Математическая формулировка Стандартной модели

Стандартная модель физики элементарных частиц. Диаграмма показывает элементарные частицы Стандартной модели ( бозон Хиггса , три поколений из кварков и лептонов , и калибровочных бозонов ), в том числе их имена, масс, спины, заряды, хиральность, и взаимодействия с сильным , слабым и электромагнитным силы. Он также показывает решающую роль бозона Хиггса в нарушении электрослабой симметрии и показывает, как свойства различных частиц различаются в (высокоэнергетической) симметричной фазе (вверху) и (низкоэнергетической) фазе нарушенной симметрии (внизу). ).

Стандартная модель физики элементарных частиц: более схематическое изображение

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Эффект Казимира Космическая струна Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Четвертичное взаимодействие Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Теория Черна – Саймонса Море Дирака Ложный вакуум Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория возмущений 6D (2,0) суперконформная теория поля Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая геометрия Теория рассеяния Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая космология Квантовая пена Квантовая флуктуация Квантовая гравитация Локальная квантовая теория поля Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Релятивистская квантовая теория поля Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса Теория Янга – Миллса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин
v т е

В этой статье описана математика стандартная модели в физике элементарных частиц , в калибровочном квантовой теории поля , содержащей внутренние симметрии на унитарных группы продуктов SU (3) × SU (2) ×  U (1) . Обычно считается, что теория содержит фундаментальный набор частиц - лептоны , кварки , калибровочные бозоны и бозон Хиггса .

Стандартная модель является перенормируемой и математически самосогласованной ^[1], однако, несмотря на огромные и постоянные успехи в предоставлении экспериментальных предсказаний, она оставляет некоторые необъяснимые явления . В частности, хотя физика специальной теории относительности включена, общая теория относительности не включена, и Стандартная модель не работает при энергиях или расстояниях, на которых ожидается появление гравитона . Поэтому в контексте современной теории поля она рассматривается как эффективная теория поля .

Эта статья требует некоторой подготовки в области физики и математики, но она предназначена как для введения, так и для справки.

Квантовая теория поля [ править ]

Стандартная модель - это квантовая теория поля , то есть ее фундаментальные объекты - это квантовые поля, которые определены во всех точках пространства-времени. Эти поля

• в ТФ поля, г | , на долю которых приходится «частиц материи»;
• в электрослабом бозонных и Б ;${\ displaystyle W_ {1}, W_ {2}, W_ {3}}$
• глюонное поле , G ; и
• поле Хиггса , φ .

То, что это квантовые, а не классические поля, влечет за собой математическое следствие их операторного значения . В частности, значения полей обычно не коммутируют. Как операторы они действуют на квантовое состояние ( кет-вектор ).

Динамика квантового состояния и фундаментальных полей определяется плотностью лагранжиана (обычно для краткости называемой лагранжианом). Это играет роль, аналогичную уравнению Шредингера в нерелятивистской квантовой механике, но лагранжиан не является уравнением движения - скорее, это полиномиальная функция полей и их производных и используется с принципом наименьшего действия. . Хотя можно было бы вывести систему дифференциальных уравнений, управляющих полями, из лагранжиана, более распространено использование других методов для вычислений с помощью квантовых теорий поля.${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

Стандартная модель, кроме того, является калибровочной теорией , что означает, что в математическом формализме есть степени свободы, которые не соответствуют изменениям физического состояния. Калибровочная группа стандартной модели SU (3) × SU (2) × U (1) , ^[2] , где U (1) действует на B и ф , SU (2) действует на W и ф и SU ( 3) действует на G . Фермионное поле ψ также трансформируется при этих симметриях, хотя все они оставляют некоторые его части неизменными.

Роль квантовых полей [ править ]

В классической механике состояние системы обычно может быть зафиксировано небольшим набором переменных, и, таким образом, динамика системы определяется эволюцией этих переменных во времени. В классической теории поля , то поле является частью состояния системы, поэтому для того , чтобы описать его полностью один эффективно вводит отдельные переменные для каждой точки в пространстве - времени (хотя есть много ограничений на то, как значения поля «переменных» может изменяться от точки к точке, например, в форме уравнений поля, включающих частные производные полей).

В квантовой механике классические переменные превращаются в операторы, но они не фиксируют состояние системы, которое вместо этого кодируется в волновую функцию ψ или более абстрактный кет-вектор . Если ψ является собственным состоянием по отношению к оператору P , то Pψ = λψ для соответствующего собственного значения λ , и, следовательно, действие оператора P на ψ аналогично умножению ψ на значение классической переменной, к которой Pсоответствует. В более широком смысле классическая формула, в которой все переменные были заменены соответствующими операторами, будет вести себя как оператор, который, воздействуя на состояние системы, умножает его на аналог величины, которую классическая формула могла бы вычислить. Однако формула как таковая не содержит никакой информации о состоянии системы; он будет оценивать одного и того же оператора независимо от того, в каком состоянии находится система.

Квантовые поля относятся к квантовой механике так же, как классические поля относятся к классической механике, т.е. для каждой точки пространства-времени существует отдельный оператор, и эти операторы не несут никакой информации о состоянии системы; они просто используются для демонстрации некоторого аспекта государства в той точке, к которой они принадлежат. В частности, квантовые поля не являются волновыми функциями, даже несмотря на то, что уравнения, управляющие их эволюцией во времени, могут быть обманчиво похожими на уравнения соответствующей волновой функции в полуклассической формулировке. Нет различий в силе полей между разными точками пространства-времени; происходящие вариации - это, скорее, один из фазовых факторов .

Векторы, скаляры и спиноры [ править ]

Математически это может выглядеть так, как будто все поля являются векторными (в дополнение к операторнозначным), поскольку все они имеют несколько компонентов, могут быть умножены на матрицы и т. Д., Но физики придают более конкретный физический смысл слово: вектор - это то, что преобразуется как четырехвектор при преобразованиях Лоренца , а скаляр - это то, что инвариантно относительно преобразований Лоренца. В этом смысле поля B, W _j и G _a являются векторами, поэтому соответствующие частицы называются векторными бозонами . Поле Хиггса φ является скалярным полем.

Фермионное поле ψ действительно преобразуется при преобразованиях Лоренца, но не так, как должен делать вектор; повороты повернут его только на половину угла, который должен быть у правильного вектора. Следовательно, они составляют третий вид величин, известных как спиноры .

