∖ {0} является переходным, но действие ортогональной группы из в евклидове пространство E не транзитивно наЕ ∖ {0} (оно транзитивно на единичной сфере от Е , хотя).
• Точный (или эффективный ), если для любых двух различных g , h в G существует x в X такой, что g ⋅ x ≠ h ⋅ x ; илиэквивалентно, если для каждого г ≠ е в G существует х в X такимчто г ⋅ х ≠ х . Другими слова, в верном действии группы, различные элементы G вызывают различные перестановки X . ^[а]В алгебраических терминах группа G точно действует на X тогда и только тогда, когда соответствующий гомоморфизм симметрической группе G → Sym ( X ) имеет тривиальное ядро . Таким образом, для точного действия G вкладывается в группу подстановок на X ; в частности, G изоморфна своему образу в Sym ( X ). Если G не действует точно на X , мы можем легко изменить группу, чтобы получить точное действие. Если мы определим N = { g в G  : g ⋅х = х для всех х в X } , то Н является нормальная подгруппа из G ; действительно, это ядро ​​гомоморфизма G → Sym ( X ) . Фактор - группа G / Н действует точно на X с помощью параметра ( гНо ) ⋅ х = г ⋅ х . Исходное действие G на X является точным тогда и только тогда, когда N = { e }. Наименьший набор, на котором может быть определено точное действие, может сильно различаться для групп одного размера. Например:
  • Три группы размера 120 - это симметрическая группа S ₅ , группа икосаэдра и циклическая группа . Наименьшие наборы, на которых могут быть определены точные действия, имеют размер 5, 12 и 16 соответственно.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 120 \ mathbb {Z}}$
  • В абелевых группах размера 2 ^п включают циклическую группу , а также (в прямое произведение из п копий ), но последние действует точно на множестве размера 2 л , в то время как первые могут не действовать точно на множестве меньше , чем сам по себе.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 ^ {п} \ mathbb {Z}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• Свободным (или полурегулярным, или без неподвижных точек ), если для заданных g , h в G существование x в X с g ⋅ x = h ⋅ x влечет g = h . Эквивалентно: если g является элементом группы и существует x в X с g ⋅ x = x (то есть, если g имеет хотя бы одну неподвижную точку), то gэто личность. Обратите внимание, что свободное действие на непустом множестве является точным.
• Регулярный (или просто транзитивный или резко транзитивный ), если он одновременно и транзитивен, и свободен; это равносильно утверждению, что для любых двух x , y в X существует ровно один g в G такой, что g ⋅ x = y . В этом случае X называется главным однородным пространством для G или G -торсором. Действие любой группы Gумножение на себя левым умножением является правильным, а значит, и точным. Следовательно, каждая группа может быть вложена в симметрическую группу на своих собственных элементах Sym ( G ). Этот результат известен как теорема Кэли .
• n-транзитивным, если X имеет не менее n элементов, и для всех различных x ₁ , ..., x _n и всех различных y ₁ , ..., y _n существует g в G такой, что g ⋅ x _k = y _k для 1 ≤ k ≤ n . 2-транзитивное действие также называется дважды транзитивным , 3-транзитивное действие также называется тройно транзитивным., и так далее. Такие действия определяют интересные классы подгрупп в симметрических группах: 2-транзитивные группы и, в более общем смысле, кратно транзитивные группы . Действие симметрической группы на множестве из n элементов всегда n -транзитивно; действие знакопеременной группы ( n - 2) -транзитивно.
• Точно n-транзитивный, если существует ровно один такой g .
• Примитивный , если оно транзитивно и не сохраняет без нетривиального разбиения X . См. Подробности в примитивной группе перестановок .
• Локально свободен , если G является топологической группой , и существует окрестность U из е в G такое , что ограничение действия на U является свободным; то есть, если g ⋅ x = x для некоторого x и некоторого g в U, то g = e .

