В математике , ортогональность является обобщением понятия перпендикулярности к линейной алгебре из билинейных форм . Два элемента U и V из векторного пространства с билинейной формой B является ортогональным , когда B ( U , V ) = 0 . В зависимости от билинейной формы векторное пространство может содержать ненулевые самоортогональные векторы. В случае функциональных пространств в качестве базиса используются семейства ортогональных функций .
В более широком смысле ортогональность также используется для обозначения разделения определенных функций системы. Этот термин также имеет специализированные значения в других областях, включая искусство и химию.
Этимология
Слово происходит от греческого ὀρθός ( ортос ), что означает «прямой», [1] и γωνία ( гония ), что означает «угол». [2] Древнегреческий ὀρθογώνιον orthogōnion и классическая латынь orthogonium первоначально обозначали прямоугольник . [3] Позже они стали обозначать прямоугольный треугольник . В XII веке постклассическое латинское слово orthogonalis стало обозначать прямой угол или что-то связанное с прямым углом. [4]
Математика и физика
Определения
- В геометрии , два евклидовы векторов являются ортогональными , если они перпендикулярны , то есть , они образуют прямой угол .
- Два вектора , х и у , в внутреннем пространстве продукта , V , являются ортогональными , если их скалярное произведениеравно нулю. [6] Это отношение обозначается.
- Два векторного подпространства , и Б , из внутреннего пространства продукта V , называется ортогональными подпространства , если каждый вектор в A ортогонален каждый вектор в B . Наибольшее подпространство V , ортогональное данному подпространству, является его ортогональным дополнением .
- Учитывая модуль M и двойственное M * , элемент т 'из М * и элемент т из М являются ортогональными , если их естественное спаривание равен нулю, т.е. ⟨ м ', м ⟩ = 0 . Два множества S '⊆ M * и S ⊆ M являются ортогональными , если каждый элемент S ' ортогонален каждому элементу S . [7]
- Система перезаписи термов называется ортогональной, если она леволинейна и не является неоднозначной. Системы переписывания ортогонального термина являются сплошностью .
Набор векторов во внутреннем пространстве продукта называется попарно ортогональным, если каждая их пара ортогональна. Такой набор называется ортогональным .
В некоторых случаях слово « нормальный» используется для обозначения ортогональности , особенно в геометрическом смысле, как в случае нормали к поверхности . Например, ось y перпендикулярна кривой y = x 2 в начале координат. Однако нормальный может также относиться к величине вектора. В частности, набор называется ортонормированным (ортогональный плюс нормальный), если он является ортогональным набором единичных векторов . В результате часто избегают использования термина " нормальный" для обозначения "ортогонального". Слово «нормальный» также имеет другое значение в вероятности и статистике .
Векторное пространство с билинейной формой обобщает случай скалярного произведения. Когда билинейная форма, примененная к двум векторам, дает ноль, тогда они ортогональны . В случае псевдоевклидовой плоскости используется термин гиперболическая ортогональность . На диаграмме оси x ′ и t ′ гиперболо-ортогональны для любого заданного ϕ .
Евклидовы векторные пространства
В евклидовом пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть они составляют угол 90 ° (π / 2 радиан ) или один из векторов равен нулю. [8] Следовательно, ортогональность векторов - это расширение концепции перпендикулярных векторов на пространства любой размерности.
Ортогональное дополнение подпространства является пространство всех векторов, ортогональных к каждому вектору в подпространстве. В трехмерном евклидовом векторном пространстве ортогональным дополнением линии, проходящей через начало координат, является плоскость, проходящая через начало координат, перпендикулярную к нему, и наоборот. [9]
Обратите внимание, что геометрическая концепция двух перпендикулярных плоскостей не соответствует ортогональному дополнению, поскольку в трех измерениях пара векторов, по одному от каждой из пары перпендикулярных плоскостей, может встречаться под любым углом.
В четырехмерном евклидовом пространстве ортогональное дополнение к прямой - это гиперплоскость и наоборот, а дополнение к плоскости - это плоскость. [9]
Ортогональные функции
При использовании интегрального исчисления обычно используется следующее для определения скалярного произведения двух функций f и g относительно неотрицательной весовой функции w на интервале [ a , b ] :
В простых случаях w ( x ) = 1 .
Будем говорить , что функции F и г являются ортогональными , если их скалярное произведение (эквивалентно, значение этого интеграла) равна нулю:
Ортогональность двух функций по отношению к одному внутреннему продукту не означает ортогональности по отношению к другому внутреннему продукту.
Запишем норму по отношению к этому внутреннему продукту как
Члены набора функций { F I : я = 1, 2, 3, ...} являются ортогональными по отношению к ш на интервале [ , Ь ] , если
Члены такого набора функций ортонормированы относительно w на интервале [ a , b ], если
где
- дельта Кронекера . Другими словами, каждая пара из них (за исключением спаривания функции с самой собой) ортогональна, и норма каждого равна 1. См., В частности, ортогональные многочлены .
Примеры
- Векторы (1, 3, 2) T , (3, −1, 0) T , (1, 3, −5) T ортогональны друг другу, поскольку (1) (3) + (3) (- 1 ) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (- 5) = 0, и (1) (1) + (3) (3) + (2) (- 5) = 0.
- Векторы (1, 0, 1, 0, ...) T и (0, 1, 0, 1, ...) T ортогональны друг другу. Скалярное произведение этих векторов равно 0. Затем мы можем сделать обобщение, чтобы рассмотреть векторы в Z 2 n : для некоторого положительного целого числа a и для 1 ≤ k ≤ a - 1 эти векторы ортогональны, например, , ортогональны.
- Функции 2 t + 3 и 45 t 2 + 9 t - 17 ортогональны относительно функции единичного веса на интервале от -1 до 1:
- Функции 1, sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3,… ортогональны относительно интегрирования Римана на интервалах [0, 2π] , [−π, π] или любых других замкнутых интервал длины 2π. Этот факт является центральным в рядах Фурье .
Ортогональные многочлены
Различные последовательности полиномов, названные в честь математиков прошлого, представляют собой последовательности ортогональных многочленов . В частности:
- Эти полиномы Эрмита ортогональны относительно гауссового распределения с нулевым средним значением.
- Эти многочлены Лежандра ортогональны относительно равномерного распределения на отрезке [-1, 1] .
- Эти полиномы Лагерра ортогональны относительно экспоненциального распределения . Несколько более общие последовательности полиномов Лагерра ортогональны относительно гамма-распределений .
- В полиномы Чебышева первого рода ортогональны относительно меры
- Полиномы Чебышева второго рода ортогональны относительно распределения полукругов Вигнера .
Ортогональные состояния в квантовой механике
- В квантовой механике , достаточное (но не обязательно) условие , что два собственных состояний оператора А эрмитов оператор , а также , ортогональны в том, что они соответствуют разным собственным значениям. В обозначениях Дирака это означает , что если а также соответствуют разным собственным значениям. Это следует из того факта , что уравнение Шредингера является Штурм-Лиувилль уравнения (в формулировке Шредингера) или что наблюдаемые задаются эрмитовыми операторами (в формулировке Гейзенберга). [ необходима цитата ]
Изобразительное искусство
В искусстве перспективные (воображаемые) линии, указывающие на точку схода , называются «ортогональными линиями». Термин «ортогональная линия» часто имеет совсем другое значение в литературе современной художественной критики. Многие работы художников, таких как Пит Мондриан и Бургойн Диллер , известны своим исключительным использованием «ортогональных линий» - однако, не со ссылкой на перспективу, а со ссылкой на прямые и исключительно горизонтальные или вертикальные линии, образующие прямые углы, где они пересекаются. Например, в эссе на веб-сайте музея Тиссена-Борнемисы говорится, что «Мондриан ... посвятил все свое творчество исследованию баланса между ортогональными линиями и основными цветами». Архивировано 31 января 2009 года в Wayback Machine.
Информатика
Ортогональность в дизайне языков программирования - это возможность использовать различные языковые функции в произвольных комбинациях с согласованными результатами. [10] Это использование было введено Ван Вийнгаарденом при разработке Algol 68 :
Количество независимых примитивных концепций было сведено к минимуму, чтобы язык было легко описывать, изучать и реализовывать. С другой стороны, эти концепции применялись «ортогонально», чтобы максимизировать выразительную силу языка, пытаясь избежать вредных излишеств. [11]
Ортогональность - это свойство проектирования системы, которое гарантирует, что изменение технического эффекта, производимого компонентом системы, не создает и не распространяет побочные эффекты на другие компоненты системы. Обычно это достигается за счет разделения задач и инкапсуляции , и это важно для выполнимых и компактных конструкций сложных систем. Эмерджентное поведение системы, состоящей из компонентов, должно строго контролироваться формальными определениями ее логики, а не побочными эффектами, возникающими в результате плохой интеграции, т. Е. Неортогонального проектирования модулей и интерфейсов. Ортогональность сокращает время тестирования и разработки, поскольку легче проверять проекты, которые не вызывают побочных эффектов и не зависят от них.
