В математике , ортогональность является обобщением понятия перпендикулярности к линейной алгебре из билинейных форм . Два элемента U и V из векторного пространства с билинейной формой B является ортогональным , когда B ( U , V ) = 0 . В зависимости от билинейной формы векторное пространство может содержать ненулевые самоортогональные векторы. В случае функциональных пространств в качестве базиса используются семейства ортогональных функций .
В более широком смысле ортогональность также используется для обозначения разделения определенных функций системы. Этот термин также имеет специализированные значения в других областях, включая искусство и химию.
Этимология
Слово происходит от греческого ὀρθός ( ортос ), что означает «прямой», [1] и γωνία ( гония ), что означает «угол». [2] Древнегреческий ὀρθογώνιον orthogōnion и классическая латынь orthogonium первоначально обозначали прямоугольник . [3] Позже они стали обозначать прямоугольный треугольник . В XII веке постклассическое латинское слово orthogonalis стало обозначать прямой угол или что-то связанное с прямым углом. [4]
Математика и физика
Определения
- В геометрии , два евклидовы векторов являются ортогональными , если они перпендикулярны , то есть , они образуют прямой угол .
- Два вектора , х и у , в внутреннем пространстве продукта , V , являются ортогональными , если их скалярное произведениеравно нулю. [6] Это отношение обозначается.
- Два векторного подпространства , и Б , из внутреннего пространства продукта V , называется ортогональными подпространства , если каждый вектор в A ортогонален каждый вектор в B . Наибольшее подпространство V , ортогональное данному подпространству, является его ортогональным дополнением .
- Учитывая модуль M и двойственное M * , элемент т 'из М * и элемент т из М являются ортогональными , если их естественное спаривание равен нулю, т.е. ⟨ м ', м ⟩ = 0 . Два множества S '⊆ M * и S ⊆ M являются ортогональными , если каждый элемент S ' ортогонален каждому элементу S . [7]
- Система перезаписи термов называется ортогональной, если она леволинейна и не является неоднозначной. Системы переписывания ортогонального термина являются сплошностью .
Набор векторов во внутреннем пространстве продукта называется попарно ортогональным, если каждая их пара ортогональна. Такой набор называется ортогональным .
В некоторых случаях слово « нормальный» используется для обозначения ортогональности , особенно в геометрическом смысле, как в случае нормали к поверхности . Например, ось y перпендикулярна кривой y = x 2 в начале координат. Однако нормальный может также относиться к величине вектора. В частности, набор называется ортонормированным (ортогональный плюс нормальный), если он является ортогональным набором единичных векторов . В результате часто избегают использования термина " нормальный" для обозначения "ортогонального". Слово «нормальный» также имеет другое значение в вероятности и статистике .
Векторное пространство с билинейной формой обобщает случай скалярного произведения. Когда билинейная форма, примененная к двум векторам, дает ноль, тогда они ортогональны . В случае псевдоевклидовой плоскости используется термин гиперболическая ортогональность . На диаграмме оси x ′ и t ′ гиперболо-ортогональны для любого заданного ϕ .
Евклидовы векторные пространства
В евклидовом пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть они составляют угол 90 ° (π / 2 радиан ) или один из векторов равен нулю. [8] Следовательно, ортогональность векторов - это расширение концепции перпендикулярных векторов на пространства любой размерности.
Ортогональное дополнение подпространства является пространство всех векторов, ортогональных к каждому вектору в подпространстве. В трехмерном евклидовом векторном пространстве ортогональным дополнением линии, проходящей через начало координат, является плоскость, проходящая через начало координат, перпендикулярную к нему, и наоборот. [9]
Обратите внимание, что геометрическая концепция двух перпендикулярных плоскостей не соответствует ортогональному дополнению, поскольку в трех измерениях пара векторов, по одному от каждой из пары перпендикулярных плоскостей, может встречаться под любым углом.
В четырехмерном евклидовом пространстве ортогональное дополнение к прямой - это гиперплоскость и наоборот, а дополнение к плоскости - это плоскость. [9]
Ортогональные функции
При использовании интегрального исчисления обычно используется следующее для определения скалярного произведения двух функций f и g относительно неотрицательной весовой функции w на интервале [ a , b ] :
В простых случаях w ( x ) = 1 .
Будем говорить , что функции F и г являются ортогональными , если их скалярное произведение (эквивалентно, значение этого интеграла) равна нулю:
Ортогональность двух функций по отношению к одному внутреннему продукту не означает ортогональности по отношению к другому внутреннему продукту.
