Максимальный тор ранга n - 1 задается набором диагональных матриц с определителем 1. Группа Вейля - это симметрическая группа S n , которая представлена матрицами перестановок со знаком (знаки необходимы для обеспечения того, чтобы определитель был равен 1. ).
Алгебру Ли из SU ( п ) , обозначается, можно отождествить с набором бесследовых антиэрмитовых комплексных матриц размера n × n , с регулярным коммутатором в виде скобки Ли. Физики элементарных частиц часто используют другое, эквивалентное представление: набор бесследовых эрмитовых комплексных матриц размера n × n со скобкой Ли, заданной как - i, умноженное на коммутатор.
Алгебра Ли
Алгебра Ли из состоит из косоэрмитовы матрицы с нулевым следом. [4] Эта (действительная) алгебра Ли имеет размерность. Более подробную информацию о структуре этой алгебры Ли можно найти ниже в разделе «Структура алгебры Ли».
Фундаментальное представление
В физической литературе принято отождествлять алгебру Ли с пространством эрмитовых (а не косоэрмитовых) матриц с нулевым следом . Другими словами, алгебра Ли физиков отличается в несколько раз.от математиков ». Используя это соглашение, можно затем выбрать генераторы T a, которые являются бесследными эрмитовыми комплексными матрицами размера n × n , где:
где f - структурные константы и антисимметричны по всем индексам, а коэффициенты d симметричны по всем индексам.
Как следствие, антикоммутатор и коммутатор:
Фактор в коммутационных соотношениях возникает из соглашения физики и не присутствует при использовании соглашения математиков.
Мы также можем взять
как соглашение о нормализации.
Присоединенное представительство
В ( n 2 - 1) -мерном присоединенном представлении генераторы представлены матрицами ( n 2 - 1) × ( n 2 - 1) , элементы которых определяются самими структурными константами:
Группа SU (2)
SU (2) - следующая группа, [5]
где черта означает комплексное сопряжение .
Диффеоморфизм с S 3
Если мы рассмотрим как пара в где а также , то уравнение становится
Это уравнение 3-сферы S 3 . Это также можно увидеть с помощью вложения: карта
где обозначает набор 2 на 2 комплексных матриц, является инъективным вещественным линейным отображением (с учетом диффеоморфен в а также диффеоморфен ). Следовательно, ограничение на ф к 3-мерной сфере (так как модуль равно 1), обозначается S 3 , является вложением 3-сферы на компактное подмногообразие, а именно φ ( S 3 ) = SU (2) .
Поэтому, как многообразие, S 3 диффеоморфен SU (2) , который показывает , что SU (2) является односвязной и S 3 может быть наделен со структурой компактной связной группы Ли .
Изоморфизм с единичными кватернионами
Комплексная матрица:
можно сопоставить с кватернионом :
Это отображение на самом деле является изоморфизмом. Кроме того, определителем матрицы является квадрат нормы соответствующего кватерниона. Ясно, что любая матрица в SU (2) имеет такой вид, и, поскольку она имеет определитель 1, соответствующий кватернион имеет норму 1. Таким образом, SU (2) изоморфен единичным кватернионам . [6]
Отношение к пространственным поворотам
Каждый единичный кватернион естественно связан с пространственным вращением в 3 измерениях, а произведение двух кватернионов связано с составом связанных вращений. Более того, каждое вращение возникает таким образом ровно из двух единичных кватернионов. Вкратце: существует сюръективный гомоморфизм 2: 1 из SU (2) в SO (3) ; следовательно, SO (3) изоморфна фактор-группе SU (2) / {± I}, многообразие, лежащее в основе SO (3), получается отождествлением антиподальных точек 3-сферы S 3 , а SU (2) является универсальным крышка SO (3).
Алгебра Ли
Алгебра Ли из SU (2) состоит из косоэрмитовы матрицы с нулевым следом. [7] В явном виде это означает
Алгебра Ли порождается следующими матрицами:
которые имеют форму указанного выше общего элемента.