Кроме того, если G действует в топологическом пространстве X , то действие будет следующим:

• Блуждающий, если каждая точка x в X имеет такую ​​окрестность U , котораяконечна. ^[3] Например, действиеonby translations - блуждание. Действие модулярной группы на полуплоскости Пуанкаре также блуждающее.${\displaystyle \{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Собственно разрывное, если X - локально компактное пространство и для любого компактного подмножества K  ⊂  X это множество конечно. Приведенные выше блуждающие действия также являются прерывистыми. С другой стороны, действие на дается блуждает и свободными , но не разрывно. ^[4]${\displaystyle \{g\in G:gK\cap K\neq \emptyset \}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)}$
• Правильное , если G является топологической группой и отображениеявляется собственно . ^[5] Если G является дискретным , то собствен эквивалентен надлежащим разрывом для G -действий.${\displaystyle G\times X\rightarrow X\times X:(g,x)\mapsto (g\cdot x,x)}$
• Говорят , что дискретные орбиты , если орбита каждого х в X под действием G дискретна в X . ^[3]
• Накрытие действие , если каждая точка х в X имеет окрестность U такая , что . ^[6]${\displaystyle \{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}=\{e\}}$

Если Х представляет собой ненулевой модуль над кольцом R и действие G является R -линейного то она называется

• Неприводимый, если нет ненулевого собственного инвариантного подмодуля.

Орбиты и стабилизаторы [ править ]

Рассмотрим группу G , действующей на множестве X . Орбита элемента х в X есть множество элементов в X , в которой х можно перемещать элементы G . Орбита x обозначается G ⋅ x :

${\displaystyle G\cdot x=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}.}$

Определяющие свойства гарантии группы , что множество орбит (точек х , в) Х под действием G образуют перегородку из X . Ассоциированные отношение эквивалентности определяется говоря х ~ у , если и только если существует г в G с г ⋅ х = у . В этом случае орбиты являются классами эквивалентности по этому отношению; два элемента x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты совпадают, то есть G⋅ х = G ⋅ у .

Действие группы является транзитивным , если и только если оно имеет ровно один оборот, то есть, если существует й в X с G ⋅ х = X . Это так, если и только если G ⋅ x = X для всех x в X (при условии, что X непусто).

Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G (или, реже: G \ X ), и называется фактором действия. В геометрических ситуациях его можно назвать пространством орбит , в то время как в алгебраических ситуациях его можно назвать пространством коинвариантов и записать X _G , в отличие от инвариантов (неподвижных точек), обозначенных X ^G : коинварианты являются факторными, а инварианты являются подмножеством. Коинвариантная терминология и обозначения используются, в частности, вгрупповые когомологии и групповые гомологии , в которых используется одно и то же соглашение о надстрочных / подстрочных индексах.

Инвариантные подмножества [ править ]

Если Y представляет собой подмножество из X , один пишет GY для множества { г ⋅ у  : у ∈ Y и г ∈ G } . Подмножество Y называется инвариантным относительно G, если G ⋅ Y = Y (что эквивалентно G ⋅ Y ⊆ Y ). В этом случае, G также действует на Y , ограничивая действие на Y . Подмножество Y называетсянеподвижна при G , если г ⋅ у = у для всех г в G и все у в Y . Каждое подмножество, фиксированное относительно G , также инвариантно относительно G , но не наоборот.

Каждая орбита является инвариантным подмножеством X, на котором G действует транзитивно . Наоборот, любое инвариантное подмножество X является объединением орбит. Действие G на X является транзитивным тогда и только тогда , когда все элементы эквивалентны, а это означает , что существует только одна орбита.

G-инвариантный элемент X является х ∈ Х такое , что г ⋅ х = х для всех г ∈ G . Множество всех таких х обозначается X ^G и называются G-инварианты из X . Когда X является G -модулем , X ^G является нулевой группой когомологий G с коэффициентами в X , а высшие группы когомологий являются производными функторамииз функтора из G -инвариантов.

Подгруппы фиксированных точек и стабилизаторов [ править ]

Для g в G и x в X с g ⋅ x = x говорят, что « x - неподвижная точка g » или что « g фиксирует x ». Для каждого х в X , то стабилизатор подгруппа из G относительно х (также называется группа изотропии или небольшой группы ^[7] ) есть множество всех элементов в G , что исправление х :

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.}$

Это подгруппа группы G , хотя обычно она не является нормальной. Действие G на X является свободным тогда и только тогда , когда все стабилизаторы являются тривиальными. Ядро N гомоморфизма с симметрической группой, G → Sym ( X ) , определяется пересечением стабилизаторов G _х для всех х в X . Если N тривиально, действие называется точным (или эффективным).

Пусть x и y - два элемента в X , и пусть g - такой групповой элемент, что y = g ⋅ x . Тогда две группы стабилизаторов G _x и G _y связаны соотношением G _y = g G _x g ⁻¹ . Доказательство: по определению h ∈ G _y тогда и только тогда, когда h ⋅ ( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Применяя g ⁻¹к обеим частям этого равенства следует ( g ⁻¹ hg ) ⋅ x = x ; то есть g ⁻¹ hg ∈ G _x . Обратное включение следует аналогично, принимая час ∈ G _х и предполагая х = г ^-1 ⋅ у .

