Теория Мора – Кулона

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Теория Мора – Кулона»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Теория Мора – Кулона - это математическая модель (см. Поверхность текучести ), описывающая реакцию хрупких материалов, таких как бетон или груды щебня, на напряжение сдвига, а также нормальное напряжение. Большинство классических инженерных материалов так или иначе следуют этому правилу, по крайней мере, в части их диапазона разрушения при сдвиге. Обычно теория применима к материалам, у которых прочность на сжатие намного превышает предел прочности на разрыв . ^[1]

В геотехнической инженерии он используется для определения прочности грунтов и горных пород на сдвиг при различных эффективных напряжениях .

В проектировании конструкций он используется для определения разрушающей нагрузки, а также угла разрушения сдвиговой трещины в бетоне и подобных материалах. Кулоновское «с трением гипотеза используется для определения комбинации сдвига и нормального напряжения , что приведет к разрушению материала. Круг Мора используется для определения того, какие главные напряжения будут вызывать эту комбинацию сдвига и нормального напряжения, а также угол плоскости, в котором это произойдет. Согласно принципу нормальности напряжение, возникающее при разрушении, будет перпендикулярно линии, описывающей состояние разрушения.

Можно показать, что материал, разрушающийся в соответствии с гипотезой кулоновского трения, будет демонстрировать смещение, вносимое при разрыве, образуя угол к линии разрушения, равный углу трения . Это позволяет определить прочность материала путем сравнения внешней механической работы, вызванной смещением и внешней нагрузкой, с внутренней механической работой, вызванной деформацией и напряжением на линии разрушения. За счет сохранения энергии их сумма должна быть равна нулю, и это позволит рассчитать разрушающую нагрузку конструкции.

Обычным усовершенствованием этой модели является объединение гипотезы кулоновского трения с гипотезой Рэнкина о главном напряжении для описания отрывной трещины.

История развития [ править ]

Теория Мора – Кулона названа в честь Шарля-Огюстена де Кулона и Кристиана Отто Мора . Вклад Кулона - эссе 1773 года под названием « Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture ». ^[2] Мор разработал обобщенную форму теории примерно в конце XIX века. ^[3] Поскольку обобщенная форма повлияла на интерпретацию критерия, но не на ее сущность, в некоторых текстах этот критерий по-прежнему упоминается просто как « критерий Кулона» . ^[4]

Критерий разрушения Мора – Кулона [ править ]

Рисунок 1: Вид поверхности разрушения Мора – Кулона в трехмерном пространстве главных напряжений для ${\ displaystyle c = 2, \ phi = -20 ^ {\ circ}}$

Критерий разрушения Мора – Кулона ^[5] представляет собой линейную огибающую, которая получается из графика зависимости прочности материала на сдвиг от приложенного нормального напряжения. Это отношение выражается как

${\ Displaystyle \ тау = \ сигма ~ \ загар (\ фи) + с}$

где - прочность на сдвиг, - нормальное напряжение, - пересечение границы разрушения с осью, и - наклон границы разрушения. Величину часто называют сцеплением, а угол - углом внутреннего трения . В нижеследующем обсуждении предполагается, что сжатие положительно. Если предполагается, что сжатие отрицательное, его следует заменить на .${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ загар (\ фи)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle - \ sigma}$

Если критерий Мора – Кулона сводится к критерию Трески . С другой стороны, если модель Мора – Кулона эквивалентна модели Ренкина. Более высокие значения не допускаются.${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle \phi =90^{\circ }}$${\displaystyle \phi }$

Из круга Мора имеем

${\displaystyle \sigma =\sigma _{m}-\tau _{m}\sin \phi ~;~~\tau =\tau _{m}\cos \phi }$

где

${\displaystyle \tau _{m}={\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}~;~~\sigma _{m}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}}$

и - максимальное главное напряжение, и - минимальное главное напряжение.${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{3}}$

Следовательно, критерий Мора – Кулона можно также выразить как

${\displaystyle \tau _{m}=\sigma _{m}\sin \phi +c\cos \phi ~.}$

Эта форма критерия Мора – Кулона применима к отказу на плоскости, параллельной направлению.${\displaystyle \sigma _{2}}$

Критерий разрушения Мора – Кулона в трех измерениях [ править ]

Трехмерный критерий Мора – Кулона часто выражается как

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\pm {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{2}+\sigma _{3}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{3}-\sigma _{1}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{3}+\sigma _{1}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi ).\end{aligned}}\right.}$

Поверхность разрушения Мора-Кулон является конусом с шестиугольным поперечным сечением в девиаторном пространстве напряжений.

Выражения для и могут быть обобщены для трех измерений путем разработки выражений для нормального напряжения и разрешенного напряжения сдвига на плоскости произвольной ориентации по отношению к осям координат (базисным векторам). Если единица измерения, нормальная к интересующей плоскости, равна${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$

где три блок ортонормирована базисные векторы, и если главные напряжения выровнены с базисными векторами , то выражения для являются${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$${\displaystyle \sigma ,\tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Затем критерий разрушения Мора – Кулона можно оценить с помощью обычного выражения

${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$

для шести плоскостей максимального напряжения сдвига.

