Перенормировка

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Задний план Эффект Казимира Космическая струна Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Четвертичное взаимодействие Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Теория Черна – Саймонса Море Дирака Ложный вакуум Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория возмущений 6D (2,0) суперконформная теория поля Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая геометрия Теория рассеяния Полуклассическая гравитация Отжим пена Струнная теория Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая космология Квантовая пена Квантовая флуктуация Квантовая гравитация Локальная квантовая теория поля Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Релятивистская квантовая теория поля Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса Теория Янга – Миллса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин
v т е

Перенормировка - это набор методов в квантовой теории поля , статистической механике полей и теории самоподобных геометрических структур, которые используются для обработки бесконечностей, возникающих в вычисленных величинах, путем изменения значений этих величин для компенсации эффектов самих себя. -взаимодействия . Но даже если бы в петлевых диаграммах квантовой теории поля не возникало бесконечностей , можно было бы показать, что необходимо перенормировать массу и поля, появляющиеся в исходном лагранжиане . ^[1]

Например, электронная теория может начинаться с постулирования электрона с начальной массой и зарядом. В квантовой теории поля облако виртуальных частиц , таких как фотоны , позитроны и другие, окружает исходный электрон и взаимодействует с ним. Учет взаимодействий окружающих частиц (например, столкновений при разных энергиях) показывает, что электронная система ведет себя так, как если бы она имела массу и заряд, отличные от первоначально постулированных. Перенормировка в этом примере математически заменяет первоначально постулируемые массу и заряд электрона экспериментально наблюдаемыми массой и зарядом. Математика и эксперименты доказывают, что позитроны и более массивные частицы, такие какПротоны обладают точно таким же наблюдаемым зарядом, что и электрон - даже в присутствии гораздо более сильных взаимодействий и более интенсивных облаков виртуальных частиц.

Ренормализация определяет отношения между параметрами в теории, когда параметры, описывающие большие масштабы расстояний, отличаются от параметров, описывающих небольшие масштабы расстояний. Физически скопление вкладов от бесконечности масштабов, вовлеченных в проблему, может затем привести к дальнейшим бесконечностям. При описании пространства-времени как континуума некоторые статистические и квантово-механические конструкции не имеют четкого определения.. Чтобы определить их или сделать их недвусмысленными, континуальный предел должен тщательно удалить «строительные леса» из решеток в различных масштабах. Процедуры перенормировки основаны на требовании, чтобы определенные физические величины (такие как масса и заряд электрона) равнялись наблюдаемым (экспериментальным) значениям. То есть экспериментальное значение физической величины дает практические применения, но из-за своей эмпирической природы наблюдаемые измерения представляют области квантовой теории поля, которые требуют более глубокого вывода из теоретических основ.

Перенормировка была впервые разработана в квантовой электродинамике (КЭД), чтобы разобраться в бесконечных интегралах в теории возмущений . Первоначально рассматриваемая как подозрительная временная процедура даже некоторыми из ее создателей, перенормировка в конечном итоге была принята как важный и самосогласованный фактический механизм масштабной физики в нескольких областях физики и математики .

Сегодня точка зрения изменилась: на основе прорывных идей ренормгруппы Николая Боголюбова и Кеннета Уилсона , акцент делается на вариации физических величин в смежных масштабах, в то время как отдаленные шкалы связаны друг с другом посредством "эффективных" описаний. . Все шкалы связаны в широком смысле систематическим образом, и фактическая физика, относящаяся к каждой, извлекается с помощью подходящих конкретных вычислительных методов, подходящих для каждой. Уилсон пояснил, какие переменные системы являются ключевыми, а какие - избыточными.

Перенормировка отличается от регуляризации , другого метода управления бесконечностями, предполагающего существование новой неизвестной физики в новых масштабах.

Самовзаимодействия в классической физике [ править ]

Проблема бесконечностей первой возникла в классической электродинамике в точечных частицах в 19 - м и начале 20 - го века.

Масса заряженной частицы должна включать массу-энергию в ее электростатическом поле ( электромагнитную массу ). Предположим, что частица представляет собой заряженную сферическую оболочку радиуса r _e . Масса – энергия в поле равна

${\ displaystyle m _ {\ text {em}} = \ int {\ frac {1} {2}} E ^ {2} \, dV = \ int _ {r_ {e}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {q} {4 \ pi r ^ {2}}} \ right) ^ {2} 4 \ pi r ^ {2} \, dr = {\ frac { q ^ {2}} {8 \ pi r_ {e}}},}$

которое становится бесконечным при r _e → 0 . Это означает, что точечная частица будет иметь бесконечную инерцию , что делает ее неспособной ускоряться. Между прочим, значение r _e , равное массе электрона, называется классическим радиусом электрона , который (при установке и восстановлении коэффициентов c и ) оказывается равным${\displaystyle m_{\text{em}}}$${\displaystyle q=e}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

${\displaystyle r_{e}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}m_{e}c^{2}}}=\alpha {\frac {\hbar }{m_{e}c}}\approx 2.8\times 10^{-15}~{\text{m}},}$

где - постоянная тонкой структуры , - комптоновская длина волны электрона.${\displaystyle \alpha \approx 1/137}$${\displaystyle \hbar /(m_{e}c)}$

Перенормировка: полная эффективная масса сферической заряженной частицы включает фактическую голую массу сферической оболочки (в дополнение к упомянутой выше массе, связанной с ее электрическим полем). Если позволить голой массе оболочки быть отрицательной, можно было бы взять постоянный точечный предел. ^{[ необходима цитата ]} Это было названо перенормировкой , и Лоренц и Абрахам попытались таким образом развить классическую теорию электрона. Эта ранняя работа послужила вдохновением для более поздних попыток регуляризации и перенормировки в квантовой теории поля.

