Теория гравитации Лавлока

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Пространственно-временное многообразие Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца Пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности Уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четыре вектора Выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
v т е

В теоретической физике , теории Лавлок тяжести (часто упоминаются как Лавлки гравитации ) является обобщением теории Эйнштейна общей теории относительности , введенной Дэвид Лавлок в 1971 году ^[1] Это наиболее общая метрическая теорию гравитации уступая законсервированные уравнений второго порядка движение в произвольном числе пространственно - временные размеры D . В этом смысле теория Лавлока является естественным обобщением общей теории относительности Эйнштейна на более высокие измерения. В трех и четырех измерениях ( D= 3, 4), теория Лавлока совпадает с теорией Эйнштейна, но в более высоких измерениях теории другие. Фактически, при D > 4 гравитацию Эйнштейна можно рассматривать как частный случай гравитации Лавлока, поскольку действие Эйнштейна – Гильберта является одним из нескольких членов, составляющих действие Лавлока.

Плотность лагранжиана [ править ]

Лагранжиан теории дается суммой размеров протяженных плотности Эйлера, и его можно записать следующим образом

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {-g}} \ \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {t} \ alpha _ {n} \ {\ mathcal {R}} ^ { n}, \ qquad {\ mathcal {R}} ^ {n} = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ delta _ {\ alpha _ {1} \ beta _ {1} ... \ alpha _ {n} \ beta _ {n}} ^ {\ mu _ {1} \ nu _ {1} ... \ mu _ {n} \ nu _ {n}} \ prod \ limits _ {r = 1} ^ {n} R _ {\ quad \ mu _ {r} \ nu _ {r}} ^ {\ alpha _ {r} \ beta _ {r}}}$

где R _μν ^αβ представляет собой тензор Римана , а обобщенная дельта Кронекера δ определяется как антисимметричное произведение

${\displaystyle \delta _{\alpha _{1}\beta _{1}\cdots \alpha _{n}\beta _{n}}^{\mu _{1}\nu _{1}...\mu _{n}\nu _{n}}=(2n)!\delta _{\lbrack \alpha _{1}}^{\mu _{1}}\delta _{\beta _{1}}^{\nu _{1}}\cdots \delta _{\alpha _{n}}^{\mu _{n}}\delta _{\beta _{n}]}^{\nu _{n}}.}$

Каждый член в соответствует размерному расширению плотности Эйлера в 2 n измерениях, так что они вносят вклад только в уравнения движения для n < D / 2. Следовательно, без ограничения общности, t в приведенном выше уравнении можно принять равным D = 2 t + 2 для четных измерений и D = 2 t + 1 для нечетных измерений.${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Константы связи [ править ]

Константы связи α _n в лагранжиане имеют размерность [длина] ^{2 n - D} , хотя обычно плотность лагранжиана нормализуется в единицах планковского масштаба.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}=(16\pi G)^{-1}=l_{P}^{2-D}\,.}$

Разлагая произведение на , лагранжиан Лавлока принимает вид${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),}$

где видно, что связь α ₀ соответствует космологической постоянной Λ, а α _n с n ≥ 2 - константы связи дополнительных членов, которые представляют ультрафиолетовые поправки к теории Эйнштейна, включающие сжатие более высокого порядка тензора Римана R _μν ^αβ . В частности, член второго порядка

${\displaystyle {\mathcal {R}}^{2}=R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }}$

это в точности квадратичный член Гаусса – Бонне , который представляет собой расширенную по размерам версию четырехмерной плотности Эйлера.

