В квантовой механике , то частица в коробке модели (также известный как бесконечной потенциальной ямы или бесконечной прямоугольной ямы ) описывает частицу свободно перемещаться в небольшом пространстве , окруженном непроницаемых барьеров. Модель в основном используется в качестве гипотетического примера для иллюстрации различий между классическими и квантовыми системами. В классических системах, например, частица, захваченная внутри большого ящика, может двигаться с любой скоростью внутри ящика, и вероятность того, что она будет найдена в одном месте, не выше, чем в другом. Однако, когда яма становится очень узкой (в масштабе нескольких нанометров), квантовые эффекты становятся важными. Частица может занимать только определенные положительные уровни энергии.. Точно так же у нее никогда не может быть нулевой энергии, а это значит, что частица никогда не может «сидеть на месте». Кроме того, в зависимости от уровня энергии он с большей вероятностью будет обнаружен в определенных положениях, чем в других. Частица никогда не может быть обнаружена в определенных положениях, известных как пространственные узлы.
Модель частицы в ящике - одна из очень немногих задач квантовой механики, которую можно решить аналитически, без приближений. Благодаря своей простоте модель позволяет понять квантовые эффекты, не прибегая к сложной математике. Он служит простой иллюстрацией того, как возникают квантования энергии (уровни энергии), которые встречаются в более сложных квантовых системах, таких как атомы и молекулы. Это одна из первых проблем квантовой механики, изучаемая на курсах физики бакалавриата, и она обычно используется в качестве приближения для более сложных квантовых систем.
Одномерное решение
Простейшая форма частицы в ящичной модели рассматривает одномерную систему. Здесь частица может двигаться только вперед и назад по прямой линии с непроницаемыми препятствиями на обоих концах. [1] Стенки одномерного ящика можно рассматривать как области пространства с бесконечно большой потенциальной энергией . И наоборот, внутренняя часть коробки имеет постоянную нулевую потенциальную энергию. [2] Это означает, что на частицу внутри ящика не действуют никакие силы, и она может свободно перемещаться в этой области. Однако бесконечно большие силы отталкивают частицу, если она касается стенок ящика, не позволяя ей ускользнуть. Потенциальная энергия в этой модели задается как
где L - длина бокса, x c - расположение центра бокса, а x - положение частицы внутри бокса. Простые случаи включают центрированный прямоугольник ( x c = 0 ) и сдвинутый прямоугольник ( x c = L / 2 ).
Позиционная волновая функция
В квантовой механике волновая функция дает наиболее фундаментальное описание поведения частицы; все измеримые свойства частицы (такие как ее положение, импульс и энергия) могут быть получены из волновой функции. [3] Волновая функцияможно найти, решив уравнение Шредингера для системы
где - приведенная постоянная Планка ,- масса частицы,это мнимая единица и время.
Внутри ящика на частицу не действуют никакие силы, а это означает, что часть волновой функции внутри ящика колеблется в пространстве и времени с той же формой, что и свободная частица : [1] [4]
( 1 )
где а также - произвольные комплексные числа . Частота колебаний в пространстве и времени определяется волновым числом и угловая частота соответственно. Оба они связаны с полной энергией частицы выражением
которое известно как дисперсионное соотношение для свободной частицы. [1] Здесь следует заметить, что теперь, поскольку частица не полностью свободна, но находится под влиянием потенциала (потенциала V, описанного выше), энергия частицы, указанная выше, не то же самое, чтогде p - импульс частицы, и, таким образом, приведенное выше волновое число k фактически описывает энергетические состояния частицы, а не состояния импульса (т.е. оказывается, что импульс частицы не определяется выражением). В этом смысле довольно опасно называть число k волновым числом, поскольку оно не связано с импульсом, как это обычно бывает с «волновым числом». Обоснование того, что k называется волновым числом, состоит в том, что оно перечисляет количество гребней, которые волновая функция имеет внутри блока, и в этом смысле это волновое число. Это несоответствие можно более четко увидеть ниже, когда мы узнаем, что энергетический спектр частицы дискретен (разрешены только дискретные значения энергии), но импульсный спектр непрерывен (импульс может изменяться непрерывно) и, в частности, соотношениедля энергии и импульса частицы не выполняется. Как было сказано выше, причина, по которой это соотношение между энергией и импульсом не выполняется, состоит в том, что частица несвободна, но в системе есть потенциал V , а энергия частицы равна, где T - кинетическая, а V - потенциальная энергия.
