В математике , то тензорное произведение двух векторных пространств V и W (над одним и тем же полем ) - это векторное пространство, которое можно рассматривать как пространство всех тензоров, которые могут быть построены из векторов из составляющих его пространств с использованием дополнительной операции, которую можно рассматривать как обобщение и абстракция внешнего продукта . Из-за связи с тензорами, которые являются элементами тензорного произведения, тензорные произведения находят применение во многих областях применения, в том числе в физике и технике, хотя полная их теоретическая механика, описанная ниже, может там не цитироваться. Например, в ОТО , то гравитационное полеописывается через метрический тензор , который представляет собой поле (в смысле физики) тензоров, по одному в каждой точке пространственно-временного многообразия, каждый из которых живет в тензорном самопроизведении касательных пространств в своей точке нахождения на многообразии (такой набор тензорных произведений, прикрепленных к другому пространству, называется тензорным расслоением ).
Тензоры в конечных размерах и внешний продукт
Концепция тензорного произведения обобщает идею формирования тензоров из векторов с использованием внешнего произведения, которое представляет собой операцию, которая может быть определена в конечномерных векторных пространствах с использованием матриц : заданных двух векторов а также написано с точки зрения компонентов, т. е.
а также
их внешний продукт или продукт Кронекера дается
или, с точки зрения элементов, -й компонент
Матрица, сформированная таким образом, естественно соответствует тензору, в котором он понимается как полилинейный функционал , путем размещения его с матричным умножением между вектором и его двойником или транспонированием:
Важно отметить, что тензор, как написано, принимает два двойственных вектора - это важный момент, который будет рассмотрен позже. В случае конечных размерностей нет сильного различия между пространством и его двойственным пространством, однако оно имеет значение в бесконечных измерениях, и, более того, получение правильной части регулярного против двойственного важно для обеспечения того, чтобы идея тензоров будучи развитым здесь, правильно соответствует другим смыслам, в которых они рассматриваются, например, с точки зрения преобразований, что является обычным в физике.
Построенные таким образом тензоры сами генерируют векторное пространство, когда мы добавляем и масштабируем их естественным покомпонентным образом, и, фактически, все полилинейные функционалы данного типа могут быть записаны в виде некоторой суммы внешних произведений, которые мы можем назвать чистыми тензорами или простые тензоры . Этого достаточно для определения тензорного произведения, когда мы можем записывать векторы и преобразования в терминах матриц, однако, чтобы получить полностью общую операцию, потребуется более абстрактный подход. В частности, мы хотели бы выделить «существенные особенности» тензорного произведения без необходимости указывать конкретную основу для его построения, и именно этим мы займемся в следующих разделах.
Абстрагирование тензорного произведения
Для достижения этой цели наиболее естественный способ продолжить - попытаться выделить существенное характеристическое свойство, которое будет описывать из всех возможных векторных пространств, которые мы могли бы построить из V и W , то, которое (с точностью до изоморфизма ) является их тензорным произведением , и который будет применяться без учета любого произвольного выбора, такого как выбор основы. И способ сделать это - перевернуть концепцию тензора «наизнанку» - вместо того, чтобы рассматривать тензоры как объект, который действует на векторы в манере билинейной карты, мы вместо этого будем рассматривать их как объекты, на которые нужно воздействовать, чтобы произвести билинейное отображение. Уловка состоит в том, чтобы признать, что произведение Кронекера « сохраняет всю информацию » о том, какие векторы входили в него: отношения компонент вектора могут быть получены из
и из этих соотношений были восстановлены сами отдельные компоненты. В результате одно внешнее произведение Кронекера может использоваться вместо парывекторов, которые его сформировали, и наоборот. Самое главное, это означает, что мы можем написать любую билинейную картудля любого третьего векторного пространства Z как однолинейное отображение где
Таким образом, универсальное свойство состоит в том, что если у нас есть операция объединенияи нам дано любое билинейное отображение указанного вида, существует ровно одно такоечто соответствует этому требованию. В этом нетрудно убедиться, если мы расширяемся с точки зрения базисов, но более важным моментом является то, что его можно использовать как способ характеризовать тензорное произведение, то есть мы можем использовать его для аксиоматического определения тензорного произведения с помощью нет ссылки на такое. Однако, прежде чем мы сможем это сделать, нам сначала нужно показать, что тензорное произведение существует и уникально для всех векторных пространств V и W, и для этого нам понадобится конструкция.
