Ускорение (специальная теория относительности)

Ускорения в специальной теории относительности (SR) следует,как в ньютоновской механике , путем дифференцирования по скорости по отношению к времени . Из-за преобразования Лоренца и замедления времени понятия времени и расстояния становятся более сложными, что также приводит к более сложным определениям «ускорения». СТО как теория плоского пространства-времени Минковского остается в силе при наличии ускорений, потому что общая теория относительности (ОТО) требуется только тогда, когда есть кривизна пространства-времени, вызванная тензором энергии-импульса(что в основном определяется массой ). Однако, поскольку величина искривления пространства-времени не особенно велика на Земле или в ее окрестностях, СИ остается актуальным для большинства практических целей, таких как эксперименты на ускорителях частиц . ^[1]

Можно вывести формулы преобразования для обычных ускорений в трех пространственных измерениях (трех ускорение или координатное ускорение), измеренных во внешней инерциальной системе отсчета , а также для частного случая собственного ускорения, измеренного сопутствующим акселерометром . Другой полезный формализм - это четырехмерное ускорение , поскольку его компоненты могут быть связаны в разных инерциальных системах отсчета с помощью преобразования Лоренца. Также можно сформулировать уравнения движения , которые связывают ускорение и силу . Уравнения для нескольких форм ускорения тел и их искривленных мировых линий следуют из этих формул путем интегрирования. Хорошо известными частными случаями являются гиперболическое движение для постоянного продольного собственного ускорения или равномерное круговое движение . В конце концов, эти явления также можно описать в ускоренных системах отсчета в контексте специальной теории относительности, см. Правильная система отсчета (плоское пространство-время) . В таких рамках возникают эффекты, аналогичные однородным гравитационным полям , которые имеют некоторое формальное сходство с реальными неоднородными гравитационными полями искривленного пространства-времени в общей теории относительности. В случае гиперболического движения можно использовать координаты Риндлера , в случае равномерного кругового движения можно использовать координаты Борна .

Что касается исторического развития, то релятивистские уравнения, содержащие ускорения, можно найти уже в первые годы теории относительности, как это обобщено в ранних учебниках Макса фон Лауэ (1911, 1921) ^[2] или Вольфганга Паули (1921). ^[3] Например, уравнения движения и преобразования ускорения были разработаны в работах Хендрика Антуна Лоренца (1899, 1904), ^{[H 1] [H 2]} Анри Пуанкаре (1905), ^{[H 3] [H 4]} Альберта Эйнштейн (1905), ^{[H 5]} Макс Планк (1906), ^{[H 6]}и четырехкратное ускорение, собственное ускорение, гиперболическое движение, ускоряющиеся системы отсчета, жесткость Борна , были проанализированы Эйнштейном (1907), ^{[H 7]} Германом Минковским (1907, 1908), ^{[H 8] [H 9]} Максом Борном ( 1909), ^{[H 10]} Густав Херглотц (1909), ^{[H 11] [H 12]} Арнольд Зоммерфельд (1910), ^{[H 13] [H 14]} фон Лауэ (1911), ^{[H 15] [H 16]} Фридрих Коттлер (1912, 1914), ^{[H 17]} см. Раздел по истории .

Трехскоростное [ править ]

В соответствии с механикой Ньютона и СТО трехкратное ускорение или координатное ускорение - это первая производная скорости по координатному времени или вторая производная от местоположения по координатному времени:${\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ left (a_ {x}, \ a_ {y}, \ a_ {z} \ right)}$${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ left (u_ {x}, \ u_ {y}, \ u_ {z} \ right)}$${\ Displaystyle \ mathbf {г} = \ влево (х, \ у, \ г \ вправо)}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$.

Однако теории резко различаются в своих предсказаниях в отношении соотношения трех ускорений, измеренных в разных инерциальных системах отсчета. В механике Ньютона время является абсолютным в соответствии с преобразованием Галилея , поэтому полученное из него трехкратное ускорение также одинаково во всех инерциальных системах отсчета: ^[4]${\displaystyle t'=t}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '}$.

