Двугранный угол представляет собой тип многогранника , выполненный из двух полигонов граней , которые разделяют один и тот же набор п ребер . В трехмерном евклидовом пространстве он вырожден, если его грани плоские, тогда как в трехмерном сферическом пространстве диэдр с плоскими гранями можно рассматривать как линзу, примером которой является фундаментальная область линзового пространства L ( р , д ). [1] Dihedra также называют биэдрами , [2] плоских многогранников , [3] или дважды покрытых многоугольников. [3]
Набор правильных n -угольных диэдров | |
---|---|
Тип | правильный многогранник или сферическая мозаика |
Лица | 2 н -угольника |
Края | п |
Вершины | п |
Конфигурация вершины | п . п |
Символ Wythoff | 2 | п 2 |
Символ Шлефли | { n , 2} |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | D n h , [2, n ], (* 22 n ), порядок 4 n |
Группа вращения | D n , [2, n ] + , (22 n ), порядок 2 n |
Двойной многогранник | правильный n -угольный осоэдр |
Как сферическая мозаика , диэдр может существовать как невырожденная форма с двумя n- сторонними гранями, покрывающими сферу, каждая грань является полусферой , и вершинами на большом круге . Это нормально, если вершины расположены на одинаковом расстоянии.
Двойной из п -gonal диэдра является п -gonal осоэдра , где п двуугольник лиц имеет две вершины.
Как плоский многогранник
Двугранный угол можно рассматривать как вырожденные призмы которого два (планарный) п односторонних полигональных основ соединены «спина к спине», так что результирующий объект не имеет глубины. Многоугольники должны быть конгруэнтными, но склеенными таким образом, чтобы один был зеркальным отображением другого. Это применимо только в том случае, если расстояние между двумя гранями равно нулю; для расстояния больше нуля грани представляют собой бесконечные многоугольники (что-то вроде граней двуугольника апейрогонального осоэдра , имеющих ширину больше нуля, являются бесконечными полосами).
Дигедры могут возникать из теоремы единственности Александрова , которая характеризует расстояния на поверхности любого выпуклого многогранника как локально евклидовы, за исключением конечного числа точек с положительным угловым дефектом, суммирующим 4π. Эта характеризация верна и для расстояний на поверхности диэдра, поэтому утверждение теоремы Александрова требует, чтобы диэдры рассматривались как выпуклые многогранники. [4]
Некоторые диэдры могут возникать как нижние предельные члены других семейств многогранников: призма с основанием двуугольника будет квадратным двугранником, а пирамида с основанием двуугольника будет треугольным двугранником.
Регулярно двугранный угол , с символом Шлефли { п , 2}, состоит из двух правильных многоугольников , каждый с Шлефли символом { п }. [5]
Как мозаика сферы
Сферическая двугранный угол состоит из двух сферических многоугольников , которые разделяют один и тот же набор п вершин, на большой окружности экватора; каждый многоугольник сферического диэдра заполняет полусферу .
Регулярный сферический двугранный угол состоит из двух обычных сферических многоугольников , которые разделяют один и тот же набор п вершин, равномерно распределенных на большой окружности экватора.
Правильный многогранник {2,2} самодвойственен и является одновременно осоэдром и диэдром .
Космос | Сферический | Евклидово | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Название плитки | (Hengonal) Моногональный диэдр | Дигональный диэдр | (Треугольный) Тригональный диэдр | (Тетрагональный) Квадратный диэдр | Пятиугольный диэдр | Шестиугольный диэдр | ... | Апейрогональный диэдр |
Мозаичное изображение | ... | |||||||
Символ Шлефли | {1,2} | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2} | ... | {∞, 2} |
Диаграмма Кокстера | ... | |||||||
Лица | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} | ... | 2 {∞} |
Ребра и вершины | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... | ∞ |
Конфигурация вершины. | 1.1 | 2.2 | 3.3 | 4.4 | 5.5 | 6,6 | ... | ∞.∞ |
Апейрогональный диэдр
Когда n стремится к бесконечности, n -угольный диэдр становится апейрогональным диэдром в виде двумерной мозаики:
Дитопы
Правильная дитопа - это n- мерный аналог диэдра с символом Шлефли { p , ..., q , r , 2}. Он имеет две грани , { p , ..., q , r }, которые имеют общие ребра , { p , ..., q }. [6]
Смотрите также
- Многогранник
- Многогранник
Рекомендации
- ^ Гаусманн, Эвелиза; Роланд Лехук; Жан-Пьер Люмине; Жан-Филипп Узан; Джеффри Уикс (2001). «Топологическое линзирование в сферических пространствах». Классическая и квантовая гравитация . 18 (23): 5155–5186. arXiv : gr-qc / 0106033 . Bibcode : 2001CQGra..18.5155G . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 18/23/311 . S2CID 34259877 .
- ^ Кантор, С. (2003), "Об объеме неограниченных многогранников в гиперболическом пространстве" (PDF) , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 145–154, MR 1990989.
- ^ а б О'Рурк, Джозеф (2010), Пара плоских застежек-молний для Платоновых тел , arXiv : 1010.2450 , Bibcode : 2010arXiv1010.2450O
- ^ О'Рурк, Джозеф (2010), О плоских многогранниках, вытекающих из теоремы Александрова , arXiv : 1007.2016 , Bibcode : 2010arXiv1007.2016O
- ^ Кокстер, HSM (январь 1973 г.), Regular Polytopes (3-е изд.), Dover Publications Inc., стр. 12 , ISBN 0-486-61480-8
- ^ Макмаллен, Питер ; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.), Cambridge University Press , стр. 158 , ISBN 0-521-81496-0
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Дигедрон» . MathWorld .