Конструктивное тензорное произведение
Бесплатное векторное пространство
Чтобы выполнить такое построение, первый шаг, который мы рассмотрим, включает введение так называемого « свободного векторного пространства » над заданным набором. Суть этой идеи в основном состоит в том, чтобы попытаться воплотить в жизнь то, что мы сказали в первом разделе выше: поскольку общий тензор можно записать двойной суммой
наиболее естественный способ подойти к этой проблеме - как-то разобраться, как можно «забыть» о конкретном выборе баз а также которые здесь используются. В математике мы «забываем» о репрезентативных деталях чего-либо, устанавливая идентификацию, которая говорит нам, что две разные вещи, которые следует рассматривать как репрезентации одного и того же предмета, на самом деле таковы, т.е. , они есть »или« нет, они не », а затем« объединить вместе »все репрезентации как составляющие« представляемую вещь »без ссылки на какую-либо конкретную вещь, упаковывая их все вместе в единый набор. Формально мы сначала строим отношение эквивалентности , а затем берем фактор, установленный этим отношением.
Но прежде чем мы сможем это сделать, нам сначала нужно разработать то, что мы собираемся использовать в отношении отношения эквивалентности. Мы делаем это с другой стороны, «снизу вверх»: поскольку нам не гарантируется, по крайней мере, конструктивная основа при запуске из произвольных векторных пространств, мы могли бы вместо этого попытаться начать с гарантии того, что у нас есть один - то есть мы начнем сначала с рассмотрения «основы» как данности, а затем построим векторное пространство поверх него. С этой целью мы выполняем следующее: предположим, что- некоторый набор, который мы могли бы назвать абстрактным базисным набором . Теперь рассмотрим все формальные выражения вида
произвольной, но конечной длины и для чего скаляры и являются членами Интуитивно это линейная комбинация базисных векторов в обычном смысле расширения элемента векторного пространства. Мы называем это «формальным выражением», потому что технически умножатьпоскольку по умолчанию для произвольного набора и произвольного поля скаляров не существует определенной операции умножения. Вместо этого мы «притворимся» (аналогично определению мнимых чисел ), что это относится к чему-то, а затем будем манипулировать им в соответствии с правилами, которые мы ожидаем для векторного пространства, например, сумма двух таких строк с использованием одной и той же последовательности. членов является
где мы использовали ассоциативный , коммутативный и распределительный законы, чтобы преобразовать первую сумму во вторую. Продолжение этого способа для скалярных кратных и всех комбинаций векторов разной длины позволяет нам построить векторное сложение и скалярное умножение на этом наборе формальных выражений, и мы называем это свободным векторным пространством над письмо Обратите внимание, что элементы рассматриваемые как формальные выражения длины один с коэффициентом 1 спереди, образуют основу Гамеля для этого пространства.
Затем выражение тензорного произведения абстрагируется с учетом того, что если а также представляют "абстрактные базисные векторы" из двух наборов а также т.е. что "" а также "", то пары из них в декартовом произведении т.е. взяты за тензорные произведения (Обратите внимание, что тензорные произведения в выражении в некотором смысле «атомарны», т.е. сложения и скалярные умножения не разделяют их ни на что другое, поэтому мы можем заменить их чем-то другим, не изменяя математическую структуру.) С такой идентификацией. , таким образом, мы можем определить тензорное произведение двух свободных векторных пространств а также как нечто (еще предстоит решить), изоморфное
Отношение эквивалентности
Приведенное выше определение будет работать для любого векторного пространства, в котором мы можем указать базис, поскольку мы можем просто перестроить его как свободное векторное пространство над этим базисом: приведенная выше конструкция точно отражает то, как вы представляете векторы через конструкцию базиса Хамеля по дизайну. По сути, мы ничего не добились ... пока не сделаем это.
Теперь мы не предполагаем доступа к базам векторных пространств. а также что мы хотим сформировать тензорное произведение из. Вместо этого мы будем принимать все из а также как «основу» для построения тензоров. Это следующая лучшая вещь, и единственная вещь, которую мы гарантированно сможем сделать, независимо от каких-либо проблем с поиском конкретной основы; это соответствует сложению произвольных внешних продуктовпроизвольных векторов в последней части раздела «Интуитивная мотивация». Единственная разница здесь в том, что если мы воспользуемся конструкцией свободного векторного пространства и сформируем очевидноеу него будет много повторяющихся версий того, что должно быть одним и тем же тензором; возвращаясь к нашему базовому случаю, если мы рассмотрим пример, где в стандартном базисе можно считать, что тензор, образованный векторами а также т.е.