Сказанное выше говорит о том, что стабилизаторы элементов на одной орбите сопряжены друг с другом. Таким образом, каждой орбите можно сопоставить класс сопряженности подгруппы группы G (то есть множество всех сопряженных подгруппы). Пусть обозначим класс сопряженности Н . Тогда орбита O имеет тип, если стабилизатор некоторого / любого x в O принадлежит . Тип максимальной орбиты часто называют типом главной орбиты .${\displaystyle (H)}$${\displaystyle (H)}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle (H)}$

Теорема о стабилизаторе орбиты и лемма Бернсайда [ править ]

Орбиты и стабилизаторы тесно связаны. Для фиксированного x в X рассмотрим отображение f : G → X, заданное формулой g ↦ g · x . По определению образ f ( G ) этого отображения - это орбита G · x . Условие того, что два элемента имеют одно и то же изображение:

${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}}$.

Другими словами, тогда и только тогда, когда и принадлежат одному классу смежности для подгруппы стабилизатора . Таким образом, волокно из F над любым у в G · х содержится в таком смежном классе, и каждый такой смежный класс также имеет место в качестве волокна. Следовательно, f определяет биекцию между множеством смежных классов для подгруппы стабилизатора и орбитой G · x , которая посылает . ^[8] Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты .${\displaystyle f(g)=f(h)}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$${\displaystyle G/G_{x}}$${\displaystyle gG_{x}\mapsto g\cdot x}$

Если G конечна, то теорема о стабилизаторе орбиты вместе с теоремой Лагранжа дает

${\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,}$

другими словами , длина орбиты х раз порядка его стабилизатора является порядок группы. В частности, это означает, что длина орбиты является делителем группового порядка.

Пример: пусть G группа простого порядка p, действующая на множестве X с k элементами. Поскольку каждая орбита имеет либо 1, либо p элементов, существует по крайней мере орбиты длины 1, которые являются G -инвариантными элементами.${\displaystyle k{\bmod {p}}}$

Этот результат особенно полезен, поскольку его можно использовать для подсчета аргументов (обычно в ситуациях, когда X также конечно).

Пример: мы можем использовать теорему о стабилизаторе орбиты для подсчета автоморфизмов графа . Рассмотрим кубический граф, как показано на рисунке, и пусть G обозначает его группу автоморфизмов . Затем G действует на множестве вершин {1, 2, ..., 8}, и это действие транзитивно, что можно увидеть, составив вращения вокруг центра куба. Таким образом, по теореме о стабилизаторе орбиты . Применяя теперь теорему к стабилизатору G ₁ , получаем . Любой элемент группы G , фиксирующий 1, должен отправить 2 в 2, 4 или 5. В качестве примера таких автоморфизмов рассмотрим поворот вокруг диагональной оси через 1 и 7 посредством${\displaystyle |G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|}$${\displaystyle |G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|}$${\displaystyle 2\pi /3}$который переставляет 2,4,5 и 3,6,8, и исправление 1 и 7. Таким образом, . Применение теоремы в третий раз дает . Любой элемент G, который фиксирует 1 и 2, должен отправить 3 либо в 3, либо в 6. Таким образом, отражение куба в плоскости через 1,2,7 и 8 является таким автоморфизмом, который отправляет 3 в 6 . Также видно, что он состоит только из тождественного автоморфизма, поскольку любой элемент G, фиксирующий 1, 2 и 3, должен также фиксировать все другие вершины, поскольку они определяются своей смежностью с 1, 2 и 3. Комбинируя предыдущие вычисления, мы можем теперь получить .${\displaystyle \left|(G_{1})\cdot 2\right|=3}$${\displaystyle |(G_{1})_{2}|=|((G_{1})_{2})\cdot 3||((G_{1})_{2})_{3}|}$${\displaystyle \left|((G_{1})_{2})\cdot 3\right|=2}$${\displaystyle ((G_{1})_{2})_{3}}$${\displaystyle |G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48}$

Результатом, тесно связанным с теоремой о стабилизаторе орбиты, является лемма Бернсайда :

${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$

где X ^g - множество точек, фиксируемых g . Этот результат в основном используется, когда G и X конечны, когда его можно интерпретировать следующим образом: количество орбит равно среднему количеству точек, зафиксированных на один элемент группы.