Уравнения движения [ править ]

Отмечая, что

${\displaystyle T={\sqrt {-g}}{\mathcal {R}}^{2}={\sqrt {-g}}\left(R^{2}+R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)}$

является топологической константой, мы можем исключить член тензора Римана и, таким образом, мы можем записать лагранжиан Лавлока в форму

${\displaystyle S=-\int d^{D}x{\sqrt {-g}}\left(\alpha R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-\beta R^{2}+\gamma \kappa ^{-2}R\right)}$

который имеет уравнения движения

${\displaystyle \alpha \left(-{\frac {1}{2}}R_{\rho \sigma }R^{\rho \sigma }g_{\mu \nu }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }R-2R_{\rho \nu \mu \sigma }R^{\sigma \rho }+{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\Box R+\Box R_{\mu \nu }\right)+}$${\displaystyle \beta \left({\frac {1}{2}}R^{2}g_{\mu \nu }-2RR_{\mu \nu }-2\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }R+2g_{\mu \nu }\Box R\right)+}$${\displaystyle \gamma \left(-{\frac {1}{2}}\kappa ^{-2}Rg_{\mu \nu }+\kappa ^{-2}R_{\mu \nu }\right)=0.}$^[2]

Другие контексты [ править ]

Поскольку действие Лавлока содержит, среди прочего, квадратичный член Гаусса-Бонне (т. Е. Четырехмерную эйлерову характеристику, расширенную до измерений D ), обычно говорят, что теория Лавлока похожа на модели гравитации, вдохновленные теорией струн. Это связано с тем, что квадратичный член присутствует в низкоэнергетическом эффективном действии гетеротической теории струн , а также появляется в шестимерных компактификациях Калаби – Яу М-теории . В середине 1980-х, через десять лет после того, как Лавлок предложил свое обобщение тензора Эйнштейна, физики начали обсуждать квадратичный член Гаусса-Бонне в контексте теории струн, уделяя особое внимание его свойству бытьбез привидений в пространстве Минковского . Известно, что теория не содержит привидений и о других точных предпосылках, например об одной из ветвей сферически-симметричного решения, найденного Боулвэром и Дезером в 1985 году. В целом теория Лавлока представляет собой очень интересный сценарий для изучения того, как физика гравитации корректируется на коротком расстоянии из-за присутствия членов кривизны более высокого порядка в действии, и в середине 2000-х годов теория рассматривалась как испытательный полигон для исследования эффектов введения членов более высокой кривизны в контексте AdS / ЦФТ переписка .

См. Также [ править ]

• Теорема Лавлока
• f (R) гравитация
• Гаусс-Бонне гравитация
• Curtright Field

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Лавлок, Д. (1971). «Тензор Эйнштейна и его обобщения» . Журнал математической физики . 12 (3): 498–502. Bibcode : 1971JMP .... 12..498L . DOI : 10.1063 / 1.1665613 . Архивировано из оригинала на 2013-02-24.
• Лавлок, Д. (1969). «Единственность уравнений поля Эйнштейна в четырехмерном пространстве». Архив рациональной механики и анализа . 33 (1): 54–70. Bibcode : 1969ArRMA..33 ... 54L . DOI : 10.1007 / BF00248156 .
• Лавлок, Д. (1972). «Четырехмерность пространства и тензор Эйнштейна». Журнал математической физики . 13 (6): 874–876. Bibcode : 1972JMP .... 13..874L . DOI : 10.1063 / 1.1666069 .
• Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989), Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы , Дувр , ISBN 978-0-486-65840-7
• Navarro, A .; Наварро, Дж. (2011). "Повторение теоремы Лавлока". Журнал математической физики . 61 (10): 1950–1956. arXiv : 1005.2386 . Bibcode : 2011JGP .... 61.1950N . DOI : 10.1016 / j.geomphys.2011.05.004 .
• Цвибах, Б. (1985). "Квадратные члены кривизны и теории струн". Phys. Lett. B . 156 (5–6): 315. DOI : 10.1016 / 0370-2693 (85) 91616-8 ..
• Boulware, D .; Дезер, С. (1985). «Струнные модели гравитации». Phys. Rev. Lett . 55 (24): 2656. DOI : 10,1103 / PhysRevLett.55.2656 . PMID  10032204 .