может также быть представлены другими суммами, например, с использованием суммы отдельных основных тензоров например
Они, будучи равными выражениями в конкретном случае, соответствовали бы различным элементам свободного векторного пространства. а именно
в первом случае и
во втором случае. Таким образом, мы должны их уплотнить - здесь вступает в игру отношение эквивалентности. Хитрость в его создании заключается в том, чтобы отметить, что для любого вектора в векторном пространстве его всегда можно представить как сумму двух других векторов а также не равно оригиналу. Если ничего другого, пусть быть любым вектором, а затем взять - что также показывает, что если нам дан один вектор, а затем второй вектор, мы можем записать первый вектор в терминах второго вместе с подходящим третьим вектором (действительно, многими способами - просто рассмотрите скалярные кратные второго вектора в такое же вычитание.).
Это полезно для нас, потому что внешнее произведение удовлетворяет следующим свойствам линейности, которые могут быть доказаны простой алгеброй на соответствующих матричных выражениях:
Если мы хотим связать внешний продукт сказать, мы можем использовать первое соотношение выше вместе с подходящим выражением как сумму некоторого вектора и некоторого скалярного кратного
Равенство между двумя конкретными тензорами затем достигается, если использование приведенных выше правил позволит нам переставить одну сумму внешних произведений в другую, соответствующим образом разложив векторы - независимо от того, есть ли у нас набор фактических базисных векторов. Применяя это к нашему примеру выше, мы видим, что, конечно, у нас есть
для которого замена в
дает нам
а разумное использование свойств дистрибутивности позволяет нам преобразовать их в желаемую форму. Точно так же существует соответствующая «зеркальная» манипуляция с точки зрения элементов свободного векторного пространства. а также и т. д., что в конечном итоге приводит нас к формальному определению тензорного произведения.
Собираем всю конструкцию вместе
Абстрактное тензорное произведение двух векторных пространств а также над общим базовым полем является фактор-векторным пространством
где это отношение эквивалентности из формального равенства генерируется в предположении , что для каждого а также взяты как формальные выражения в свободном векторном пространстве справедливо следующее:
- Личность .
- Симметрия . подразумевает
- Транзитивность . а также подразумевает
- Распределительность. а также
- Скалярные кратные. а также
и затем проверка эквивалентности общих формальных выражений с помощью соответствующих манипуляций. [ необходимая цитата ] Арифметика определяется на тензорном произведении путем выбора представительных элементов, применения арифметических правил и, наконец, взятия класса эквивалентности. Более того, для любых двух векторов а также класс эквивалентности обозначается
Характеристики
Обозначение
Элементы часто называют тензорами , хотя этот термин также относится ко многим другим связанным понятиям. [1] Если v принадлежит V и w принадлежит W , то класс эквивалентности ( v , w ) обозначается черезкоторое называется тензорным произведением v на w . В физике и технике это использованиесимвол относится конкретно к внешней операции продукта ; результат внешнего продукта является одним из стандартных способов представления класса эквивалентности [2] Элемент что можно записать в виде называется чистым или простым тензором . В общем, элемент пространства тензорного произведения - это не чистый тензор, а скорее конечная линейная комбинация чистых тензоров. Например, если а также являются линейно независимыми , и а также также линейно независимы, то не может быть записан как чистый тензор. Количество простых тензоров, необходимых для выражения элемента тензорного произведения, называется тензорным рангом (не путать с тензорным порядком , который представляет собой количество пространств, произведенных пользователем, в данном случае 2; в обозначениях число индексов), а для линейных операторов или матриц, рассматриваемых как (1, 1) тензоры (элементы пространства), это согласуется с рангом матрицы .
Измерение
Данные базы а также для V и W соответственно тензоры сформировать основу для Следовательно, если V и W конечномерны, размерность тензорного произведения является произведением размерностей исходных пространств; например изоморфен
Тензорное произведение линейных карт
Тензорное произведение также работает с линейными отображениями между векторными пространствами. В частности, учитывая две линейные карты а также между векторными пространствами тензорное произведение двух линейных отображений S и T является линейным отображением
Таким образом, тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам. [3]
Если S и T оба инъективны , сюръективны или (в случае, если V , X , W и Y - нормированные векторные пространства или топологические векторные пространства ) непрерывны , то является инъективным, сюръективным или непрерывным соответственно.