(См. Также регуляризацию (физика) для альтернативного способа удаления бесконечностей из этой классической проблемы, предполагая, что новая физика существует в малых масштабах.)

При расчете электромагнитных взаимодействий заряженных частиц возникает соблазн игнорировать обратную реакцию собственного поля частицы на себя. (Аналогично обратной ЭДС анализа схем.) Но эта обратная реакция необходима для объяснения трения заряженных частиц, когда они испускают излучение. Если предположить, что электрон является точкой, величина обратной реакции расходится по той же причине, по которой расходится масса, поскольку поле обратно пропорционально квадрату .

Теория Абрахама – Лоренца имела беспричинное «предварительное ускорение». Иногда электрон начинал двигаться до приложения силы. Это признак того, что ограничение по количеству очков несовместимо.

Проблема была хуже в классической теории поля, чем в квантовой теории поля, потому что в квантовой теории поля заряженная частица испытывает Zitterbewegung из-за интерференции с виртуальными парами частица-античастица, таким образом эффективно размазывая заряд в области, сравнимой с длиной волны Комптона. В квантовой электродинамике при малой связи электромагнитная масса расходится только как логарифм радиуса частицы.

Расхождения в квантовой электродинамике [ править ]

Развивая квантовую электродинамику в 1930-х годах, Макс Борн , Вернер Гейзенберг , Паскуаль Джордан и Поль Дирак обнаружили, что в пертурбативных поправках многие интегралы расходятся (см . Проблема бесконечностей ).

Один из способов описания расходимостей поправок теории возмущений был открыт в 1947–1949 гг. Гансом Крамерсом , ^[2] Гансом Бете , ^[3] Джулианом Швингером , ^{[4] [5] [6] [7]} Ричардом Фейнманом , ^{[8] [9] [10]} и Синитиро Томонага , ^{[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17]} и систематизированы Фрименом Дайсоном в 1949 году ». ^[18] Расхождения проявляются в радиационных поправках. с диаграммами Фейнмана с замкнутымипетли из виртуальных частиц в них.

Хотя виртуальные частицы подчиняются законам сохранения энергии и импульса , они могут иметь любую энергию и импульс, даже такие, которые не допускаются релятивистским соотношением энергия-импульс для наблюдаемой массы этой частицы (то есть не обязательно является квадратом массы частицы. частица в этом процессе, например, для фотона она может быть ненулевой). Такая частица называется вне оболочки.${\displaystyle E^{2}-p^{2}}$. Когда есть петля, импульс частиц, вовлеченных в петлю, не определяется однозначно энергиями и импульсами входящих и исходящих частиц. Изменение энергии одной частицы в петле может быть уравновешено равным и противоположным изменением энергии другой частицы в петле, не затрагивая входящие и исходящие частицы. Таким образом, возможно множество вариантов. Таким образом , чтобы найти амплитуду процесса контура, необходимо интегрировать через все возможные комбинации энергии и импульса , которые могли бы путешествовать вокруг петли.

Эти интегралы часто расходятся , то есть дают бесконечные ответы. Существенные расхождения - это « ультрафиолетовые » (УФ) расхождения . Ультрафиолетовое расхождение можно описать как расхождение, происходящее от

• область в интеграле, где все частицы в петле имеют большие энергии и импульсы,
• очень короткие длины волн и высокочастотные флуктуации полей в интеграле по путям для поля,
• очень короткое собственное время между испусканием и поглощением частиц, если представить петлю как сумму по траекториям частиц.

Итак, эти расхождения - это краткосрочные и краткосрочные явления.

На рисунках с правого поля изображено ровно три однопетлевые расходящиеся петлевые диаграммы в квантовой электродинамике: ^[19]

(а) Фотон создает виртуальную пару электрон- позитрон , которая затем аннигилирует. Это диаграмма поляризации вакуума .

(б) Электрон быстро испускает и повторно поглощает виртуальный фотон, называемый собственной энергией .

(c) Электрон испускает фотон, испускает второй фотон и поглощает первый. Этот процесс показан в разделе ниже на рисунке 2 и называется перенормировкой вершины . Диаграмму Фейнмана для этого также называют « диаграммой пингвина » из-за ее формы, отдаленно напоминающей пингвина.

Три расходимости соответствуют трем параметрам рассматриваемой теории:

1. Нормализация поля Z.
2. Масса электрона.
3. Заряд электрона.

Второй класс расходимости, называемый инфракрасной расходимостью , связан с безмассовыми частицами, такими как фотон. Каждый процесс с участием заряженных частиц испускает бесконечно много когерентных фотонов бесконечной длины волны, а амплитуда излучения любого конечного числа фотонов равна нулю. Для фотонов эти расходимости хорошо изучены. Например, при 1-петлевом порядке вершинная функция имеет как ультрафиолетовое, так и инфракрасное излучение.расхождения. В отличие от ультрафиолетовой расходимости, инфракрасная расходимость не требует перенормировки параметра в рассматриваемой теории. Инфракрасная расходимость вершинной диаграммы устраняется включением диаграммы, аналогичной вершинной диаграмме, со следующим важным отличием: фотон, соединяющий две ветви электрона, обрезается и заменяется двумя (т.е. реальными) фотонами на оболочке , длины волн которых стремятся до бесконечности; эта диаграмма эквивалентна процессу тормозного излучения . Эта дополнительная диаграмма должна быть включена, потому что нет физического способа отличить фотон с нулевой энергией, текущий через петлю, как на вершинной диаграмме, и фотоны с нулевой энергией, испускаемые через тормозное излучение.. С математической точки зрения ИК-расходимости можно регуляризовать, допуская дробное дифференцирование по параметру, например:

