В математике и, в частности, в динамических системах используется линейное разностное уравнение [1] : гл. 17 [2] : гл. 10 или линейное рекуррентное соотношение устанавливает равным 0 многочлен, который является линейным в различных итерациях переменной, то есть в значениях элементов последовательности . Линейность полинома означает, что каждый из его членов имеет степень 0 или 1. Обычно контекст - это эволюция некоторой переменной во времени, с текущим периодом времени или дискретным моментом времени, обозначенным как t , на один период ранее обозначенным какt - 1 , на один период позже, как t + 1 , и т. д.
П - го порядка линейного разностного уравнения является тот , который можно записать в терминах параметров 1 , ..., п и б , как
или эквивалентно как
Уравнение называется однородным, если b = 0, и неоднородным, если b ≠ 0 . Поскольку наибольшее время задержки между итерациями, появляющимися в уравнении, равно n , это уравнение n- го порядка, где n может быть любым положительным целым числом . Когда самая длинная задержка указывается численно, так что n не отображается в обозначениях как самая длинная задержка, n иногда используется вместо t для индексирования итераций.
В наиболее общем случае коэффициенты я и б сами по себе могут быть функции от т ; однако в этой статье рассматривается наиболее распространенный случай - постоянные коэффициенты. Если коэффициенты я являюсь многочленами в т уравнение называется линейным уравнением рецидивов с полиномиальными коэффициентами .
Решением такого уравнения является функцией т , а не о каких - либо итерации значений, что дает значение итерации в любое время. Чтобы найти решение, необходимо знать конкретные значения (известные как начальные условия ) n итераций, и обычно это n итераций, которые являются самыми старыми. Уравнение или его переменная называется устойчивой, если из любого набора начальных условий существует предел переменной при стремлении времени к бесконечности; этот предел называется устойчивым состоянием .
Уравнения разности используются в различных контекстах, например, в экономике для моделирования эволюции во времени таких переменных, как валовой внутренний продукт , уровень инфляции , обменный курс и т. Д. Они используются при моделировании таких временных рядов, поскольку их значения переменные измеряются только через дискретные интервалы. В эконометрических приложениях линейные разностные уравнения моделируются с помощью стохастических членов в форме моделей авторегрессии (AR) и в таких моделях, как модели векторной авторегрессии (VAR) и авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), которые сочетают AR с другими функциями.
Решение однородного случая
Характеристическое уравнение и корни
Решение однородного уравнения
предполагает сначала решение его характеристического уравнения
для его характеристических корней λ 1 , ..., λ n . Эти корни могут быть решены алгебраически, если n ≤ 4 , но не обязательно в противном случае . Если решение использовать численно, все корни этого характеристического уравнения могут быть найдены численными методами . Однако для использования в теоретическом контексте может оказаться, что единственная информация, необходимая о корнях, - это то, больше ли какой-либо из них или равен 1 по абсолютной величине .
Может случиться так, что все корни действительны или вместо этого могут быть некоторые комплексные числа . В последнем случае все комплексные корни входят в комплексно сопряженные пары.
Решение с отчетливыми характерными корнями
Если все характеристические корни различны, решение однородного линейного разностного уравнения
можно записать в терминах характеристических корней как
где коэффициенты c i могут быть найдены путем обращения к начальным условиям. В частности, для каждого периода времени, для которого известно значение итерации, это значение и соответствующее ему значение t можно подставить в уравнение решения, чтобы получить линейное уравнение для n еще неизвестных параметров; n таких уравнений, по одному для каждого начального условия, могут быть решены одновременно для значений n параметров. Если все характеристические корни действительны, то все значения коэффициентов c i также будут действительными; но с невещественными комплексными корнями, как правило, некоторые из этих коэффициентов также будут нереальными.
Преобразование сложного решения в тригонометрическую форму
Если есть комплексные корни, они входят в сопряженные пары, как и комплексные члены в уравнении решения. Если два из этих комплексных членов суть c j λt
jи c j +1 λt
j +1, корни λ j можно записать как
где i - мнимая единица, а M - модуль корней:
Тогда два комплексных члена в уравнении решения можно записать как
где θ - угол, косинус которого равенα/M и чей синус β/M; последнее равенство здесь использует формулу де Муавра .
Теперь процесс нахождения коэффициентов c j и c j +1 гарантирует, что они также являются комплексно сопряженными, что можно записать как γ ± δi . Использование этого в последнем уравнении дает это выражение для двух комплексных членов в уравнении решения:
который также можно записать как
где ψ - угол, косинус которого равенγ/√ γ 2 + δ 2 и чей синус δ/√ γ 2 + δ 2.