Выбирая базы всех задействованных векторных пространств, линейные отображения S и T могут быть представлены матрицами . Тогда, в зависимости от того, как тензор векторизована матрица, описывающая тензорное произведение - произведение Кронекера двух матриц. Например, если вышеупомянутые V , X , W и Y двумерны и для всех них фиксированы базисы, а S и T задаются матрицами
соответственно, то тензорное произведение этих двух матриц равно
Результирующий ранг не больше 4, и, таким образом, результирующая размерность равна 4. Обратите внимание, что ранг здесь обозначает тензорный ранг, то есть количество необходимых индексов (в то время как ранг матрицы подсчитывает количество степеней свободы в результирующем массиве). Примечание
Диадический продукт является частным случаем тензорного произведения между двумя векторами одного и того же размера.
Универсальная собственность
В контексте векторных пространств тензорное произведение и связанное с ним билинейное отображение характеризуются с точностью до изоморфизма универсальным свойством относительно билинейных отображений . (Напомним, что билинейное отображение - это функция, которая отдельно линейна по каждому из своих аргументов.) Неформально, является наиболее общей билинейной картой из
Векторное пространство и связанное с ним билинейное отображение обладают тем свойством, что любая билинейная карта из в любое векторное пространство факторы через однозначно. Говоря " факторы через однозначно ", мы имеем в виду, что существует единственная линейная карта такой, что
Эта характеризация может упростить доказательства тензорного произведения. Например, тензорное произведение симметрично, что означает канонический изоморфизм :
Универсальное свойство чрезвычайно полезно для демонстрации инъективности отображения тензорного произведения. Например, предположим, что мы хотим показать, что изоморфен Поскольку все простые тензоры имеют вид а значит, все элементы тензорного произведения имеют вид благодаря аддитивности по первой координате у нас есть естественный кандидат в изоморфизм дано сопоставлением к и это отображение тривиально сюръективно.
Прямая демонстрация инъективности подразумевает каким-то образом показать, что между а также для что кажется устрашающим. Однако мы знаем, что существует билинейное отображение заданные путем умножения координат вместе, и универсальное свойство тензорного произведения затем предоставляет карту векторных пространств который отображает к и, следовательно, является обратной по отношению к ранее построенному гомоморфизму, что немедленно означает желаемый результат. Обратите внимание, что априори даже не ясно, правильно ли определено это обратное отображение, но универсальное свойство и связанное с ним билинейное отображение вместе подразумевают, что это так.
Аналогичные рассуждения можно использовать, чтобы показать, что тензорное произведение ассоциативно, то есть существуют естественные изоморфизмы
Категория векторных пространств с тензорным произведением является примером симметричной моноидальной категории .
Определение универсального свойства тензорного произведения действительно в большем количестве категорий, чем просто категория векторных пространств. Вместо использования полилинейных (билинейных) отображений в общем определении тензорного произведения используются мультиморфизмы. [4]
Тензорные силы и плетение
Пусть n - целое неотрицательное число. П - й тензор мощности векторного пространства V является п - кратная тензорное произведение V с самим собой. Это
перестановка из набора определяет отображение n- й декартовой степени V следующим образом:
Позволять
естественное вложение полилинейная декартова силы V в тензорной степени V . Тогда по универсальному свойству существует единственный изоморфизм
такой, что
Изоморфизм называется картой плетения, связанной с перестановкой
Произведение тензоров
Для целых неотрицательных чисел r и s тип тензор на векторном пространстве V является элементом
Здесь - двойное векторное пространство (которое состоит из всех линейных отображений f из V в основное поле K ).