${\displaystyle \left(p^{2}-a^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$

хорошо определена при p = a, но расходится в УФ-диапазоне; если мы возьмем 3 / 2 ю дробную производную по отношению к - в ² , получит ИК расходимость

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}-a^{2}}},}$

так что мы можем исправить ИК-расхождения, превратив их в УФ-расхождения. ^{[ требуется разъяснение ]}

Расхождение петли [ править ]

Диаграмма на рис. 2 показывает один из нескольких однопетлевых вкладов в электрон-электронное рассеяние в КЭД. Электрон в левой части диаграммы, представленный сплошной линией, начинается с 4-импульсом p ^μ и заканчивается с 4-импульсом r ^μ . Он испускает виртуальный фотон, несущий r ^μ - p ^μ, чтобы передать энергию и импульс другому электрону. Но на этой диаграмме, прежде чем это произойдет, он испускает еще один виртуальный фотон, несущий 4-импульс q ^μ , и поглощает этот фотон после испускания другого виртуального фотона. Сохранение энергии и импульса не определяет 4-импульс q ^μ уникально, поэтому все возможности вносят равный вклад, и мы должны интегрироваться.

Амплитуда этой диаграммы заканчивается, среди прочего, множителем из цикла

${\displaystyle -ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(p-q)_{\beta }+m)}{(p-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.}$

Различные факторы γ ^μ в этом выражении являются гамма-матрицами, как в ковариантной формулировке уравнения Дирака ; они связаны со спином электрона. Коэффициенты e - это константа электрического взаимодействия, в то время как они обеспечивают эвристическое определение контура интегрирования вокруг полюсов в пространстве импульсов. Важной частью для наших целей является зависимость от q ^μ трех больших факторов в подынтегральном выражении, которые зависят от пропагаторов двух электронных линий и фотонной линии в контуре.${\displaystyle i\epsilon }$

У этого есть кусок с двумя степенями q ^μ сверху, который доминирует при больших значениях q ^μ (Pokorski 1987, p. 122):

${\displaystyle e^{3}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu }\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(r-q)^{2}(p-q)^{2}q^{2}}}.}$

Этот интеграл расходится и бесконечен, если мы каким-то образом не отключим его при конечной энергии и импульсе.

Подобные петлевые расходимости встречаются и в других квантовых теориях поля.

Перенормированные и голые величины [ править ]

Решение заключалось в том, чтобы понять, что величины, первоначально фигурирующие в формулах теории (например, формула для лагранжиана ), представляющие такие вещи, как электрический заряд и масса электрона , а также нормировки самих квантовых полей, на самом деле не соответствуют к физическим константам, измеренным в лаборатории. Как было написано, это были голые величины, которые не учитывали вклад петлевых эффектов виртуальных частиц в сами физические константы.. Среди прочего, эти эффекты будут включать квантовый аналог обратной электромагнитной реакции, которая так раздражала классических теоретиков электромагнетизма. В общем, эти эффекты будут столь же расходящимися, как и изначально рассматриваемые амплитуды; поэтому конечные измеряемые величины, как правило, означают расходящиеся голые величины.

Таким образом, чтобы войти в контакт с реальностью, формулы пришлось бы переписать в терминах измеримых перенормированных величин. Заряд электрона, скажем, будет определяться величиной, измеренной в конкретной кинематической точке перенормировки или точке вычитания (которая обычно будет иметь характерную энергию, называемую масштабом перенормировки или просто шкалой энергии ). Оставшиеся части лагранжиана, включая оставшиеся части голых величин, затем можно было бы переинтерпретировать как контрчлены , включенные в расходящиеся диаграммы, в точности компенсирующие неприятные расхождения для других диаграмм.

Перенормировка в QED [ править ]

Например, в лагранжиане КЭД

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{B}\left[i\gamma _{\mu }\left(\partial ^{\mu }+ie_{B}A_{B}^{\mu }\right)-m_{B}\right]\psi _{B}-{\frac {1}{4}}F_{B\mu \nu }F_{B}^{\mu \nu }}$

поля и константа связи на самом деле являются голыми величинами, отсюда и индекс B выше. Обычно затравочные величины записываются так, что соответствующие лагранжевые члены кратны перенормированным:

${\displaystyle \left({\bar {\psi }}m\psi \right)_{B}=Z_{0}{\bar {\psi }}m\psi }$

${\displaystyle \left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi }$

${\displaystyle \left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{3}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.}$

Калибровочная инвариантность через тождество Уорда – Такахаши означает, что мы можем перенормировать два члена ковариантной производной части

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\partial +ieA)\psi }$

вместе (Pokorski 1987, p. 115), что и произошло с Z ₂ ; это то же самое, что и Z ₁ .

Член в этом лагранжиане, например, электрон-фотонное взаимодействие, изображенное на рисунке 1, может быть записан как

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{I}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -(Z_{1}-1)e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi }$

Затем физическая постоянная e , заряд электрона, может быть определена в терминах некоторого конкретного эксперимента: мы устанавливаем масштаб перенормировки, равный энергетической характеристике этого эксперимента, и первый член дает взаимодействие, которое мы наблюдаем в лаборатории (с точностью до малых , конечные поправки из петлевых диаграмм, дающие такую ​​экзотику, как поправки высокого порядка к магнитному моменту ). Остальное - контртерм. Если теория перенормируема (подробнее об этом см. Ниже), как в КЭД, расходящиеся части петлевых диаграмм могут быть разложены на части с тремя или меньшим количеством ветвей с алгебраической формой, которую можно сократить вторым член (или аналогичные контрчлены, исходящие из Z ₀и Z ₃ ).