Обычно для векторных полей используются абстрактные индексные обозначения , и в этом случае все векторные поля имеют лоренцевский индекс μ , например:, и . Если абстрактное обозначение индекса используется также для спиноров, то они будут иметь спинорный индекс, а гамма Дирака будет нести один лоренциан и два спинорных индекса, но чаще спиноры рассматриваются как матрицы-столбцы, а гамма Дирака γ _{μ -} как матрица, которая дополнительно несет индекс Лоренца. Фейнман слэш обозначение может быть использовано , чтобы превратить векторное поле в линейный оператор на спинорах, например , так: ; это может включать повышение и понижение индексов${\ Displaystyle B ^ {\ mu}, W_ {j} ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle G_ {а} ^ {\ mu}}$${\ displaystyle {\ not} B = \ gamma ^ {\ mu} B _ {\ mu}}$.

Альтернативные представления полей [ править ]

Как это принято в квантовой теории, есть несколько способов взглянуть на вещи. Сначала может показаться, что основные поля, приведенные выше, не очень хорошо соответствуют «фундаментальным частицам» в приведенной выше таблице, но есть несколько альтернативных представлений, которые, в определенных контекстах, могут быть более подходящими, чем те, которые даны выше.

Фермионы [ править ]

Вместо того чтобы иметь одно фермионное поле ψ , его можно разделить на отдельные компоненты для каждого типа частиц. Это отражает историческую эволюцию квантовой теории поля, поскольку электронная составляющая ψ _e (описывающая электрон и его античастицу позитрон ) тогда является исходным ψ- полем квантовой электродинамики , которое позже сопровождалось полями ψ _μ и ψ _τ для мюона. и тауон соответственно (и их античастицы). Добавлена ​​электрослабая теория , а для соответствующих нейтрино${\ displaystyle \ psi _ {\ nu _ {\ mathrm {e}}}, \ psi _ {\ nu _ {\ mu}}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ nu _ {\ tau}}}$, а кварки добавляют дополнительные компоненты. Чтобы иметь четыре спинора, подобные электрону и другим лептонным компонентам, должен быть один кварковый компонент для каждой комбинации аромата и цвета , в результате чего общее количество составляет 24 (3 для заряженных лептонов, 3 для нейтрино и 2 · 3 · 3 = 18 для кварков). Каждый из них представляет собой четырехкомпонентный биспинор , всего 96 комплексных компонент для фермионного поля.

Важное определение является запрещено поле фермионное , которое определяется как , где обозначает эрмитов сопряженный и γ ⁰ является нулевой гамма - матрица . Если ψ рассматривается как матрица размера n  × 1, то ее следует рассматривать как матрицу размера 1 ×  n .${\ displaystyle {\ bar {\ psi}}}$${\ displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$${\ displaystyle \ dagger}$${\ displaystyle {\ bar {\ psi}}}$

Киральная теория [ править ]

Независимое разложение ψ на компоненты киральности :

«Левая» хиральность:  ${\ displaystyle \ psi ^ {\ rm {L}} = {\ frac {1} {2}} (1- \ gamma _ {5}) \ psi}$

«Правильная» хиральность:  ${\ displaystyle \ psi ^ {\ rm {R}} = {\ frac {1} {2}} (1+ \ gamma _ {5}) \ psi}$

где - пятая гамма-матрица . Это очень важно в Стандартной модели, потому что левая и правая компоненты киральности по-разному трактуются калибровочными взаимодействиями .${\ displaystyle \ gamma _ {5}}$

В частности, при слабых изоспиновых преобразованиях SU (2) левые частицы являются дублетами со слабым изоспином, а правые - синглетами, т.е. слабый изоспин ψ _R равен нулю. Проще говоря, слабое взаимодействие могло бы повернуть, например, левый электрон в левое нейтрино (с испусканием W ^- ), но не могло сделать этого с теми же правыми частицами. Кстати, правое нейтрино изначально не существовало в стандартной модели, но открытие осцилляций нейтрино подразумевает, что нейтрино должны иметь массу, а поскольку киральность может изменяться во время распространения массивной частицы, правые нейтрино должны существовать в действительности. Однако это не меняет (экспериментально доказанной) киральной природы слабого взаимодействия.

Кроме того, U (1) по- разному действует на и (поскольку они имеют разные слабые гиперзаряды ).${\ displaystyle \ psi _ {\ mathrm {e}} ^ {\ rm {L}}}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}}$

Собственные состояния массы и взаимодействия [ править ]

Таким образом, можно провести различие, например, между массой и собственными состояниями взаимодействия нейтрино. Первое - это состояние, которое распространяется в свободном пространстве, тогда как второе - это другое состояние, которое участвует во взаимодействиях. Какая частица является «фундаментальной»? Для нейтрино принято определять «аромат» (νе, νμ, или же ντ) собственным состоянием взаимодействия, тогда как для кварков мы определяем аромат (верх, низ и т. д.) массовым состоянием. Мы можем переключаться между этими состояниями, используя матрицу CKM для кварков или матрицу PMNS для нейтрино (заряженные лептоны, с другой стороны, являются собственными состояниями как массы, так и аромата).

Кроме того, если в любой из этих матриц существует сложный фазовый член, это приведет к прямому CP-нарушению , которое могло бы объяснить преобладание материи над антивеществом в нашей нынешней Вселенной. Это было доказано для матрицы CKM и ожидается для матрицы PMNS.

Положительные и отрицательные энергии [ править ]

Наконец, квантовые поля иногда разлагаются на «положительную» и «отрицательную» энергетические части: ψ = ψ ⁺ + ψ ^- . Это не так часто встречается при создании квантовой теории поля, но часто занимает видное место в процессе квантования теории поля.

Бозоны [ править ]

В связи с механизмом Хиггса , электрослабого полей бозонов и «смешиваться» , чтобы создать состояния , которые физически наблюдаемым. Чтобы сохранить калибровочную инвариантность, лежащие в основе поля должны быть безмассовыми, но наблюдаемые состояния могут в процессе набирать массу . Это следующие состояния:${\displaystyle W_{1},W_{2},W_{3}}$${\displaystyle B}$

Массивный нейтральный (Z) бозон :

${\displaystyle Z=\cos \theta _{\rm {W}}W_{3}-\sin \theta _{\rm {W}}B}$

Безмассовый нейтральный бозон:

${\displaystyle A=\sin \theta _{\rm {W}}W_{3}+\cos \theta _{\rm {W}}B}$

Массивные заряженные W-бозоны :

${\displaystyle W^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(W_{1}\mp iW_{2}\right)}$

где θ _W - угол Вайнберга .