Существует отображение произведения, называемое (тензорным) произведением тензоров [5]
Он определяется путем объединения всех встречающихся «факторов» V вместе: письмодля элемента из V и для элемента дуального пространства,
Комплектование базис V и соответствующий двойственный базис из естественно создает основу для (эта основа описана в статье о продуктах Кронекера ). В терминах этих базисов могут быть вычислены компоненты (тензорного) произведения двух (или более) тензоров . Например, если F и G - два ковариантных тензора порядков m и n соответственно (т. Е. а также ), то компоненты их тензорного произведения имеют вид [6]
Таким образом, компоненты тензорного произведения двух тензоров являются обычным произведением компонент каждого тензора. Другой пример: пусть U - тензор типа (1, 1) с компонентамии пусть V - тензор типа с компонентами потом
а также
Тензоры, снабженные операцией произведения, образуют алгебру , называемую тензорной алгеброй .
Карта оценки и сжатие тензора
Для тензоров типа (1, 1) существует каноническая оценочная карта
определяется его действием на чистые тензоры:
В более общем смысле, для тензоров типа при r , s > 0 существует отображение, называемое тензорным сжатием ,
(Копии а также должна быть указана карта, на которой будет применяться эта карта.)
С другой стороны, если это конечномерно , существует каноническое отображение в другом направлении ( так называемое coevaluation картой )
где есть какая-то основа а также это его двойственная основа . Эта карта не зависит от выбора основы. [7]
Взаимодействие оценки и сооценки может использоваться для характеристики конечномерных векторных пространств без обращения к базам. [8]
Присоединенное представительство
Тензорное произведение естественно рассматривать как модуль алгебры Ли посредством диагонального действия: для простоты предположим затем для каждого
где является транспонированной из U , то есть, с точки зрения очевидного спаривания на
Есть канонический изоморфизм дано
При этом изоморфизме каждое u из можно сначала рассматривать как эндоморфизм а затем рассматривается как эндоморфизм На самом деле это присоединенное представление объявление ( у ) из
Связь тензорного произведения с Hom
Для двух конечномерных векторных пространств U , V над одним и тем же полем K обозначим двойственное пространство к U как U * , а K- векторное пространство всех линейных отображений из U в V как Hom ( U , V ) . Есть изоморфизм,
определяется действием чистого тензора на элементе
Его «обратное» можно определить, используя базис и его двойственная основа как в разделе « Оценочная карта и сжатие тензора » выше:
Из этого результата следует
что автоматически дает важный факт, что формирует основу для где являются основами U и V .
Кроме того, для трех векторных пространств U , V , W тензорное произведение связано с векторным пространством всех линейных отображений следующим образом:
Тензорные произведения модулей над кольцом
Тензорное произведение двух модулей A и B над коммутативным кольцом R определяется точно так же, как тензорное произведение векторных пространств над полем:
В более общем смысле тензорное произведение может быть определено, даже если кольцо некоммутативно . В этом случае A должен быть правым R -модулем, а B - левым R -модулем, и вместо двух последних соотношений, приведенных выше, соотношение
Универсальное свойство также переносится, с небольшими изменениями: карта определяется является средним линейным отображением (именуемым «каноническим средним линейным отображением» [9] ); то есть удовлетворяет: [10]
Первые два свойства делают φ билинейным отображением абелевой группы Для любой средней линейной карты из уникальный групповой гомоморфизм F из удовлетворяет и это свойство определяет внутри группового изоморфизма. См. Основную статью для подробностей.
Тензорное произведение модулей над некоммутативным кольцом
Пусть A - правый R -модуль, а B - левый R -модуль. Тогда тензорное произведение A и B является абелевой группой, определяемой формулой
Универсальное свойство можно сформулировать следующим образом. Пусть G - абелева группа с отображением это билинейно в том смысле, что
Тогда есть уникальная карта такой, что для всех а также
Кроме того, мы можем дать структура модуля при некоторых дополнительных условиях:
- Если A - ( S , R ) -бимодуль, тоявляется левым S -модулем, где
- Если B - ( R , S ) -бимодуль, тоявляется правым S -модулем, где
- Если A - ( S , R ) -бимодуль, а B - ( R , T ) -бимодуль, тоявляется ( S , T ) -бимодулем, в котором левое и правое действия определены так же, как в предыдущих двух примерах.
- Если R - коммутативное кольцо, то A и B - ( R , R ) -бимодули, где а также По 3) можно заключить является ( R , R ) -бимодулем.