Диаграмма с вершиной взаимодействия контрчлена Z ₁ , расположенная, как на рисунке 3, компенсирует расхождение от цикла на рисунке 2.

Исторически разделение «голых термов» на исходные и контрчлены предшествовало пониманию ренормгруппы, сделанному Кеннетом Уилсоном . ^[20] Согласно таким выводам о ренормгруппе , подробно описанным в следующем разделе, это расщепление неестественно и фактически нефизично, поскольку все масштабы проблемы возникают непрерывным систематическим образом.

Ходовые муфты [ править ]

Чтобы минимизировать вклад петлевых диаграмм в данный расчет (и, следовательно, облегчить извлечение результатов), выбирают точку перенормировки, близкую к энергиям и импульсам, которыми обмениваются при взаимодействии. Однако точка перенормировки не сама физическая величина: физические предсказания теории, рассчитанные на все заказы, в принципе должны быть независимы от выбора точки перенормировки, пока он находится в пределах области применения теории. Изменения в масштабе перенормировки просто повлияют на то, какая часть результата будет получена из диаграмм Фейнмана без петель, а какая - из оставшихся конечных частей петлевых диаграмм. Этот факт можно использовать для расчета эффективного изменения физических константс изменением масштаба. Эта вариация кодируется бета-функциями , и общая теория такого рода масштабной зависимости известна как ренормгруппа .

В просторечии физики, работающие с частицами, часто говорят об определенных физических «константах», которые изменяются вместе с энергией взаимодействия, хотя на самом деле независимой величиной является масштаб перенормировки. Тем не менее, такой ход предоставляет удобные средства описания изменений в поведении теории поля при изменении энергий, участвующих во взаимодействии. Например, поскольку связь в квантовой хромодинамике становится малой на больших масштабах энергии, теория ведет себя больше как свободная теория, когда энергия, обмениваемая при взаимодействии, становится большой - явление, известное как асимптотическая свобода. Выбор возрастающей шкалы энергии и использование ренормализационной группы проясняет это из простых диаграмм Фейнмана; если бы этого не было сделано, прогноз был бы таким же, но возник бы в результате сложных отмен высокого порядка.

Например,

${\displaystyle I=\int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}\,dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}\,dz=\ln a-\ln b-\ln 0+\ln 0}$

неточно определено.

Чтобы устранить расхождение, просто измените нижний предел интеграла на ε _a и ε _b :

${\displaystyle I=\ln a-\ln b-\ln {\varepsilon _{a}}+\ln {\varepsilon _{b}}=\ln {\tfrac {a}{b}}-\ln {\tfrac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}}$

Убедиться ε _б/ε _а→ 1 , то I = lnа/б.

Регуляризация [ править ]

Поскольку величина ∞ - ∞ плохо определена, для того, чтобы сделать это понятие сокращения расходимостей точным, расхождения сначала необходимо математически приручить, используя теорию пределов , в процессе, известном как регуляризация (Weinberg, 1995).

По существу произвольная модификация интегральных выражений контура или регулятора может заставить их спадать быстрее при высоких энергиях и импульсах, так что интегралы сходятся. Регулятор имеет характерную шкалу энергии, известную как отсечка ; доведение этого обрезания до бесконечности (или, что то же самое, до нуля соответствующей шкалы длины / времени) восстанавливает исходные интегралы.

При наличии регулятора и конечного значения обрезания расходящиеся члены в интегралах затем превращаются в конечные, но зависящие от обрезания члены. После исключения этих членов с помощью вкладов контрчленов, зависящих от отсечки, отсечение доводится до бесконечности и восстанавливаются конечные физические результаты. Если физика в масштабах, которые мы можем измерить, не зависит от того, что происходит на очень коротких расстояниях и в масштабах времени, тогда должна быть возможность получить независимые от обрезания результаты для расчетов.

В расчетах квантовой теории поля используется множество различных типов регуляторов, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Один из самых популярных в современном использовании является размерная регуляризация , изобретенный Герард «т Хофта и Мартинус Велтман , ^[21] , который укрощает интегралы, выполняя их в пространстве с фиктивным дробным числом измерений. Другой - регуляризация Паули – Вилларса , которая добавляет к теории фиктивные частицы с очень большими массами, так что петлевые интегранты с участием массивных частиц компенсируют существующие петли при больших импульсах.

Еще одна схема регуляризации - это решеточная регуляризация , введенная Кеннетом Уилсоном , которая утверждает, что гиперкубическая решетка строит наше пространство-время с фиксированным размером сетки. Этот размер является естественным ограничением максимального импульса, которым может обладать частица при движении по решетке. И после выполнения расчета на нескольких решетках с разным размером сетки физический результат экстраполируется на размер сетки 0 или нашу естественную Вселенную. Это предполагает наличие ограничения масштабирования .

Строгий математический подход к теории перенормировки - это так называемая теория причинных возмущений , в которой ультрафиолетовые расходимости избегают с самого начала в вычислениях, выполняя четко определенные математические операции только в рамках теории распределений . В этом подходе расхождения заменяются двусмысленностью: расходящейся диаграмме соответствует член, который теперь имеет конечный, но неопределенный коэффициент. Затем необходимо использовать другие принципы, такие как калибровочная симметрия, для уменьшения или устранения неоднозначности.