Поле A - это фотон , который классически соответствует хорошо известному электромагнитному четырехпотенциалу,  то есть электрическому и магнитному полям. Поле Z на самом деле вносит свой вклад в каждый процесс, который делает фотон, но из-за его большой массы вклад обычно незначителен.

Пертурбативная КТП и картина взаимодействия [ править ]

Большая часть качественного описания стандартной модели в терминах «частиц» и «сил» исходит из точки зрения теории пертурбативной квантовой теории поля . При этом лагранжиан раскладывается на отдельные лагранжианы свободного поля и взаимодействия . Свободные поля заботятся о частицах по отдельности, тогда как процессы с участием нескольких частиц возникают в результате взаимодействий. Идея состоит в том, что вектор состояния должен изменяться только при взаимодействии частиц, то есть свободная частица - это та, квантовое состояние которой постоянно. Это соответствует картине взаимодействия в квантовой механике.${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {I} }}$

В более распространенной картине Шредингера даже состояния свободных частиц меняются со временем: обычно фаза изменяется со скоростью, которая зависит от их энергии. В альтернативной картине Гейзенберга векторы состояния сохраняются постоянными за счет наличия операторов (в частности, наблюдаемых) зависеть от времени. Картина взаимодействия представляет собой промежуточное звено между ними, где некоторая зависимость от времени помещается в операторы (квантовые поля), а другая - в вектор состояния. В КТП первая называется частью модели со свободным полем, а вторая - частью взаимодействия. Модель свободного поля может быть решена точно, а затем решения полной модели могут быть выражены как возмущения решений свободного поля, например, с использованием ряда Дайсона .

Следует отметить, что разложение на свободные поля и взаимодействия в принципе произвольно. Например, перенормировка в КЭД изменяет массу электрона в свободном поле, чтобы она соответствовала массе физического электрона (с электромагнитным полем), и при этом добавит член в лагранжиан свободного поля, который должен быть сокращен контрчленом в Лагранжиан взаимодействия, который затем отображается как двухстрочная вершина на диаграммах Фейнмана . Таким же образом считается, что поле Хиггса придает частицам массу.: часть члена взаимодействия, соответствующая (ненулевому) вакуумному среднему значению поля Хиггса, перемещается из лагранжиана взаимодействия в лагранжиан свободного поля, где он выглядит как массовый член, не имеющий ничего общего с Хиггсом.

Свободные поля [ править ]

При обычном разложении на свободное / взаимодействие, которое подходит для низких энергий, свободные поля подчиняются следующим уравнениям:

• Фермионное поле ψ удовлетворяет уравнению Дирака ; для каждого типа фермиона.${\displaystyle (i\hbar {\not }\partial -m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0}$${\displaystyle f}$
• Поле фотонов A удовлетворяет волновому уравнению .${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0}$
• Поле Хиггса φ удовлетворяет уравнению Клейна – Гордона .
• Поля слабого взаимодействия Z , W ^± также удовлетворяют уравнению Прока .

Эти уравнения можно решить точно. Обычно это делается путем рассмотрения первых решений, периодических с некоторым периодом L вдоль каждой пространственной оси; последующий переход к пределу: L → ∞ снимет это ограничение периодичности.

В периодическом случае решение для поля F (любого из вышеперечисленных) может быть выражено в виде ряда Фурье вида

${\displaystyle F(x)=\beta \sum _{\mathbf {p} }\sum _{r}E_{\mathbf {p} }^{-{\frac {1}{2}}}\left(a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p} )e^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}+b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} )e^{\frac {ipx}{\hbar }}\right)}$

куда:

• β - нормализующий коэффициент; для поля фермионов это , где - объем рассматриваемой фундаментальной ячейки; для фотонного поля A ^μ это так .${\displaystyle \psi _{\rm {f}}}$${\displaystyle {\sqrt {m_{\rm {f}}c^{2}/V}}}$${\displaystyle V=L^{3}}$${\displaystyle \hbar c/{\sqrt {2V}}}$
• Сумма по p ведется по всем импульсам, согласованным с периодом L , т. Е. По всем векторам, где - целые числа.${\displaystyle {\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})}$${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$
• Сумма по r покрывает другие степени свободы, специфичные для поля, такие как поляризация или спин; обычно получается сумма от 1 до 2 или от 1 до 3 .
• E _p - релятивистская энергияквантаимпульсаполя p ,когда масса покоя равна m .${\displaystyle ={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}}$
• a _r ( p ) и-операторы уничтожения и рождения соответственно для «a-частиц» и «b-частиц» соответственно с импульсом p ; «b-частицы» - это античастицы «a-частиц». В разных полях есть разные «a-» и «b-частицы». Для некоторых полей a и b совпадают.${\displaystyle b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$
• u _r ( p ) и v _r ( p ) не операторы, которые несут векторные или спинорные аспекты поля (где это уместно).
• ${\displaystyle p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )}$есть четырехимпульс для кванта с импульсом p . обозначает скалярное произведение четырех векторов .${\displaystyle px=p_{\mu }x^{\mu }}$

В пределе L → ∞ сумма превратилась бы в интеграл с помощью V, скрытого внутри β . Числовое значение β также зависит от выбранной нормализации и .${\displaystyle u_{r}(\mathbf {p} )}$${\displaystyle v_{r}(\mathbf {p} )}$

Технически, является эрмитово сопряженным от оператора в _г ( р ) в внутреннем пространстве продукта из кет - векторов . Идентификация и a _r ( p ) как операторов создания и уничтожения происходит из сравнения сохраняющихся величин для состояния до и после того, как один из них воздействовал на него. Например, можно увидеть, как добавить одну частицу, потому что он добавит 1 к собственному значению оператора числа a-частицы , а импульс этой частицы должен быть p${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$поскольку собственное значение векторнозначного оператора импульса увеличивается на эту величину. Для этих выводов мы начинаем с выражений для операторов в терминах квантовых полей. То, что операторы с являются операторами создания, а оператор без операторов уничтожения, является соглашением, наложенным знаком постулируемых для них соотношений коммутации.${\displaystyle \dagger }$

Важным этапом подготовки к вычислениям в теории пертурбативной квантовой теории поля является отделение «операторных» факторов a и b, указанных выше, от соответствующих им векторных или спинорных факторов u и v . Вершины графов Фейнмана возникают из-за того, что u и v от разных факторов в лагранжиане взаимодействия подходят друг к другу, тогда как ребра возникают из-за того, что a s и b s должны перемещаться, чтобы поместить члены в ряд Дайсона в нормальной форме.