Запишем норму по отношению к этому внутреннему продукту как
Члены набора функций { F I : я = 1, 2, 3, ...} являются ортогональными по отношению к ш на интервале [ , Ь ] , если
Члены такого набора функций ортонормированы относительно w на интервале [ a , b ], если
где
- дельта Кронекера . Другими словами, каждая пара из них (за исключением спаривания функции с самой собой) ортогональна, и норма каждого равна 1. См., В частности, ортогональные многочлены .
Примеры
- Векторы (1, 3, 2) T , (3, −1, 0) T , (1, 3, −5) T ортогональны друг другу, поскольку (1) (3) + (3) (- 1 ) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (- 5) = 0, и (1) (1) + (3) (3) + (2) (- 5) = 0.
- Векторы (1, 0, 1, 0, ...) T и (0, 1, 0, 1, ...) T ортогональны друг другу. Скалярное произведение этих векторов равно 0. Затем мы можем сделать обобщение, чтобы рассмотреть векторы в Z 2 n : для некоторого положительного целого числа a и для 1 ≤ k ≤ a - 1 эти векторы ортогональны, например, , ортогональны.
- Функции 2 t + 3 и 45 t 2 + 9 t - 17 ортогональны относительно функции единичного веса на интервале от -1 до 1:
- Функции 1, sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3,… ортогональны относительно интегрирования Римана на интервалах [0, 2π] , [−π, π] или любых других замкнутых интервал длины 2π. Этот факт является центральным в рядах Фурье .
Ортогональные многочлены
Различные последовательности полиномов, названные в честь математиков прошлого, представляют собой последовательности ортогональных многочленов . В частности:
- Эти полиномы Эрмита ортогональны относительно гауссового распределения с нулевым средним значением.
- Эти многочлены Лежандра ортогональны относительно равномерного распределения на отрезке [-1, 1] .
- Эти полиномы Лагерра ортогональны относительно экспоненциального распределения . Несколько более общие последовательности полиномов Лагерра ортогональны относительно гамма-распределений .
- В полиномы Чебышева первого рода ортогональны относительно меры
- Полиномы Чебышева второго рода ортогональны относительно распределения полукругов Вигнера .
Ортогональные состояния в квантовой механике
- В квантовой механике , достаточное (но не обязательно) условие , что два собственных состояний оператора А эрмитов оператор , а также , ортогональны в том, что они соответствуют разным собственным значениям. В обозначениях Дирака это означает , что если а также соответствуют разным собственным значениям. Это следует из того факта , что уравнение Шредингера является Штурм-Лиувилль уравнения (в формулировке Шредингера) или что наблюдаемые задаются эрмитовыми операторами (в формулировке Гейзенберга). [ необходима цитата ]
Изобразительное искусство
В искусстве перспективные (воображаемые) линии, указывающие на точку схода , называются «ортогональными линиями». Термин «ортогональная линия» часто имеет совсем другое значение в литературе современной художественной критики. Многие работы художников, таких как Пит Мондриан и Бургойн Диллер , известны своим исключительным использованием «ортогональных линий» - однако, не в отношении перспективы, а скорее в отношении линий, которые являются прямыми и исключительно горизонтальными или вертикальными, образующими прямые углы, где они пересекаются. Например, в эссе на веб-сайте музея Тиссена-Борнемисы говорится, что «Мондриан ... посвятил все свое творчество исследованию баланса между ортогональными линиями и основными цветами». Архивировано 31 января 2009 г. в Wayback Machine.
Информатика
Ортогональность в дизайне языков программирования - это возможность использовать различные языковые функции в произвольных комбинациях с согласованными результатами. [10] Это использование было введено Ван Вийнгаарденом при разработке Algol 68 :
Количество независимых примитивных концепций было сведено к минимуму, чтобы язык было легко описывать, изучать и реализовывать. С другой стороны, эти концепции применялись «ортогонально», чтобы максимизировать выразительную силу языка, пытаясь избежать вредных излишеств. [11]
Ортогональность - это свойство проектирования системы, которое гарантирует, что изменение технического эффекта, производимого компонентом системы, не создает и не распространяет побочные эффекты на другие компоненты системы. Обычно это достигается за счет разделения задач и инкапсуляции , и это важно для выполнимых и компактных конструкций сложных систем. Эмерджентное поведение системы, состоящей из компонентов, должно строго контролироваться формальными определениями ее логики, а не побочными эффектами, возникающими в результате плохой интеграции, т. Е. Неортогональной конструкции модулей и интерфейсов. Ортогональность сокращает время тестирования и разработки, поскольку легче проверять проекты, которые не вызывают побочных эффектов и не зависят от них.
