Лемма Цорна , также известная как лемма Куратовского – Цорна , в честь математиков Макса Цорна и Казимира Куратовски , является предложением теории множеств . Он утверждает, что частично упорядоченное множество, содержащее верхние границы для каждой цепи (то есть каждое полностью упорядоченное подмножество ), обязательно содержит по крайней мере один максимальный элемент .
Доказанная Куратовским в 1922 году и независимо Цорном в 1935 году [2], эта лемма встречается в доказательствах нескольких критически важных теорем, например теоремы Хана – Банаха в функциональном анализе , теоремы о том, что каждое векторное пространство имеет основу , [ 3] Теорема Тихонова в топологии, утверждающая, что каждое произведение компактных пространств компактно, и теоремы абстрактной алгебры о том, что в кольце с единицей каждый собственный идеал содержится в максимальном идеале и что каждое поле имеет алгебраическое замыкание . [4]
Лемма Цорна эквивалентна теореме хорошо упорядочения , а также к аксиоме выбора , в том смысле , что любая одна из трех, наряду с аксиом Цермело-Френкеля из теории множеств , достаточно доказать два других. [5] Ранняя формулировка леммы Цорна - принцип максимума Хаусдорфа, который гласит, что каждое полностью упорядоченное подмножество данного частично упорядоченного множества содержится в максимальном полностью упорядоченном подмножестве этого частично упорядоченного множества. [6]
Мотивация
Чтобы доказать существование математического объекта, который можно каким-то образом рассматривать как максимальный элемент в некотором частично упорядоченном множестве , можно попытаться доказать существование такого объекта, предположив, что максимального элемента нет, и используя трансфинитную индукцию и допущения ситуация, чтобы получить противоречие. Лемма Цорна приводит в порядок условия, которым должна удовлетворять ситуация, чтобы такой аргумент работал, и позволяет математикам не повторять аргумент трансфинитной индукции каждый раз вручную, а просто проверять условия леммы Цорна.
Если вы строите математический объект поэтапно и обнаруживаете, что (i) вы не закончили даже после бесконечного множества этапов, и (ii) кажется, что ничто не мешает вам продолжать строить, то лемма Цорна вполне может помочь. ты.
- Уильям Тимоти Гауэрс , «Как использовать лемму Цорна» [7]
Утверждение леммы
Предварительные соображения:
- Для множества P с бинарным отношением ≤, которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным , тогда P называется (частично) упорядоченным отношением ≤. Для двух элементов x и y множества P, частично упорядоченного отношением ≤, если x ≤ y , то говорят , что y больше или равно x .
- Слово «частичный» означает, что не каждая пара элементов частично упорядоченного набора должна быть сопоставимой в соответствии с отношением порядка, то есть в частично упорядоченном множестве P с отношением порядка ≤ могут быть элементы x и y. где нет ни x ≤ y, ни y ≤ x . Упорядоченный набор, в котором каждая пара элементов сопоставима, называется полностью упорядоченным .
- Каждое подмножество S частично упорядоченное множество P сам по себе можно рассматривать как частично упорядочено ограничивая отношение порядка , унаследованное от P до S . Подмножество S частично упорядоченного множества P является цепочкой (в P ), если оно полностью упорядочено в унаследованном порядке.
- Учитывая подмножество S частично упорядоченное множество Р , элемент у из Р приведено верхняя границы из S , если он больше или равно каждый элемент S . Здесь сам u не обязательно должен быть элементом S , а S не обязательно должен быть цепью.
- Элемент m частично упорядоченного множества P с отношением порядка ≤ является максимальным (по отношению к ≤), если нет другого элемента P больше m , то есть если в P нет s с s ≠ m и m ≤ с . В зависимости от отношения порядка частично упорядоченный набор может иметь любое количество максимальных элементов.
Лемму Цорна можно сформулировать так:
Лемма Цорна - Предположим, что частично упорядоченное множество P обладает свойством , что каждая цепь в Р имеет верхнюю границу в P . Тогда множество P содержит хотя бы один максимальный элемент .
Иногда используются варианты этой формулировки, например, требование, чтобы множество P и цепочки были непустыми. [8]
Лемму Цорна (для непустых множеств) - Пусть непустое частично упорядоченное множество Р обладает тем свойством , что каждое непустое цепь имеет верхнюю грань в P . Тогда множество P содержит хотя бы один максимальный элемент.