Условия взаимодействия и подход интеграла по путям [ править ]

Лагранжиан также может быть получен без использования операторов создания и уничтожения («канонический» формализм) с использованием подхода «интеграла по путям», впервые предложенного Фейнманом на основе более ранней работы Дирака. См., Например, формулировку интеграла по траектории или в двух словах КТП А. Зи . Это один из возможных способов относительно легко получить диаграммы Фейнмана , которые представляют собой графические представления членов взаимодействия. Быстрый вывод действительно представлен в статье о диаграммах Фейнмана .

Лагранжев формализм [ править ]

Вышеупомянутые взаимодействия составляют основу стандартной модели. Все диаграммы Фейнмана в стандартной модели строятся из комбинаций этих вершин. Первая строка - это вершины квантовой хромодинамики, вторая строка - электромагнитная вершина, третья строка - слабые вершины, четвертая строка - вершины Хиггса, а последняя строка - электрослабые вершины. любой кварк, любая заряженная частица, фотон, любой фермион, любая частица с массой (за возможным исключением нейтрино),${\textstyle q}$${\textstyle X^{+/-}}$${\textstyle \gamma }$${\textstyle f}$${\textstyle m}$${\textstyle m_{B}}$любой бозон с массой. Для диаграмм с несколькими метками частиц в одной строке выбирается одна метка частицы. Для диаграмм с цветными метками частиц необходимо выбрать частицы так, чтобы на диаграмме было две частицы одного цвета. то есть для четырех электрослабого бозона случае действительные диаграммы , , , . Сопряжение каждой из перечисленных вершин (т.е. изменение направления стрелок) также разрешено. ^[3]${\textstyle WWWW}$${\textstyle WWZZ}$${\textstyle WW\gamma \gamma }$${\textstyle WWZ\gamma }$

Теперь мы можем подробнее рассказать о вышеупомянутых свободных членах и членах взаимодействия, входящих в плотность лагранжиана Стандартной модели . Любой такой член должен быть инвариантным как для калибровки, так и для системы отсчета, в противном случае законы физики будут зависеть от произвольного выбора системы отсчета наблюдателя. Следовательно, должна применяться глобальная симметрия Пуанкаре , состоящая из трансляционной симметрии , вращательной симметрии и инерциальной системы отсчета, центральной в специальной теории относительности . Локальная SU (3) × SU (2) × U (1) калибровочной симметрии является внутренняя симметрия. Как мы увидим, три фактора калибровочной симметрии вместе дают начало трем фундаментальным взаимодействиям после определения некоторых подходящих соотношений.

Полную формулировку лагранжиана Стандартной модели со всеми терминами, написанными вместе, можно найти, например, здесь .

Кинетические термины [ править ]

Свободная частица может быть представлена ​​массовым членом и кинетическим термином, который относится к «движению» полей.

Поля Фермиона [ править ]

Кинетический член для фермиона Дирака:

${\displaystyle i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$

где обозначения взяты из ранее в статье. ψ может представлять любые или все фермионы Дирака в стандартной модели. Обычно, как показано ниже, этот термин включается в связи (создавая общий «динамический» термин).

Поля датчиков [ править ]

Для полей спина 1 сначала определим тензор напряженности поля

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

для данного калибровочного поля (здесь мы используем A ) с калибровочной константой связи g . Величина f  ^abc является структурной константой конкретной калибровочной группы, определяемой коммутатором 

${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c},}$

где t _i - образующие группы. В абелевой (коммутативной) группе (такой как U (1), которую мы здесь используем), поскольку все генераторы t _a коммутируют друг с другом, структурные константы обращаются в нуль. Конечно, в общем случае это не так - стандартная модель включает неабелевы группы SU (2) и SU (3) (такие группы приводят к так называемой калибровочной теории Янга – Миллса ).

Нам нужно ввести три калибровочных поля, соответствующих каждой из подгрупп SU (3) × SU (2) ×  U (1) .

• Обозначим тензор глюонного поля , где индексом a отмечены элементы 8-го представления цвета SU (3) . Константа сильной связи обычно обозначается как g _s (или просто g, если нет двусмысленности). Наблюдения, приведшие к открытию этой части Стандартной модели, обсуждаются в статье по квантовой хромодинамике .${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$
• Обозначения будут использоваться для тензора калибровочного поля группы SU (2), где a пробегает 3 генератора этой группы. Связь можно обозначить g _w или снова просто g . Обозначим калибровочное поле .${\displaystyle W_{\mu \nu }^{a}}$${\displaystyle W_{\mu }^{a}}$
• Тензор калибровочного поля для U (1) слабого гиперзаряда будем обозначать B _μν , связь - через g ′ , а калибровочное поле - через B _μ .

Кинетический член теперь можно записать просто как

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {kin}}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }}$

где следы проходят по индексам SU (2) и SU (3), скрытым в W и G соответственно. Двухиндексные объекты - это напряженности поля, полученные из векторных полей W и G. Также есть два дополнительных скрытых параметра: тета-углы для SU (2) и SU (3) .

Условия соединения [ править ]

Следующий шаг - «связать» калибровочные поля с фермионами, учитывая взаимодействие.