Набор команд называется ортогональной , если ему не хватает избыточности (т.е. есть только одна команда , которая может быть использована для выполнения данной задачи) [12] и сконструирован таким образом, что команды могут использовать любой регистр в любом режиме адресации . Эта терминология является результатом рассмотрения инструкции как вектора, компонентами которого являются поля инструкции. Одно поле определяет регистры, с которыми нужно работать, а другое определяет режим адресации. Ортогональный набор команд однозначно кодирует все комбинации регистров и режимов адресации. [ необходима цитата ]
Связь
В связи схемы множественного доступа являются ортогональными, когда идеальный приемник может полностью отклонить произвольно сильные нежелательные сигналы из полезного сигнала, используя различные базовые функции . Одной из таких схем является TDMA , где ортогональные базисные функции представляют собой неперекрывающиеся прямоугольные импульсы («временные интервалы»).
Другая схема - это мультиплексирование с ортогональным частотным разделением (OFDM), которое относится к использованию одним передатчиком набора частотно-мультиплексированных сигналов с точным минимальным частотным интервалом, необходимым для того, чтобы сделать их ортогональными, чтобы они не мешали друг другу. . Хорошо известные примеры включают ( a , g и n ) версии 802.11 Wi-Fi ; WiMAX ; ITU-T G.hn , DVB-T , система наземного цифрового телевещания, используемая в большинстве стран мира за пределами Северной Америки; и DMT (Discrete Multi Tone), стандартная форма ADSL .
В OFDM выбираются частоты поднесущих [ как? ], так что поднесущие ортогональны друг другу, что означает, что перекрестные помехи между подканалами устраняются и защитные полосы между несущими не требуются. Это значительно упрощает конструкцию как передатчика, так и приемника. В обычном FDM требуется отдельный фильтр для каждого подканала.
Статистика, эконометрика и экономика
При выполнении статистического анализа независимые переменные, которые влияют на конкретную зависимую переменную, называются ортогональными, если они не коррелированы [13], поскольку ковариация формирует внутренний продукт. В этом случае те же самые результаты получаются для влияния любой из независимых переменных на зависимую переменную, независимо от того, моделируется ли влияние переменных индивидуально с простой регрессией или одновременно с множественной регрессией . Если корреляция присутствует, коэффициенты не ортогональны, и двумя методами получаются разные результаты. Такое использование возникает из-за того, что при центрировании путем вычитания ожидаемого значения (среднего) некоррелированные переменные являются ортогональными в геометрическом смысле, описанном выше, как в качестве наблюдаемых данных (т. Е. Векторов), так и в качестве случайных величин (т. Один эконометрический формализм, который является альтернативой модели максимального правдоподобия , Обобщенный метод моментов , полагается на условия ортогональности. В частности, оценка обыкновенных наименьших квадратов может быть легко получена из условия ортогональности между независимыми переменными и остатками модели.
Таксономия
В таксономии ортогональная классификация - это такая классификация, в которой ни один элемент не является членом более чем одной группы, то есть классификации являются взаимоисключающими.
Комбинаторика
В комбинаторике два латинских квадрата размера n × n называются ортогональными, если их наложение дает все возможные комбинации элементов n 2 . [14]
Химия и биохимия
В синтетической органической химии ортогональная защита - это стратегия, позволяющая снимать защиту функциональных групп независимо друг от друга. В химии и биохимии ортогональное взаимодействие происходит, когда есть две пары веществ, и каждое вещество может взаимодействовать со своим соответствующим партнером, но не взаимодействует ни с одним веществом другой пары. Например, ДНК имеет две ортогональные пары: цитозин и гуанин образуют пару оснований, а аденин и тимин образуют другую пару оснований, но другие комбинации пар оснований сильно нежелательны. В качестве химического примера, тетразин реагирует с трансциклооктеном, а азид реагирует с циклооктином без какой-либо перекрестной реакции, так что это взаимно ортогональные реакции, и поэтому их можно проводить одновременно и селективно. [15] Биоортогональная химия относится к химическим реакциям, происходящим внутри живых систем без взаимодействия с присутствующими в природе клеточными компонентами. В супрамолекулярной химии понятие ортогональности относится к возможности совместимости двух или более супрамолекулярных, часто нековалентных взаимодействий; обратимо формование без вмешательства друг друга.