Размер (или амплитуда ) волновой функции в заданном положении связан с вероятностью обнаружения там частицы посредством. Следовательно, волновая функция должна исчезать повсюду за краями ящика. [1] [4] Кроме того, амплитуда волновой функции не может резко "прыгать" от одной точки к другой. [1] Этим двум условиям удовлетворяют только волновые функции вида
где [5]
- ,
а также
- ,
где n - натуральное число (1,2,3,4 ...). Для сдвинутого ящика ( x c = L / 2) решение особенно простое. Самые простые решения, или же оба дают тривиальную волновую функцию , который описывает частицу, которой нет нигде в системе. [6] Отрицательные значения пренебрегаем, так как они дают волновые функции, идентичные положительным решения, за исключением физически несущественной смены знака. [6] Здесь видно, что для частицы разрешен только дискретный набор значений энергии и волновых чисел k . Обычно в квантовой механике также требуется, чтобы производная волновой функции в дополнение к самой волновой функции была непрерывной; здесь это требование привело бы к единственному решению, являющемуся постоянной нулевой функцией, чего мы не желаем, поэтому мы отказываемся от этого требования (поскольку эту систему с бесконечным потенциалом можно рассматривать как нефизический абстрактный предельный случай, мы можем рассматривать ее как такие и "нарушайте правила"). Обратите внимание, что отказ от этого требования означает, что волновая функция не является дифференцируемой функцией на границе ящика, и, таким образом, можно сказать, что волновая функция не решает уравнение Шредингера в граничных точках. а также (но решает это везде).
Наконец, неизвестная постоянная может быть найден путем нормировки волновой функции так, чтобы полная плотность вероятности нахождения частицы в системе была 1. Отсюда следует, что
Таким образом, A может быть любым комплексным числом с абсолютным значением √ 2 / L ; эти разные значения A дают одно и то же физическое состояние, поэтому для упрощения можно выбрать A = √ 2 / L.
Ожидается, что собственные значения , т. Е. Энергия коробки должны быть одинаковыми независимо от положения в пространстве, но изменения. Заметьпредставляет собой фазовый сдвиг волновой функции. Этот фазовый сдвиг не влияет на решение уравнения Шредингера и, следовательно, не влияет на собственное значение .
Если мы установим начало координат в центр прямоугольника, мы можем кратко переписать пространственную часть волновой функции как:
.
Импульсная волновая функция
Волновая функция импульса пропорциональна преобразованию Фурье волновой функции положения. С участием(обратите внимание, что параметр k, описывающий волновую функцию импульса ниже, не является в точности специальным значением k n выше, связанным с собственными значениями энергии), волновая функция импульса определяется выражением
где sinc - кардинальная функция синуса sinc , sinc ( x ) = sin (x) / x . Для центрированного бокса ( x c = 0 ) решение является реальным и особенно простым, поскольку фазовый множитель справа уменьшается до единицы. (Осторожно, это можно записать как четную функцию от p .)
Видно, что импульсный спектр в этом волновом пакете непрерывен, и можно сделать вывод, что для энергетического состояния, описываемого волновым числом k n , импульс может, при измерении, также достигать других значений за пределами.
Отсюда также получается, что, поскольку энергия равна для n- го собственного состояния соотношениестрого не выполняется для измеренного импульса p ; собственное состояние энергиине является собственным состоянием импульса и, по сути, даже не суперпозицией двух собственных состояний импульса, как можно было бы представить себе из уравнения ( 1 ) выше: в частности, у него нет четко определенного импульса до измерения!
Распределение вероятностей положения и импульса
В классической физике частицу с равной вероятностью можно обнаружить в любом месте коробки. Однако в квантовой механике плотность вероятности нахождения частицы в заданном положении выводится из волновой функции как Для частицы в ящике плотность вероятности нахождения частицы в заданном положении зависит от ее состояния и определяется выражением
Таким образом, для любого значения n больше единицы внутри блока есть области, для которых, указывая на то, что существуют пространственные узлы, в которых частица не может быть найдена.