Электрослабый сектор [ править ]

Электрослабый сектор взаимодействует с группой симметрии U (1) × SU (2) _L , где нижний индекс L указывает связь только с левыми фермионами.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }=\sum _{\psi }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\left(i\partial _{\mu }-g^{\prime }{1 \over 2}Y_{\mathrm {W} }B_{\mu }-g{1 \over 2}{\boldsymbol {\tau }}\mathbf {W} _{\mu }\right)\psi }$

Где B _μ - калибровочное поле U (1) ; Y _W - слабый гиперзаряд (генератор группы U (1) ); W _μ - трехкомпонентное калибровочное поле SU (2) ; а компоненты τ суть матрицы Паули (бесконечно малые образующие группы SU (2) ), собственные значения которых дают слабый изоспин. Обратите внимание, что мы должны переопределить новую симметрию U (1) слабого гиперзаряда , отличную от КЭД, чтобы достичь объединения со слабым взаимодействием. Электрический заряд Q, третий компонент слабого изоспина T ₃ (также называемый T _z , I ₃ или I _z ) и слабый гиперзаряд Y _W связаны соотношением

${\displaystyle Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}Y_{\rm {W}},}$

(или по альтернативному соглашению Q = T ₃ + Y _W ). Первое соглашение, используемое в этой статье, эквивалентно более ранней формуле Гелл-Манна-Нишиджимы . Это заставляет гиперзаряд вдвое превышать средний заряд данного изомультиплета.

Тогда можно определить сохраняющийся ток для слабого изоспина как

${\displaystyle \mathbf {j} _{\mu }={1 \over 2}{\bar {\psi }}_{\rm {L}}\gamma _{\mu }{\boldsymbol {\tau }}\psi _{\rm {L}}}$

а для слабого гиперзаряда - как

${\displaystyle j_{\mu }^{Y}=2(j_{\mu }^{\rm {em}}-j_{\mu }^{3})~,}$

где - электрический ток и третий слабый изоспиновый ток. Как объяснялось выше , эти токи смешиваются, чтобы создать физически наблюдаемые бозоны, что также приводит к проверяемым соотношениям между константами связи.${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}}$${\displaystyle j_{\mu }^{3}}$

Чтобы объяснить это более простым способом, мы можем увидеть эффект электрослабого взаимодействия, выбрав члены из лагранжиана. Мы видим, что SU (2) -симметрия действует на каждый (левый) фермионный дублет, содержащийся в ψ , например

${\displaystyle -{g \over 2}({\bar {\nu }}_{e}\;{\bar {e}})\tau ^{+}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }{\begin{pmatrix}{\nu _{e}}\\e\end{pmatrix}}=-{g \over 2}{\bar {\nu }}_{e}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }e}$

где частицы понимаются как левые, а где

${\displaystyle \tau ^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau ^{1}{+}i\tau ^{2})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

Это взаимодействие , соответствующее «вращения в слабом изоспиновой пространстве» или, другими словами, преобразование между е _L и ν _EL с помощью испускания W ^- бозонов. С другой стороны, симметрия U (1) подобна электромагнетизму, но действует на все « слабые гиперзаряженные » фермионы (как лево, так и правые) через нейтральный Z ⁰ , а также заряженные фермионы через фотон. .

Сектор квантовой хромодинамики [ править ]

Сектор квантовой хромодинамики (КХД) определяет взаимодействия между кварками и глюонами с симметрией SU (3) , порождаемые T _a . Поскольку лептоны не взаимодействуют с глюонами, на них этот сектор не влияет. Лагранжиан Дирака кварков, связанных с глюонными полями, имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=i{\overline {U}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }U+i{\overline {D}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }D.}$

где U и D - спиноры Дирака, связанные с кварками типа вверх и вниз, а другие обозначения продолжаются из предыдущего раздела.

Массовые термины и механизм Хиггса [ править ]

Массовые термины [ править ]

Массовый член, возникающий из лагранжиана Дирака (для любого фермиона ψ ) , не инвариантен относительно электрослабой симметрии. Это можно увидеть, записав ψ в терминах левой и правой составляющих (пропуская фактическое вычисление):${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi }$

${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi =-m({\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {R}}+{\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {L}})}$

т.е. вклад от и сроки не появляются. Мы видим, что массогенерирующее взаимодействие достигается постоянным изменением хиральности частиц. Частицы с половиной спина не имеют пары правой / левой киральности с одинаковыми представлениями SU (2) и равными и противоположными слабыми гиперзарядами, поэтому, если предположить, что эти калибровочные заряды сохраняются в вакууме, ни одна из частиц с половиной спина не сможет поменять киральность местами, и должен оставаться безмассовым. Вдобавок мы экспериментально знаем, что бозоны W и Z массивны, но член массы бозона содержит комбинацию, например, A ^μ A _μ , которая явно зависит от выбора калибровки. Следовательно, ни один из фермионов стандартной модели или${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}}$${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}}$ бозоны могут «начинаться» с массы, но должны приобретать ее каким-либо другим механизмом.

Механизм Хиггса [ править ]

Решение обеих этих проблем исходит из механизма Хиггса , который включает скалярные поля (количество которых зависит от точной формы механизма Хиггса), которые (если дать кратчайшее описание) «поглощаются» массивными бозонами в виде степеней свобода, и которые соединяются с фермионами через взаимодействие Юкавы, создавая то, что выглядит как массовые члены.

В Стандартной модели поле Хиггса является комплексным скаляром группы SU (2) _L :

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\phi ^{+}\\\phi ^{0}\end{pmatrix}},}$

где верхние индексы + и 0 указывают электрический заряд ( Q ) компонентов. Слабый гиперзаряд ( Y _W ) обоих компонентов равен 1 .

Хиггсовская часть лагранжиана равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {H}}=\left[\left(\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig'Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2},}$

где λ > 0 и μ ² > 0 , так что можно использовать механизм спонтанного нарушения симметрии . Здесь есть очень важный параметр, сперва скрытый в форме потенциала. В датчике унитарности можно установить и реализовать . Затем - ненулевое значение математического ожидания поля Хиггса.${\displaystyle \phi ^{+}=0}$${\displaystyle \phi ^{0}}$${\displaystyle \langle \phi ^{0}\rangle =v}$${\displaystyle v}$имеет единицы массы, и это единственный параметр в Стандартной модели, который не является безразмерным. Кроме того, он намного меньше планковского масштаба; она примерно равна массе Хиггса и задает масштаб для массы всего остального. Это единственная реальная тонкая настройка на небольшое ненулевое значение в Стандартной модели, и это называется проблемой иерархии . Возникают квадратичные члены по W _μ и B _μ , которые определяют массы W- и Z-бозонов:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\rm {W}}&={\tfrac {1}{2}}vg\\M_{\rm {Z}}&={\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {g^{2}+{g'}^{2}}}\end{aligned}}}$

Масса самого бозона Хиггса определяется выражением${\displaystyle M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.}$

Условия взаимодействия Юкавы :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {YU}}={\overline {U}}_{\rm {L}}G_{\rm {u}}U_{\rm {R}}\phi ^{0}-{\overline {D}}_{\rm {L}}G_{\rm {u}}U_{\rm {R}}\phi ^{-}+{\overline {U}}_{\rm {L}}G_{\rm {d}}D_{\rm {R}}\phi ^{+}+{\overline {D}}_{\rm {L}}G_{\rm {d}}D_{\rm {R}}\phi ^{0}+\mathrm {h.c.} }$

где G _{u, d} - матрицы констант Юкавы размером 3 × 3 , причем член ij определяет связь поколений i и j .

