В квантовой механике и теории рассеяния одномерный ступенчатый потенциал - это идеализированная система, используемая для моделирования падающих, отраженных и проходящих волн материи . Задача состоит в решении не зависящего от времени уравнения Шредингера для частицы со ступенчатым потенциалом в одном измерении. Обычно потенциал моделируется как ступенчатая функция Хевисайда .
Расчет
Уравнение Шредингера и потенциальная функция
Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции является
где H - гамильтониан , ħ - приведенная постоянная Планка , m - масса , E - энергия частицы. Ступенчатый потенциал - это просто произведение V 0 , высоты барьера и ступенчатой функции Хевисайда :
Барьер расположен в x = 0, хотя любое положение x 0 может быть выбрано без изменения результатов, просто сдвинув положение шага на - x 0 .
Первый член гамильтониана - кинетическая энергия частицы.
Решение
Ступенька делит пространство на две части: x <0 и x > 0. В любой из этих частей потенциал постоянен, что означает, что частица квазисвободна, и решение уравнения Шредингера можно записать как суперпозицию левого и вправо движущиеся волны (см. свободную частицу )
- ,
где нижние индексы 1 и 2 обозначают области x <0 и x > 0 соответственно, нижние индексы (→) и (←) на амплитудах A и B обозначают направление вектора скорости частицы: вправо и влево соответственно.
Эти волновые векторы в соответствующих областях являются
- ,
оба имеют ту же форму, что и соотношение Де Бройля (в одном измерении)
- .
Граничные условия
Коэффициенты A , B должны быть найдены из граничных условий волновой функции при x = 0. Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными всюду, поэтому:
- ,
- .
Подставляя волновые функции, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты
Передача и отражение
Полезно сравнить ситуацию с классическим случаем. В обоих случаях частица ведет себя как свободная частица вне области барьера. Классическая частица с энергией E, превышающей высоту барьера V 0, будет замедляться, но никогда не отражаться от барьера, в то время как классическая частица с E < V 0, падающая на барьер слева, всегда будет отражаться. Найдя квантово-механический результат, мы вернемся к вопросу о том, как восстановить классический предел.
Для изучения квантового случая рассмотрим следующую ситуацию: частица, падающая на барьер с левой стороны A → . Он может отражаться ( A ← ) или передаваться ( B → ). Здесь и далее полагаем E > V 0 .
Чтобы найти амплитуды отражения и прохождения при падении слева, мы задаем в приведенных выше уравнениях A → = 1 (падающая частица), A ← = √ R (отражение), B ← = 0 (нет падающей частицы справа) и B → = √ Tk 1 / k 2 (передача [1] ). Затем мы решить для T и R .
Результат:
Модель симметрична относительно преобразования четности и в то же время меняет местами k 1 и k 2 . Следовательно, для падения справа мы имеем амплитуды прохождения и отражения
Анализ выражений
Энергия меньше высоты ступеньки ( E < V 0 )
Для энергий E < V 0 волновая функция справа от ступеньки экспоненциально затухает на расстоянии.
Энергия больше высоты ступени ( E > V 0 )
В этом диапазоне энергий коэффициенты пропускания и отражения отличаются от классического случая. Они одинаковы для заболеваемости слева и справа:
В пределе больших энергий Е » V 0 , мы имеем к 1 ≈ к 2 и классическому результату Т = 1, R = 0 восстанавливаются.
Таким образом, существует конечная вероятность отражения частицы с энергией, превышающей высоту ступеньки.
Отрицательные шаги
- В случае большого положительного E и небольшого положительного шага T почти равно 1.
- Но в случае небольшого положительного E и большого отрицательного V , тогда R почти равно 1.
Другими словами, квантовая частица отражается от большого перепада потенциала (так же, как и от большой потенциальной ступеньки). Это имеет смысл с точки зрения рассогласования импеданса, но кажется классически нелогичным ...
Классический предел
Результат, полученный для R, зависит только от отношения E / V 0 . На первый взгляд это кажется нарушением принципа соответствия , поскольку мы получаем конечную вероятность отражения независимо от значения постоянной Планка или массы частицы. Например, мы, кажется, предсказываем, что когда шарик катится к краю стола, может быть большая вероятность того, что он отразится, а не упадет. Согласованность с классической механикой восстанавливается путем устранения нефизического предположения о том, что ступенчатый потенциал является разрывным. Когда ступенчатая функция заменяется рампой, охватывающей некоторое конечное расстояние w , вероятность отражения приближается к нулю в пределе, где k - волновое число частицы. [2]
Релятивистский расчет
Релятивистский расчет столкновения свободной частицы со ступенчатым потенциалом может быть получен с помощью релятивистской квантовой механики . Для случая 1/2 фермионов, таких как электроны и нейтрино , решения уравнения Дирака для высоких энергетических барьеров дают неограниченные коэффициенты передачи и отражения. Это явление известно как парадокс Клейна . Кажущийся парадокс исчезает в контексте квантовой теории поля .
Приложения
Потенциал ступени Хевисайда в основном служит упражнением во вводной квантовой механике, поскольку решение требует понимания множества квантово-механических концепций: нормализации волновой функции, непрерывности, амплитуды падения / отражения / передачи и вероятностей.
Проблема, аналогичная рассмотренной, возникает в физике границ раздела нормальный металл - сверхпроводник . Квазицастицы которые разбросаны по потенциалу пары , которые в простейшей модели можно предположить , имеют ступенчатую форму. Решение уравнения Боголюбова-де Жена напоминает решение обсуждаемого ступенчатого потенциала Хевисайда. В случае сверхпроводника из нормального металла это вызывает андреевское отражение .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Коэффициент передачи определяется как отношение передаваемого тока вероятности к входящему току вероятности. Однако величины, непосредственно участвующие в этой потенциальной ступенчатой проблеме, называются амплитудами рассеяния. . Они связаны с коэффициентами пропускания и отражения здесь . В этом видео на YouTube мы видим, что наиболее общее выражение для является , и для у нас есть отношение k-векторов и, возможно, различных масс на их сторонах: . Массы берутся из определения тока вероятности, а k-векторы - из производных волновых функций.
- ^ Брэнсон, Д. (1979). «Принцип соответствия и рассеяние на потенциальных ступенях» . Американский журнал физики . 47 (12): 1101–1102. Bibcode : 1979AmJPh..47.1101B . DOI : 10.1119 / 1.11582 .
Источники
- Демистификация квантовой механики , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006 г., ISBN 0-07-145546 9
- Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание) , Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
- Квантовая механика , Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
- Элементарная квантовая механика , NF Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5
- Стационарные состояния , A. Holden, College Physics Monographs (США), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3
- Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Очертания Шаума, Мак Гроу Хилл (США), 1998, ISBN 007-0540187
дальнейшее чтение
- Новая квантовая вселенная , Т. Хей, П. Уолтерс, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 .
- Квантовая теория поля , Д. МакМахон, МакГроу Хилл (США), 2008 г., ISBN 978-0-07-154382-8
- Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Schaum's Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN 007-145533-7ISBN 978-007-145533-6