В традиционной логике , противоречие возникает , когда предложение противоречит либо с самим собой или установленным фактом . Его часто используют как инструмент для выявления лицемерных убеждений и предубеждений . Иллюстрируя общую тенденцию в прикладной логике, Аристотель «сек закон непротиворечия гласит , что„невозможно , что то же самое может в то же время оба принадлежат и не принадлежат одному и тому же объекту и в том же отношении.“ [1]
В современной формальной логике этот термин в основном используется вместо одного предложения, часто обозначаемого символом ложной суммы.; [2] предложение является противоречием, если из него можно вывести ложь , используя правила логики. Это утверждение является безусловно ложным (т. Е. Противоречивым утверждением). [3] [4] Это можно обобщить до набора предложений, который, как говорят, «содержит» противоречие.
История
Создавая парадокс , диалог Платона о Евтидеме демонстрирует необходимость понятия противоречия . В последующем диалоге Дионисодор отрицает существование «противоречия», в то время как Сократ ему противоречит:
... Я в своем изумлении сказал: Что ты имеешь в виду, Дионисодор? Я часто слышал и был поражен, услышав этот ваш тезис, который поддерживается и используется учениками Протагора и другими до них, и который мне кажется весьма удивительным, самоубийственным, а также разрушительным и Я думаю, что, скорее всего, я услышу от вас правду об этом. Изречение состоит в том, что нет такой вещи, как ложь; мужчина должен либо сказать то, что правда, либо ничего не сказать. Разве это не твоя позиция?
Действительно, Дионисодор соглашается с тем, что «не существует такой вещи, как ложное мнение ... не существует такой вещи, как невежество», и требует от Сократа «опровергнуть меня». Сократ отвечает: «Но как я могу опровергнуть вас, если, как вы говорите, сказать неправду невозможно?». [5]
В формальной логике
В классической логике, особенно в логике высказываний и логики первого порядка , пропозицияпротиворечие тогда и только тогда, когда . Поскольку для противоречивого правда, что для всех (так как ), можно доказать любое предложение из набора аксиом, которое содержит противоречия. Это называется « принципом взрыва » или «ex falso quodlibet» («из лжи следует все»). [6]
В полной логике формула противоречива тогда и только тогда, когда она невыполнима .
Доказательство от противного
За набор согласованных помещений и предложение , в классической логике верно, что (т.е. доказывает ) если и только если (т.е. а также приводит к противоречию). Следовательно, доказательство того, что также доказывает, что верно под помещениями . Использование этого факта составляет основу метода доказательства, называемого доказательством от противоречия , которое математики широко используют для установления справедливости широкого круга теорем. Это применимо только в логике, где закон исключенного среднего принимается как аксиома. [7]
Используя минимальную логику , логику с аксиомами, аналогичными классической логике, но без ex falso quodlibet и доказательства от противоречия, мы можем исследовать аксиоматическую силу и свойства различных правил, которые рассматривают противоречие, рассматривая теоремы классической логики, которые не являются теоремами минимальной логики. [8] Каждое из этих расширений приводит к промежуточной логике :
- Устранение двойного отрицания (DNE) - сильнейший принцип, аксиоматизированный. , а когда его добавляют к минимальной логике, получается классическая логика.
- Ex falso quodlibet (EFQ), аксиоматизированный , допускает многие последствия отрицания, но обычно не помогает делать выводы, которые не содержат абсурда, из последовательных утверждений, которые это делают. В сочетании с минимальной логикой EFQ дает интуиционистскую логику . EFQ эквивалентно ex contravemente quodlibet , аксиоматизированном, над минимальной логикой.
- Правило Пирса (ПР) - аксиома который фиксирует доказательство от противоречия без явного упоминания абсурда. Минимальная логика + PR + EFQ дает классическую логику.
- Аксиома Гёделя-Даммета (GD) , наиболее простое изложение которого состоит в том, что существует линейный порядок значений истинности. Минимальная логика + GD дает логику Гёделя-Даммета . Правило Пирса влечет за собой, но не влечет за собой GD над минимальной логикой.
- Закон исключенного среднего (LEM), аксиоматизированный , является наиболее часто цитируемой формулировкой принципа двухвалентности , но в отсутствие EFQ она не дает полной классической логики. Минимальная логика + LEM + EFQ дает классическую логику. PR влечет, но не влечет за собой LEM в минимальной логике. Если формула B в правиле Пирса ограничена до абсурда, давая схему аксиомы, схема эквивалентна LEM по минимальной логике.
- Аксиоматизирован слабый закон исключенного среднего (WLEM). и дает систему, в которой дизъюнкция ведет себя больше как в классической логике, чем в интуиционистской логике, то есть свойства дизъюнкции и существования не выполняются, но где использование неинтуиционистских рассуждений отмечено случаями двойного отрицания в заключении. LEM влечет за собой, но не влечет за собой WLEM в минимальной логике. WLEM эквивалентен случаю закона Де Моргана, который распределяет отрицание по союзу:.
Символическое представление
В математике символы, используемые для обозначения противоречия в доказательстве, различаются. [9] Некоторые символы, которые могут использоваться для обозначения противоречия, включают ↯, Opq,, ⊥, / , а также ※; в любом символизме противоречие может быть заменено значением истинности « ложь », которое символизируется, например, «0» (как это принято в булевой алгебре ). [2] Нередко можно увидеть QED или некоторые его варианты сразу после символа противоречия. Фактически, это часто происходит в доказательстве от противного, чтобы указать, что исходное предположение было доказано ложным - и, следовательно, его отрицание должно быть истинным.
Понятие противоречия в аксиоматической системе и доказательство ее непротиворечивости
В общем, доказательство непротиворечивости требует следующих двух вещей:
- Аксиоматика
- Демонстрация того, что в системе не может быть получена как формула p, так и ее отрицание ~ p .
Но каким бы методом это ни было, все доказательства непротиворечивости, казалось бы , требуют примитивного понятия противоречия. Более того, кажется, что это понятие одновременно должно быть «вне» формальной системы в определении тавтологии.
Когда Эмиль Пост в своем «Введении в общую теорию элементарных предложений» 1921 года расширил свое доказательство непротиворечивости исчисления высказываний (т. Е. Логики) за пределы « Principia Mathematica» (PM), он заметил, что в отношении обобщенного набор постулатов (то есть аксиом), он больше не сможет автоматически ссылаться на понятие «противоречие» - такое понятие может не содержаться в постулатах:
Первым условием набора постулатов является его непротиворечивость. Поскольку обычное понятие непротиворечивости включает в себя понятие противоречия, которое опять-таки включает отрицание, и поскольку эта функция вообще не появляется как примитив в [ обобщенном наборе постулатов], необходимо дать новое определение. [10]
Решение проблемы Постом описано в демонстрации «Пример успешного абсолютного доказательства непротиворечивости», предложенной Эрнестом Нагелем и Джеймсом Р. Ньюманом в их Доказательстве Гёделя 1958 года . Они тоже заметили проблему в отношении понятия «противоречие» с его обычными «значениями истинности», такими как «истина» и «ложь». Они отметили, что:
Свойство быть тавтологией было определено в понятиях истины и лжи. Однако эти понятия, очевидно, подразумевают ссылку на что-то за пределами исчисления формул. Таким образом, процедура, упомянутая в тексте, по сути, предлагает интерпретацию расчетов путем предоставления модели системы. При этом авторы не сделали того, что обещали, а именно « определить свойство формул с точки зрения чисто структурных особенностей самих формул ». [В самом деле] ... доказательства непротиворечивости, основанные на моделях и основанные на аргументах от истинности аксиом к их непротиворечивости, просто меняют проблему. [11]
Учитывая некоторые «примитивные формулы», такие как примитивы PM S 1 VS 2 [включающее ИЛИ] и ~ S (отрицание), каждый вынужден определять аксиомы в терминах этих примитивных понятий. Пост подробно демонстрирует в PM и определяет (как это делают Нагель и Ньюман, см. Ниже), что свойство тавтологичности - еще предстоит определить - «наследуется»: если начать с набора тавтологичных аксиом (постулатов ) и система дедукции , содержащая замещение и modus ponens , то последовательная система будет давать только тавтологические формулы.