Регуляризация дзета-функции [ править ]

Джулиан Schwinger обнаружил отношения ^{[ править ]} между дзета - функции регуляризации и перенормировки, используя асимптотическое соотношение:

${\displaystyle I(n,\Lambda )=\int _{0}^{\Lambda }dp\,p^{n}\sim 1+2^{n}+3^{n}+\cdots +\Lambda ^{n}\to \zeta (-n)}$

как регулятор Λ → ∞ . Исходя из этого, он рассмотрел возможность использования значений ζ (- n ) для получения конечных результатов. Хотя он достиг противоречивых результатов, улучшенная формула, изученная Хартлом , Дж. Гарсиа, и основанная на работах Э. Элизальде, включает технику алгоритма дзета-регуляризации.

${\displaystyle I(n,\Lambda )={\frac {n}{2}}I(n-1,\Lambda )+\zeta (-n)-\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}a_{n,r}(n-2r+1)I(n-2r,\Lambda ),}$

где B - числа Бернулли, а

${\displaystyle a_{n,r}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n-2r+2)}}.}$

Таким образом, каждое I ( m , Λ) можно записать как линейную комбинацию ζ (−1), ζ (−3), ζ (−5), ..., ζ (- m ) .

Или просто используя формулу Абеля – Планы, мы имеем для каждого расходящегося интеграла:

${\displaystyle \zeta (-m,\beta )-{\frac {\beta ^{m}}{2}}-i\int _{0}^{\infty }dt{\frac {(it+\beta )^{m}-(-it+\beta )^{m}}{e^{2\pi t}-1}}=\int _{0}^{\infty }dp\,(p+\beta )^{m}}$

действительно, когда m > 0. Здесь дзета-функция - это дзета-функция Гурвица, а бета - положительное действительное число.

«Геометрическая» аналогия дается (если мы используем метод прямоугольника ) для вычисления интеграла так:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }dx\,(\beta +x)^{m}\approx \sum _{n=0}^{\infty }h^{m+1}\zeta \left(\beta h^{-1},-m\right)}$

Использование дзета-регуляризации Гурвица плюс метод прямоугольника с шагом h (не путать с постоянной Планка ).

Логарифмический расходящийся интеграл имеет регуляризацию

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a)+\log(a)}$

так как для гармонического ряда в пределе мы должны восстановить ряд${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+1}}}$${\displaystyle a\to 0}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }1=1/2}$

Для многопетлевых интегралов, которые будут зависеть от нескольких переменных, мы можем сделать замену переменных на полярные координаты, а затем заменить интеграл по углам суммой, так что у нас будет только расходящийся интеграл, который будет зависеть от модуля, и тогда мы можем применить алгоритм дзета-регуляризации, основная идея для многопетлевых интегралов состоит в том, чтобы заменить множитель после изменения гиперсферических координат F ( r , Ω), чтобы перекрывающиеся расходимости UV кодировались в переменной r . Для регуляризации этих интегралов необходим регулятор, в случае многопетлевых интегралов этот регулятор можно принять в виде${\displaystyle k_{1},\cdots ,k_{n}}$${\displaystyle \int d\Omega }$${\displaystyle r^{2}=k_{1}^{2}+\cdots +k_{n}^{2}}$${\displaystyle F(q_{1},\cdots ,q_{n})}$

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {q}}_{i}q^{i}\right)^{-s}}$

поэтому многопетлевой интеграл будет сходиться для достаточно больших s, используя дзета-регуляризацию, мы можем аналитически продолжить переменную s до физического предела, где s = 0, а затем регуляризовать любой УФ-интеграл, заменив расходящийся интеграл линейной комбинацией расходящихся рядов , который может быть регуляризован в терминах отрицательных значений дзета-функции Римана ζ (- m ) .

Отношения и интерпретация [ править ]

Ранние разработчики КЭД и других квантовых теорий поля, как правило, были недовольны таким положением дел. Казалось незаконным делать что-то равносильное вычитанию бесконечности из бесконечности для получения конечных ответов.

Фримен Дайсон утверждал, что эти бесконечности имеют базовую природу и не могут быть устранены никакими формальными математическими процедурами, такими как метод перенормировки. ^{[22] [23]}

Критика Дирака была наиболее настойчивой. ^[24] Еще в 1975 году он говорил: ^[25]

Большинство физиков очень довольны ситуацией. Они говорят: «Квантовая электродинамика - хорошая теория, и нам не нужно больше о ней беспокоиться». Я должен сказать, что я очень недоволен ситуацией, потому что эта так называемая «хорошая теория» действительно предполагает игнорирование бесконечностей, которые появляются в ее уравнениях, игнорирование их произвольным образом. Это просто неразумная математика. Разумная математика предполагает игнорирование величины, когда она мала - не пренебрегать ею только потому, что она бесконечно велика, а вы этого не хотите!

Еще одним важным критиком был Фейнман . Несмотря на его решающую роль в развитии квантовой электродинамики, в 1985 году он написал следующее: ^[26]

Оболочка, в которую мы играем, технически называется «перенормировкой». Но как бы умно это ни было слово, это все равно то, что я бы назвал дурацким процессом! Необходимость прибегнуть к такому фокусу-покусу помешала нам доказать, что теория квантовой электродинамики математически самосогласована. Удивительно, что теория до сих пор так или иначе не доказала самосогласованность; Я подозреваю, что перенормировка математически неверна.

