Список квантово-механических систем с аналитическими решениями

Глубокое понимание квантовой механики можно получить из понимания решений в замкнутой форме зависящего от времени нерелятивистского уравнения Шредингера . Это принимает форму

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi \ left (\ mathbf {r}, t \ right) = \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2 } + V \ left (\ mathbf {r} \ right) \ right] \ psi \ left (\ mathbf {r}, t \ right) = i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi \ left (\ mathbf { r}, t \ right)} {\ partial t}},}$

где - волновая функция системы, - оператор Гамильтона , - время. Стационарные состояния этого уравнения находятся путем решения не зависящего от времени уравнения Шредингера:${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle {\ hat {H}}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V \ left (\ mathbf {r} \ right) \ right] \ psi \ left (\ mathbf {r} \ right) = E \ psi \ left (\ mathbf {r} \ right),}$

которое является уравнением на собственные значения. Очень часто только численные решения уравнения Шредингера могут быть найдены для данной физической системы и связанной с ней потенциальной энергии. Однако существует подмножество физических систем, для которых можно найти форму собственных функций и связанных с ними энергий или собственных значений. Эти квантово-механические системы с аналитическими решениями перечислены ниже.

Решаемые системы [ править ]

• Два состояния квантовой системы (простейший возможный квантовая система)
• Свободная частица
• Дельта потенциал
• Двухъямный Дирака потенциал
• Частицы в коробке / бесконечной потенциальной яме
• Конечная потенциальная яма
• Одномерный треугольный потенциал
• Частица в кольце или кольцевой волновод
• Частиц в сферически - симметричного потенциала
• Квантовый гармонический осциллятор
• Квантовый гармонический осциллятор с приложенным однородным полем ^[1]
• Атом водорода или атом водорода, атом , как , например , Позитронием
• Атом водорода в сферической полости с граничными условиями Дирихле ^[2]
• Частица в одномерных решетках (периодическом потенциале)
• Потенциал Морзе
• Шаг потенциал
• Линейный жесткий ротор
• Симметрична сверху
• В атом Гука
• Spherium атом
• Взаимодействие нулевого диапазона в гармонической ловушке ^[3]
• Квантовый маятник
• Прямоугольный потенциальный барьер
• Потенциал Pöschl-Теллера
• Обратный корень квадратный потенциал ^[4]
• Многоступенчатые модели Ландау – Зинера ^[5]
• Латтинжеровская жидкости (только точное квантово - механическое решение для модели , включающих межчастичных взаимодействий)

См. Также [ править ]

• Список квантово-механических потенциалов - список физически релевантных потенциалов без учета аналитической растворимости
• Список интегрируемых моделей
• Приближение ВКБ

Ссылки [ править ]

Материалы для чтения [ править ]

• Мэттис, Дэниел С. (1993). Проблема многих тел: энциклопедия точно решенных моделей в одном измерении . World Scientific . ISBN 978-981-02-0975-9.