Зафиксировав группу G , набор формальных разностей конечных G -множеств образует кольцо, называемое кольцом Бернсайда группы G , где сложение соответствует несвязному объединению , а умножение - декартову произведению .

Примеры [ править ]

• Тривиальное действие любой группы G на любом множестве X определяется г ⋅ х = х для всех г в G и всех х в X ; то есть, каждый элемент группы индуцирует тождественную перестановку на X . ^[9]
• В каждой группе G , умножение слева есть действие G на G : г ⋅ х = дх для всех г , х в G . Это действие свободно и транзитивно (регулярный), и формирует основу для быстрого доказательства теоремы Кэли - что каждая группа изоморфна подгруппе симметрической группы перестановок множества G .
• В каждой группе G с подгруппой H , умножение слева есть действие G на множестве смежных классов G / H : г ⋅ аН = г для всех г , на в G . В частности, если H не содержит нетривиальных нормальных подгрупп группы G, это индуцирует изоморфизм группы G в подгруппу группы перестановок степени [G: H] .
• В каждой группе G , конъюгация является действием G на G : г ⋅ х = GXG ^-1 . Для варианта с правым действием обычно используется экспоненциальная запись: x ^g = g ⁻¹ xg ; он удовлетворяет ( x ^g ) ^h = x ^gh .
• В каждой группе G с подгруппой H , конъюгации является действием G на конъюгатов Н : г ⋅ K = ГКГ ^-1 для всех г в G и K конъюгатов H .
• Симметрическая группа S _n и ее подгруппы действуют на множестве {1,…, n } , переставляя его элементы
• Группа симметрии из многогранника действует на множестве вершин этого многогранника. Он также действует на множество граней или множество ребер многогранника.
• Группа симметрии любого геометрического объекта действует на множество точек этого объекта.
• Группа автоморфизмов из векторного пространства (или графика , или группы, или кольца ...) действует на векторном пространстве (или набор вершин графа, или группы, или кольца ...).
• Линейная группа GL ( п , К ) и его подгруппы, в частности ее подгруппы Ли ( в том числе специальной линейной группы SL ( п , К ) , ортогональной группы O ( п , К ) , специальная ортогональная группа SO ( п , К ) , и симплектическая группа Sp ( n , K ) ) - группы Ли , действующие в векторном пространстве K ⁿ. Групповые операции задаются умножением матриц из групп на векторы из K ⁿ .
• Линейная группа GL ( п , Z ) действует на Z ^п естественной матрицы действия. Орбиты его действия классифицируются по наибольшему общему делителю координат вектора в Z ⁿ .
• Аффинная группа действует транзитивно на точках в аффинном пространстве , а подгруппа В аффинной группы (то есть, векторное пространство) имеет транзитивное и свободное (то есть, регулярное ) действие на этих точках; ^[10] действительно, это может быть использовано для определения аффинного пространства .
• Проективная группа PGL ( п + 1, К ) и ее подгруппы, в частности , ее подгруппы Ли, которые являются группами Ли , которые действуют на проективном пространстве Р ^п ( К ). Это фактор действия полной линейной группы на проективном пространстве. Особенно примечателен PGL (2, K ) , симметрия проективной прямой, которая является строго 3-транзитивной, сохраняя поперечное отношение ; группа Мёбиусово ПГЛ (2, С ) представляет особый интерес.
• В изометрии плоскости действуют на множестве 2D изображений и шаблонов, таких как узоры обоев . Определение можно сделать более точным, указав, что подразумевается под изображением или шаблоном, например, функция положения со значениями в наборе цветов. Изометрии фактически являются одним из примеров аффинной группы (действия). ^{[ сомнительно - обсудить ]}
• Наборы действовали на группу G включают категории из G - множества , в которых объекты G -множеств и морфизмы являются G -set гомоморфизмы: функции F  : X → Y такое , что г ⋅ ( е ( х )) = F ( г ⋅ х ) для каждого г в G .
• Группа Галуа из расширения полого L / K действует на поле L , но имеет только тривиальное действие на элементах подполе К. подгруппы Gal (L / K) соответствует подполей , которые содержат L K, то есть, промежуточное поле расширения между L и K.
• Аддитивная группа действительных чисел ( R , +) действует на фазовое пространство " хорошо управляемых " систем в классической механике (и в более общих динамических системах ) путем перевода времени : если t находится в R, а x находится в фазе пространство, то x описывает состояние системы, а t + x определяется как состояние системы через t секунд, если t положительно, или -t секунд назад, если t отрицательно.
• Аддитивная группа действительных чисел ( R , +) действует на множество действительных функций действительной переменной по-разному, причем ( t ⋅ f ) ( x ) равно, например, f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe ^t ) , f ( x ) e ^t , f ( x + t ) e ^t или f ( xe ^t) + t , но не f ( xe ^t + t ) .
• Учитывая групповое действие G на X , мы можем определить индуцированное действие G на множестве степеней X , положив g ⋅ U = { g ⋅ u  : u ∈ U } для каждого подмножества U в X и каждого g в G . Это полезно, например, при изучении действия большой группы Матье на 24-множестве и при изучении симметрии в некоторых моделях конечной геометрии .
• В кватернионах с нормой 1 ( versors ), в качестве мультипликативной группы, действуют на R ³ : для любого такого кватернионов г = соз α / 2 + v грех α / 2 , то отображение F ( х ) = г х г ^* является вращение против часовой стрелки на угол α вокруг оси, заданной единичным вектором v ; z - то же вращение; см. кватернионы и пространственное вращение. Обратите внимание, что это неверное действие, потому что кватернион −1 оставляет все точки, где они были, как и кватернион 1.
• Для левых G -множеств существует левое G -множество , элементы которого являются G -эквивариантными отображениями и с левым G- действием, заданным формулой (где " " означает правое умножение на ). Это G -множество обладает тем свойством, что его неподвижные точки соответствуют эквивариантным отображениям ; в более общем смысле , это экспоненциал в категории от G - множеств.${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle \alpha :X\times G\to Y}$${\displaystyle g\cdot \alpha =\alpha \circ (id_{X}\times -g)}$${\displaystyle -g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X\to Y}$