Фейнман был обеспокоен тем, что все теории поля, известные в 1960-х годах, обладают тем свойством, что взаимодействия становятся бесконечно сильными на достаточно малых расстояниях. Это свойство, называемое полюсом Ландау , сделало вероятным, что квантовые теории поля противоречивы. В 1974 году Гросс , Политцер и Вильчек показали, что другая квантовая теория поля, квантовая хромодинамика , не имеет полюса Ландау. Фейнман, как и большинство других, признал КХД полностью последовательной теорией. ^{[ необходима цитата ]}

Общее беспокойство было почти универсальным в текстах до 1970-х и 1980-х годов. Однако начиная с 1970-х годов, вдохновленные работой над ренормализационной группой и эффективной теорией поля , и несмотря на то, что Дирак и многие другие - все они принадлежали к старшему поколению - никогда не отказывались от своей критики, отношения начали меняться, особенно среди младшие теоретики. Кеннет Г. Уилсон и другие продемонстрировали, что ренормализационная группа полезна в статистической теории поля, применяемой к физике конденсированного состояния , где она дает важное понимание поведения фазовых переходов . В физике конденсированного состояния физическийсуществует ближний регулятор: материя перестает быть непрерывной в масштабе атомов . Расхождения на малых расстояниях в физике конденсированного состояния не представляют собой философской проблемы, поскольку теория поля в любом случае является лишь эффективным, сглаженным представлением поведения материи; бесконечностей нет, так как обрезание всегда конечно, и совершенно логично, что затравочные величины зависят от обрезания.

Если QFT держит весь путь вниз мимо планковской длиной (где он может уступить теории струн , теории причинных множеств или что - то другое), то не может быть никакой реальной проблемой с короткой дистанцией расхождением в физике элементарных частиц , либо; все теории поля могут быть просто эффективными теориями поля. В некотором смысле этот подход перекликается с прежним подходом, согласно которому расхождения в КТП говорят о человеческом невежестве о работе природы, но также признают, что это невежество можно измерить, и что полученные в результате эффективные теории остаются полезными.

Как бы то ни было, замечание Салама ^[27] в 1972 году кажется все еще актуальным.

Теоретико-полевые бесконечности - впервые встретившиеся при вычислении Лоренцем собственной массы электрона - сохраняются в классической электродинамике семьдесят и в квантовой электродинамике около тридцати пяти лет. Эти долгие годы разочарований оставили в субъекте любопытную привязанность к бесконечностям и страстную веру в то, что они являются неизбежной частью природы; настолько, что даже предположение о надежде на то, что их все-таки можно будет обойти - и вычислить конечные значения констант перенормировки - считается иррациональным. Сравните постскриптум Рассела с третьим томом его автобиографии «Последние годы, 1944–1969» (Джордж Аллен и Анвин, Лтд., Лондон, 1969), ^[28] с. 221:

В современном мире, если сообщества несчастны, это часто происходит из-за их невежества, привычек, убеждений и страстей, которые им дороже, чем счастье или даже жизнь. В наше опасное время я нахожу много мужчин, которые кажутся влюбленными в страдания и смерть и сердятся, когда им внушают надежды. Они думают, что надежда иррациональна и что, впадая в ленивое отчаяние, они просто смотрят в лицо фактам.

В КТП значение физической константы, как правило, зависит от масштаба, который выбирается в качестве точки перенормировки, и становится очень интересным исследовать работу перенормировочной группы физических констант при изменении шкалы энергии. Константы связи в Стандартной модели физики элементарных частиц изменяются по-разному с увеличением масштаба энергии: связь квантовой хромодинамики и слабая изоспиновая связь электрослабой силы имеют тенденцию уменьшаться, а слабая гиперзарядная связь электрослабой силы имеет тенденцию к увеличению. При колоссальном энергетическом масштабе 10 ¹⁵ ГэВ (далеко за пределами досягаемости наших современных ускорителей частиц), все они становятся примерно одинакового размера (Grotz and Klapdor 1990, p. 254), что является главной причиной спекуляций о теории великого единства . Ренормализация превратилась не только в вызывающую беспокойство проблему, но и в важный теоретический инструмент для изучения поведения теорий поля в различных режимах.

Если теория с перенормировкой (например, КЭД) может быть разумно интерпретирована только как эффективная теория поля, то есть как приближение, отражающее человеческое незнание работы природы, то остается проблема открытия более точной теории, которая не имеет этих проблем перенормировки. . Как сказал Льюис Райдер: «В квантовой теории эти [классические] расхождения не исчезают; напротив, они, кажется, ухудшаются. И, несмотря на сравнительный успех теории перенормировки, остается ощущение, что должно быть более удовлетворительный способ ведения дел ". ^[29]

Перенормируемость [ править ]

Из этой философской переоценки естественно вытекает новая концепция: понятие перенормируемости. Не все теории поддаются перенормировке описанным выше способом с конечным набором контрчленов, и все величины становятся независимыми от обрезания в конце расчета. Если лагранжиан содержит комбинации полевых операторов достаточно высокой размерности в единицах энергии, контрчлены, необходимые для устранения всех расходимостей, увеличиваются до бесконечного числа, и, на первый взгляд, теория, казалось бы, получает бесконечное количество свободных параметров и, следовательно, теряет все предсказательная сила, становящаяся бесполезной с научной точки зрения. Такие теории называются неперенормируемыми .