Массы нейтрино [ править ]

Как упоминалось ранее, данные показывают, что нейтрино должны иметь массу. Но в рамках стандартной модели правого нейтрино не существует, поэтому даже при взаимодействии Юкавы нейтрино остаются безмассовыми. Очевидное решение ^[4] состоит в том, чтобы просто добавить правое нейтрино ν _R, что, как обычно, дает массовый член Дирака . Однако это поле должно быть стерильным нейтрино , поскольку, будучи правым, экспериментально оно принадлежит изоспиновому синглету ( T ₃ = 0 ), а также имеет заряд Q = 0 , что означает Y _W = 0 (см. Выше) т.е. он даже не участвует в слабом взаимодействии. Экспериментальные доказательства стерильности нейтрино в настоящее время неубедительны. ^[5]

Еще одна возможность для рассмотрения состоит в том, что нейтрино удовлетворяет уравнению Майорана , что на первый взгляд кажется возможным из-за его нулевого электрического заряда. В этом случае массовый член равен

${\displaystyle -{m \over 2}\left({\overline {\nu }}^{C}\nu +{\overline {\nu }}\nu ^{C}\right)}$

где C обозначает заряженно-сопряженную (т. е. анти-) частицу, а термины последовательно обозначают всю левую (или всю правую) киральность (обратите внимание, что проекция левой киральности античастицы является правым полем; здесь необходимо соблюдать осторожность из-за (иногда используются разные обозначения). Здесь мы, по сути, переключаемся между левыми нейтрино и правыми антинейтрино (более того, возможно, но не обязательно, чтобы нейтрино были собственными античастицами, поэтому эти частицы одинаковы). Однако для нейтрино с левой киральностью этот член изменяет слабый гиперзаряд на 2 единицы - это невозможно со стандартным взаимодействием Хиггса, требующим расширения поля Хиггса, чтобы включить дополнительный триплет со слабым гиперзарядом = 2 ^[4]- тогда как для нейтрино с правой киральностью расширения Хиггса не нужны. И для случаев левой, и для правой хиральности члены Майорана нарушают лептонное число , но, возможно, на уровне, превышающем текущую чувствительность экспериментов по обнаружению таких нарушений.

Можно включить как массовые члены Дирака, так и Майорана в одну и ту же теорию, которая (в отличие от подхода Дирака, учитывающего только массу) может обеспечить «естественное» объяснение малости наблюдаемых масс нейтрино, связав правые передал нейтрино еще неизвестной физике в масштабе GUT ^[6] (см. механизм качелей ).

Поскольку в любом случае для объяснения экспериментальных результатов необходимо постулировать новые поля, нейтрино - очевидный путь к поиску физики за пределами Стандартной модели .

Подробная информация [ править ]

В этом разделе представлены более подробные сведения о некоторых аспектах и ​​некоторые справочные материалы. Также предоставляются Явные лагранжевых термины здесь .

Подробно о содержании поля [ править ]

Стандартная модель имеет следующие поля. Они описывают одно поколение лептонов и кварков, а существует три поколения, поэтому существует три копии каждого фермионного поля. По CPT-симметрии существует набор фермионов и антифермионов с противоположной четностью и зарядами. Если левый фермион охватывает некоторое представление, его античастица (правосторонний антифермион) охватывает двойственное представление ^[7] (обратите внимание, что для SU (2), потому что оно псевдореальное). В столбце « Представление » указывает на то, при каких представлений этих калибровочных групп , что каждое поле преобразования, в порядке (SU (3), SU (2), U (1)) и для (1) группы U, значение из слабый гиперзаряд${\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}={\mathbf {2} }}$указан. В каждом поколении компонент левого лептонного поля вдвое больше, чем компонент правого лептонного поля, но равное количество компонент левого кварка и правого кваркового поля.

Содержание поля стандартной модели
Спин 1 - калибровочные поля
Символ	Связанный сбор	Группа	Связь	Представительство [8]
${\displaystyle B}$	Слабый гиперзаряд	U (1) Y	${\displaystyle g'}$	${\displaystyle (\mathbf {1} ,\mathbf {1} ,0)}$
${\displaystyle W}$	Слабый изоспин	СУ (2) L	${\displaystyle g_{w}}$	${\displaystyle (\mathbf {1} ,\mathbf {3} ,0)}$
${\displaystyle G}$	цвет	СУ (3) С	${\displaystyle g_{s}}$	${\displaystyle (\mathbf {8} ,\mathbf {1} ,0)}$
Спин 1 / 2 - фермионы
Символ	Имя	Барионное число	Число лептона	Представление
${\displaystyle q_{\rm {L}}}$	Левый кварк	${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle (\mathbf {3} ,\mathbf {2} ,\textstyle {\frac {1}{3}})}$
${\displaystyle u_{\rm {L}}}$	Правый кварк (вверх)	${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle ({\mathbf {3} },\mathbf {1} ,\textstyle {\frac {4}{3}})}$
${\displaystyle d_{\rm {L}}}$	Правый кварк (вниз)	${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle ({\mathbf {3} },\mathbf {1} ,-\textstyle {\frac {2}{3}})}$
${\displaystyle \ell _{\rm {L}}}$	Левша лептон	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (\mathbf {1} ,\mathbf {2} ,-1)}$
${\displaystyle \ell _{\rm {L}}}$	Правосторонний лептон	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (\mathbf {1} ,\mathbf {1} ,-2)}$
Спин 0 - скалярный бозон
Символ	Имя	Представление
${\displaystyle H}$	бозон Хиггса	${\displaystyle (\mathbf {1} ,\mathbf {2} ,1)}$

Содержание фермиона [ править ]

Эта таблица частично основана на данных, собранных Группой данных о частицах . ^[9]