Напротив, в СТО оба и зависят от преобразования Лоренца, поэтому также трехскоростное ускорение и его составляющие изменяются в разных инерциальных системах отсчета. Когда относительная скорость между кадрами направлена в х-направлении, с , как Лоренца фактор , преобразование Лоренца имеет вид${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle v=v_{x}}$${\displaystyle \gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}x'&=\gamma _{v}(x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

( 1а )

или для произвольных скоростей от величины : ^[5]${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)}$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |=v}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)-t\gamma _{v}\right]\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {\mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r'\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)+t'\gamma _{v}\right]\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {\mathbf {r'\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

( 1b )

Чтобы узнать преобразование трехскоростного ускорения, необходимо различать пространственные координаты и преобразование Лоренца относительно и , из которых следует преобразование трехскоростного (также называемого формулой сложения скоростей ) между и , и в конечном итоге посредством другой дифференциации по отношению к и преобразования трех ускорений между и следует. Начиная с ( 1a ), эта процедура дает преобразование, в котором ускорения параллельны (направление x) или перпендикулярны (направление y, z) скорости: ^{[6] [7] [8] [9] [H 4 ]}${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} '}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} '}$^{[H 15]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}a_{x}^{\prime }&={\frac {a_{x}}{\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}^{\prime }&={\frac {a_{y}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{y}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}^{\prime }&={\frac {a_{z}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{z}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {a_{x}^{\prime }}{\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}&={\frac {a_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{y}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}&={\frac {a_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{z}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}\end{array}}}$

( 1c )

или, исходя из ( 1b ), эта процедура дает результат для общего случая произвольных направлений скоростей и ускорений: ^{[10] [11]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} '&={\frac {\mathbf {a} }{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}+{\frac {\mathbf {(a\cdot v)u} }{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {a} '}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)u} '}{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}}$

( 1д )

Это означает, что если есть две инерциальные системы отсчета и с относительной скоростью , то в ускорении объекта измеряется мгновенная скорость , в то время как в этом же объекте есть ускорение и мгновенная скорость . Как и в случае с формулами сложения скорости, эти преобразования ускорения гарантируют, что результирующая скорость ускоряемого объекта никогда не сможет достичь или превзойти скорость света .${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle S'}$${\displaystyle \mathbf {a} '}$${\displaystyle \mathbf {u} '}$

Четыре ускорения [ править ]

Если четыре-векторы используются вместо трех-векторов, а именно в виде четыре-положения и , как четыре скорости , то четыре-ускорение объекта получается путем дифференцирования по собственному времени вместо координат время: ^{[12] [13 ] [14]}${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{t},\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}\right)=\left(A_{t},\ \mathbf {A} _{r}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}={\frac {d^{2}\mathbf {R} }{d\tau ^{2}}}=\left(c{\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\tau ^{2}}}\right)\\&=\left(\gamma ^{4}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}},\ \gamma ^{4}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}+\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)\end{aligned}}}$

( 2а )

где - трехскоростное ускорение объекта и его мгновенная трехскоростная величина с соответствующим фактором Лоренца . Если рассматривается только пространственная часть, и когда скорость направлена ​​в направлении x, и учитываются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости, выражение сводится к : ^{[15] [16]}${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}$${\displaystyle u=u_{x}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{r}=\mathbf {a} \left(\gamma ^{4},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)}$

В отличие от рассмотренного ранее трехкратного ускорения нет необходимости выводить новое преобразование для четырехмерного ускорения, потому что, как и для всех четырех векторов, компоненты и в двух инерциальных системах отсчета с относительной скоростью связаны преобразованием Лоренца, аналогичным ( 1а , 1б ). Еще одним свойством четырехвекторов является инвариантность внутреннего произведения или его величины , которая в этом случае дает: ^{[16] [13] [17]}${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} '}$${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=-A_{t}^{2}+\mathbf {A} _{r}^{2}}$${\displaystyle |\mathbf {A} |={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}}$

${\displaystyle |\mathbf {A} '|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}}$.

