В геометрии , п -gonal осоэдр является тесселяция из двуугольников на сферической поверхности, такой , что каждый Lune разделяет те же две полярные вершины.
Набор правильных n -угольных хозоэдров | |
---|---|
Тип | правильный многогранник или сферическая мозаика |
Лица | n дигонов |
Края | п |
Вершины | 2 |
χ | 2 |
Конфигурация вершины | 2 п |
Символ Wythoff | п | 2 2 |
Символ Шлефли | {2, n } |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | D n h , [2, n], (* 22n), порядок 4n |
Группа вращения | D n , [2, n] + , (22n), порядок 2n |
Двойной многогранник | правильный n -угольный диэдр |
Правильный n -угольный хозоэдр имеет символ Шлефли {2, n }, причем каждая сферическая луна имеет внутренний угол 2 π/п радианы ( 360/пградусов). [1] [2]
Хосоэдры как правильные многогранники
Для правильного многогранника с символом Шлефли { m , n } количество многоугольных граней равно:
В Платоновых тело , известные древности являются единственным целым числом решений для м ≥ 3 и п ≥ 3. Ограничение м ≥ 3 , что обеспечивает соблюдение многоугольных лица должны иметь по крайней мере , три стороны.
Если рассматривать многогранники как сферическую мозаику , это ограничение можно ослабить, поскольку двуугольники (2-угольники) могут быть представлены в виде сферических лунок , имеющих ненулевую площадь .
Допуск m = 2 дает
и допускает новый бесконечный класс правильных многогранников - осоэдры. На сферической поверхности многогранник {2, n } представлен в виде n примыкающих друг к другу лунок с внутренними углами равными 2 π/п. Все эти сферические лунки имеют две общие вершины.
Правильный тригональный осоэдр {2,3}, представленный в виде мозаики из трех сферических лунок на сфере. | Правильный тетрагональный осоэдр {2,4}, представленный в виде мозаики из 4 сферических лунок на сфере. |
Космос | Сферический | Евклидово | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Название плитки | (Моногональный) шестиугольный осоэдр | Дигональный осоэдр | (Треугольный) Тригональный осоэдр | (Тетрагональный) квадратный хозоэдр | Пятиугольный осоэдр | Шестиугольный осоэдр | Семиугольный хозоэдр | Восьмиугольный осоэдр | Эннеагональный хозоэдр | Десятиугольный осоэдр | Хендекагональный осоэдр | Додекагональный осоэдр | ... | Апейрогональный хозоэдр |
Мозаичное изображение | ... | |||||||||||||
Символ Шлефли | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8} | {2,9} | {2,10} | {2,11} | {2,12} | ... | {2, ∞} |
Диаграмма Кокстера | ... | |||||||||||||
Грани и края | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
Вершины | 2 | ... | 2 | |||||||||||
Конфигурация вершины. | 2 | 2.2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 | 2 11 | 2 12 | ... | 2 ∞ |
Калейдоскопическая симметрия
2 n игональных сферических луночных граней 2 n -хозоэдра, {2,2 n }, представляют фундаментальные области двугранной симметрии в трех измерениях : циклической симметрии C n v , [ n ], (* nn ), порядок 2 п . Области отражения могут быть показаны попеременно окрашенными лунками в виде зеркальных изображений.
Разделение каждой луны пополам на два сферических треугольника создает n -угольную бипирамиду , которая представляет двугранную симметрию D n h порядка 4 n .
Симметрия (порядок 2 п ) | C n v , [ n ] | C 1v , [] | C 2v , [2] | C 3v , [3] | C 4v , [4] | C 5v , [5] | C 6v , [6] |
---|---|---|---|---|---|---|---|
2 n -угольный хозоэдр | Символ Шлефли {2,2 n } | {2,2} | {2,4} | {2,6} | {2,8} | {2,10} | {2,12} |
Изображение | Альтернативно окрашенные фундаментальные области |
Отношения с твердым телом Штейнмеца
Тетрагональный осоэдр топологически эквивалентен бицилиндровому телу Штейнмеца , пересечению двух цилиндров под прямым углом. [3]
Производные многогранники
Двойного п-гональное осоэдр {2, п } является п -gonal двугранный угол , { п , 2}. Многогранник {2,2} самодвойственен и является одновременно осоэдром и диэдром.
Осоэдр можно модифицировать так же, как и другие многогранники, чтобы получить усеченную вариацию. Усечен п -gonal осоэдр является п-угольной призмы .
Апейрогональный хозоэдр
В пределе осоэдр становится апейрогональным осоэдром в виде двумерной мозаики:
Гозотопы
Многомерные аналоги вообще называются осотопами . Правильный видотоп с символом Шлефли {2, p , ..., q } имеет две вершины, каждая с фигурой вершины { p , ..., q }.
Двумерная hosotope , {2}, является двуугольник .
Этимология
Термин «осоэдр» был введен HSM Coxeter [ сомнительно ] и, возможно, происходит от греческого ὅσος ( hosos ) «столько же», что идея состоит в том, что осоэдр может иметь « сколько угодно лиц». [4]
Смотрите также
- Многогранник
- Многогранник
Рекомендации
- ^ Кокстер, Правильные многогранники , стр. 12
- ^ Абстрактные правильные многогранники, стр. 161
- Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Steinmetz Solid . MathWorld .
- ^ Стивен Шварцман (1 января 1994 г.). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . MAA. стр. 108 -109. ISBN 978-0-88385-511-9.
- Макмаллен, Питер ; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0
- Кокстер, HSM; Регулярные многогранники (третье издание). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Хосоэдр» . MathWorld .