Они удовлетворяют кватернионным отношениям а также Таким образом, скобка коммутатора определяется формулой
Вышеупомянутые генераторы связаны с матрицами Паули соотношением а также Это представление обычно используется в квантовой механике для представления спина элементарных частиц, таких как электроны . Они также служат единичными векторами для описания наших трех пространственных измерений в петлевой квантовой гравитации .
Алгебра Ли служит для выработки представлений SU (2) .
Группа SU (3)
представляет собой 8-мерную простую группу Ли, состоящую из всех унитарных матриц 3 × 3 с определителем 1.
Топология
Группа - односвязная компактная группа Ли. [8] Его топологическую структуру можно понять, заметив, что SU (3) транзитивно действует на единичной сфере в . Стабилизатор произвольной точки в области изоморфен SU (2), которая топологический представляет собой 3-сферу. Отсюда следует, что SU (3) - расслоение над базой с волокном . Поскольку слои и база односвязны, тогда простая связность SU (3) следует с помощью стандартного топологического результата ( длинной точной последовательности гомотопических групп для расслоений). [9]
В -бутует классифицируются по поскольку любое такое расслоение можно построить, рассматривая тривиальные расслоения на двух полушариях и глядя на функцию перехода на их пересечении, которая гомотопически эквивалентна , так
Затем все такие переходные функции классифицируются по гомотопическим классам отображений
и, как скорее, чем , не может быть тривиальным пучком , а значит, должно быть единственным нетривиальным (скрученным) расслоением. Это можно показать, посмотрев на индуцированную длинную точную последовательность на гомотопических группах.
Теория представлений
Теория представлений хорошо понимается. [10] Описание этих представлений с точки зрения комплексифицированной алгебры Ли., можно найти в статьях о представлениях алгебры Ли или коэффициентах Клебша – Гордана для SU (3) .
Алгебра Ли
Генераторы T алгебры Ли из в определяющем (физическом, эрмитовом) представлении являются
где λ , матрицы Гелл-Манна , являются SU (3) аналогом матриц Паули для SU (2) :
Эти λ в пролете все бесследовое эрмитовые матрицы Н из алгебры Ли , по мере необходимости. Отметим, что λ 2 , λ 5 , λ 7 антисимметричны.
Они подчиняются отношениям
или, что то же самое,
.
Е являются структурными константами алгебры Ли, приведенных
в то время как все остальные f abc, не связанные с ними перестановкой, равны нулю. Как правило, они исчезают, если не содержат нечетное количество индексов из набора {2, 5, 7}. [c]
Симметричные коэффициенты d принимают значения
Они обращаются в нуль, если число индексов из набора {2, 5, 7} нечетное.
Типовой групповой элемент SU (3), порожденный бесследной эрмитовой матрицей 3 × 3 H , нормированной как tr ( H 2 ) = 2 , может быть выражен как матричный полином второго порядка в H : [11]
где
Структура алгебры Ли
Как отмечалось выше, алгебра Ли из состоит из косоэрмитовы матрицы с нулевым следом. [12]
Комплексификацией алгебры Ли является , пространство всех комплексные матрицы с нулевым следом. [13] Тогда подалгебра Картана состоит из диагональных матриц с нулевым следом [14], которые мы отождествляем с векторами всумма записей равна нулю. Тогда корни состоят из всех n ( n - 1) перестановок (1, −1, 0, ..., 0) .
Выбор простых корней является
Итак, SU ( n ) имеет ранг n - 1, а его диаграмма Дынкина задается A n −1 , цепочкой из n - 1 узлов:.... [15] Его матрица Картана является
Ее группа Вейля или группа Коксетера является симметрической группой S п , то группа симметрии из ( п - 1) - симплекс .