( 2b )

Правильное ускорение [ править ]

В бесконечно малых промежутках времени всегда существует одна инерциальная система отсчета, которая на мгновение имеет ту же скорость, что и ускоряемое тело, и в которой выполняется преобразование Лоренца. Соответствующее трехкратное ускорение в этих кадрах может быть непосредственно измерено акселерометром и называется надлежащим ускорением ^{[18] [H 14]} или ускорением покоя. ^{[19] [12 Н]} Отношение в инерциальной системе мгновенного и измеряется во внешнем инерциальной системе отсчета следует из ( 1c , 1d ) , с , , и . Итак, с точки зрения ( 1c ), когда скорость направлена ​​в направлении x на${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0},\ a_{z}^{0}\right)}$${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$и когда учитываются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости, это следует: ^{[12] [19] [18] [H 1] [H 2] [H 14] [H 12]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}a_{x}^{0}&={\frac {a_{x}}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\a_{y}^{0}&={\frac {a_{y}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}^{0}&={\frac {a_{z}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&=a_{x}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&=a_{y}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\\a_{z}&=a_{z}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {a} &=\mathbf {\mathbf {a} } ^{0}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

( 3а )

Обобщено формулой ( 1d ) для произвольных направлений величины : ^{[20] [21] [17]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\gamma ^{2}\left[\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left[\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}}$

Существует также тесная связь с величиной четырехскоростного ускорения: поскольку оно инвариантно, оно может быть определено в мгновенной инерциальной системе отсчета , в которой и отсюда следует : ^{[19] [12] [22] [H 16]}${\displaystyle S'}$${\displaystyle \mathbf {A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle dt'/d\tau =1}$${\displaystyle d^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\prime }=0}$

${\displaystyle |\mathbf {A} '|={\sqrt {0+\left.\mathbf {a} ^{0}\right.^{2}}}=|\mathbf {a} ^{0}|}$.

( 3b )

Таким образом, величина четырехкратного ускорения соответствует величине собственного ускорения. Комбинируя это с ( 2b ), можно получить альтернативный метод определения связи между in и in , а именно ^{[13] [17]}${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle S}$

${\displaystyle |\mathbf {a} ^{0}|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}}$

из которого снова следует ( 3a ), когда скорость направлена ​​в направлении x и учитываются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости.${\displaystyle u=u_{x}}$

Ускорение и сила [ править ]

Предполагая постоянную массу , четыре силы как функция трех сил связаны с четырехмерным ускорением ( 2a ) следующим образом: ^{[23] [24]}${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =\left(\gamma {\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }{c}},\ \gamma \mathbf {f} \right)=m\mathbf {A} =m\left(\gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right),\ \gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c^{2}}}\right)\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)}$

( 4а )

Соотношение между трехсиловым и трехскоростным ускорением для произвольных направлений скорости, таким образом, ^{[25] [26] [23]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} \\\mathbf {a} &={\frac {1}{m\gamma }}\left(\mathbf {f} -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

( 4b )

Когда скорость направлена ​​в направлении x , учитываются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости ^{[27] [26] [23] [H 2] [H 6]}${\displaystyle u=u_{x}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {ma_{x}}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\f_{y}&={\frac {ma_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}&={\frac {ma_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {f_{x}}{m}}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&={\frac {f_{y}}{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}&={\frac {f_{z}}{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

( 4c )

Следовательно, ньютоновское определение массы как отношения трех сил и трех ускорений невыгодно в СТО, потому что такая масса будет зависеть как от скорости, так и от направления. Следовательно, следующие массовые определения, используемые в старых учебниках, больше не используются: ^{[27] [28] [H 2]}

${\displaystyle m_{\Vert }={\frac {f_{x}}{a_{x}}}=m\gamma ^{3}}$ как «продольная масса»,

${\displaystyle m_{\perp }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma }$ как «поперечная масса».

Соотношение ( 4b ) между тремя ускорениями и тремя силами также может быть получено из уравнения движения ^{[29] [25] [H 2] [H 6]}

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}={\frac {d(m\gamma )}{dt}}\mathbf {u} +m\gamma {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$

( 4д )

где - трехимпульс. Соответствующее преобразование трех сил между in и in (когда относительная скорость между кадрами направлена ​​в x-направлении на и только ускорения, параллельные (x-направление) или перпендикулярные (y-, z-направления) скорости) рассматривается) следующим образом путем замены соответствующих формул преобразования для , , , , или из трансформированного Лоренца компоненты четыре силы, с результатом: ^{[29] [30] [24] [H 3] [H 15]}${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {f} '}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle v=v_{x}}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle m\gamma }$${\displaystyle d(m\gamma )/dt}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}f_{x}^{\prime }&={\frac {f_{x}-{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )}{1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}}}\\f_{y}^{\prime }&={\frac {f_{y}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}^{\prime }&={\frac {f_{z}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {f_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} ^{\prime }\cdot \mathbf {u} ^{\prime })}{1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}}}\\f_{y}&={\frac {f_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}&={\frac {f_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}\end{array}}}$