Вычисление тензорного произведения
Для векторных пространств тензорное произведение быстро вычисляется, так как базы V из W сразу определяют базискак было сказано выше. Для модулей над общим (коммутативным) кольцом не каждый модуль свободен. Например, Z / n Z не является свободной абелевой группой ( Z -модулем). Тензорное произведение с Z / n Z имеет вид
В более общем смысле, учитывая представление некоторого R -модуля M , то есть ряда генераторов вместе с отношениями
тензорное произведение можно вычислить как следующее коядро :
Здесь и карта определяется путем отправки некоторых в j- м экземпляре к (в ). В разговорной речи это можно перефразировать, сказав, что представление M дает начало представлениюОб этом говорят, говоря, что тензорное произведение является точным правым функтором . Вообще говоря, он не является точным слева, т. Е. Для данного инъективного отображения R -модулей тензорное произведение
обычно не является инъекционным. Например, тензорное отображение (инъективного) отображения, заданного умножением на n , n : Z → Z на Z / n Z, дает нулевое отображение 0: Z / n Z → Z / n Z , которое не является инъективным. Высшие функторы Tor измеряют дефект тензорного произведения, не оставаясь точным. Все высшие функторы Tor собраны в производное тензорное произведение .
Тензорное произведение алгебр
Пусть R - коммутативное кольцо. Тензорное произведение R -модулей применимо, в частности, если A и B являются R -алгебрами . В этом случае тензорное произведениеявляется R -алгеброй, полагая
Конкретный пример, когда и B являются поля , содержащих общий подпол R . Тензорное произведение полей тесно связана с теорией Галуа : если, скажем, = Р [ х ] / е ( х ) , где е некоторый неприводимый многочлен с коэффициентами в R , тензор продукт может быть вычислена как
Собственные конфигурации тензоров
Квадратные матрицы с записями в поле представляют собой линейные карты из векторных пространств , скажем и, таким образом, линейные отображения из проективных пространств над Если это неособо тогдаэто хорошо определены везде, и собственные векторы из соответствуют неподвижным точкам Eigenconfiguration из состоит из указывает в при условии является общим и является алгебраически замкнутым . Неподвижные точки нелинейных отображений являются собственными векторами тензоров. Позволять быть -мерный тензор формата с записями лежащий в алгебраически замкнутом поле от характерного нуля. Такой тензоропределяет полиномиальные отображения а также с координатами
Таким образом, каждый из координаты является однородным многочленом степени в Собственные векторы являются решениями ограничения
и eigenconfiguration дается разнообразием из миноры этой матрицы. [11]
Другие примеры тензорных произведений
Тензорное произведение гильбертовых пространств
Гильбертовы пространства обобщают конечномерные векторные пространства до счетно-бесконечных размерностей. Тензорное произведение все еще определено; это тензорное произведение гильбертовых пространств .
Топологическое тензорное произведение
Когда базис векторного пространства больше не является счетным, тогда подходящей аксиоматической формализацией векторного пространства является топологическое векторное пространство . Тензорное произведение все еще определено, это топологическое тензорное произведение .
Тензорное произведение градуированных векторных пространств
Некоторые векторные пространства можно разложить на прямые суммы подпространств. В таких случаях тензорное произведение двух пространств может быть разложено на суммы произведений подпространств (аналогично тому, как умножение распределяется по сложению).
Тензорное произведение представлений
Векторные пространства, наделенные дополнительной мультипликативной структурой, называются алгебрами . Тензорное произведение таких алгебр описывается правилом Литтлвуда – Ричардсона .
Тензорное произведение квадратичных форм
Тензорное произведение полилинейных форм
Учитывая две полилинейные формы а также в векторном пространстве над полем их тензорное произведение представляет собой полилинейную форму
Это частный случай произведения тензоров, если они рассматриваются как полилинейные карты (см. Также тензоры как полилинейные карты ). Таким образом, компоненты тензорного произведения полилинейных форм могут быть вычислены с помощью произведения Кронекера .
Тензорное произведение связок модулей
Тензорное произведение линейных пучков
Тензорное произведение полей
Тензорное произведение графов
Следует отметить, что, хотя это и называется «тензорным произведением», это не тензорное произведение графов в указанном выше смысле; фактически это теоретико-категориальный продукт в категории графов и гомоморфизмов графов . Однако на самом деле тензорное произведение Кронекера из матрицы смежности графов. Сравните также раздел Тензорное произведение линейных карт выше.
Моноидальные категории
Наиболее общим параметром тензорного произведения является моноидальная категория . Он отражает алгебраическую сущность тензора без каких-либо конкретных ссылок на то, что подвергается тензору. Таким образом, все тензорные произведения могут быть выражены как применение моноидальной категории к некоторой конкретной настройке, действующей на некоторые конкретные объекты.
