- Чтобы узнать о шотландской горной тропе на Гленко, см. Aonach Eagach .
В математике , А вещественная функция F на интервале [ , Ь ] называется сингулярным , если он обладает следующими свойствами:
- е является непрерывной на [ с , Ь ]. (**)
- существует множество Н из меры 0, что для всех х снаружи N производной ф '( х ) существует и равен нулю, то есть, производная F обращается в нуль почти всюду .
- f непостоянна на [ a , b ].
Стандартный пример сингулярной функции - функция Кантора , которую иногда называют лестницей дьявола (термин также используется для сингулярных функций в целом). Однако есть и другие функции, которым было дано это имя. Один определяется в терминах карты круга .
Если f ( x ) = 0 для всех x ≤ a и f ( x ) = 1 для всех x ≥ b , то функция может быть взята для представления кумулятивной функции распределения для случайной величины, которая не является ни дискретной случайной величиной (поскольку вероятность равна нулю для каждой точки) , ни абсолютно непрерывной случайной величиной (так как плотность вероятности равна нулю везде , где он существует).
Особые функции возникают, например, в виде последовательности пространственно модулированных фаз или структур в твердых телах и магнитов , описанных в прототипе моды в модели Френкеля-Конторовой и по модели ANNNI , а также в некоторых динамических системах . Пожалуй, наиболее известно то, что они лежат в центре дробного квантового эффекта Холла .
При обращении к функциям с особенностью
При обсуждении математического анализа в целом, или более конкретно реальном анализе или комплексном анализе или дифференциальных уравнениях , он является общим для функции , которая содержит математическую особенность будет упоминаться как «особая функция». Это особенно верно, когда речь идет о функциях, расходящихся до бесконечности в точке или на границе. Например, можно сказать: « 1 / x становится сингулярным в начале координат, поэтому 1 / x является сингулярной функцией».
Продвинутые методы работы с функциями, содержащими особенности, были разработаны в предмете, называемом распределенным или обобщенным анализом функций . Определена слабая производная , позволяющая использовать сингулярные функции в уравнениях с частными производными и т. Д.
Смотрите также
Рекомендации
(**) Это условие зависит от литературы [1]
- ^ "Сингулярная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Лебег, Х. (1955–1961), Теория функций действительного переменного , Ф. Унгар.
- Халмос, П. Р. (1950), Теория меры , v. Nostrand
- Ройден, HL (1988), Real Analysis , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Нью-Джерси
- Лебег, Х. (1928), Leçons sur l'intégration et la récherche des fonctions primitives , Gauthier-Villars