Групповые действия и группоиды [ править ]

Понятие группового действия может быть помещено в более широкий контекст, используя группоид действий, связанный с групповым действием, что позволяет использовать методы теории группоидов, такие как представления и расслоения . Далее стабилизаторы действия - это группы вершин, а орбиты действия - компоненты группоида действия. Дополнительные сведения см. В книге « Топология и группоиды», ссылка на которую приводится ниже.${\displaystyle G'=G\ltimes X}$

Этот группоид действий имеет морфизм p :  G ′ → G, который является накрывающим морфизмом группоидов . Это позволяет установить связь между такими морфизмами и покрывающими картами в топологии.

Морфизмы и изоморфизмы между G -множествами [ править ]

Если Х и Y являются два G -множеств, А морфизм из X в Y является функцией F  : X → Y такое , что F ( г ⋅ х ) = г ⋅ F ( х ) для всех г в G и всех х в X . Морфизмы G -множеств также называются эквивариантными отображениями или G-отображениями .

Композиция двух морфизмов снова является морфизмом. Если морфизм f биективен, то его обратный также является морфизмом. В этом случае f называется изоморфизмом , а два G -множества X и Y называются изоморфными ; для всех практических целей изоморфные G -множества неразличимы.

Некоторые примеры изоморфизмов:

• Каждое регулярное действие G изоморфно действию G на G, заданному левым умножением.
• Каждое свободное действие G изоморфно G × S , где S - некоторое множество, а G действует на G × S левым умножением на первую координату. ( S можно принять как множество орбит X / G. )
• Каждое транзитивное G действие изоморфно левое умножение на G на множестве левых смежных классов некоторой подгруппы H из G . ( H можно рассматривать как группу стабилизаторов любого элемента исходного G -множества.)

С этим понятием морфизма совокупность всех G -множеств образует категорию ; эта категория является топосом Гротендика (фактически, исходя из классической металогики, этот топос будет даже логическим).

Непрерывные групповые действия [ править ]

Часто рассматривает непрерывные действия группы : группа G является топологической группой , X является топологическим пространством , а отображение G × X → X является непрерывным относительно топологии произведения на G × X . Пространство X в этом случае также называется G-пространством . Это действительно обобщение, поскольку каждую группу можно рассматривать как топологическую группу, используя дискретную топологию. Все понятия , введенные выше еще работы в этом контексте, однако мы определим морфизмы между G -пространствами быть непрерывными карты , совместимые с действием G . Фактор X / G наследует фактор - топологию из X , и называется фактор - пространством действия. Приведенные выше утверждения об изоморфизмах для регулярных, свободных и транзитивных действий больше не верны для непрерывных групповых действий.