Обобщенная специальная унитарная группа
Для поля F , в обобщенной специальной унитарной группы над F , SU ( р , д ; F ) , является группой всех линейных преобразований в определителем 1 из в векторном пространстве ранга п = р + д над F , оставляющих инвариантными в невырожденных , эрмитова форма из сигнатуры ( р , д ) . Эта группа часто называют специальной унитарной группой сигнатуры рд над F . Поле F можно заменить коммутативным кольцом , и в этом случае векторное пространство заменяется свободным модулем .
В частности, зафиксируем эрмитову матрицу A сигнатуры pq в, то все
удовлетворить
Часто можно встретить обозначение SU ( p , q ) без ссылки на кольцо или поле; в этом случае речь идет о кольце или поле.и это дает одну из классических групп Ли . Стандартный выбор для A, когда является
Однако могут быть лучшие варианты для A для определенных измерений, которые демонстрируют большее поведение при ограничении подстроками.
Пример
Важным примером группы этого типа является модулярная группа Пикара который действует (проективно) на комплексном гиперболическом пространстве степени два, точно так же, как действует (проективно) на вещественном гиперболическом пространстве размерности два. В 2005 году Габор Франсикс и Питер Лакс вычислили явную фундаментальную область действия этой группы на HC 2 . [16]
Еще один пример: , который изоморфен .
Важные подгруппы
В физике для представления бозонных симметрий используется специальная унитарная группа . В теориях нарушения симметрии важно уметь находить подгруппы специальной унитарной группы. Подгруппы SU ( n ) , которые важны в физике GUT , следующие: при p > 1, n - p > 1 ,
где × обозначает прямое произведение, а U (1) , известная как круговая группа , является мультипликативной группой всех комплексных чисел с абсолютным значением 1.
Для полноты также существуют ортогональная и симплектическая подгруппы,
Так как ранг из SU (п) является п - 1 и U (1) равен 1, полезная проверка , что сумма рангов подгрупп меньше или равно рангу исходной группы. SU ( n ) - подгруппа различных других групп Ли,
См. Спиновую группу и простые группы Ли для E 6 , E 7 и G 2 .
Также существуют случайные изоморфизмы : SU (4) = Spin (6) , SU (2) = Spin (3) = Sp (1) , [d] и U (1) = Spin (2) = SO (2). .
Можно , наконец , отметить , что SU (2) представляет собой двойное покрытие группы из SO (3) , отношение , которое играет важную роль в теории вращений 2- спинорами в нерелятивистской квантовой механике .
Группа SU (1,1)
где обозначает комплексное сопряжение комплексного числа u .
Эта группа локально изоморфна SO (2,1) и SL (2, ℝ) [17] , где числа разделенных запятой относятся к подписи в квадратичной форме , сохраненной группе. Выражениев определении SU (1,1) - это эрмитова форма, которая становится изотропной квадратичной формой, когда u и v разлагаются с их действительными компонентами. Раннее появление этой группы было как «единичная сфера» кокватернионов , введенная Джеймсом Коклом в 1852 году.
потом единичная матрица 2 × 2, а также а элементы i, j и k все антикоммутируют , как регулярные кватернионы. Такжепо-прежнему является квадратным корнем из - I 2 (отрицательным из единичной матрицы), тогда какнет, в отличие от кватернионов . И для кватернионов, и для кокватернионов все скалярные величины рассматриваются как неявные кратные I 2 , называемые единичным (ко) кватернионом и иногда явно обозначаемые как 1 .
Кокватернион со скаляром w , имеет сопряженныйаналогично кватернионам Гамильтона. Квадратичная форма
Обратите внимание, что двухлистный гиперболоид соответствует мнимым единицам в алгебре, так что любую точку p на этом гиперболоиде можно использовать как полюс синусоидальной волны согласно формуле Эйлера .