( 4e )

Или обобщенно для произвольных направлений , а также с величиной : ^{[31] [32]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle |\mathbf {v} |=v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} '&={\frac {{\frac {\mathbf {f} }{\gamma _{v}}}-\left\{(\mathbf {f\cdot u} ){\frac {v^{2}}{c^{2}}}-(\mathbf {f\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}}}\\\mathbf {f} &={\frac {{\frac {\mathbf {f} '}{\gamma _{v}}}+\left\{(\mathbf {f'\cdot u} '){\frac {v^{2}}{c^{2}}}+(\mathbf {f'\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1+{\frac {\mathbf {v\cdot u'} }{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$

( 4f )

Правильное ускорение и правильная сила [ править ]

Сила в мгновенной инерционной системе отсчета, измеряемая движущимися пружинными весами, может быть названа надлежащей силой. ^{[33] [34]} Это следует из ( 4e , 4f ), установив и, а также и . Таким образом, согласно ( 4e ), где учитываются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направление y, z) скорости : ^{[35] [33] [34]}${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}^{0}&=f_{x}\\f_{y}^{0}&={\frac {f_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}^{0}&={\frac {f_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&=f_{x}^{0}\\f_{y}&=f_{y}^{0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\f_{z}&=f_{z}^{0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

( 5а )

Обобщенный формулой ( 4f ) для произвольных направлений величины : ^{[35] [36]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma }}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}}$

Поскольку в мгновенных инерциальных системах отсчета один имеет четыре силы и четыре ускорения , уравнение ( 4a ) дает ньютоновское соотношение , поэтому ( 3a , 4c , 5a ) можно резюмировать ^[37]${\displaystyle \mathbf {F} =\left(0,\,\mathbf {f} ^{0}\right)}$${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\,\mathbf {a} ^{0}\right)}$${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=m\mathbf {a} ^{0}=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\end{aligned}}}$

( 5b )

Этим можно объяснить очевидное противоречие в исторических определениях поперечной массы . ^[38] Эйнштейн (1905) описал связь между трехускорением и собственной силой ^{[H 5]}${\displaystyle m_{\perp }}$

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {f_{y}^{0}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}}$,

в то время как Лоренц (1899, 1904) и Планк (1906) описали связь между тремя ускорениями и тремя силами ^{[H 2]}

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Lorentz} }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma }$.

Изогнутые мировые линии [ править ]

Путем интегрирования уравнений движения получают искривленные мировые линии ускоренных тел, соответствующие последовательности мгновенных инерциальных систем отсчета (здесь выражение «изогнутые» относится к форме мировых линий в диаграммах Минковского, которые не следует путать с «искривленное» пространство-время ОТО). В связи с этим должна быть рассмотрена так называемая гипотеза часов постулата часов: ^{[39] [40]} Собственное время движущихся часов не зависит от ускорения, то есть замедления времени этих часов, как видно во внешнем инерциальная система отсчета зависит только от ее относительной скорости относительно этой системы отсчета. Два простых случая искривленных мировых линий теперь получаются интегрированием уравнения ( 3a) для правильного ускорения:

a) Гиперболическое движение : постоянное продольное собственное ускорение по ( 3a ) приводит к мировой линии ^{[12] [18] [19] [25] [41] [42] [H 10] [H 15]]}${\displaystyle \alpha =a_{x}^{0}=a_{x}\gamma ^{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&t(\tau )={\frac {c}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}},\quad x(\tau )={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right),\quad y=0,\quad z=0,\\&\tau (t)={\frac {c}{\alpha }}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\alpha t}{c}}\right),\quad x(t)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}-1\right)\end{aligned}}}$

( 6а )