В квантовой механике среднее или математическое ожидание положения частицы определяется выражением
Для стационарной частицы в ящике можно показать, что среднее положение всегда , независимо от состояния частицы. Для суперпозиции состояний математическое ожидание позиции будет изменяться в зависимости от перекрестного члена, который пропорционален.
Разница в положении является мерой неопределенности положения частицы:
Плотность вероятности нахождения частицы с заданным импульсом выводится из волновой функции как . Как и в случае с положением, плотность вероятности нахождения частицы при заданном импульсе зависит от ее состояния и определяется выражением
где опять же . Затем рассчитывается, что математическое ожидание импульса равно нулю, а дисперсия импульса рассчитывается следующим образом:
Неопределенности в позиции и импульсе ( а также ) определяются как равные квадратному корню из их соответствующих дисперсий, так что:
Это произведение увеличивается с увеличением n , имея минимальное значение для n = 1 . Значение этого продукта для n = 1 примерно равно 0,568.который подчиняется принципу неопределенности Гейзенберга , который гласит, что произведение будет больше или равно
Другой мерой неопределенности положения является информационная энтропия распределения вероятностей H x : [7]
где x 0 - произвольная эталонная длина.
Другой мерой неопределенности импульса является информационная энтропия распределения вероятностей H p :
где γ - постоянная Эйлера . Квантово-механический принцип энтропийной неопределенности утверждает, что для
- ( нац )
Для , сумма энтропий позиции и импульса дает:
- ( нац )
которое удовлетворяет квантовому принципу энтропийной неопределенности.
Уровни энергии
Энергии, которые соответствуют каждому из разрешенных волновых чисел, могут быть записаны как [5]
- .
Уровни энергии увеличиваются с , что означает, что высокие уровни энергии отделены друг от друга на большее расстояние, чем уровни низкой энергии. Наименьшая возможная энергия для частицы (ее нулевая энергия ) находится в состоянии 1, которое определяется формулой [8]
Следовательно, частица всегда имеет положительную энергию. Это контрастирует с классическими системами, в которых частица может иметь нулевую энергию, неподвижно покоя. Это можно объяснить с помощью принципа неопределенности , который гласит, что произведение неопределенностей в положении и импульсе частицы ограничено величиной
Можно показать, что неопределенность положения частицы пропорциональна ширине ящика. [9] Таким образом, неопределенность количества движения примерно обратно пропорциональна ширине ящика. [8] Кинетическая энергия частицы определяется выражением, и, следовательно, минимальная кинетическая энергия частицы в ящике обратно пропорциональна массе и квадрату ширины ямы, что качественно согласуется с приведенным выше расчетом. [8]
Ящики с большими размерами
(Гипер) прямоугольные стены
Если частица застряла в двумерном ящике, она может свободно перемещаться в нем. а также -направления, между перегородками, разделенными длинами а также соответственно. Для центрированного прямоугольника волновая функция положения может быть записана, включая длину прямоугольника, как. Используя подход, аналогичный подходу для одномерного бокса, можно показать, что волновые функции и энергии для центрированного бокса задаются соответственно выражением
- ,
- ,
где двумерный волновой вектор определяется выражением
- .
Для трехмерного бокса решениями являются
- ,
- ,
где трехмерный волновой вектор определяется выражением:
- .
В общем случае для n-мерного ящика решения следующие:
Волновые функции n-мерного импульса также могут быть представлены как а волновая функция импульса для n-мерного центрированного ящика тогда равна:
Интересной особенностью приведенных выше решений является то, что когда две или более длины одинаковы (например, ) существует несколько волновых функций, соответствующих одной и той же полной энергии. Например, волновая функция с имеет ту же энергию, что и волновая функция с . Эта ситуация называется вырождением, а в случае, когда ровно две вырожденные волновые функции имеют одинаковую энергию, этот уровень энергии называется двукратно вырожденным . Вырождение является результатом симметрии системы. В приведенном выше случае две длины равны, поэтому система симметрична относительно поворота на 90 °.
Более сложные формы стен
Волновая функция для квантово-механической частицы в ящике, стенки которого имеют произвольную форму, задается уравнением Гельмгольца с граничным условием, что волновая функция обращается в нуль на стенках. Эти системы изучаются в области квантового хаоса для форм стенок, соответствующие динамические бильярдные столы которых не интегрируются.