Цикличность
В зависимости от начальных условий, даже если все корни действительны, итерации могут испытывать временную тенденцию к переходу выше и ниже значения установившегося состояния. Но истинная цикличность предполагает постоянную тенденцию к колебаниям, и это происходит, если имеется хотя бы одна пара комплексно сопряженных характеристических корней. Это можно увидеть в тригонометрической форме их вклада в решение уравнения, включая cos θt и sin θt .
Решение с повторяющимися характеристическими корнями
Во втором случае, если два корня идентичны ( λ 1 = λ 2 ), они оба могут быть обозначены как λ, и решение может иметь вид
Преобразование в однородную форму
Если b ≠ 0 , уравнение
называется неоднородным . Для решения этого уравнения удобно преобразовать его в однородную форму без постоянного члена. Это делается путем первого нахождения значения устойчивого состояния уравнения - такого значения y * , что если n последовательных итераций все имеют это значение, то же самое будет и со всеми будущими значениями. Это значение можно найти, установив все значения y равными y * в разностном уравнении и решив, таким образом получив
предполагая, что знаменатель не равен 0. Если он равен нулю, устойчивого состояния не существует.
Учитывая установившееся состояние, разностное уравнение можно переписать в терминах отклонений итераций от установившегося состояния, как
который не имеет постоянного члена, и который может быть записан более кратко как
где x равно y - y * . Это однородная форма.
Если устойчивого состояния нет, разностное уравнение
можно комбинировать с его эквивалентной формой
чтобы получить (решая оба для b )
в котором одинаковые члены могут быть объединены, чтобы дать однородное уравнение на порядок выше, чем исходное.
Стабильность
В решении уравнения
член с действительными характеристическими корнями сходится к 0, когда t становится бесконечно большим, если абсолютное значение характеристического корня меньше 1. Если абсолютное значение равно 1, член будет оставаться постоянным по мере роста t, если корень равен +1, но будет колебаться между двумя значениями, если корень равен -1. Если абсолютное значение корня больше 1, член со временем будет становиться все больше и больше. Пара членов с комплексно сопряженными характеристическими корнями будет сходиться к 0 с демпфирующими флуктуациями, если абсолютное значение модуля M корней меньше 1; если модуль равен 1, то будут сохраняться постоянные колебания амплитуды объединенных членов; и если модуль больше 1, объединенные члены покажут колебания все возрастающей величины.
Таким образом, эволюционирующая переменная x будет сходиться к 0, если все характеристические корни имеют величину меньше 1.
Если наибольший корень имеет абсолютное значение 1, ни сходимости к 0, ни расхождения к бесконечности не произойдет. Если все корни с величиной 1 действительны и положительны, x сходится к сумме их постоянных членов c i ; В отличие от стабильного случая, это сходящееся значение зависит от начальных условий; разные отправные точки в конечном итоге приводят к разным точкам. Если какой-либо корень равен -1, его член будет вносить постоянные колебания между двумя значениями. Если какой-либо из корней единичной величины является комплексным, то флуктуации x с постоянной амплитудой сохранятся.
Наконец, если какой-либо характеристический корень имеет величину больше 1, то x будет расходиться до бесконечности с течением времени до бесконечности или будет колебаться между все более большими положительными и отрицательными значениями.
Теорема Иссаи Шура утверждает, что все корни имеют величину меньше 1 (стабильный случай) тогда и только тогда, когда определенная последовательность определителей все положительны. [2] : 247
Если неоднородное линейное разностное уравнение было преобразовано в однородную форму, которая была проанализирована, как указано выше, то свойства устойчивости и цикличности исходного неоднородного уравнения будут такими же, как и у производной однородной формы, со сходимостью в стабильный случай - установившееся значение y * вместо 0.
Решение преобразованием в матричную форму
Альтернативный метод решения включает преобразование разностного уравнения n- го порядка в матричное разностное уравнение первого порядка . Это достигается записью w 1, t = y t , w 2, t = y t −1 = w 1, t −1 , w 3, t = y t −2 = w 2, t −1 и т. Д. . Тогда исходное единственное уравнение n- го порядка
можно заменить следующими {mvar | n}} уравнениями первого порядка:
Определив вектор w i как
это можно представить в матричной форме как
Здесь является п × п матрица , в которой первая строка содержит 1 , ..., п и все остальные строки имеют один 1 со всеми другими элементами равных 0, и б представляет собой вектор - столбец с первым элементом Ь и с остальные его элементы равны 0.
Это матричное уравнение можно решить, используя методы, описанные в статье Матричное разностное уравнение .
Смотрите также
Рекомендации
- Перейти ↑ Chiang, Alpha (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7.
- ^ а б Баумоль, Уильям (1970). Экономическая динамика (Третье изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. ISBN 0-02-306660-1.