Если X - регулярное накрывающее пространство другого топологического пространства Y , то действие группы преобразований колоды на X собственно разрывно и свободно. Каждое свободное собственно разрывное действие группы G на линейно связном топологическом пространстве X возникает следующим образом: фактор-отображение X ↦ X / G является регулярным накрывающим отображением, а группа преобразований колоды - это заданное действие группы G на X . Кроме того, если X односвязно, фундаментальная группа X/ G будет изоморфна G .

Эти результаты были обобщены в упомянутой ниже книге Топология и группоиды для получения фундаментального группоида пространства орбит разрывного действия дискретной группы на хаусдорфовом пространстве, так же как при разумных локальных условиях группоид орбит фундаментального группоида группы космос. Это позволяет выполнять вычисления, такие как фундаментальная группа симметрического квадрата пространства X , а именно пространство орбит произведения X с самим собой при скручивающем действии циклической группы порядка 2, отправляющей ( x , y ) в ( y , x ) .

Действие группы G на локально компактном пространстве X является кокомпактная , если существует компактное подмножество A из X такой , что ГА = Х . Для правильной прерывистого действия, cocompactness эквивалентна компактности фактор - пространства X / G .

Действие G на X называется собственным, если отображение G × X → X × X, которое передает ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ), является собственным отображением .

Сильно непрерывное групповое действие и гладкие точки [ править ]

Групповое действие топологической группы G на топологическом пространстве X называется сильно непрерывным, если для всех x в X отображение g ↦ g ⋅ x непрерывно относительно соответствующих топологий. Такое действие индуцирует действие в пространстве непрерывных функций на X , определяя ( g ⋅ f ) ( x ) = f ( g ⁻¹ ⋅ x ) для каждого g в G , fнепрерывная функция на X , и х в X . Заметим, что, хотя любое непрерывное групповое действие сильно непрерывно, обратное, в общем случае, неверно. ^[11]

Подпространство гладких точек для действия - это подпространство X точек x таких, что g ↦ g ⋅ x гладко, то есть непрерывно и все производные ^{[ где? ]} непрерывны.

Варианты и обобщения [ править ]

Мы также можем рассматривать действия моноидов на множествах, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет биективные отображения и отношения эквивалентности. См. Действие полугруппы .

Вместо действий на множествах, мы можем определить действия групп и моноидов на объектах произвольной категории: старт с объектом X некоторой категории, а затем определить действие на X как моноидное гомоморфизм в моноид эндоморфизмов X . Если X имеет базовый набор, то все определения и факты, указанные выше, могут быть перенесены. Например, если мы возьмем категорию векторных пространств , мы получим представления групп таким образом.

Мы можем рассматривать группу G как категорию с одним объектом, в котором каждый морфизм обратим. Тогда действие (левой) группы является не чем иным, как (ковариантным) функтором из G в категорию множеств , а представление группы - это функтор из G в категорию векторных пространств . Таким образом, морфизм между G-множествами является естественным преобразованием между функторами действия группы. По аналогии действие группоида - это функтор из группоида в категорию множеств или в некоторую другую категорию.

Помимо непрерывных действий топологических групп на топологических пространствах, один также часто рассматриваются гладкие действия из групп Ли на гладких многообразиях , регулярных действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях и действия в групповых схем по схемам . Все это примеры групповых объектов, действующих на объекты соответствующей категории.

Галерея [ править ]

• Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной октаэдрической группы.

• Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной группы икосаэдра.

См. Также [ править ]

• Измеримые групповые действия
• График усиления
• Группа с операторами
• Моноидное действие

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ашбахер, Майкл (2000). Теория конечных групп . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78675-1. Руководство по ремонту  1777008 .
• Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды , Booksurge PLC, ISBN 1-4196-2722-8 . 
• Категории и группоиды, П. Дж. Хиггинс , загружаемое переиздание «Заметок ван Ностранда по математике», 1971 г., в которых рассматриваются приложения группоидов в теории групп и топологии.
• Даммит, Дэвид; Ричард Фут (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-43334-9.
• Эй, Минкинг; Чанг, Шоу-Дэ (2010). Курс абстрактной алгебры . World Scientific. ISBN 978-981-4271-88-2.
• Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп . Тексты для выпускников по математике 148 (4-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Смит, Джонатан Д.Х. (2008). Введение в абстрактную алгебру . Учебники по математике. CRC Press. ISBN 978-1-4200-6371-4.

Внешние ссылки [ править ]

• «Действие группы на многообразии» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Групповое действие» . MathWorld .