В математической философии , то предварительно интуиционисты были небольшая , но влиятельная группа , которая неофициально разделяют схожие философии о природе математики. Сам термин был использован LEJ Brouwer , который в своих лекциях 1951 года в Кембридже описал различия между интуиционизмом и его предшественниками: [1]
Совершенно иной ориентации [от «старой формалистской школы» Дедекинда , Кантора , Пеано , Цермело , Кутурата и др.] Была доинтуиционистская школа, возглавляемая в основном Пуанкаре , Борелем и Лебегом . Эти мыслители, по-видимому, придерживались модифицированной точки зрения в пользу введения натуральных чисел , в пользу принципа полной индукции.[...] Для них, даже для тех теорем, которые были выведены с помощью классической логики, они постулировали существование и точность, не зависящие от языка и логики, и считали непротиворечивость этих теорем несомненным, даже без логического доказательства. Однако для континуума они, похоже, не искали происхождения, строго чуждого языку и логике.
Введение натуральных чисел
Преинтуиционисты, по определению Л. Дж. Брауэра , несколько отличались от формалистской точки зрения [1], особенно в отношении введения натуральных чисел или того, как натуральные числа определяются / обозначаются. Для Пуанкаре определение математической сущности - это конструкция самой сущности, а не выражение лежащей в основе сущности или существования.
Это означает, что ни один математический объект не существует без человеческого конструирования, как в уме, так и в языке.
Принцип полной индукции
Этот смысл определения позволил Пуанкаре спорить с Бертраном Расселом по аксиоматической теории натуральных чисел Джузеппе Пеано .
- Разрешите это; ноль обладает свойством P ;
- А также; если каждое натуральное число меньше , чем число х обладает свойством Р , то х также обладает свойством P .
- Следовательно; каждое натуральное число обладает свойством P .
Это принцип полной индукции , который устанавливает необходимое свойство индукции для системы. Поскольку аксиома Пеано бесконечна, как и натуральные числа , трудно доказать, что свойство P принадлежит любому x, а также x + 1. Что можно сделать, так это сказать, что если после некоторого числа n испытаний, которые показывают a свойство P сохраняется в x и x + 1, то мы можем сделать вывод, что оно будет оставаться верным после n + 1 испытаний. Но это само по себе индукция. Отсюда спор - замкнутый круг .
Исходя из этого Пуанкаре утверждает, что если нам не удастся установить непротиворечивость аксиом Пеано для натуральных чисел, не допуская при этом цикличности, то принцип полной индукции не может быть доказан с помощью общей логики .
Таким образом, арифметика и математика в целом не аналитические, а синтетические . Логицизм таким образом упрекнул и Интуиция держится. То, что разделяли Пуанкаре и прединтуиционисты, было восприятием разницы между логикой и математикой, которая заключается не только в языке , но и в самом знании .
Споры по поводу исключенной середины
Именно из-за этого утверждения, среди прочего, Пуанкаре считался похожим на интуиционистов. Для Брауэра, однако, прединтуиционисты не смогли зайти настолько далеко, насколько это необходимо, в отделении математики от метафизики, поскольку они все еще использовали Principium tertii exclusi (« закон исключенного среднего »).
Принцип исключенного третьего действительно приводит к некоторым странным ситуациям. Например, заявление о будущем , таких как «Там будет морское сражение завтра» , кажется, не быть истинными или ложными, тем не менее . Таким образом, возникает некоторый вопрос, должны ли утверждения быть истинными или ложными в некоторых ситуациях . Интуиционисту кажется, что это ставит закон исключенной середины столь же нестрогим, как и порочный круг Пеано .
Однако для прединтуиционистов это смешивание яблок и апельсинов. Для них математика была одним делом (запутанное изобретение человеческого разума, т. Е. Синтетическим), а логика - другим (аналитическим).
Другие прединтуиционисты
Приведенные выше примеры включают только работы Пуанкаре , и все же Брауэр назвал других математиков преинтуиционистами; Борель и Лебег . Другие математики, такие как Герман Вейль (который в конце концов разочаровался в интуиционизме, чувствуя, что он чрезмерно ограничивает математический прогресс) и Леопольд Кронекер, также сыграли свою роль, хотя Брауэр не цитирует их в своей окончательной речи.
Фактически, Кронекер, возможно, был самым известным из прединтуиционистов благодаря своей единственной и часто цитируемой фразе: «Бог создал натуральные числа; все остальное - дело рук человека».
Кронекер идет почти в противоположном направлении от Пуанкаре , веря в натуральные числа, но не в закон исключенного третьего. Он был первым математиком, выразившим сомнение в неконструктивных доказательствах существования , в которых утверждается, что что-то должно существовать, потому что можно показать, что для этого «невозможно» не существовать.
Смотрите также
- Конвенционализм
Заметки
- ^ a b Луитцен Эгбертус Ян Брауэр (под редакцией Аренд Хейтинг , Собрание сочинений , Северная Голландия, 1975, с. 509.
Рекомендации
- Логические извилины - краткая статья Яна Шраатхофа о различных атаках Брауэра на аргументы прединтуиционистов о принципе исключенного третьего.
- Доказательство и интуиция - статья о многих разновидностях знаний, связанных с интуиционистом и логиком.
- Кембриджские лекции Брауэра по интуиционизму, в которых Брауэр говорит о доинтуиционистской школе и обращается к тому, что он считает ее многочисленными недостатками.