Стандартная модель физики частиц содержит только перенормируемые оператор, но взаимодействие ОТО становятся неперенормируемыми операторами , если попытаться построить теорию поля квантовой гравитации в наиболее простом способе (обработка метрики в Эйнштейне-Гильберт Лагранже как возмущение о метрика Минковского ), предполагая , что теория возмущений не является удовлетворительным в применении к квантовой гравитации.

Однако в эффективной теории поля термин «перенормируемость», строго говоря, является неправильным.. В неперенормируемой эффективной теории поля члены лагранжиана действительно умножаются до бесконечности, но имеют коэффициенты, подавленные все более экстремальными обратными степенями ограничения энергии. Если обрезание является реальной физической величиной - то есть, если теория является только эффективным описанием физики до некоторой максимальной энергии или минимальной шкалы расстояний, - тогда эти дополнительные члены могут представлять реальные физические взаимодействия. Предполагая, что безразмерные константы в теории не становятся слишком большими, можно группировать вычисления по обратным степеням обрезания и извлекать приближенные предсказания в конечном порядке в обрезании, которые все еще имеют конечное число свободных параметров. Может быть даже полезно перенормировать эти «неперенормируемые» взаимодействия.

Неперенормируемые взаимодействия в эффективных теориях поля быстро становятся слабее, поскольку масштаб энергии становится намного меньше, чем обрезание. Классическим примером является теория Ферми от слабой ядерной силы , неренормируемой эффективная теория отсечки которого сравнима с массой W частицы . Этот факт может также дать возможное объяснение того, почему почти все взаимодействия частиц, которые мы видим, описываются перенормируемыми теориями. Может случиться так, что любые другие, которые могут существовать в масштабе GUT или Планка, просто станут слишком слабыми, чтобы их можно было обнаружить в наблюдаемой нами области, за одним исключением: гравитация., чье чрезвычайно слабое взаимодействие усиливается наличием огромных масс звезд и планет . ^{[ необходима цитата ]}

Схемы перенормировки [ править ]

В реальных расчетах контрчлены, введенные для устранения расхождений в расчетах диаграммы Фейнмана за пределами уровня дерева, должны быть исправлены с использованием набора условий перенормировки . Общие используемые схемы перенормировки включают:

• Схема минимального вычитания (MS) и связанная с ней схема модифицированного минимального вычитания (MS-bar)
• Схема на корпусе

Перенормировка в статистической физике [ править ]

История [ править ]

Более глубокое понимание физического смысла и обобщения процесса перенормировки, выходящего за рамки группы расширения традиционных перенормируемых теорий, пришло из физики конденсированного состояния. В статье Лео Каданова 1966 г. была предложена ренормализационная группа «блочного спина». ^[30] блокировании идея является способ определения компонентов теории на больших расстояниях , как агрегаты компонентов на более коротких расстояниях.

Этот подход охватил концептуальную точку и получил полную вычислительную основу ^[20] в обширных важных вкладах Кеннета Уилсона . Сила идей Вильсона была продемонстрирована конструктивным итеративным перенормировочным решением давней проблемы, проблемы Кондо , в 1974 году, а также предшествующими основополагающими разработками его нового метода в теории фазовых переходов второго рода и критических явлений. в 1971 году. Он был удостоен Нобелевской премии за этот решающий вклад в 1982 году.

Принципы [ править ]

Говоря более техническими терминами, давайте предположим, что у нас есть теория, описываемая определенной функцией переменных состояния и определенным набором констант связи . Эта функция может быть статистической суммой , действием , гамильтонианом и т. Д. Она должна содержать полное описание физики системы.${\displaystyle Z}$${\displaystyle \{s_{i}\}}$${\displaystyle \{J_{k}\}}$

Теперь рассмотрим некое блокирующее преобразование переменных состояния , количество которых должно быть меньше количества . Теперь попробуем переписать функцию только в терминах . Если это достигается определенным изменением параметров , то теория называется перенормируемой .${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$

Возможные макроскопические состояния системы в большом масштабе задаются этим набором неподвижных точек.

Фиксированные точки ренормгруппы [ править ]

Самая важная информация в потоке RG - это его фиксированные точки . Неподвижная точка определяется обращением в нуль бета-функции, связанной с потоком. Тогда неподвижные точки ренормгруппы по определению масштабно инвариантны. Во многих случаях, представляющих физический интерес, масштабная инвариантность расширяется до конформной инвариантности. Тогда в фиксированной точке имеется конформная теория поля .

Способность нескольких теорий течь к одной и той же фиксированной точке ведет к универсальности .

Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, говорят, что теория демонстрирует квантовую тривиальность . При изучении решеточных теорий Хиггса появляются многочисленные неподвижные точки , но природа связанных с ними квантовых теорий поля остается открытым вопросом. ^[31]

См. Также [ править ]

• История квантовой теории поля
• Квантовая тривиальность
• Парадоксы Зенона

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Общее введение [ править ]

• ДеДео, Саймон; Введение в перенормировку (2017). МООК Института Санта-Фе . Перенормировка с точки зрения сложных систем, включая цепи Маркова, клеточные автоматы, модель Изинга реального пространства, теорему Крона-Родса, КЭД и теорию искажений скорости.
• Деламот, Бертран (2004). «Намек на перенормировку». Американский журнал физики . 72 (2): 170–184. arXiv : hep-th / 0212049 . Bibcode : 2004AmJPh..72..170D . DOI : 10.1119 / 1.1624112 . S2CID  2506712 .
• Баэз, Джон; Перенормировка - это просто , (2005). Качественное введение в предмет.
• Блехман, Эндрю Э .; Перенормировка: наш сильно непонятый друг , (2002). Краткое содержание лекции; содержит дополнительную информацию о конкретных схемах регуляризации и расхождения-вычитания.
• Цао, Тянь Ю; Швебер, Сильван С. (1993). «Концептуальные основы и философские аспекты теории перенормировки». Synthese . 97 : 33–108. DOI : 10.1007 / BF01255832 . S2CID  46968305 .
• Ширков Дмитрий ; Пятьдесят лет ренормализационной группы , CERN Courrier 41 (7) (2001). Полный текст доступен на: IOP Magazines .
• Э. Элизальде; Методы дзета-регуляризации с приложениями .