Мировая линия соответствует гиперболическому уравнению , от которого происходит название гиперболического движения. Эти уравнения часто используются для расчета различных сценариев парадокса близнецов или парадокса космического корабля Белла , или в отношении космических путешествий с использованием постоянного ускорения .${\displaystyle c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}}$

б) Константа, поперечное ускорение надлежащего пути ( 3a ) можно рассматривать как центростремительное ускорение , ^[13] , ведущий к мировой линии тела в равномерном вращении ^{[43] [44]}${\displaystyle a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \Omega _{0}t=r\cos \Omega \tau \\y&=r\sin \Omega _{0}t=r\sin \Omega \tau \\z&=z\\t&=\gamma \tau ={\frac {\tau }{\sqrt {1-\left({\frac {r\Omega _{0}}{c}}\right)^{2}}}}=\tau {\sqrt {1+\left({\frac {r\Omega }{c}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

( 6b )

где - тангенциальная скорость , - радиус орбиты, - угловая скорость как функция координатного времени и как собственная угловая скорость.${\displaystyle v=r\Omega _{0}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \Omega _{0}}$${\displaystyle \Omega =\gamma \Omega _{0}}$

Классификация искривленных мировых линий может быть получена с помощью дифференциальной геометрии тройных кривых, которая может быть выражена пространственно-временными формулами Френе-Серре . ^[45] В частности, можно показать , что гиперболическое движение и равномерное движение по окружности являются частными случаями движений , имеющих постоянные кривизны и кручения , ^[46] , удовлетворяющее условию Born жесткости . ^{[H 11] [H 17]} Тело называется жестким по Борну, если пространственно-временное расстояние между его бесконечно удаленными мировыми линиями или точками остается постоянным во время ускорения.

Ускоренные справочные кадры [ править ]

Вместо инерциальных систем отсчета эти ускоренные движения и искривленные мировые линии также могут быть описаны с помощью ускоренных или криволинейных координат . Правильная система отсчета, установленная таким образом, тесно связана с координатами Ферми . ^{[47] [48]} Например, координаты системы отсчета с гиперболическим ускорением иногда называют координатами Риндлера, а координаты равномерно вращающейся системы отсчета - вращающимися цилиндрическими координатами (или иногда координатами Борна ). С точки зрения принципа эквивалентности, эффекты, возникающие в этих ускоренных системах отсчета, аналогичны эффектам в однородном фиктивном гравитационном поле. Таким образом, можно увидеть, что использование ускоряющих систем отсчета в СТО приводит к важным математическим соотношениям, которые (при дальнейшем развитии) играют фундаментальную роль в описании реальных, неоднородных гравитационных полей в терминах искривленного пространства-времени в общей теории относительности.

История [ править ]

Для получения дополнительной информации см. Фон Лауэ, ^[2] Паули, ^[3] Миллер, ^[49] Захар, ^[50] Гургулхон, ^[48] и исторические источники по истории специальной теории относительности .

1899:

Хендрик Лоренц ^{[H 1]} вывел правильные (с точностью до определенного фактора ) соотношения для ускорений, сил и масс между покоящимися электростатическими системами частиц (в неподвижном эфире ) и системой, возникающей из него, добавив перевод, как фактор Лоренца:${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon ^{2}}}}$, , Для формулы ( 5а );${\displaystyle {\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}}$${\displaystyle \mathbf {f} /\mathbf {f} ^{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{k^{3}\epsilon }}}$, , За формулой ( 3а );${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$${\displaystyle \mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle {\frac {k^{3}}{\epsilon }}}$, , Для , таким образом , продольной и поперечной массы по формуле ( 4с );${\displaystyle {\frac {k}{\epsilon }}}$${\displaystyle {\frac {k}{\epsilon }}}$${\displaystyle \mathbf {f} /(m\mathbf {a} )}$

Лоренц объяснил, что у него нет средств для определения стоимости . Если бы он установил , его выражения приняли бы точную релятивистскую форму.${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon =1}$

1904:

Лоренц ^[H2] вывел предыдущие соотношения более детально, а именно в отношении свойств частиц, покоящихся в системе и движущейся системе , с новой вспомогательной переменной, равной по сравнению с той, которая была в 1899 году, таким образом:${\displaystyle \Sigma '}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle l}$${\displaystyle 1/\epsilon }$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right){\mathfrak {F}}(\Sigma ')}$для как функция от ( 5а );${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$

${\displaystyle m{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$для как функция по ( 5b );${\displaystyle m\mathbf {a} }$${\displaystyle m\mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left({\frac {l}{k^{3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$для как функция от по ( 3a );${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle m(\Sigma )=\left(k^{3}l,\ kl,\ kl\right)m(\Sigma ')}$для продольной и поперечной массы как функции массы покоя согласно ( 4c , 5b ).