Гиперболоид устойчив относительно SU (1,1) , что иллюстрирует изоморфизм с SO (2,1) . Изменчивость полюса волны, как отмечалось в исследованиях поляризации , может рассматривать эллиптическую поляризацию как проявление эллиптической формы волны с полюсом. Модель сферы Пуанкаре, используемую с 1892 года, сравнивают с моделью двухлистного гиперболоида. [18]
Когда элемент SU (1,1) интерпретируется как преобразования Мёбиуса , она покидает диск блока стабильной, так что эта группа представляет движения на диске модели Пуанкаре гиперболической геометрии плоскости. В самом деле, для точки [ г, 1 ] в комплексной проективной прямой , действие SU (1,1) задается
поскольку в проективных координатах
Письмо арифметика комплексных чисел показывает
где Следовательно, так что их соотношение лежит в открытом диске. [19]
Смотрите также
Математический портал
Унитарная группа
Проективная специальная унитарная группа , PSU ( n )
Ортогональная группа
Обобщения матриц Паули.
Теория представлений SU (2)
Сноски
^ Для характеристики U ( n ) и, следовательно, SU ( n ) с точки зрения сохранения стандартного скалярного произведения на, см. Классическая группа .
^ Для явного описания гомоморфизма SU (2) → SO (3) см. Связь между SO (3) и SU (2) .
^ Таким образомменее чем 1 / 6 всего й аЬс ы отличны от нуля.
^ Sp ( п ) является компактной вещественной формы из. Иногда его обозначают USp ( 2n ) . Размерность Sp ( n ) -матриц составляет 2 n × 2 n .
Цитаты
^ Хальзен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс современной физики элементарных частиц . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-88741-2.
^ Зал 2015 Предложение 13,11
^ Wybourne, BG (1974). Классические группы для физиков , Wiley-Interscience. ISBN 0471965057 .
^ Hall 2015 Предложение 3,24
^ Холл 2015 Упражнение 1.5
^Дикарь, Алистер. "ЛиГруппы" (PDF) . MATH 4144 примечания.
^ Hall 2015 Предложение 3,24
^ Зал 2015 Предложение 13,11
^ Зал 2015 Раздел 13.2
^ Холл 2015 Глава 6
^Розен, СП (1971). «Конечные преобразования в различных представлениях SU (3)». Журнал математической физики . 12 (4): 673–681. Bibcode : 1971JMP .... 12..673R . DOI : 10.1063 / 1.1665634 .; Кертрайт, TL; Захос, СК (2015). «Элементарные результаты для фундаментального представления SU (3)». Доклады по математической физике . 76 (3): 401–404. arXiv : 1508.00868 . Bibcode : 2015RpMP ... 76..401C . DOI : 10.1016 / S0034-4877 (15) 30040-9 .
^ Hall 2015 Предложение 3,24
^ Зал 2015 Раздел 3.6
^ Зал 2015 Раздел 7.7.1
^ Холл 2015 Раздел 8.10.1
^Francsics, Габор; Лакс, Питер Д. (сентябрь 2005 г.). «Явная фундаментальная область для модулярной группы Пикара в двух комплексных измерениях». arXiv : math / 0509708 .
^Гилмор, Роберт (1974). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Джон Вили и сыновья . С. 52, 201-205. Руководство по ремонту 1275599 .
^Mota, RD; Ojeda-Guillén, D .; Salazar-Ramírez, M .; Гранадос, В.Д. (2016). «SU (1,1) подход к параметрам Стокса и теория поляризации света». Журнал Оптического общества Америки B . 33 (8): 1696–1701. arXiv : 1602.03223 . DOI : 10.1364 / JOSAB.33.001696 .
^Сигель, CL (1971). Темы теории сложных функций . 2 . Перевод Шеницера, А .; Третьков, М. Wiley-Interscience. С. 13–15. ISBN 0-471-79080 Х.
Рекомендации
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
Ячелло, Франческо (2006), Алгебры Ли и приложения , Лекционные заметки по физике, 708 , Springer, ISBN 3540362363