Приложения
Из-за своей математической простоты частица в модели ящика используется для поиска приближенных решений для более сложных физических систем, в которых частица находится в узкой области с низким электрическим потенциалом между двумя высокими потенциальными барьерами. Эти системы с квантовыми ямами особенно важны в оптоэлектронике и используются в таких устройствах, как лазер с квантовыми ямами, инфракрасный фотодетектор с квантовыми ямами и модулятор квантово-ограниченного эффекта Штарка . Он также используется для моделирования решетки в модели Кронига-Пенни и для конечного металла в приближении свободных электронов.
Конъюгированные полиены
Системы сопряженных полиенов можно смоделировать, используя частицы в коробке. [ необходима цитата ] Сопряженная система электронов может быть смоделирована как одномерный ящик с длиной, равной полному расстоянию связи от одного конца полиена до другого. В этом случае каждая пара электронов в каждой π-связи соответствует своему энергетическому уровню. Разница в энергии между двумя уровнями энергии, n f и n i, равна:
Разница между энергией основного состояния n и первым возбужденным состоянием n + 1 соответствует энергии, необходимой для возбуждения системы. Эта энергия имеет определенную длину волны и, следовательно, цвет света, связанный с:
Типичный пример этого явления - β-каротин . [ необходима цитата ] β-каротин (C 40 H 56 ) [10] представляет собой сопряженный полиен оранжевого цвета и молекулярной длиной примерно 3,8 нм (хотя длина его цепи составляет всего примерно 2,4 нм). [11] Из-за высокого уровня сопряжения β-каротина электроны рассредоточены по всей длине молекулы, что позволяет моделировать ее как одномерную частицу в ящике. β-каротин 11 углерода -carbon двойных связей в конъюгации; [10] каждая из этих двойных связей содержит два π-электрона, поэтому β-каротин имеет 22 π-электрона. С двумя электронами на уровень энергии β-каротин можно рассматривать как частицу в ящике с уровнем энергии n = 11. [11] Следовательно, минимальная энергия, необходимая для возбуждения электрона на следующий энергетический уровень, может быть вычислена, n = 12, следующим образом [11] (вспоминая, что масса электрона составляет 9,109 × 10 −31 кг [12] ). :
Используя предыдущее отношение длины волны к энергии, вспоминая как постоянную Планка h, так и скорость света c :
Это указывает на то, что β-каротин в основном поглощает свет в инфракрасном спектре, поэтому человеческому глазу он будет казаться белым. Однако наблюдаемая длина волны составляет 450 нм [13], что указывает на то, что частица в ящике не является идеальной моделью для этой системы.
Лазер на квантовой яме
Модель с частицами в ящике может быть применена к лазерам с квантовыми ямами , которые представляют собой лазерные диоды, состоящие из одного материала полупроводниковой «ямы», зажатого между двумя другими полупроводниковыми слоями из другого материала. Поскольку слои этого сэндвича очень тонкие (средний слой обычно имеет толщину около 100 A), можно наблюдать эффекты квантового ограничения . [14] Идея о том, что квантовые эффекты могут быть использованы для создания лучших лазерных диодов, возникла в 1970-х годах. Лазер на квантовой яме был запатентован в 1976 году Р. Динглом и Ч. Х. Генри. [15]
В частности, поведение квантовых ям может быть представлено частицей в модели с конечной ямой. Необходимо выбрать два граничных условия. Во-первых, волновая функция должна быть непрерывной. Часто второе граничное условие выбирается так, чтобы производная волновой функции была непрерывной через границу, но в случае квантовой ямы массы разные по обе стороны от границы. Вместо этого выбрано второе граничное условие, чтобы сохранить поток частиц как, что согласуется с экспериментом. Решение для частицы с конечной ямой в ящике должно быть решено численно, что приведет к получению волновых функций, которые являются синусоидальными функциями внутри квантовой ямы и экспоненциально убывающими функциями в барьерах. [16] Такое квантование уровней энергии электронов позволяет лазеру с квантовыми ямами излучать свет более эффективно, чем обычные полупроводниковые лазеры.