На этот раз Лоренц смог показать то , благодаря чему его формулы принимают точную релятивистскую форму. Он также сформулировал уравнение движения${\displaystyle l=1}$

${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {F}}={\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}}}$ с ${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {G}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}kl{\mathfrak {w}}}}$

что соответствует ( 4d ) с , с , , , , , и , как электромагнитной массы покоя . Кроме того, он утверждал, что эти формулы должны выполняться не только для сил и масс электрически заряженных частиц, но и для других процессов, так что движение Земли через эфир остается необнаружимым.${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}}$${\displaystyle l=1}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\mathbf {f} }$${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\mathbf {p} }$${\displaystyle {\mathfrak {w}}=\mathbf {u} }$${\displaystyle k=\gamma }$${\displaystyle e^{2}/(6\pi c^{2}R)=m}$

1905:

Анри Пуанкаре ^{[H 3]} ввел преобразование трехсил ( 4e ):

${\displaystyle X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Z_{1}}{l^{3}}}}$

с плотностью заряда , а в качестве фактора Лоренца . Или в современных обозначениях: , , , и . Он поставил Лоренца .${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \epsilon =v}$${\displaystyle \xi =u_{x}}$${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$${\displaystyle \Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$${\displaystyle l=1}$

1905:

Альберт Эйнштейн ^{[H 5]} вывел уравнения движения на основе своей специальной теории относительности, которые представляют отношения между одинаково действительными инерциальными системами отсчета без действия механического эфира. Эйнштейн пришел к выводу, что в мгновенной инерциальной системе отсчета уравнения движения сохраняют свою ньютоновскую форму:${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=\epsilon X',\quad \mu {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Z'}$.

Это соответствует , потому что и и . Путем преобразования в относительно движущуюся систему он получил уравнения для электрических и магнитных компонентов, наблюдаемых в этой системе отсчета:${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle \mu =m}$${\displaystyle \left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)}$.

Это соответствует ( 4c ) с , потому что и и и . Следовательно, Эйнштейн определил продольную и поперечную массу, даже несмотря на то, что он связал ее с силой в системе мгновенного покоя, измеренной с помощью движущихся пружинных весов, и с трехскоростным ускорением в системе : ^[38]${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)}$${\displaystyle \mu =m}$${\displaystyle \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathbf {a} }$${\displaystyle \left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f} }$${\displaystyle \beta =\gamma }$${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{longitudinal mass}}\\\\{\frac {\mu }{1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{transverse mass}}\end{aligned}}\end{array}}}$

Это соответствует ( 5b ) с .${\displaystyle m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}}$

1905:

Пуанкаре ^{[H 4]} вводит преобразование трех ускорений ( 1c ):

${\displaystyle {\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}}}$

где так же как и и .${\displaystyle \left(\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u} }$${\displaystyle k=\gamma }$${\displaystyle \epsilon =v}$${\displaystyle \mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v}$

Кроме того, он ввел четыре силы в форме:

${\displaystyle k_{0}X_{1},\quad k_{0}Y_{1},\quad k_{0}Z_{1},\quad k_{0}T_{1}}$

где а и .${\displaystyle k_{0}=\gamma _{0}}$${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$${\displaystyle T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

1906:

Макс Планк ^{[H 6]} вывел уравнение движения

${\displaystyle {\frac {m{\ddot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)\ {\text{etc.}}}$

с

${\displaystyle e\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}$ и ${\displaystyle e{\mathfrak {E}}_{x}+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)=X\ {\text{etc.}}}$

и

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\{{\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\right\}=X\ {\text{etc.}}}$

Уравнения соответствуют ( 4г ) с

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$, С и и , в соответствии с приведенным Лоренцем (1904 г.).${\displaystyle X=f_{x}}$${\displaystyle q=v}$${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }$