Ортографическая проекция

Часть серии по
Графическая проекция
Планарный Параллельная проекция Ортографическая проекция Многовидовая проекция Аксонометрическая проекция Изометрическая проекция Косая проекция Перспективная проекция Криволинейная перспектива Обратная перспектива
Взгляды 2.5D С высоты птичьего полета Поперечное сечение Рисунок в разрезе Чертеж в разобранном виде Объектив "рыбий глаз" Панорама Взгляд червяка Зум-объектив
Темы 3D проекция Анаморфоз Аксонометрия Компьютерная графика Системы автоматизированного проектирования Начертательная геометрия Инженерный чертеж Проекция карты Картинный самолет Планы (чертежи) Проекция (линейная алгебра) Плоскость проекции Проективная геометрия Стереоскопия Технический рисунок Истинная длина Крайний предел; точка схода Графика видеоигр Просмотр усеченного конуса
v т е

Ортографическая проекция (иногда называемая ортогональной проекцией , обычно называемая аналеммой ^[a] ) - это средство представления трехмерных объектов в двух измерениях . Это является одной из форм параллельной проекции , в которой все линии проекций являются ортогональными к плоскости проекции , ^[2] в результате чего в каждой плоскости сцены появляется в аффинном преобразовании на поверхности просмотра. Лицевая сторона ортогональной проекции - это наклонная проекция , которая представляет собой параллельную проекцию, в которой линии проекции не совпадают. перпендикулярно плоскости проекции.

Термин « ортогональный» иногда зарезервирован специально для изображений объектов, где главные оси или плоскости объекта также параллельны плоскости проекции ^[2], но они более известны как многоракурсные проекции . Кроме того, когда главные плоскости или оси объекта в ортогональной проекции не параллельны плоскости проекции, а скорее наклонены, чтобы показать несколько сторон объекта, проекция называется аксонометрической проекцией . Подтипы многовидовой проекции включают планы , фасады и разрезы . Подвиды аксонометрической проекциивключают изометрическую , диметрическую и триметрическую проекции .

Линза, обеспечивающая ортогональную проекцию, известна как телецентрическая линза объектного пространства .

Геометрия [ править ]

Простая ортогональная проекция на плоскость z = 0 может быть определена следующей матрицей:

${\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}$

Для каждой точки v = ( v _x , v _y , v _z ) преобразованная точка Pv будет

${\ displaystyle Pv = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {x} \\ v_ {y} \\ v_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} \\ v_ {y} \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

Часто бывает полезнее использовать однородные координаты . Вышеупомянутое преобразование может быть представлено для однородных координат как

${\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Для каждого однородного вектора v = ( v _x , v _y , v _z , 1) преобразованный вектор Pv будет

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\\1\end{bmatrix}}}$

В компьютерной графике одна из наиболее распространенных матриц, используемых для ортогональной проекции, может быть определена кортежем из 6 элементов ( левый , правый , нижний , верхний , ближний , дальний ), который определяет плоскости отсечения . Эти плоскости образуют прямоугольник с минимальным углом ( слева , внизу , - рядом ) и максимальным углом ( справа , вверху , - далеко ).

Коробка перемещается так, чтобы ее центр находился в начале координат, затем он масштабируется до единичного куба, который определяется наличием минимального угла в (−1, −1, −1) и максимального угла в (1,1, 1).

Орфографическое преобразование может быть задано следующей матрицей:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{right-left}}&0&0&-{\frac {right+left}{right-left}}\\0&{\frac {2}{top-bottom}}&0&-{\frac {top+bottom}{top-bottom}}\\0&0&{\frac {-2}{far-near}}&-{\frac {far+near}{far-near}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

который может быть задан как масштабирование S с последующим переводом T вида

${\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{right-left}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{top-bottom}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{far-near}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {left+right}{2}}\\0&1&0&-{\frac {top+bottom}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {far+near}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Определяется инверсия проекционной матрицы P ⁻¹ , которую можно использовать как непроекционную матрицу:

${\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {right-left}{2}}&0&0&{\frac {left+right}{2}}\\0&{\frac {top-bottom}{2}}&0&{\frac {top+bottom}{2}}\\0&0&{\frac {far-near}{-2}}&-{\frac {far+near}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Подтипы [ править ]

В многоракурсных проекциях создается до шести изображений объекта, причем каждая плоскость проекции параллельна одной из координатных осей объекта. Виды располагаются относительно друг друга по одной из двух схем: проекция под первым углом или проекция под третьим углом . В каждом из них видимость видов может рассматриваться как проекция на плоскости, которые образуют шестигранную рамку вокруг объекта. Хотя можно нарисовать шесть разных сторон, обычно три вида чертежа дают достаточно информации для создания трехмерного объекта. Эти виды известны как вид спереди , вид сверху и вид с торца . Другие названия этих представлений включают план, отметка и разрез .

Термин аксонометрическая проекция (не путать со связанным принципом аксонометрии , описанным в теореме Польке ) используется для описания типа ортогональной проекции, при которой плоскость или ось изображаемого объекта не параллельна плоскости проекции, и где на одном изображении видны несколько сторон объекта. ^[3] Далее он подразделяется на три группы: изометрические , диметрические и триметрические проекции , в зависимости от точного угла, под которым вид отклоняется от ортогонального. ^{[2] [4]} Типичной характеристикой аксонометрической проекции (и других изображений) является то, что одна ось пространства обычно отображается как вертикальная.

Картография [ править ]

Ортогональная проекция карты является отображение проекции из картографии . Подобно стереографической проекции и гномонической проекции , ортогональная проекция - это перспективная (или азимутальная) проекция , в которой сфера проецируется на касательную плоскость или секущую плоскость . Точка зрения для орфографической проекции на бесконечном расстоянии. Она изображает полушарие от земного шара , как это видно из космоса , где горизонт представляет собой большой круг. Формы и области искажены , особенно по краям. ^{[5] [6]}

Орфографическая проекция была известна с древних времен, и ее картографическое использование хорошо задокументировано. Гиппарх использовал проекцию во II веке до нашей эры, чтобы определить места восхода и захода звезд. Примерно в 14 г. до н.э. римский инженер Марк Витрувий Поллион использовал проекцию для создания солнечных часов и вычисления положения солнца. ^[6]

Витрувий также, кажется, придумал для обозначения проекции термин орфографический (от греческого orthos (= «прямой») и graphē (= «рисунок»)). Однако название аналемма , которое также означало солнечные часы, показывающие широту и долготу, было общепринятое имя, пока Франсуа д'Агилон из Антверпена не продвинул его нынешнее название в 1613 году. ^[6]

Самые ранние из сохранившихся карт на проекции представляют собой гравюры на дереве земных глобусов 1509 года (анонимно), 1533 и 1551 годов (Иоганнес Шёнер) и 1524 и 1551 годов (Апиан). ^[6]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с орфографическими проекциями .

• Normale (orthogonale) Axonometrie (на немецком языке)
• Ортографическая проекция Видео и математика

( Копия Wayback Machine )