Пятиугольник

Правильный пятиугольник
Правильный пятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	15
Символ Шлефли	{15}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 15 ), порядок 2 × 15
Внутренний угол ( градусы )	156 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , в pentadecagon или pentakaidecagon или 15-угольник представляет собой пятнадцать-сторонний многоугольник .

Правильный пятиугольник [ править ]

Регулярно pentadecagon представлена Шлефл символом {15}.

Регулярный pentadecagon имеет внутренние углы 156 ° , и с длиной стороны а , имеет площадь , данную

${\ displaystyle {\ begin {align} A = {\ frac {15} {4}} a ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {15}} & = {\ frac {15} {4} } {\ sqrt {7 + 2 {\ sqrt {5}} + 2 {\ sqrt {15 + 6 {\ sqrt {5}}}}} a ^ {2} \\ & = {\ frac {15a ^ {2}} {8}} \ left ({\ sqrt {3}} + {\ sqrt {15}} + {\ sqrt {2}} {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}} \ справа) \\ & \ simeq 17.6424 \, a ^ {2}. \ end {align}}}$

Использует [ редактировать ]

Правильный треугольник, десятиугольник и пятиугольник не могут полностью заполнить вершину плоскости . ^{[ необходима цитата ]}

Строительство [ править ]

Поскольку 15 = 3 × 5, произведение различных простых чисел Ферма , правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки : Следующие конструкции правильных пятиугольников с данной описанной окружностью похожи на иллюстрацию предложения XVI в Книге IV Элементов Евклида . ^[1]

Сравните конструкцию Евклида на этом изображении: Пентадекагон

В построении для данной описанной окружности: - это сторона равностороннего треугольника и сторона правильного пятиугольника. ^[2] Точка делит радиус в золотом сечении :${\ displaystyle {\ overline {FG}} = {\ overline {CF}} {\ text {,}} \; {\ overline {AH}} = {\ overline {GM}} {\ text {,}} \ ; | E_ {1} E_ {6} |}$${\ displaystyle | E_ {2} E_ {5} |}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ overline {AM}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ overline {AH}} {\ overline {HM}}} = {\ frac {\ overline {AM}} {\ overline {AH}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ Phi \ приблизительно 1,618 {\ text {.}}}$

По сравнению с первой анимацией (с зелеными линиями) на следующих двух изображениях показаны две дуги окружности (для углов 36 ° и 24 °), повернутые на 90 ° против часовой стрелки. Они не используют сегмент , а используют сегмент в качестве радиуса для второй дуги окружности (угол 36 °).${\ displaystyle {\ overline {CG}}}$${\displaystyle {\overline {MG}}}$${\displaystyle {\overline {AH}}}$

Конструкция циркуля и линейки для заданной длины стороны. Конструкция почти такая же, как у пятиугольника на заданной стороне , тогда презентация завершается расширением одной стороны, и он генерирует сегмент, который здесь делится в соответствии с золотым сечением:${\displaystyle {\overline {FE_{2}}}{\text{,}}}$

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

Круговой радиус Длина стороны Угол${\displaystyle {\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;}$${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}=a\;;\;\;}$${\displaystyle DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\sqrt {5}}}}}}\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2.40486\cdot a\end{aligned}}}$

Симметрия [ править ]

Регулярно pentadecagon имеет DIH ₁₅ двугранную симметрию , порядка 30, представленную 15 линий отражения. Dih ₁₅ имеет 3 диэдральные подгруппы: Dih ₅ , Dih ₃ и Dih ₁ . И еще четыре циклические симметрии: Z ₁₅ , Z ₅ , Z ₃ и Z ₁ , где Z _n представляет собой π / n радианальную вращательную симметрию.

На пятиугольнике есть 8 различных симметрий. Джон Конвей обозначает эти симметрии буквой, и порядок симметрии следует за буквой. ^[3] Он дает r30 для полной симметрии отражения, Dih ₁₅ . Он дает d (диагональ) с линиями отражения через вершины, p с линиями отражения через ребра (перпендикулярно), а для нечетного пятиугольника i с зеркальными линиями через вершины и ребра и g для циклической симметрии. a1 обозначает отсутствие симметрии.

Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные пятиугольники. Только подгруппа g15 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Пентадекаграммы [ править ]

Есть три правильных звездообразных многоугольника : {15/2}, {15/4}, {15/7}, построенные из тех же 15 вершин правильного пятиугольника, но соединенные пропуском каждой второй, четвертой или седьмой вершины соответственно.

Есть также три правильные звездные фигуры : {15/3}, {15/5}, {15/6}, первая представляет собой соединение трех пятиугольников , второе - соединение пяти равносторонних треугольников , а третье - соединение три пентаграммы .

Составную фигуру {15/3} можно условно рассматривать как двумерный эквивалент трехмерного соединения пяти тетраэдров .

Рисунок	{15/2}	{15/3} или 3 {5}	{15/4}	{15/5} или 5 {3}	{15/6} или 3 {5/2}	{15/7}
Внутренний угол	132 °	108 °	84 °	60 °	36 °	12 °

Изогональные пятиугольники [ править ]

Более глубокие усечения правильного пятиугольника и пентадекаграммы могут давать изогональные ( вершинно-транзитивные ) промежуточные формы звездообразного многоугольника с равными разнесенными вершинами и двумя длинами ребер. ^[4]

Полигоны Петри [ править ]

Правильный пятиугольник - это многоугольник Петри для некоторых многомерных многогранников, спроецированный в косой ортогональной проекции :

См. Также [ править ]

• Построение пятиугольника при заданной длине стороны, расчет радиуса описанной окружности R {\displaystyle R} (немецкий)
• Построение пятиугольника при заданной длине стороны, пример: радиус описанной окружности C G ¯ = R {\displaystyle {\overline {CG}}=R}

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Пентадекагон» . MathWorld .