Из-за своего небольшого размера квантовые точки не демонстрируют объемные свойства указанного полупроводника, а скорее демонстрируют квантованные энергетические состояния. [17] Этот эффект известен как квантовое ограничение и привел к многочисленным применениям квантовых точек, таких как лазер с квантовыми ямами. [17]
Исследователи из Принстонского университета недавно построили лазер с квантовой ямой размером не больше рисового зерна. [18] Лазер питается от одного электрона, который проходит через две квантовые точки; двойная квантовая точка. Электрон переходит из состояния с более высокой энергией в состояние с более низкой энергией, испуская фотоны в микроволновом диапазоне. Эти фотоны отражаются от зеркал, создавая луч света; лазер. [18]
Лазер с квантовой ямой во многом основан на взаимодействии света и электронов. Это соотношение является ключевым компонентом квантово-механических теорий, которые включают длину волны Де Бройля и частицу в коробке. Двойная квантовая точка позволяет ученым получить полный контроль над движением электрона, что, в свою очередь, приводит к образованию лазерного луча. [18]
Квантовые точки
Квантовые точки - это очень маленькие полупроводники (в масштабе нанометров). [19] Они демонстрируют квантовое ограничение в том смысле, что электроны не могут покинуть «точку», что позволяет использовать приближение «частица в коробке». [20] Их поведение можно описать трехмерными уравнениями квантования энергии типа "частица в коробке". [20]
Энергетическая щель квантовой точки является энергетический зазор между его валентных и зоны проводимости . Этот энергетический разрыв равен зазору насыпного материала плюс полученное из уравнения энергии уравнение "частица в коробке", которое дает энергию для электронов и дырок . [20] Это можно увидеть в следующем уравнении, где а также - эффективные массы электрона и дырки, - радиус точки, а постоянная Планка: [20]
Следовательно, энергетическая щель квантовой точки обратно пропорциональна квадрату «длины ящика», то есть радиусу квантовой точки. [20]
Манипулирование шириной запрещенной зоны позволяет поглощать и излучать свет определенных длин волн, поскольку энергия обратно пропорциональна длине волны. [19] Чем меньше квантовая точка, тем больше ширина запрещенной зоны и, следовательно, короче длина поглощаемой волны. [19] [21]
Различные полупроводниковые материалы используются для синтеза квантовых точек разного размера и, следовательно, излучают свет с разной длиной волны. [21] Часто используются материалы, которые обычно излучают свет в видимой области, и их размеры настраиваются таким образом, чтобы излучались определенные цвета. [19] Типичными веществами, используемыми для синтеза квантовых точек, являются кадмий (Cd) и селен (Se). [19] [21] Например, когда электроны двух нанометровых квантовых точек CdSe релаксируют после возбуждения , излучается синий свет. Точно так же красный свет излучается в четырех нанометровых квантовых точках CdSe. [22] [19]
Квантовые точки имеют множество функций, включая, помимо прочего, флуоресцентные красители, транзисторы , светодиоды , солнечные элементы и получение медицинских изображений с помощью оптических датчиков. [19] [20]
Одной из функций квантовых точек является их использование для картирования лимфатических узлов, что возможно благодаря их уникальной способности излучать свет в ближней инфракрасной области (NIR). Картирование лимфатических узлов позволяет хирургам отслеживать наличие раковых клеток и их местонахождение. [23]
Квантовые точки полезны для этих функций из-за их излучения более яркого света, возбуждения широким спектром длин волн и более высокой устойчивости к свету, чем у других веществ. [23] [19]
Релятивистские эффекты
Плотность вероятности не стремится к нулю в узлах, если релятивистские эффекты учитываются с помощью уравнения Дирака. [24]
Смотрите также
- История квантовой механики
- Конечная потенциальная яма
- Потенциал дельта-функции
- Газ в коробке
- Частица в кольце
- Частица в сферически-симметричном потенциале
- Квантовый гармонический осциллятор
- Полукруглая потенциальная яма
- Конфигурационный интеграл (статистическая механика)
- Интеграл конфигурации (статистическая механика) , 2008. этот вики-сайт не работает; см эту статью в веб - архиве на 2012 28 апреля .
Рекомендации
- ^ a b c d e Дэвис, стр.4
- ^ Фактически, любой постоянный конечный потенциалможно указать в рамке. Это просто сдвигает энергии состояний на.