Хотя эта формулировка кажется формально более слабой (поскольку она накладывает на P дополнительное условие непустоты, но приводит к тому же выводу о P ), на самом деле эти две формулировки эквивалентны. Чтобы убедиться в этом, предположим , что первое , что P удовлетворяет условию , что всякая цепь в Р имеет верхнюю грань в P . Тогда пустое подмножество P является цепью, поскольку оно удовлетворяет определению без присмотра ; поэтому гипотеза подразумевает, что это подмножество должно иметь верхнюю границу в P , и эта верхняя граница показывает, что P на самом деле непусто. И наоборот, если P предполагается непустым и удовлетворяет гипотезе о том, что каждая непустая цепочка имеет верхнюю границу в P , то P также удовлетворяет условию, что каждая цепь имеет верхнюю границу, поскольку произвольный элемент P служит в качестве верхняя граница пустой цепочки (то есть пустое подмножество, рассматриваемое как цепочка).
Разница может показаться тонкой, но во многих доказательствах, использующих лемму Цорна, для получения верхней оценки используются объединения какого-либо типа, поэтому случай пустой цепочки может быть упущен; то есть проверка того, что все цепи имеют верхние границы, может иметь дело с пустыми и непустыми цепями отдельно. Поэтому многие авторы предпочитают проверять непустоту множества P, а не рассматривать пустую цепочку в общих рассуждениях. [9]
Пример приложения
Лемму Цорна можно использовать, чтобы показать, что любое нетривиальное кольцо R с единицей содержит максимальный идеал .
Пусть P - множество, состоящее из всех (двусторонних) идеалов в R, кроме самого R. Идеальный R был исключен , поскольку максимальные идеалы по определению не равны R . Поскольку R нетривиально, множество P содержит тривиальный идеал {0}, и поэтому P непусто. Кроме того, P частично упорядочен включением множества (см. Порядок включения ). Нахождение максимальный идеал в R такой же , как нахождение максимального элемента в P .
Чтобы применить лемму Цорна, возьмем цепь T в P (то есть T - это вполне упорядоченное подмножество P ). Если Т является пустым множеством, то тривиальное идеал {0} является верхней границей для Т в Р . Предположим тогда, что T не пусто. Необходимо показать, что T имеет верхнюю границу, то есть существует идеал I ⊆ R, который больше всех членов T, но все же меньше R (иначе его не было бы в P ). Возьмите I быть объединение всех идеалов в T . Мы хотим показать , что я есть верхняя граница для T в P . Покажем сначала , что я идеал в R , а затем , что это собственный идеал R и поэтому является элементом P . Поскольку каждый элемент T содержится в I , это покажет, что I является верхней границей для T в P , как и требуется.
Поскольку T содержит по крайней мере один элемент, и этот элемент содержит по крайней мере 0, объединение I содержит по крайней мере 0 и не является пустым. Для того, чтобы доказать , что я является идеальным, заметит , что если и б являются элементами I , то существует два идеала J , K ∈ T такого , что является элементом J и б является элементом K . Поскольку T вполне упорядочено, мы знаем , что J ⊆ K или K ⊆ J . В первом случае, как и б являются членами идеала K , поэтому их сумма + Ь является членом K , который показывает , что + Ь является членом I . Во втором случае, как и б являются членами идеала J , и , таким образом + б ∈ я . Кроме того, если г ∈ R , то ар и ра являются элементами J и , следовательно , элементы I . Таким образом, я являюсь идеалом в R .
Итак, идеал равен R тогда и только тогда, когда он содержит 1. (Ясно, что если он равен R , то он должен содержать 1; с другой стороны, если он содержит 1 и r - произвольный элемент из R , тогда r1 = r является элементом идеала, и поэтому идеал равен R. ) Итак, если бы я был равен R , то он содержал бы 1, а это означает, что один из членов T содержал бы 1 и, таким образом , будет равен R - но R явно исключен из P .
Гипотеза леммы Цорна была проверена, и , таким образом , существует максимальный элемент в Р , другими словами , максимальный идеал в R .
Доказательство зависит от того факта, что кольцо R имеет мультипликативную единицу 1. Без этого доказательство не сработало бы, да и утверждение было бы неверным. Например, кольцо с как аддитивная группа и тривиальное умножение (т.е. для всех ) не имеет максимального идеала (и, конечно, 1): его идеалы - это в точности аддитивные подгруппы. Фактор - группа собственной подгруппой является делимой группой и , следовательно, определенно не конечно порожденной , следовательно, имеет собственную нетривиальную подгруппу, которая порождает подгруппу и идеал, содержащие.
Доказательство эскиза
Набросок доказательства леммы Цорна следует в предположении выбранной аксиомы . Предположим, что лемма неверна. Тогда существует частично упорядоченное множество P, такое, что каждое полностью упорядоченное подмножество имеет верхнюю границу, и что для каждого элемента в P есть другой элемент, больший, чем он. Для каждого полностью упорядоченного подмножества T мы можем затем определить более крупный элемент b ( T ), потому что T имеет верхнюю границу, а эта верхняя граница имеет больший элемент. Чтобы действительно определить функцию b , нам нужно использовать аксиому выбора.