Что касается определения тавтологичности , Нагель и Ньюман создают два взаимоисключающих и исчерпывающих класса K 1 и K 2 , в которые попадают (результат) аксиомы, когда их переменные (например, S 1 и S 2 присваиваются из этих классов ). Это также относится к примитивным формулам. Например: «Формула, имеющая форму S 1 VS 2 , помещается в класс K 2 , если и S 1, и S 2 находятся в K 2 ; в противном случае она помещается в K 1 », и «Формула, имеющая форму ~ S помещается в K 2 , если S находится в K 1 ; в противном случае он помещается в K 1 ". [12]
Следовательно, Нагель и Ньюман теперь могут определить понятие тавтологичности : «формула является тавтологией тогда и только тогда, когда она попадает в класс K 1 , независимо от того, в какой из двух классов помещены ее элементы». [13] Таким образом описывается свойство «быть тавтологичным» - без ссылки на модель или интерпретацию.
Например, имея такую формулу, как ~ S 1 VS 2, и присвоение K 1 S 1 и K 2 S 2, можно оценить формулу и поместить ее результат в один или другой из классов. Присвоение K 1 к S 1 помещает ~ S 1 в K 2 , и теперь мы видим, что наше присвоение приводит к тому, что формула попадает в класс K 2 . Таким образом, по определению наша формула не является тавтологией.
Пост заметил, что, если бы система была непоследовательной, дедукция в ней (то есть последняя формула в последовательности формул, полученных из тавтологий) могла бы в конечном итоге дать S саму. Поскольку присвоение переменной S может происходить либо из класса K 1, либо из класса K 2 , вывод нарушает характеристику наследования тавтологии (т. Е. Вывод должен давать оценку формулы, которая попадет в класс K 1 ). Из этого Пост смог вывести следующее определение непоследовательности - без использования понятия противоречия :
Определение. Система будет называться несовместимой, если она дает утверждение неизмененной переменной p [S в примерах Ньюмана и Нагеля].
Другими словами, при построении доказательства непротиворечивости можно отказаться от понятия «противоречие»; заменяет его понятие «взаимоисключающие и исчерпывающие» классы. Аксиоматическая система не обязательно должна включать понятие «противоречие». [ необходима цитата ]
Философия
Сторонники эпистемологической теории когерентизма обычно заявляют, что в качестве необходимого условия обоснования убеждения , это убеждение должно составлять часть логически непротиворечивой системы убеждений. Некоторые диалетеисты , в том числе Грэм Прист , утверждали, что согласованность не требует согласованности. [14]
Прагматические противоречия
Прагматическое противоречие возникает, когда само утверждение аргумента противоречит заявленным в нем утверждениям. В этом случае возникает несоответствие, потому что акт высказывания, а не содержание сказанного, подрывает его заключение. [15]
Диалектический материализм
В диалектическом материализме : «Противоречие», происходящее из гегельянства, обычно относится к оппозиции, изначально существующей в пределах одной области, одной объединенной силы или объекта. Это противоречие, в отличие от метафизического мышления, не является объективно невозможным, потому что эти противоречащие силы существуют в объективной реальности, не отменяя друг друга, но фактически определяя существование друг друга. Согласно теории марксизма, такое противоречие можно найти, например, в том, что:
- (а) огромное богатство и производительные силы сосуществуют вместе с:
- (б) крайняя нищета и нищета;
- (c) существование (a) противоречит существованию (b).
Гегелевская и марксистская теория гласит, что диалектическая природа истории приведет к снятию или синтезу ее противоречий. Поэтому Маркс постулировал, что история логически заставит капитализм эволюционировать в социалистическое общество, в котором средства производства будут одинаково служить эксплуатируемому и страдающему классу общества, тем самым разрешив предшествующее противоречие между (а) и (б). [16]
Философское эссе Мао Цзэдуна « О противоречии» (1937) развило тезисы Маркса и Ленина и предположило, что все существование является результатом противоречия. [17]
За пределами формальной логики
Разговорное использование может обозначать действия или утверждения как противоречащие друг другу, когда они обусловлены (или воспринимаются как должные) предпосылками , противоречащими в логическом смысле.