- ^ Дэвис, стр. 1
- ^ a b Брансден и Иоахейн, стр. 157
- ^ а б Дэвис стр. 5
- ^ a b Брансден и Иоахейн, стр.158
- ^ Majernik, Владимир; Рихтерек, Лукас (1997-12-01). «Энтропийные соотношения неопределенностей для бесконечного колодца» . J. Phys. . 30 (4): L49. Bibcode : 1997JPhA ... 30L..49M . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 30/4/002 . Проверено 11 февраля +2016 .
- ^ a b c Брансден и Иоахейн, стр. 159
- ^ Дэвис, стр. 15
- ^ а б Pubchem. «Бета-каротин | C40H56 - PubChem» . pubchem.ncbi.nlm.nih.gov . Проверено 10 ноября 2016 .
- ^ а б в Сатиш, РК; Сидхартхан, П.В. Удаянандан, К.М. «Частица в коробке - остров сокровищ для студентов». Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ П. Дж. Мор, Б. Н. Тейлор и Д. Б. Ньюэлл, «Рекомендуемые значения фундаментальных физических констант в CODATA 2014 г.». Эта база данных была разработана Дж. Бейкером, М. Дума и С. Коточиговой. В наличии: [1] . Национальный институт стандартов и технологий, Гейтерсбург, Мэриленд 20899.
- ^ β-Каротин http://www.sigmaaldrich.com/catalog/product/aldrich/855553?lang=en®ion=us (по состоянию на 8 ноября 2016 г.).
- ^ Зори, Петр (1993). Лазеры на квантовых ямах . Сан-Диего: Academic Press Unlimited.
- ^ Патент США № 3982207, выданный 21 сентября 1976, изобретатели Р. Динглы и CH Генри, «Квантовые эффекты в лазерахгетероструктурах», поданных 7 марта 1975.
- ^ Миллер, Дэвид (1995). Бурштейн, Элиас; Weisbuch, Клод (ред.). Ограниченные электроны и фотоны: новая физика и приложения . Нью-Йорк: Пленум Пресс. С. 675–702.
- ^ а б Мисслер, GL (2013). Неорганическая химия (5-е изд.). Бостон: Пирсон. С. 235–236. ISBN 978-0321811059.
- ^ а б в Зандонелла, Екатерина. «Лазер размером с рис, питающий по одному электрону за раз, служит хорошим предзнаменованием для квантовых вычислений» . Принстонский университет . Принстонский университет . Проверено 8 ноября +2016 .
- ^ Б с д е е г ч Рис, CV; Гриффин, Джорджия (2008). «Простые синтезы квантовых точек CdSe» . Журнал химического образования . 85 (6): 842. Bibcode : 2008JChEd..85..842R . DOI : 10.1021 / ed085p842 . Проверено 5 ноября +2016 .
- ^ а б в г д е "Квантовые точки: настоящая" система "частица в коробке" . PhysicsOpenLab . 20 ноября 2015 . Проверено 5 ноября +2016 .
- ^ а б в Оверни, Рене М. «Квантовое удержание» (PDF) . Вашингтонский университет . Проверено 5 ноября +2016 .
- ^ Зан, Дитрих Р.Т. "Поверхностные и интерфейсные свойства полупроводниковых квантовых точек с помощью рамановской спектроскопии" (PDF) . Technische Universität Chemnitz . Проверено 5 ноября +2016 .
- ^ а б Bentolila, Laurent A .; Эбенштейн, Юваль (2009). «Квантовые точки для визуализации мелких животных in vivo» . Журнал ядерной медицины . 50 (4): 493–496. DOI : 10,2967 / jnumed.108.053561 . PMC 3081879 . PMID 19289434 .
- ^ Альберто, П.; Fiolhais, C; Гил, VMS (1996). «Релятивистская частица в ящике» (PDF) . Европейский журнал физики . 17 (1): 19–24. Bibcode : 1996EJPh ... 17 ... 19A . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 17/1/004 . ЛВП : 10316/12349 .
Библиография
- Bransden, BH; Иоахайн, CJ (2000). Квантовая механика (2-е изд.). Эссекс: образование Пирсона. ISBN 978-0-582-35691-7.
- Дэвис, Джон Х. (2006). Физика низкоразмерных полупроводников: введение (6-е переиздание). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-48491-6.
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-111892-8.