Левосторонние фермионы в Стандартной модели
Поколение 1
Фермион (левша)	Символ	Электрический заряд	Слабый изоспин	Слабый гиперзаряд	Цветной заряд  [lhf 1]	Масса [lhf 2]
Электрон	е-	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	511 кэВ
Позитрон	е+	${\displaystyle +1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +2}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	511 кэВ
Электронное нейтрино	ν е	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +1/2}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	<0,28 эВ [lhf 3] [lhf 4]
Электронный антинейтрино	ν е	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	<0,28 эВ [lhf 3] [lhf 4]
Вверх кварк	ты	${\displaystyle +2/3}$	${\displaystyle +1/2}$	${\displaystyle +1/3}$	${\displaystyle \mathbf {3} }$	~ 3 МэВ [lhf 5]
Вверх антикварк	ты	${\displaystyle -2/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -4/3}$	${\displaystyle \mathbf {\bar {3}} }$	~ 3 МэВ [lhf 5]
Вниз кварк	d	${\displaystyle -1/3}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle +1/3}$	${\displaystyle \mathbf {3} }$	~ 6 МэВ [lhf 5]
Вниз антикварк	d	${\displaystyle +1/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +2/3}$	${\displaystyle \mathbf {\bar {3}} }$	~ 6 МэВ [lhf 5]
Поколение 2
Фермион (левша)	Символ	Электрический заряд	Слабый изоспин	Слабый гиперзаряд	Цветной заряд  [lhf 1]	Масса  [lhf 2]
Мюон	μ-	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	106 МэВ
Антимюон	μ+	${\displaystyle +1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +2}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	106 МэВ
Мюонное нейтрино	ν μ	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +1/2}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	<0,28 эВ [lhf 3] [lhf 4]
Мюонный антинейтрино	ν μ	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	<0,28 эВ [lhf 3] [lhf 4]
Очаровательный кварк	c	${\displaystyle +2/3}$	${\displaystyle +1/2}$	${\displaystyle +1/3}$	${\displaystyle \mathbf {3} }$	~ 1,3 ГэВ
Очарование антикварка	c	${\displaystyle -2/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -4/3}$	${\displaystyle \mathbf {\bar {3}} }$	~ 1,3 ГэВ
Странный кварк	s	${\displaystyle -1/3}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle +1/3}$	${\displaystyle \mathbf {3} }$	~ 100 МэВ
Странный антикварк	s	${\displaystyle +1/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +2/3}$	${\displaystyle \mathbf {\bar {3}} }$	~ 100 МэВ
Поколение 3
Фермион (левша)	Символ	Электрический заряд	Слабый изоспин	Слабый гиперзаряд	Цветной заряд [lhf 1]	Масса [lhf 2]
Тау	τ-	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	1,78 ГэВ
Антитау	τ+	${\displaystyle +1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +2}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	1,78 ГэВ
Тау нейтрино	ν τ	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +1/2}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	<0,28 эВ [lhf 3] [lhf 4]
Тау-антинейтрино	ν τ	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \mathbf {1} }$	<0,28 эВ [lhf 3] [lhf 4]
Топ-кварк	т	${\displaystyle +2/3}$	${\displaystyle +1/2}$	${\displaystyle +1/3}$	${\displaystyle \mathbf {3} }$	171 ГэВ
Верхний антикварк	т	${\displaystyle -2/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -4/3}$	${\displaystyle \mathbf {\bar {3}} }$	171 ГэВ
Нижний кварк	б	${\displaystyle -1/3}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle +1/3}$	${\displaystyle \mathbf {3} }$	~ 4,2 ГэВ
Нижний антикварк	б	${\displaystyle +1/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +2/3}$	${\displaystyle \mathbf {\bar {3}} }$	~ 4,2 ГэВ

Бесплатные параметры [ править ]

Записав наиболее общий лагранжиан с безмассовыми нейтрино, обнаруживается, что динамика зависит от 19 параметров, численные значения которых устанавливаются экспериментально. Для прямого расширения Стандартной модели с массивными нейтрино требуется еще 7 параметров, 3 массы и 4 параметра матрицы PMNS, всего 26 параметров. ^[10] Значения параметров нейтрино все еще не определены. Здесь собраны 19 определенных параметров.

Выбор свободных параметров несколько произвольный. В приведенной выше таблице измерительные муфты указаны как свободные параметры, поэтому при таком выборе угол Вайнберга не является свободным параметром - он определяется как . Аналогично, постоянная тонкой структуры QED равна . В качестве свободных параметров вместо масс фермионов можно выбрать безразмерные юкавские связи. Например, масса электрона зависит от юкавской связи электрона с полем Хиггса, и ее значение составляет . Вместо массы Хиггса в качестве свободного параметра может быть выбрана сила самосвязи Хиггса , которая составляет приблизительно 0,129. Вместо значения ожидания вакуума Хиггса можно выбрать параметр непосредственно из члена самовзаимодействия Хиггса . Его значение составляет или приблизительно${\displaystyle \tan \theta _{\rm {W}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {(g_{1}g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}}}}$${\displaystyle m_{\rm {e}}={\frac {y_{\rm {e}}}{\sqrt {2}}}v}$${\displaystyle \lambda ={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2v^{2}}}}$${\displaystyle \mu ^{2}}$${\displaystyle \mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}}$${\displaystyle \mu ^{2}=\lambda v^{2}={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2}}}$${\displaystyle \mu =88.45}$ ГэВ.