Доказательство от противного используется в математике для построения доказательств .
В научном методе использует противоречие фальсифицировать плохую теорию.
Смотрите также
- Клиника аргументов - набросок Монти Пайтона, набросок Монти Пайтона, в котором один из двух спорящих постоянно использует только противоречия в своих аргументах.
- Автоантоним - слово, имеющее два противоположных значения.
- Противоположное (логика)
- Диалетеизм - точка зрения, что существуют утверждения, которые являются как истинными, так и ложными.
- Двойной стандарт - непоследовательное применение принципов
- Двойное мышление - одновременное принятие двух противоречащих друг другу убеждений как правильных.
- Иерархия несогласия Грэма
- Ирония - риторический прием, литературная техника или ситуация, в которой существует несоответствие между буквальным и подразумеваемым значением.
- Закон непротиворечивости
- О противоречии - Маоистское эссе 1937 года Мао Цзэдуна
- Оксюморон - фигура речи, которая влечет за собой мнимое противоречие, чтобы проиллюстрировать риторическую мысль или раскрыть парадокс
- Паранепротиворечивая логика
- Парадокс - утверждение, которое явно противоречит самому себе
- Тавтология - логическая формула, верная во всех возможных интерпретациях.
- ТРИЗ
Примечания и ссылки
- ↑ Хорн, Лоуренс Р. (2018), «Противоречие» , в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2018), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , получено 10 декабря 2019 г.
- ^ а б «Исчерпывающий список логических символов» . Математическое хранилище . 2020-04-06 . Проверено 14 августа 2020 .
- ^ «Противоречие (логика)» . TheFreeDictionary.com . Проверено 14 августа 2020 .
- ^ «Тавтологии, противоречия и случайности» . www.skillfulreasoning.com . Проверено 14 августа 2020 .
- ↑ Диалог Евтидема из «Диалогов Платона», переведенный Бенджамином Джоуэттом, появляющийся в: BK 7 Платон : Роберт Мейнард Хатчинс , главный редактор, 1952, Великие книги западного мира , Encyclopædia Britannica , Inc., Чикаго .
- ^ «Ex falso quodlibet - Oxford Reference» . www.oxfordreference.com . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - доказательство от противного" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ Динер и Маартен МакКубре-Джорденс, 2020. Классификация материальных последствий по минимальной логике . Архив математической логики 59 (7-8): 905-924.
- ^ Пакин, Скотт (19 января 2017 г.). «Полный список символов LATEX» (PDF) . ctan.mirror.rafal.ca . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ Сообщение 1921 «Введение в общую теорию элементарных предложений» в van Heijenoort 1967: 272.
- ^ жирный курсив добавлен, Nagel and Newman: 109-110.
- ^ Нагель и Ньюман: 110-111
- ↑ Нагель и Ньюман: 111
- ^ В противоречии: исследование трансконсистентного Грэма Приста
- ^ Столяр, Даниэль (2006). Невежество и воображение . Oxford University Press - США, стр. 87. ISBN 0-19-530658-9.
- ^ Соренсен - МК (2006). «КАПИТАЛ И ТРУД: МОЖНО ЛИ РАЗРЕШИТЬ КОНФЛИКТ?» . Дата обращения 28 мая 2017 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ «НА ПРОТИВОРЕЧИЕ» . www.marxists.org .
Библиография
- Юзеф Мария Бохенский, 1960 Тезисы математической логики , переведенные с французского и немецкого изданий Отто Бердом, Д. Рейделем, Дордрехт, Южная Голландия.
- Жан ван Хейенорт 1967 От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике 1879-1931 , Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-674-32449-8 ( PBK .)
- Эрнест Нагель и Джеймс Р. Ньюман Доказательство Гёделя 1958 года , New York University Press, номер карты: 58-5610.
Внешние ссылки
- «Противоречие (непоследовательность)» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- "Противоречие, закон" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Хорн, Лоуренс Р. «Противоречие» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .