В математике , А рациональное многообразие является алгебраическим многообразием , над заданным полем K , который является бирационально к проективному пространству некоторой размерности над K . Это означает, что его функциональное поле изоморфно
поле всех рациональных функций для некоторого множестваиз неизвестных , где d представляет собой размерность многообразия.
Рациональность и параметризация
Пусть V быть аффинное алгебраическое многообразие размерности D , определенной простого идеала I = ⟨ е 1 , ..., F к ⟩ в. Если V рационально, то имеется n + 1 многочленов g 0 , ..., g n в такой, что Другими словами, мы имеем рациональную параметризацию разновидности.
Наоборот, такая рациональная параметризация индуцирует гомоморфизм поля функций из V в. Но этот гомоморфизм не обязательно включен . Если такая параметризация существует, многообразие называется унирациональным . Из теоремы Люрота (см. Ниже) следует, что унирациональные кривые рациональны. Из теоремы Кастельнуово также следует, что в нулевой характеристике любая унирациональная поверхность рациональна.
Вопросы рациональности
Рациональность вопрос спрашивает , может ли данное расширение поля является рациональным , в том смысле, что ( с точностью до изоморфизма) функция поля рационального многообразия; такие расширения поля также описываются как чисто трансцендентные . Точнее, вопрос о рациональности расширения поля это: это изоморфными к полю рациональных функций надв количестве неопределенностей, заданных степенью трансцендентности ?
Есть несколько различных вариантов этого вопроса, связанных с тем, как поля а также построены.
Например, пусть быть полем, и пусть
быть более неизвестных K и пусть L -поле , порожденное над K ими. Рассмотрим конечную группу перестановка этих неизвестных над K . По стандартной теории Галуа множество неподвижных точек действия этой группы является подполем поля, обычно обозначается . Вопрос о рациональностиназывается проблема Нётер и спрашивает , если это поле неподвижных точек или не является чисто трансцендентным расширением K . В статье ( Noether 1918 ) по теории Галуа она изучала проблему параметризации уравнений с заданной группой Галуа, которую она свела к «проблеме Нётер». (Впервые она упомянула эту проблему в ( Noether 1913 ), где она приписала проблему Э. Фишеру.) Она показала, что это верно для n = 2, 3 или 4. Р. Г. Свон ( 1969 ) нашел контрпример к теории Нётер. задача с n = 47 и G циклической группой порядка 47.
Теорема Люрота
Знаменитый случай - проблема Люрота , которую Якоб Люрот решил в девятнадцатом веке. Люрота проблема касается подрасширений L из K ( X ), рациональных функций в одном неопределенном X . Любое такое поле , либо равно K , или также рационально, то есть L = K ( F ) для некоторой рациональной функции F . В геометрических терминах это гласит , что непостоянное рациональное отображение из проективных прямых к кривого C может произойти только тогда , когда С имеет рода 0. Этот факт может быть считан с геометрический из формулы Римана-Гурвица .
Хотя теорему Люрота часто считают неэлементарным результатом, несколько элементарных коротких доказательств были обнаружены уже давно. Эти простые доказательства используют только основы теории поля и лемму Гаусса для примитивных многочленов (см., Например, [1] ).
Унирациональность
Унирациональное многообразие V над полем K является одним доминирует рациональное многообразием, так что его функция поле K ( V ) лежит в чистом трансцендентальном поле конечного типа (который может быть выбран , чтобы быть конечной степень над K ( V ) , если K бесконечно). Решение проблемы Люрота показывает, что для алгебраических кривых рациональное и унирациональное - одно и то же, а из теоремы Кастельнуово следует, что для сложных поверхностей унирациональность влечет рациональность, потому что оба характеризуются исчезновением как арифметического рода, так и второго множественного числа . Зарисский нашел несколько примеров ( поверхностей Зарисского ) в характеристике p > 0, которые унирациональны, но не рациональны. Клеменс и Гриффитс (1972) показали, что трехмерное кубическое многообразие вообще не является рациональным многообразием, предоставив пример трех измерений, что унирациональность не подразумевает рациональности. В их работе использовался промежуточный якобиан . Исковских и Манин (1971) показали, что все неособые трехмерные многообразия четвертой степени иррациональны, хотя некоторые из них унирациональны. Артин и Мамфорд (1972) обнаружили некоторые унирациональные трехмерные многообразия с нетривиальным кручением в их третьей группе когомологий, из чего следует, что они не рациональны.
Для любого поля K , Джанос Коллар доказал в 2000 году , что гладкая кубическая гиперповерхность размерности по крайней мере , 2 унирациональна , если она имеет точку , определенную над K . Это улучшение многих классических результатов, начиная со случая кубических поверхностей (которые являются рациональными многообразиями над алгебраическим замыканием). Другими примерами многообразий, которые демонстрируют унирациональность, являются многие случаи пространства модулей кривых. [2]
Рационально связанное разнообразие
Рационально связное многообразие (или унилинейчатое разнообразие ) V является проективным алгебраическим многообразием над алгебраически замкнутым полем таким образом, что через каждую две точки проходит образ регулярного отображения из проективных прямой в V . Эквивалентно многообразие является рационально связным, если каждые две точки соединены рациональной кривой, содержащейся в многообразии. [3]
Это определение отличается от определения связности путей только природой пути, но сильно отличается, поскольку единственные алгебраические кривые, которые связаны рационально, являются рациональными.
Каждое рациональное многообразие, включая проективные пространства , рационально связно, но обратное неверно. Таким образом, класс рационально связных многообразий является обобщением класса рациональных многообразий. Унирациональные многообразия рационально связны, но не известно, верно ли обратное.
Стабильно рациональные сорта
Многообразие V называется стабильно рациональным, если рационально для некоторых . Таким образом, любое рациональное разнообразие по определению стабильно рационально. Примеры, построенные Бовилем и др. (1985) показывают, что обратное неверно.
Шрайдер (2018)не стабильно рационально, при условии , что степень из V , по крайней мере.
показал, что очень общие гиперповерхностиСмотрите также
- Рациональная кривая
- Рациональная поверхность
- Сорт Севери – Брауэра
- Бирациональная геометрия
Заметки
- ^ Bensimhoun, Майкл (май 2004). «Еще одно элементарное доказательство теоремы Люрота» (PDF) . Иерусалим. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Янош Коллар (2002). «Унирациональность кубических гиперповерхностей». Журнал Института математики Жасси . 1 (3): 467–476. arXiv : математика / 0005146 . DOI : 10.1017 / S1474748002000117 . MR 1956057 .
- ^ Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag.
Рекомендации
- Артин, Майкл ; Мамфорд, Дэвид (1972), «Некоторые элементарные примеры унирациональных многообразий, которые не являются рациональными», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 25 : 75–95, CiteSeerX 10.1.1.121.2765 , doi : 10.1112 / plms / s3 -25.1.75 , ISSN 0024-6115 , MR 0321934
- Бовиль, Арно; Коллио-Телен, Жан-Луи; Сансук, Жан-Жак; Swinnerton-Дайер, Питер (1985), "Варьете stablement rationnelles не rationnelles", Анналы математики , второй серии, 121 (2): 283-318, DOI : 10,2307 / 1971174 , JSTOR 1971174 , MR 0786350
- Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), "Промежуточный якобиан кубики", Анналы математики , второй серии 95 (2): 281-356, CiteSeerX 10.1.1.401.4550 , DOI : 10,2307 / 1970801 , ISSN 0003 -486X , JSTOR 1970801 , Руководство по ремонту 0302652
- Исковских, В.А.; Манин, Ю. I. (1971), «Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота», Математический сборник , Новая серия, 86 (1): 140–166, Bibcode : 1971SbMat..15..141I , doi : 10.1070 / SM1971v015n01ABEH001536 , Руководство по ремонту 0291172
- Коллар, Янош ; Смит, Карен Э .; Корти, Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные разновидности , Кембриджские исследования в области высшей математики, 92 , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511734991 , ISBN 978-0-521-83207-6, Руководство по ремонту 2062787
- Нётер, Эмми (1913), «Обоснование функционирования», Дж. Бер. Д. DMV , 22 : 316–319.
- Нётер, Эмми (1918), «Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe», Mathematische Annalen , 78 (1–4): 221–229, doi : 10.1007 / BF01457099.
- Свон, Р.Г. (1969), "Инвариантные рациональные функции и проблема Стинрода", Inventiones Mathematicae , 7 (2): 148–158, Bibcode : 1969InMat ... 7..148S , doi : 10.1007 / BF01389798
- Мартине, Дж. (1971), «Exp. 372 Un contre-instance à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan)», Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364–381 , Lecture Notes по математике, 189 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0272580
- Шрейдер, Стефан (2019), «Стабильно иррациональные гиперповерхности малых склонов», Журнал Американского математического общества , 32 (4): 1171–1199, arXiv : 1801.05397 , doi : 10.1090 / jams / 928