Получение нормального напряжения и напряжения сдвига на плоскости

Пусть единица, нормальная к интересующей плоскости, есть ${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$ где - три ортонормированных единичных базисных вектора. Тогда вектор тяги на плоскости определяется выражением${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =n_{i}~\sigma _{ij}~\mathbf {e} _{j}~~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$ Величина вектора тяги определяется выражением ${\displaystyle |\mathbf {t} |={\sqrt {(n_{j}~\sigma _{1j})^{2}+(n_{k}~\sigma _{2k})^{2}+(n_{l}~\sigma _{3l})^{2}}}~~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$ Тогда величина напряжения, нормального к плоскости, определяется выражением ${\displaystyle \sigma =\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =n_{i}~\sigma _{ij}~n_{j}~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$ Величина разрешенного напряжения сдвига на плоскости определяется выражением ${\displaystyle \tau ={\sqrt {|\mathbf {t} |^{2}-\sigma ^{2}}}}$ Что касается компонентов, у нас есть ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{11}+n_{2}^{2}\sigma _{22}+n_{3}^{2}\sigma _{33}+2(n_{1}n_{2}\sigma _{12}+n_{2}n_{3}\sigma _{23}+n_{3}n_{1}\sigma _{31})\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{11}+n_{2}\sigma _{12}+n_{3}\sigma _{31})^{2}+(n_{1}\sigma _{12}+n_{2}\sigma _{22}+n_{3}\sigma _{23})^{2}+(n_{1}\sigma _{31}+n_{2}\sigma _{23}+n_{3}\sigma _{33})^{2}-\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$ Если главные напряжения выравниваются с базисными векторами , то выражения для АРЯ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$${\displaystyle \sigma ,\tau }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}\end{aligned}}}$

Рисунок 2: Поверхность текучести Мора – Кулона в плоскости для${\displaystyle \pi }$${\displaystyle c=2,\phi =20^{\circ }}$

Рисунок 3: След поверхности текучести Мора – Кулона в плоскости для${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$${\displaystyle c=2,\phi =20^{\circ }}$

Поверхность разрушения Мора – Кулона в пространстве Хая – Вестергаарда [ править ]

Поверхность разрушения (текучести) Мора – Кулона часто выражается в координатах Хая – Вестергаада . Например, функция

${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$

можно выразить как

${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi .}$

В качестве альтернативы в терминах инвариантов мы можем написать${\displaystyle p,q,r}$

${\displaystyle \left[{\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~\cos \phi }}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-{\cfrac {1}{3}}\tan \phi ~\cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]q-p~\tan \phi =c}$

где

${\displaystyle \theta ={\cfrac {1}{3}}\arccos \left[\left({\cfrac {r}{q}}\right)^{3}\right]~.}$

Вывод альтернативных форм функции текучести Мора – Кулона

Мы можем выразить функцию доходности ${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$ как ${\displaystyle \sigma _{1}~{\cfrac {(1-\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}-\sigma _{3}~{\cfrac {(1+\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}=1~.}$ В инварианты Хей-Вестергард связаны с главными напряжениями от ${\displaystyle \sigma _{1}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \theta ~;~~\sigma _{3}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \left(\theta +{\cfrac {2\pi }{3}}\right)~.}$ Подстановка выражения для функции текучести Мора – Кулона дает нам ${\displaystyle -{\sqrt {2}}~\xi ~\sin \phi +\rho [\cos \theta -\cos(\theta +2\pi /3)]-\rho \sin \phi [\cos \theta +\cos(\theta +2\pi /3)]={\sqrt {6}}~c~\cos \phi }$ Использование тригонометрических тождеств для суммы и разности косинусов и перестановки дает нам выражение функции текучести Мора – Кулона через .${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta }$ Мы можем выразить функцию доходности в терминах , используя соотношения${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle \xi ={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~q}$ и прямая замена.

Податливость и пластичность Мора – Кулона [ править ]

Поверхность текучести Мора – Кулона часто используется для моделирования пластического течения геоматериалов (и других материалов, связанных с трением). Многие такие материалы демонстрируют дилатационное поведение при трехосных напряжениях, которые не учитываются в модели Мора – Кулона. Кроме того, поскольку поверхность текучести имеет углы, может быть неудобно использовать исходную модель Мора – Кулона для определения направления пластического течения (в теории пластичности течения ).

Распространенным подходом является использование гладкого не связанного потенциала пластического течения. Примером такого потенциала является функция ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle g:={\sqrt {(\alpha c_{\mathrm {y} }\tan \psi )^{2}+G^{2}(\phi ,\theta )~q^{2}}}-p\tan \phi }$

где - параметр, - значение, когда пластическая деформация равна нулю (также называемая начальным пределом текучести сцепления ), - угол, образующий поверхность текучести в плоскости Rendulic при высоких значениях (этот угол также называется углом растяжения ), и является подходящей функцией, которая также является гладкой в ​​плоскости девиаторных напряжений.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle c_{\mathrm {y} }}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle G(\phi ,\theta )}$

Типичные значения сцепления и угла внутреннего трения [ править ]

Значения когезии (также называемой прочностью сцепления ) и угла трения для горных пород и некоторых распространенных грунтов перечислены в таблицах ниже.

Угол внутреннего трения ( ) для некоторых материалов${\displaystyle \phi }$

Материал	Угол трения в градусах
Камень	30 °
Песок	30 ° к45 °
Гравий	35 °
Ил	26 ° до35 °
Глина	20 °
Рыхлый песок	30 ° к35 °
Средний песок	40 °
Плотный песок	От 35 ° до45 °
Песчаный гравий	> 34 ° до48 °

См. Также [ править ]

• Трехмерная эластичность
• Критерий несостоятельности Хука – Брауна
• Закон Байерли
• Боковое давление грунта
• фон Мизес стресс
• Доходность (инженерная)
• Критерий текучести Друкера-Прагера - гладкая версия критерия текучести M – C
• Координаты Лоде

Ссылки [ править ]