Набор команд называется ортогональной , если ему не хватает избыточности (т.е. есть только одна команда , которая может быть использована для выполнения данной задачи) [12] и сконструирован таким образом, что команды могут использовать любой регистр в любом режиме адресации . Эта терминология является результатом рассмотрения инструкции как вектора, компонентами которого являются поля инструкции. Одно поле определяет регистры, с которыми нужно работать, а другое определяет режим адресации. Ортогональный набор команд однозначно кодирует все комбинации регистров и режимов адресации. [ необходима цитата ]
Связь
В связи схемы множественного доступа являются ортогональными, когда идеальный приемник может полностью отклонить произвольно сильные нежелательные сигналы из полезного сигнала, используя различные базовые функции . Одной из таких схем является TDMA , где ортогональные базисные функции представляют собой неперекрывающиеся прямоугольные импульсы («временные интервалы»).
Другая схема - это мультиплексирование с ортогональным частотным разделением (OFDM), которое относится к использованию одним передатчиком набора мультиплексированных по частоте сигналов с точным минимальным частотным интервалом, необходимым для того, чтобы сделать их ортогональными, чтобы они не мешали друг другу. . Хорошо известные примеры включают ( a , g и n ) версии 802.11 Wi-Fi ; WiMAX ; ITU-T G.hn , DVB-T , система наземного цифрового телевещания, используемая в большинстве стран мира за пределами Северной Америки; и DMT (Discrete Multi Tone), стандартная форма ADSL .
В OFDM выбираются частоты поднесущих [ как? ], так что поднесущие ортогональны друг другу, что означает, что перекрестные помехи между подканалами устраняются и защитные полосы между несущими не требуются. Это значительно упрощает конструкцию как передатчика, так и приемника. В обычном FDM требуется отдельный фильтр для каждого подканала.
Статистика, эконометрика и экономика
При выполнении статистического анализа независимые переменные, которые влияют на конкретную зависимую переменную, называются ортогональными, если они не коррелированы [13], поскольку ковариация формирует внутренний продукт. В этом случае те же самые результаты получаются для влияния любой из независимых переменных на зависимую переменную, независимо от того, моделируется ли влияние переменных индивидуально с простой регрессией или одновременно с множественной регрессией . Если корреляция присутствует, коэффициенты не ортогональны, и двумя методами получаются разные результаты. Такое использование происходит из того факта, что при центрировании путем вычитания ожидаемого значения (среднего) некоррелированные переменные ортогональны в геометрическом смысле, обсужденном выше, как в качестве наблюдаемых данных (т. Е. Векторов), так и в качестве случайных величин (т. Е. Функций плотности). Один эконометрический формализм, который является альтернативой модели максимального правдоподобия , Обобщенный метод моментов , полагается на условия ортогональности. В частности, оценка обыкновенных наименьших квадратов может быть легко получена из условия ортогональности между независимыми переменными и остатками модели.
Таксономия
В таксономии ортогональная классификация - это такая классификация, в которой ни один элемент не является членом более чем одной группы, то есть классификации являются взаимоисключающими.
Комбинаторика
В комбинаторике два латинских квадрата размера n × n называются ортогональными, если их наложение дает все возможные комбинации элементов n 2 . [14]
Химия и биохимия
В синтетической органической химии ортогональная защита - это стратегия, позволяющая снимать защиту функциональных групп независимо друг от друга. В химии и биохимии ортогональное взаимодействие происходит, когда есть две пары веществ, и каждое вещество может взаимодействовать со своим соответствующим партнером, но не взаимодействует ни с одним из веществ другой пары. Например, ДНК имеет две ортогональные пары: цитозин и гуанин образуют пару оснований, а аденин и тимин образуют другую пару оснований, но другие комбинации пар оснований сильно нежелательны. В качестве химического примера, тетразин реагирует с трансциклооктеном, а азид реагирует с циклооктином без какой-либо перекрестной реакции, так что это взаимно ортогональные реакции, и поэтому их можно проводить одновременно и селективно. [15] Биоортогональная химия относится к химическим реакциям, происходящим внутри живых систем без взаимодействия с присутствующими в природе клеточными компонентами. В супрамолекулярной химии понятие ортогональности относится к возможности совместимости двух или более супрамолекулярных, часто нековалентных взаимодействий; обратимо формование без вмешательства друг друга.
В аналитической химии анализы являются «ортогональными», если они производят измерение или идентификацию совершенно разными способами, тем самым повышая надежность измерения. Таким образом, ортогональное тестирование можно рассматривать как «перекрестную проверку» результатов, а понятие «перекрестное» соответствует этимологическому происхождению ортогональности . Ортогональное тестирование часто требуется как часть применения нового лекарства .
Надежность системы
В области надежности системы ортогональное резервирование - это та форма резервирования, при которой форма устройства или метода резервного копирования полностью отличается от устройства или метода, подверженного ошибкам. Режим отказа ортогонально избыточного резервного устройства или метода не пересекается и полностью отличается от режима отказа устройства или метода, нуждающегося в резервировании для защиты всей системы от катастрофического отказа.
Неврология
В нейробиологии сенсорная карта в мозге, которая имеет перекрывающееся кодирование стимулов (например, местоположение и качество), называется ортогональной картой.
Игры
В настольных играх, таких как шахматы, в которых используется сетка из квадратов, «ортогональный» используется для обозначения «в той же строке /« звание »или столбец /« файл »». Это аналог квадратов, которые «примыкают по диагонали». [16] В древней китайской настольной игре го игрок может захватывать камни противника, занимая все ортогонально смежные точки.
Другие примеры
Стереофонические виниловые пластинки кодируют как левый, так и правый стереоканалы в одном канале. V-образная канавка на виниле имеет стенки, расположенные под углом 90 градусов друг к другу, с вариациями на каждой стенке, отдельно кодирующими один из двух аналоговых каналов, составляющих стереосигнал. Картридж воспринимает движение иглы по канавке в двух ортогональных направлениях: 45 градусов по вертикали в любую сторону. [17] Чистое горизонтальное движение соответствует моносигналу, эквивалентному стереосигналу, в котором оба канала несут идентичные (синфазные) сигналы.
Смотрите также
- Мнимое число
- Изогональный
- Изогональная траектория
- Ортогональное дополнение
- Ортогональная группа
- Ортогональная матрица
- Ортогональные многочлены
- Ортогонализация
- Процесс Грама – Шмидта
- Ортонормированный базис
- Ортонормальность
- Ортогональное преобразование
- Панортогональность возникает в кокватернионах.
- Поверхность нормальная
- Ортогональная пара лиганд-белок
Рекомендации
- ^ Лидделл и Скотт, A Greek-English Lexicon s.v. ὀρθός
- ^ Лидделл и Скотт, A Greek-English Lexicon s.v. γωνία
- ^ Лидделл и Скотт, A Greek-English Lexicon s.v. ὀρθογώνιον
- ^ Оксфордский словарь английского языка , Третье издание, сентябрь 2004, св ортогональным
- ^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 58. ISBN 0-7167-0344-0.
- ^ "Wolfram MathWorld" .
- ^ Бурбаки, "гл. II §2.4", Алгебра I , с. 234
- ^ Трефетен, Ллойд Н. и Бау, Дэвид (1997). Числовая линейная алгебра . СИАМ. п. 13. ISBN 978-0-89871-361-9.
- ^ а б Р. Пенроуз (2007). Дорога в реальность . Винтажные книги. С. 417–419. ISBN 978-0-679-77631-4.
- ^ Майкл Л. Скотт, Прагматика языка программирования , стр. 228
- ^ 1968, Адриан ван Вейнгаарден и др., Пересмотренный отчет об алгоритмическом языке ALGOL 68, раздел 0.1.2, Ортогональный дизайн
- ^ Нуль, Линда и Лобур, Джулия (2006). Основы компьютерной организации и архитектуры (2-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение. п. 257. ISBN. 978-0-7637-3769-6.
- ^ Афанасиос Папулис; С. Унникришна Пиллаи (2002). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . Макгроу-Хилл. п. 211. ISBN. 0-07-366011-6.
- ^ Hedayat, A .; и другие. (1999). Ортогональные массивы: теория и приложения . Springer. п. 168. ISBN 978-0-387-98766-8.
- ^ Карвер, Марк Р .; Хильдербранд, Скотт А. (2012). «Биоортогональные реакционные пары обеспечивают одновременную селективную визуализацию нескольких целей» . Angewandte Chemie International Edition . 51 (4): 920–2. DOI : 10.1002 / anie.201104389 . PMC 3304098 . PMID 22162316 .
- ^ "Chessvariants.org шахматный глоссарий" .
- ^ См.Иллюстрацию на YouTube .
дальнейшее чтение
- Глава 4 - Компактность и ортогональность в искусстве программирования Unix