В аналитической химии анализы являются «ортогональными», если они производят измерение или идентификацию совершенно разными способами, тем самым повышая надежность измерения. Таким образом, ортогональное тестирование можно рассматривать как «перекрестную проверку» результатов, а понятие «перекрестное» соответствует этимологическому происхождению ортогональности . Ортогональное тестирование часто требуется как часть применения нового лекарства .
Надежность системы
В области надежности системы ортогональное резервирование - это та форма резервирования, при которой форма устройства или метода резервного копирования полностью отличается от устройства или метода, подверженного ошибкам. Режим отказа ортогонально избыточного устройства или метода резервного копирования не пересекается и полностью отличается от режима отказа устройства или метода, нуждающегося в резервировании для защиты всей системы от катастрофического отказа.
Неврология
В нейробиологии сенсорная карта в мозге, которая имеет перекрывающееся кодирование стимулов (например, местоположение и качество), называется ортогональной картой.
Игры
В настольных играх, таких как шахматы, в которых используется сетка из квадратов, «ортогональный» используется для обозначения «в той же строке /« звание »или столбец /« файл »». Это аналог квадратов, которые «примыкают по диагонали». [16] В древней китайской настольной игре го игрок может захватывать камни противника, занимая все ортогонально смежные точки.
Другие примеры
Стереофонические виниловые пластинки кодируют как левый, так и правый стереоканалы в одной канавке. V-образная канавка на виниле имеет стенки, расположенные под углом 90 градусов друг к другу, с вариациями на каждой стенке, отдельно кодирующими один из двух аналоговых каналов, составляющих стереосигнал. Картридж воспринимает движение иглы по канавке в двух ортогональных направлениях: 45 градусов по вертикали в любую сторону. [17] Чистое горизонтальное движение соответствует моносигналу, эквивалентному стереосигналу, в котором оба канала несут идентичные (синфазные) сигналы.
Смотрите также
- Мнимое число
- Изогональный
- Изогональная траектория
- Ортогональное дополнение
- Ортогональная группа
- Ортогональная матрица
- Ортогональные многочлены
- Ортогонализация
- Процесс Грама – Шмидта
- Ортонормированный базис
- Ортонормальность
- Ортогональное преобразование
- Панортогональность возникает в кокватернионах.
- Поверхность нормальная
- Ортогональная пара лиганд-белок
Рекомендации
- ^ Лидделл и Скотт, A Greek-English Lexicon s.v. ὀρθός
- ^ Лидделл и Скотт, A Greek-English Lexicon s.v. γωνία
- ^ Лидделл и Скотт, A Greek-English Lexicon s.v. ὀρθογώνιον
- ^ Оксфордский словарь английского языка , Третье издание, сентябрь 2004, св ортогональным
- ^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 58. ISBN 0-7167-0344-0.
- ^ "Wolfram MathWorld" .
- ^ Бурбаки, "гл. II §2.4", Алгебра I , с. 234
- ^ Трефетен, Ллойд Н. и Бау, Дэвид (1997). Числовая линейная алгебра . СИАМ. п. 13. ISBN 978-0-89871-361-9.
- ^ а б Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. С. 417–419. ISBN 978-0-679-77631-4.
- ^ Майкл Л. Скотт, Прагматика языка программирования , стр. 228
- ^ 1968, Адриан ван Вейнгаарден и др., Пересмотренный отчет об алгоритмическом языке ALGOL 68, раздел 0.1.2, Ортогональный дизайн
- ^ Нуль, Линда и Лобур, Джулия (2006). Основы компьютерной организации и архитектуры (2-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение. п. 257. ISBN. 978-0-7637-3769-6.
- ^ Афанасиос Папулис; С. Унникришна Пиллаи (2002). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . Макгроу-Хилл. п. 211. ISBN. 0-07-366011-6.
- ^ Hedayat, A .; и другие. (1999). Ортогональные массивы: теория и приложения . Springer. п. 168. ISBN 978-0-387-98766-8.
- ^ Карвер, Марк Р .; Хильдербранд, Скотт А. (2012). «Биоортогональные реакционные пары обеспечивают одновременную селективную визуализацию нескольких целей» . Angewandte Chemie International Edition . 51 (4): 920–2. DOI : 10.1002 / anie.201104389 . PMC 3304098 . PMID 22162316 .
- ^ "Chessvariants.org шахматный глоссарий" .
- ^ См.Иллюстрацию на YouTube .
дальнейшее чтение
- Глава 4 - Компактность и ортогональность в искусстве программирования Unix