В математике и математической оптимизации , то выпуклые сопряженная функции является обобщением преобразования Лежандра , которое относится к не-выпуклым функциям. Он также известен как преобразование Лежандра-Фенхель , преобразование Фенхеля или Фенхель конъюгат (после Лежандр и Вернер Фенхеля ). Это позволяет, в частности, сделать далеко идущее обобщение лагранжевой двойственности.
Определение
Позволять - реальное топологическое векторное пространство и пустьбыть двойным пространством для. Обозначим через
каноническое двойственное спаривание , которое определяется формулой
Для функции принимая значения на расширенной действительной числовой прямой , выпуклым сопряженным ей является функция
чья ценность в определяется как супремум :
или, что то же самое, с точки зрения инфимума :
Это определение можно интерпретировать как кодирование выпуклой оболочки надграфика функции в терминах его поддерживающих гиперплоскостей . [1] [2]
Примеры
Дополнительные примеры см. В § Таблица выбранных выпуклых сопряженных элементов .
- Выпуклое сопряжение аффинной функции является
- Выпуклое сопряжение степенной функции является
- Выпуклый конъюгат абсолютного значения функции является
- Выпуклое сопряжение экспоненты является
- Выпуклое сопряженное и преобразование Лежандра экспоненциальной функции согласуются, за исключением того, что область выпуклого сопряженного строго больше, поскольку преобразование Лежандра определено только для положительных действительных чисел.
Связь с ожидаемым дефицитом (среднее значение под угрозой)
См., Например, эту статью.
Пусть F обозначает интегральную функцию распределения в виде случайной величины X . Тогда (интегрируя по частям),
имеет выпуклую сопряженную
Заказ
Конкретная интерпретация имеет преобразование
так как это неубывающая перестановка исходной функции f; в частности,для ƒ неубывающей.
Характеристики
Выпуклое сопряжение замкнутой выпуклой функции снова является замкнутой выпуклой функцией. Выпуклое сопряжение многогранной выпуклой функции (выпуклая функция с многогранным надграфиком ) снова является многогранной выпуклой функцией.
Реверсирование заказа
Заявляем, что если и только если для всех Тогда выпуклое сопряжение меняет порядок , что по определению означает, что если тогда
Для семейства функций из того факта, что супремумы можно менять местами, следует, что
и из неравенства max – min следует, что
Двояковыпуклый
Выпуклое сопряжение функции всегда полунепрерывно снизу . бисопряженных (выпуклое сопряжение выпуклого сопряженного) также является замкнутой выпуклой оболочкой , т. е. наибольшей полунепрерывной снизу выпуклой функцией сДля правильных функций
- если и только есливыпукло и полунепрерывно снизу по теореме Фенхеля – Моро .
Неравенство фенхеля
Для любой функции F и ее выпуклое сопряженные е * , неравенство Fenchel в (также известном как неравенство Фенхеля-Юнге ) имеет место для каждого а также :
Доказательство следует из определения выпуклых сопряженных:
Выпуклость
Для двух функций а также и ряд отношение выпуклости
держит. В операция сама по себе является выпуклым отображением.
Инфимальная свертка
Инфимальная свертка (или эпи-сумма) два функций а также определяется как
Позволять - собственные, выпуклые и полунепрерывные снизу функции наТогда инфимальная свертка будет выпуклой и полунепрерывной снизу (но не обязательно собственной) [3] и удовлетворяет
Инфимальная свертка двух функций имеет геометрическую интерпретацию: (строгий) надграфик инфимальной свертки двух функций - это сумма Минковского (строгих) надграфов этих функций. [4]
Максимальный аргумент
Если функция дифференцируема, то ее производная является максимальным аргументом при вычислении выпуклого сопряженного:
- а также
откуда
и более того
Масштабирующие свойства
Если для некоторых , тогда
Поведение при линейных преобразованиях
Позволять - линейный ограниченный оператор . Для любой выпуклой функции на
где
это прообраз относительно а также является сопряженным оператором из[5]
Замкнутая выпуклая функция симметрично относительно данного множества из ортогональных линейных преобразований ,
- для всех и все
тогда и только тогда, когда его выпукло сопряженное симметричен относительно
Таблица избранных выпуклых конъюгатов
В следующей таблице представлены преобразования Лежандра для многих общих функций, а также несколько полезных свойств. [6]
(где ) | |||
(где ) | |||
(где ) | (где ) | ||
(где ) | (где ) | ||
Смотрите также
- Двойная проблема
- Теорема двойственности Фенхеля
- Превращение Лежандра
- Неравенство Юнга для продуктов
Рекомендации
- ^ «Преобразование Лежандра» . Проверено 14 апреля 2019 года .
- ^ Нильсен, Франк. «Преобразование Лежандра и информационная геометрия» (PDF) .
- ^ Фелпс, Роберт (1991). Выпуклые функции, монотонные операторы и дифференцируемость (2-е изд.). Springer. п. 42 . ISBN 0-387-56715-1.
- ^ Bauschke, Heinz H .; Гебель, Рафаль; Люсет, Ив; Ван, Сяньфу (2008). «Проксимальное среднее: основная теория». SIAM Journal по оптимизации . 19 (2): 766. CiteSeerX 10.1.1.546.4270 . DOI : 10.1137 / 070687542 .
- ^ А. Ф. Иоффе,Д. и Tichomirov В.М. (1979), Теорье дер Extremalaufgaben . Deutscher Verlag der Wissenschaften . Satz 3.4.3
- ^ Борвейн, Джонатан ; Льюис, Адриан (2006). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Springer. С. 50 –51. ISBN 978-0-387-29570-1.
- Арнольд, Владимир Игоревич (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-96890-3. Руководство по ремонту 0997295 .
- Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Дж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC 883392544 .
- Рокафеллар, Р. Тирелл (1970). Выпуклый анализ . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01586-4. Руководство по ремонту 0274683 .
дальнейшее чтение
- Тушетт, Хьюго (2014-10-16). «В двух словах о преобразованиях Лежандра-Фенхеля» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 07.04.2017 . Проверено 9 января 2017 .
- Тушетт, Хьюго (21 ноября 2006 г.). «Элементы выпуклого анализа» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 26 мая 2015 года . Проверено 26 марта 2008 .
- «Трансформации Лежандра и Лежандра-Фенхеля в пошаговом объяснении» . Проверено 18 мая 2013 .
- Эллерман, Дэвид Паттерсон (1995-03-21). «Глава 12: Параллельное сложение, последовательно-параллельная двойственность и финансовая математика» . Интеллектуальное вторжение как образ жизни: Очерки философии, экономики и математики (PDF) . Мирская философия: исследования на стыке философии и экономики . G - Справочная, информационная и междисциплинарная серия предметов (иллюстрированное издание). Rowman & Littlefield Publishers, Inc., стр. 237–268. ISBN 0-8476-7932-2. Архивировано (PDF) из оригинала 5 марта 2016 года . Проверено 9 августа 2019 . [1] (271 стр.)
- Эллерман, Дэвид Паттерсон (май 2004 г.) [1995-03-21]. «Введение в последовательно-параллельную двойственность» (PDF) . Калифорнийский университет в Риверсайде . CiteSeerX 10.1.1.90.3666 . Архивировано 10 августа 2019 года . Проверено 9 августа 2019 . [2] (24 страницы)