Значение энергии вакуума (или более точная шкала перенормировки, используемая для вычисления этой энергии) также может рассматриваться как дополнительный свободный параметр. Масштаб перенормировки может быть отождествлен с масштабом Планка или точно настроен для соответствия наблюдаемой космологической постоянной , однако оба варианта проблематичны . ^[11]

Дополнительные симметрии Стандартной модели [ править ]

С теоретической точки зрения Стандартная модель демонстрирует четыре дополнительные глобальные симметрии, не постулированные в начале ее построения, совокупно обозначаемые случайными симметриями , которые являются непрерывными глобальными симметриями U (1) . Преобразования, оставляющие лагранжев инвариант, следующие:

${\displaystyle \psi _{\text{q}}(x)\to e^{i\alpha /3}\psi _{\text{q}}}$

${\displaystyle E_{\rm {L}}\to e^{i\beta }E_{\rm {L}}{\text{ and }}(e_{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(e_{\rm {R}})^{c}}$

${\displaystyle M_{\rm {L}}\to e^{i\beta }M_{\rm {L}}{\text{ and }}(\mu _{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(\mu _{\rm {R}})^{c}}$

${\displaystyle T_{\rm {L}}\to e^{i\beta }T_{\rm {L}}{\text{ and }}(\tau _{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(\tau _{\rm {R}})^{c}}$

Первое правило преобразования - это сокращенное обозначение, означающее, что все кварковые поля для всех поколений должны вращаться на одну и ту же фазу одновременно. Поля M _L , T _L и являются аналогами 2-го (мюонное) и 3-го (тау) поколений E _L и полей.${\displaystyle (\mu _{\rm {R}})^{c},(\tau _{\rm {R}})^{c}}$${\displaystyle (e_{\rm {R}})^{c}}$

Согласно теореме Нётер , каждая симметрия выше имеет связанный закон сохранения : сохранение барионного числа , ^[12] электронного числа , мюонного числа и тау-числа . Каждому кварку присваивается барионное число , а каждому антикварку - барионное число . Сохранение барионного числа означает, что количество кварков за вычетом количества антикварков является постоянной величиной. В экспериментальных пределах нарушения этого закона сохранения не обнаружено.${\displaystyle {}_{\frac {1}{3}}}$${\displaystyle {}_{-{\frac {1}{3}}}}$

Точно так же каждому электрону и связанному с ним нейтрино присваивается номер электрона +1, в то время как антиэлектрон и связанный с ним антинейтрино несут номер электрона -1. Точно так же мюонам и их нейтрино присваивается мюонное число +1, а тау-лептонам - тау-лептонное число +1. Стандартная модель предсказывает, что каждое из этих трех чисел должно сохраняться отдельно, аналогично тому, как сохраняется барионное число. Эти числа известны как числа лептонных семейств (LF). (Этот результат зависит от предположения, сделанного в Стандартной модели, что нейтрино безмассовые. Экспериментально осцилляции нейтрино демонстрируют, что отдельные электроны, мюоны и тау-числа не сохраняются.) ^{[13] [14]}

В дополнение к случайным (но точным) симметриям, описанным выше, Стандартная модель демонстрирует несколько приблизительных симметрий . Это « хранительная симметрия SU (2) » и «симметрия аромата кварков SU (2) или SU (3)».

Симметрия U (1) [ править ]

Для лептонов , калибровочная группа может быть записана SU (2) _L  × U (1) _L  × U (1) _R . Два фактора U (1) могут быть объединены в U (1) _Y  × U (1) _l, где l - лептонное число . Замер числа лептонов исключается экспериментальным путем, в результате чего только возможно калибровочной группы SU (2) _L  × U (1) _Y . Аналогичное рассуждение в кварковом секторе дает тот же результат для электрослабой теории.

Связи заряженного и нейтрального токов и теория Ферми [ править ]

Заряженные токи являются${\displaystyle j^{\mp }=j^{1}\pm ij^{2}}$

${\displaystyle j_{\mu }^{-}={\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }.}$

Именно эти заряженные токи вошли в теорию бета-распада Ферми . Действие содержит кусок тока заряда

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {CC}}={\frac {g}{\sqrt {2}}}(j_{\mu }^{+}W^{-\mu }+j_{\mu }^{-}W^{+\mu }).}$

Для энергии гораздо меньше массы W-бозона, эффективная теория становится текущим тока контактное взаимодействие в теории Ферми , .${\displaystyle 2{\sqrt {2}}G_{\rm {F}}~~J_{\mu }^{+}J^{\mu ~~-}}$

Однако калибровочная инвариантность теперь требует, чтобы компонент калибровочного поля также был связан с током, который лежит в тройке SU (2). Однако он смешивается с U (1), и в этом секторе требуется другой ток. Эти токи должны быть разряжены для сохранения заряда. Так что нейтральные токи тоже требуются, ${\displaystyle W^{3}}$

${\displaystyle j_{\mu }^{3}={\frac {1}{2}}({\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }U_{i\mathrm {L} }-{\overline {D}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }\nu _{i\mathrm {L} }-{\overline {l}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} })}$

${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}={\frac {2}{3}}{\overline {U}}_{i}\gamma _{\mu }U_{i}-{\frac {1}{3}}{\overline {D}}_{i}\gamma _{\mu }D_{i}-{\overline {l}}_{i}\gamma _{\mu }l_{i}.}$

Нейтральный токовый кусок в лагранжиане тогда равен

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {NC}}=ej_{\mu }^{\rm {em}}A^{\mu }+{\frac {g}{\cos \theta _{\rm {W}}}}(J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}J_{\mu }^{\rm {em}})Z^{\mu }.}$

См. Также [ править ]

• Обзор стандартной модели в физике элементарных частиц
• Фундаментальное взаимодействие
• Некоммутативная стандартная модель
• Открытые вопросы: нарушение СР , массы нейтрино , кварковая материя.
• Физика за пределами стандартной модели
• Сильные взаимодействия : аромат , квантовая хромодинамика , кварковая модель.
• Слабые взаимодействия : электрослабое взаимодействие , взаимодействие Ферми.
• Угол Вайнберга
• Симметрия в квантовой механике

Ссылки и внешние ссылки [ править ]

• Введение в квантовую теорию поля , написанное М. Е. Пескином и Д. В. Шредером (HarperCollins, 1995) ISBN 0-201-50397-2 . 
• Калибровочная теория физики элементарных частиц , TP Cheng и LF Li (Oxford University Press, 1982) ISBN 0-19-851961-3 . 
• Лагранжиан стандартной модели с явными членами Хиггса (Т. Д. Гутьеррес, ок. 1999 г.) (версия PDF, PostScript и LaTeX)
• Квантовая теория полей (том 2), С. Вайнберг (Cambridge University Press, 1996) ISBN 0-521-55002-5 . 
• Квантовая теория поля в двух словах (второе издание), А. Зи (Princeton University Press, 2010) ISBN 978-1-4008-3532-4 . 
• Введение в физику элементарных частиц и стандартную модель , Р. Манн (CRC Press, 2010) ISBN 978-1420082982 
• Физика от симметрии Дж. Швихтенбергом (Springer, 2015) ISBN 3319192000 . Особенно стр.86