Факторные алгебры
Ряд важных подпространств тензорной алгебры можно построить дроби : они включают в себя внешнюю алгебру , то симметричную алгебру , то алгебру Клиффорд , то алгебру Вейля , и универсальные обертывающую в целом.
Внешняя алгебра строится из внешнего продукта . Учитывая векторное пространство V , внешний продукт определяется как
Симметрическая алгебра строится аналогичным образом из симметрического произведения
Тензорный продукт в программировании
Языки программирования массивов
В языках программирования массивов этот шаблон может быть встроен. Например, в APL тензорное произведение выражается как ○.×
(например, A ○.× B
или A ○.× B ○.× C
). В J тензорное произведение представляет собой диадическую форму */
(например, a */ b
или a */ b */ c
).
Обратите внимание , что лечение J также допускает представление некоторых тензорных полей, a
и b
может быть функции вместо константы. Это произведение двух функций является производной функции, а если a
и b
являются дифференцируема , то a */ b
дифференцируема.
Однако такие нотации не всегда присутствуют в языках массивов. Другие языки массивов могут требовать явной обработки индексов (например, MATLAB ) и / или могут не поддерживать функции высшего порядка, такие как производная Якоби (например, Fortran / APL).
Смотрите также
- Диадический продукт
- Расширение скаляров
- Моноидальная категория - Категория, допускающая тензорные произведения
- Тензорная алгебра - Универсальная конструкция в полилинейной алгебре
- Тензорное сжатие
- Топологическое тензорное произведение - конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств
Заметки
- ^ См. Тензор или Тензор (внутреннее определение) .
- ^ Это похоже на то, как инженерное использование ""специально возвращает остаток, один из многих элементов класс эквивалентности.
- ^ Хазевинкель, Михель; Губарени Надежда Михайловна; Губарени, Надия; Кириченко, Владимир В. (2004). Алгебры, кольца и модули . Springer. п. 100. ISBN 978-1-4020-2690-4.
- ^ «Архивная копия» . Архивировано 02 сентября 2017 года . Проверено 2 сентября 2017 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )[ источник, созданный пользователями ]
- ↑ Бурбаки (1989) , стр. 244 определяет использование «тензорного произведения x и y », элементов соответствующих модулей.
- ^ Аналогичные формулы верны и для контравариантных тензоров, и для тензоров смешанной дисперсии. Хотя во многих случаях, например, когда определяется внутренний продукт , различие не имеет значения.
- ^ «Кооценка на векторных пространствах» . Математик без извинений . 2008-11-13. Архивировано 02 февраля 2017 года . Проверено 26 января 2017 .
- ^ См. Компактная закрытая категория .
- ^ Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра . Springer. ISBN 0-387-90518-9.
- ^ Чен, Юнгкай Альфред (весна 2004 г.), «Тензорный продукт» (PDF) , Advanced Algebra II (конспект лекций), Национальный университет Тайваня, архив (PDF) из оригинала 04 марта 2016 г.
- ^ Abo, H .; Seigal, A .; Штурмфельс, Б. (2015). «Собственные конфигурации тензоров». arXiv : 1505.05729 [ math.AG ].
- ^ Ту, LW (2010). Введение в многообразия . Universitext. Springer. п. 25. ISBN 978-1-4419-7399-3.
Рекомендации
- Бурбаки, Николас (1989). Элементы математики, алгебры I . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.
- Гауэрс, Тимоти . «Как избавиться от страха перед тензорными произведениями» .
- Грийе, Пьер А. (2007). Абстрактная алгебра . Springer Science + Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674.
- Халмос, Пол (1974). Конечномерные векторные пространства . Springer. ISBN 0-387-90093-4.
- Хангерфорд, Томас В. (2003). Алгебра . Springer. ISBN 0387905189.
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001
- Mac Lane, S .; Биркгоф, Г. (1999). Алгебра . AMS Челси. ISBN 0-8218-1646-2.
- Aguiar, M .; Махаджан, С. (2010). Моноидальные функторы, виды и алгебры Хопфа . Серия монографий CRM Том 29. ISBN 978-0-8218-4776-3.
- «Библиография по неабелеву тензорному произведению групп» .