В основном: квантовая теория поля [ править ]

• Н. Н. Боголюбов , Д. В. Ширков (1959): Теория квантованных полей . Нью-Йорк, Интерсайенс. Первый учебник по теории ренормгруппы .
• Ryder, Lewis H .; Квантовая теория поля (Cambridge University Press, 1985), ISBN 0-521-33859-X Хорошо читаемый учебник, безусловно, лучшее введение в релятивистскую КТП для физики элементарных частиц. 
• Зи, Энтони; Квантовая теория поля в двух словах , Princeton University Press (2003) ISBN 0-691-01019-6 . Еще один отличный учебник по QFT 
• Вайнберг, Стивен; Квантовая теория полей (3 тома) Cambridge University Press (1995). Монументальный трактат по QFT, написанный ведущим экспертом, лауреатом Нобелевской премии 1979 года .
• Покорски, Стефан; Теории калибровочного поля , Cambridge University Press (1987) ISBN 0-521-47816-2 . 
• 'т Хоофт, Джерард; Славной Дни физики - Ренормализационная калибровочных теорий , лекции в Эриче (август / сентябрь 1998) от лауреата Нобелевской премии 1999 года . Полный текст доступен по адресу: hep-th / 9812203 .
• Ривассо, Винсент; Введение в перенормировку , семинар Пуанкаре (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в: Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 , Прогресс в математической физике 30, Биркхойзер (2003) ISBN 3-7643-0579-7 . Полный текст доступен в PostScript . 
• Ривассо, Винсент; От пертурбативной к конструктивной перенормировке , Princeton University Press (1991) ISBN 0-691-08530-7 . Полный текст доступен в PostScript . 
• Iagolnitzer, Daniel & Magnen, J .; Анализ ренормгруппы , Энциклопедия математики, Kluwer Academic Publisher (1996). Полный текст доступен в PostScript и pdf здесь .
• Шарф, Гюнтер; Конечная квантовая электродинамика: причинный подход , Springer Verlag Berlin Heidelberg New York (1995) ISBN 3-540-60142-2 . 
• А.С. Шварц ( Альберт Шварц ), Математические основы квантовой теории поля, (Математические аспекты квантовой теории поля), Атомиздат, М., 1975. 368 с.

В основном: статистическая физика [ править ]

• А.Н. Васильев; Теоретико-полевая ренормализационная группа в теории критического поведения и стохастической динамике (Routledge Chapman & Hall 2004); ISBN 978-0-415-31002-4 
• Найджел Голденфельд ; Лекции по фазовым переходам и ренормализационной группе , Frontiers in Physics 85, Westview Press (июнь 1992 г.) ISBN 0-201-55409-7 . Эта популярная книга, охватывающая элементарные аспекты физики фазовых переходов и ренормгруппы, делает упор на понимание и ясность, а не на технические манипуляции. 
• Зинн-Джастин, Жан; Квантовая теория поля и критические явления , Oxford University Press (4-е издание - 2002 г.) ISBN 0-19-850923-5 . Шедевр применения методов перенормировки к вычислению критических показателей в статистической механике в соответствии с идеями Вильсона (Кеннет Уилсон был лауреатом Нобелевской премии 1982 г. ). 
• Зинн-Джастин, Жан; Группа по фазовым переходам и ренормализации: от теории к числам , семинар Пуанкаре (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в: Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 , Прогресс в математической физике 30, Биркхойзер (2003) ISBN 3-7643-0579-7 . Полный текст доступен в PostScript . 
• Домб, Кирилл; Критическая точка: историческое введение в современную теорию критических явлений , CRC Press (март, 1996) ISBN 0-7484-0435-X . 
• Браун, Лори М. (ред.); Перенормировка: от Лоренца к Ландау (и далее) , Springer-Verlag (Нью-Йорк-1993) ISBN 0-387-97933-6 . 
• Карди, Джон ; Масштабирование и перенормировка в статистической физике , Cambridge University Press (1996) ISBN 0-521-49959-3 . 

Разное [ править ]

• Ширков Дмитрий ; Ренормализационная группа Боголюбова , Сообщение ОИЯИ E2-96-15 (1996). Полный текст доступен по адресу: hep-th / 9602024
• Зинн-Джастин, Жан; Ренормализация и ренормализационная группа: от открытия УФ-расходимостей до концепции эффективных теорий поля , in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective , 15–26 июня 1998 г., Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375–388 (1999). Полный текст доступен в PostScript .
• Конн, Ален; Symétries Galoisiennes & Renormalisation , семинар Пуанкаре (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в: Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 , Прогресс в математической физике 30, Биркхойзер (2003) ISBN 3-7643-0579-7 . Французский математик Ален Конн (обладатель медали Филдса 1982 г.) описывает математическую структуру, лежащую в основе перенормировки ( алгебру Хопфа ), и ее связь с проблемой Римана-Гильберта. Полный текст (на французском языке) доступен на arXiv : math / 0211199 .