С помощью функции Ь , мы будем определять элементы 0 < 1 < 2 < 3 <... в P . Эта последовательность действительно длинная : индексы - это не только натуральные числа , но и все порядковые числа . Фактически, последовательность слишком длинна для множества P ; слишком много ординалов ( правильный класс ), больше, чем элементов в любом наборе, и множество P скоро исчерпается, и тогда мы столкнемся с желаемым противоречием.
Я определяются трансфинитного рекурсии : мы выбираем 0 в P произвольной (это возможно, так как Р содержит верхнюю границу для пустого множества и, таким образом , не пустые) , и для любого другого порядкового ш положим ш = Ь ( { a v : v < w }). Поскольку a v полностью упорядочены, это вполне обоснованное определение.
Это доказательство показывает, что на самом деле верна немного более сильная версия леммы Цорна:
Лемма - Если Р является ч.у.м. , в котором каждая упорядоченная подмножество имеет верхнюю границу, и если х является любой элемент Р , то Р имеет максимальный элемент больше , чем или равно х . То есть есть максимальный элемент, сравнимый с x .
История
Принцип максимальной Хаусдорфа является раннее утверждение аналогично лемме Цорна.
Казимеж Куратовски доказал в 1922 г. [10] версию леммы, близкую к ее современной формулировке (она применяется к множествам, упорядоченным по включению и замкнутым относительно объединений хорошо упорядоченных цепей). По сути, та же формулировка (ослабленная использованием произвольных цепочек, а не только хорошо упорядоченных) была независимо дана Максом Цорном в 1935 г. [11], который предложил ее в качестве новой аксиомы теории множеств, заменяющей теорему о хорошем упорядочении, продемонстрировал некоторые из ее положений. приложений в алгебре и обещал показать ее эквивалентность выбранной аксиоме в другой статье, которая так и не появилась.
Название «Лемма Цорна» , как представляется, из - за Тьюки , который использовал его в своей книге Конвергенция и единообразие в топологии в 1940 году Бурбаки «s Théorie дез Ансамбли 1939 относится к аналогичному принципу максимального , как„Ле théorème де Zorn“. [12] Название « лемма Куратовского – Цорна » преобладает в Польше и России.
Эквивалентные формы леммы Цорна
Лемма Цорна эквивалентна (в ZF ) трем основным результатам:
- Принцип максимума Хаусдорфа
- Аксиома выбора
- Теорема о хорошем порядке .
Известная шутка, намекающая на эту эквивалентность (которая может противоречить человеческой интуиции), приписывается Джерри Боне : «Аксиома выбора, очевидно, верна, принцип правильного упорядочения явно ложен, и кто может сказать о лемме Цорна?» [13]
Лемма Цорна также эквивалентна сильной теореме о полноте логики первого порядка. [14]
Более того, из леммы Цорна (или одной из ее эквивалентных форм) вытекают некоторые важные результаты в других областях математики. Например,
- Теорема Банаха о расширении, которая используется для доказательства одного из самых фундаментальных результатов функционального анализа, теоремы Хана – Банаха.
- Каждое векторное пространство имеет базис , являющийся результатом линейной алгебры (которой она эквивалентна [15] ). В частности, действительные числа как векторное пространство над рациональными числами обладают базисом Гамеля.
- Каждое коммутативное кольцо с единицей имеет максимальный идеал , что является результатом теории колец, известной как теорема Крулля , которой лемма Цорна эквивалентна [16].
- Теорема Тихонова в топологии (которой она также эквивалентна [17] )
- Каждый правильный фильтр содержится в ультрафильтре , что дает теорему о полноте логики первого порядка [18]
В этом смысле мы видим, как лемму Цорна можно рассматривать как мощный инструмент, особенно в смысле единой математики [ требуется пояснение ] .
Аналоги при ослаблении аксиомы выбора
Ослабленная форма леммы Цорна может быть доказана с помощью ZF + DC (теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора, замененной аксиомой зависимого выбора ). Лемму Цорна можно выразить прямо, заметив, что множество, не имеющее максимального элемента, было бы эквивалентно утверждению, что отношение упорядочения множества было бы целым, что позволило бы нам применить аксиому зависимого выбора для построения счетной цепи. В результате любое частично упорядоченное множество с исключительно конечными цепями должно иметь максимальный элемент. [19]
В более общем плане усиление аксиомы зависимого выбора до более высоких порядковых чисел позволяет нам обобщить утверждение в предыдущем абзаце на более высокие мощности. [19] В пределе, когда мы допускаем сколь угодно большие ординалы, мы восстанавливаем доказательство полной леммы Цорна, используя аксиому выбора из предыдущего раздела.
