Четвертькубические соты

Четвертькубические соты

Тип	Равномерные соты
Семья	Усеченные простые сотовые соты Четверть гиперкубические соты
Индексирование ^[1]	J _25,33 , A ₁₃ W ₁₀ , G ₆
Символ Шлефли	t _0,1 {3 ^[4] } или q {4,3,4}
Диаграмма Кокстера-Дынкина	знак равно знак равно
Типы клеток	{3,3} (3.6.6)
Типы лиц	{3} , {6}
Фигура вершины	(равнобедренная треугольная антипризма )
Космическая группа	Fd 3 м (227)
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × 2 ₂ , [[3 ^[4] ]]
Двойной	сплюснутый кубиль Ячейка: (1/4 ромбического додекаэдра)
Характеристики	вершинно-транзитивный , реберный транзитивный

Четверть кубические сотни , четверть кубический cellulation или bitruncated чередовались кубический сот представляет собой пространство заполнения тесселяция (или сотни ) в евклидове 3-пространстве . Он состоит из тетраэдров и усеченных тетраэдров в соотношении 1: 1. Он называется «четвертькубическим», потому что его элемент симметрии - минимальный блок, из которого формируется узор посредством отражений - состоит из четырех таких элементов кубических сот .

Он вершинно-транзитивный с 6 усеченными тетраэдрами и 2 тетраэдрами вокруг каждой вершины.

Геометрические соты являются пространственно-заполнением из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Это одна из 28 выпуклых однородных сот .

Грани ячеек этой соты образуют четыре семейства параллельных плоскостей, каждая из которых имеет мозаику 3.6.3.6 .

Его вершина представляет собой равнобедренную антипризму : два равносторонних треугольника, соединенных шестью равнобедренными треугольниками .

Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченным тетраэдром и его двойной сплющенной кубиллей .

Вершины и ребра представляют собой решетку Кагоме в трех измерениях ^[2], которая является решеткой пирохлора .

Строительство [ править ]

Четверть кубические соты могут быть построены в виде слоев усеченных тетраэдров и тетраэдрических ячеек, представленных как две трехгексагональные мозаики . Два тетраэдра сложены вершиной и центральной инверсией . В каждом трехгексагональном замощении половина треугольников принадлежит тетраэдрам, а половина - усеченным тетраэдрам. Эти слои плиты должны быть сложены из четырехгранных треугольников в усеченные четырехгранные треугольники, чтобы построить однородную четверть кубической сотовой структуры . Слои плиты из шестиугольных призм и треугольных призм можно чередовать для получения удлиненных сот, но они также не являются однородными.

трехгексагональная черепица:

Симметрия [ править ]

Ячейки могут быть изображены в двух разных симметриях. Форма, генерируемая отражением, представленная диаграммой Кокстера-Дынкина, имеет два цвета усеченных кубооктаэдров . Симметрию можно удвоить, связав пары узлов с кольцами и без них на диаграмме Кокстера-Дынкина, которая может быть показана с одноцветными тетраэдрическими и усеченными тетраэдрическими ячейками.

Две равномерные раскраски
Симметрия	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ , [3 ^[4] ]	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × 2, [[3 ^[4] ]]
Космическая группа	Ж 4 3 мес. (216)	Fd 3 м (227)
Раскраска
Фигура вершины
Симметрия вершинной фигуры	C _3v [3] (* 33) порядок 6	D _3d [2 ⁺ , 6] (2 * 3) порядок 12

Связанные многогранники [ править ]

Подмножество шестиугольных граней этой соты содержит правильный косой апейроэдр {6,6 | 3}.

В этой соте существуют четыре набора параллельных плоскостей трехгексагональных мозаик .

Эти соты - одна из пяти различных однородных сот ^[3], построенных группой Кокстера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина : ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$

Соты формата А3
Космическая группа	Фибрифолд	Квадратная симметрия	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Расширенная группа	Сотовые диаграммы
Ж 4 3 мес. (216)	1 ^о : 2	а1	[3 ^[4] ]		${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$	(Никто)
FM 3 м (225)	2 ^- : 2	d2	<[3 ^[4] ]> ↔ [4,3 ^1,1 ]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × 2 ₁ ↔ ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$	₁ , ₂
Fd 3 м (227)	2 ⁺ : 2	g2	[[3 ^[4] ]] или [2 ⁺ [3 ^[4] ]]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × 2 ₂	₃
Рт 3 м (221)	4 ^- : 2	d4	<2 [3 ^[4] ]> ↔ [4,3,4]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × 4 ₁ ↔ ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {3}}$	₄
Я 3 (204)	8 ^−o	r8	[4 [3 ^[4] ]] ⁺ ↔ [[4,3 ⁺ , 4]]	↔	½ × 8 ↔ ½ × 2 ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {3}}$	_(*)
Я 3 мес. (229)	8 ^часов : 2	r8	[4 [3 ^[4] ]] ↔ [[4,3,4]]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × 8 ↔ × 2 ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {3}}$	₅

C3 соты
Космическая группа	Фибрифолд	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Заказ	Соты
Рт 3 м (221)	4 ^- : 2	[4,3,4]		× 1	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
FM 3 м (225)	2 ^- : 2	[1 ⁺ , 4,3,4] ↔ [4,3 ^1,1 ]	↔	Половина	7 , 11 , 12 , 13
Я 4 3 мес. (217)	4 ^ч : 2	[[(4,3,4,2 ⁺ )]]		Половина × 2	(7) ,
Fd 3 м (227)	2 ⁺ : 2	[[1 ⁺ , 4,3,4,1 ⁺ ]] ↔ [[3 ^[4] ]]	↔	Квартал × 2	10 ,
Я 3 мес. (229)	8 ^часов : 2	[[4,3,4]]		× 2	(1) , 8 , 9

Четверть кубические соты связаны с матрицей трехмерных сот: q {2p, 4,2q}

Евклидовы / гиперболические ( паракомпактные / некомпактные ) четверть соты q {p, 3, q}
р \ д	4	6	8	... ∞
4	q {4,3,4} ↔ ↔	q {4,3,6} ↔ ↔	q {4,3,8} ↔	д {4,3, ∞} ↔
6	q {6,3,4} ↔ ↔	q {6,3,6} ↔	q {6,3,8} ↔	д {6,3, ∞} ↔
8	q {8,3,4} ↔	q {8,3,6} ↔	q {8,3,8} ↔	д {8,3, ∞} ↔
... ∞	q {∞, 3,4} ↔	д {∞, 3,6} ↔	q {∞, 3,8} ↔	q {∞, 3, ∞} ↔

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме четверть кубических сот .

Усеченные простые соты
Усеченные четырехгранные соты Triakis
Архитектурная и катоптическая мозаика

Ссылки [ править ]

^ Для перекрестных ссылок они даются с индексами списков от Андреини (1-22), Уильямса (1-2,9-19), Джонсона (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51 -52, 61-65) и Грюнбаум (1-28).
^ "Physics Today статья о слове кагоме " .
^ [1] , последовательность OEIS A000029 6-1 случаев, пропуская один с нулевыми отметками

Джон Х. Конвей , Хайди Берджел , Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 21, Присвоение имен архимедовым и каталонским многогранникам и мозаикам, Архитектурная и катоптрическая мозаика, стр. 292-298, включает все непризматические формы)
Георгий Ольшевский, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов)
Бранко Грюнбаум , Равномерные мозаики трехмерного пространства. Геомбинаторика 4 (1994), 49 - 56.
Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X.
Кричлоу, Кейт (1970). Порядок в космосе: справочник по дизайну . Викинг Пресс. ISBN 0-500-34033-1.
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Однородные заполнители пространств)
А. Андрейни , Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (О правильных и полуправильных сетях многогранников и соответствующих коррелятивных сетях), Mem. Итальянское общество науки, сер. 3, 14 (1905) 75–129.
DMY Sommerville , Введение в геометрию n измерений. Нью-Йорк, EP Dutton, 1930. 196 стр. (Dover Publications edition, 1958) Глава X: Правильные многогранники
Клитцинг, Ричард. «3D евклидовы соты x3x3o3o3 * a - batatoh - O27» .
Единообразные соты в 3-м пространстве: 15-Batatoh

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ ₉	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21

[1] Для перекрестных ссылок они даются с индексами списков от Андреини (1-22), Уильямса (1-2,9-19), Джонсона (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51 -52, 61-65) и Грюнбаум (1-28).

[2] "Physics Today статья о слове кагоме " .

[3] [1] , последовательность OEIS A000029 6-1 случаев, пропуская один с нулевыми отметками

[1]