В популярной культуре
Фильм 1970 года « Лемма Цорнса» назван в честь этой леммы.
На лемму ссылались Симпсоны в эпизоде « Новый друг Барта ». [20]
Смотрите также
- Теорема Шпильрайна о продолжении
- Конечность по Тарскому
- Лемма Тейхмюллера – Тьюки (иногда называемая леммой Тьюки)
Заметки
- ^ Серр, Жан-Пьер (2003), Деревья , Монографии Спрингера по математике, Спрингер, стр. 23
- ^ Мур 2013 , стр. 168
- ^ Виланский, Альберт (1964). Функциональный анализ . Нью-Йорк: Блейсделл. С. 16–17.
- ^ Jech 2008 , гл. 2, §2 Некоторые приложения аксиомы выбора в математике
- ^ Jech 2008 , стр. 9
- ^ Мур 2013 , стр. 168
- ^ https://gowers.wordpress.com/2008/08/12/how-to-use-zorns-lemma/
- ^ Например, Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике. 211 (пересмотренное 3-е изд.). Springer-Verlag. п. 880. ISBN 978-0-387-95385-4., Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (1998). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Прентис Холл. п. 875. ISBN 978-0-13-569302-5., а также Бергман, Джордж М (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям . Universitext (2-е изд.). Springer-Verlag. п. 162. ISBN. 978-3-319-11477-4..
- ^ Бергман, Джордж М (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям . Universitext (Второе изд.). Springer-Verlag. п. 164. ISBN 978-3-319-11477-4.
- ^ Куратовский, Казимир (1922). "Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques" [Метод избавления от трансфинитных чисел математических рассуждений] (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 3 : 76–108. DOI : 10,4064 / фм-3-1-76-108 . Проверено 24 апреля 2013 года .
- ^ Цорн, Макс (1935). «Замечание о методе трансфинитной алгебры» . Бюллетень Американского математического общества . 41 (10): 667–670. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1935-06166-X .
- ^ Кэмпбелл 1978 , стр. 82.
- ^ Кранц, Стивен Г. (2002), «Аксиома выбора», Справочник по логике и методам доказательства для компьютерных наук , Springer, стр. 121–126, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0115-1_9 , ISBN 978-1-4612-6619-8.
- ^ JL Bell & AB Slomson (1969). Модели и продукты Ultra . Издательская компания Северной Голландии. Глава 5, теорема 4.3, стр. 103.
- ^ Бласс, Андреас (1984). «Существование основ подразумевает Аксиому выбора». Аксиоматическая теория множеств . Contemp. Математика . Современная математика. 31 . С. 31–33. DOI : 10.1090 / conm / 031/763890 . ISBN 9780821850268.
- ^ Ходжес, В. (1979). «Крулл подразумевает Зорн». Журнал Лондонского математического общества . s2-19 (2): 285–287. DOI : 10,1112 / jlms / s2-19.2.285 .
- ^ Келли, Джон Л. (1950). «Теорема произведения Тихонова влечет аксиому выбора» . Fundamenta Mathematicae . 37 : 75–76. DOI : 10,4064 / фм-37-1-75-76 .
- ^ JL Bell & AB Slomson (1969). Модели и продукты Ultra . Издательская компания Северной Голландии.
- ^ а б Волк, Эллиот С. (1983), О принципе зависимого выбора и некоторых формах леммы Цорна , 26 365-367, Canadian Mathematical Bulletin, p. 1
- ^ «Лемма Цорна | Симпсоны и их математические секреты» .
Рекомендации
- Кэмпбелл, Пол Дж. (Февраль 1978 г.). «Происхождение„Цорна леммы “ ». Historia Mathematica . 5 (1): 77–89. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (78) 90136-2 .
- Цесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59465-3.
- Jech, Thomas (2008) [1973]. Аксиома выбора . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-46624-8.
- Мур, Грегори Х. (2013) [1982]. Избранная аксиома Цермело: ее происхождение, развитие и влияние . Dover Publications . ISBN 978-0-486-48841-7.
Внешние ссылки
- "Лемма Цорна" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Лемма Цорна в ProvenMath содержит формальное доказательство до мельчайших деталей эквивалентности аксиомы выбора и леммы Цорна.
- Лемма Цорна в Metamath является еще одним формальным доказательством. ( Версия Unicode для последних браузеров.)