В квантовой механике , Бра и кет, или Дирака обозначения , повсеместно. В обозначениях используются угловые скобки : "" и "" и вертикальная черта "» , чтобы построить« бюстгальтеры » / b r ɑː / и« кеты » / k ɛ t / .
А кет выглядит как "". Математически это обозначает вектор ,, в абстрактном (сложном) векторном пространстве , и физически представляет собой состояние некоторой квантовой системы.
А бюстгальтер выглядит как "", а математически это означает линейную форму , то есть линейная карта, которая отображает каждый вектор в к числу в комплексной плоскости . Пусть линейный функционал действовать по вектору записывается как .
Предположим на существует внутренний продукт с антилинейным первым аргументом, что делаетгильбертово пространство . Затем с этим внутренним произведением каждый вектор можно отождествить с соответствующей линейной формой, поместив вектор в антилинейный первый слот внутреннего продукта: . Тогда соответствие между этими обозначениями будет. Линейная формаявляется ковекторным к, а множество всех ковекторов образуют подпространство двойственного векторного пространства , в исходное векторное пространство . Назначение этой линейной формы теперь можно понять с точки зрения прогнозирования состояния , чтобы узнать, насколько линейно зависимы два состояния и т. д.
Для векторного пространства , кеты можно идентифицировать с векторами-столбцами, а бюстгальтеры - с векторами-строками. Комбинации бюстгальтеров, кетов и операторов интерпретируются с помощью матричного умножения . Если имеет стандартный эрмитский внутренний продукт , в соответствии с этой идентификацией, идентификация кетов и бюстгальтеров и наоборот, обеспечиваемая внутренним продуктом, принимает эрмитово сопряжение (обозначенное).
Обычно векторную или линейную форму из обозначения бюстгальтера удаляют и используют только метку внутри типографики для бюстгальтера или кетчика. Например, оператор спина на двумерном пространстве из спиноров , имеют собственные значения½ с собственными спинорами . В обозначениях бра-кета это обычно обозначают как, а также . Как и выше, кеты и бюстгальтеры с одной и той же этикеткой интерпретируются как кеты и бюстгальтеры, соответствующие друг другу с использованием внутреннего продукта. В частности, когда они также идентифицированы векторами-строками и столбцами, кеты и бюстгальтеры с той же меткой идентифицируются с эрмитово сопряженными векторами столбцов и строк.
Обозначение Брэке было эффективно установлено в 1939 г. Полем Дираком [1] [2] и, таким образом, также известно как обозначение Дирака. (Тем не менее, у обозначения бюстгальтера есть предшественник в том, что Герман Грассманн использовал обозначениедля его внутренних продуктов почти 100 лет назад. [3] [4] )
Вступление
Обозначение Брэ – Кет - это обозначение линейной алгебры и линейных операторов в комплексных векторных пространствах вместе с их сопряженным пространством как в конечномерном, так и в бесконечномерном случае. Он специально разработан, чтобы упростить типы вычислений, которые часто возникают в квантовой механике . Его использование в квантовой механике довольно широко. Многие явления, которые объясняются с помощью квантовой механики, объясняются с помощью скобок.
Векторные пространства
Векторы против кетов
В математике термин «вектор» используется для элемента любого векторного пространства. В физике, однако, термин «вектор» гораздо более конкретен: «вектор» относится почти исключительно к таким величинам, как смещение или скорость , которые имеют компоненты, которые относятся непосредственно к трем измерениям пространства или, в релятивистском смысле, к четырем измерениям пространства-времени. . Такие векторы обычно обозначаются знаком над стрелками (), жирный () или индексы ().
В квантовой механике квантовое состояние обычно представляется как элемент сложного гильбертова пространства, например, бесконечномерное векторное пространство всех возможных волновых функций (интегрируемые с квадратом функции, отображающие каждую точку трехмерного пространства в комплексное число) или что-то еще. абстрактное гильбертово пространство, построенное более алгебраически. Поскольку термин «вектор» уже используется для чего-то еще (см. Предыдущий абзац), а физики склонны предпочитать обычные обозначения указанию того, каким пространством что-то является элементом, обычно и полезно обозначать элемент абстрактных сложных векторных пространств как кет используя вертикальные полосы и угловые скобки, и назовите их «кетами», а не векторами, и произносите «кет-"Или "кет-А" для | A ⟩ .
Символы, буквы, числа или даже слова - все, что служит удобной этикеткой, - можно использовать в качестве этикетки внутри кета, с ясно, что метка указывает вектор в векторном пространстве. Другими словами, символ « | ⟩ » имеет специфический и универсальный математический смысл, в то время как только « » само по себе не делает. Например, | 1⟩ + | 2⟩ не обязательно равно | 3⟩ . Тем не менее, для удобства, обычно за метками внутри кетов скрывается какая-то логическая схема, такая как обычная практика маркировки собственных энергетических сетей в квантовой механике посредством перечисления их квантовых чисел . В самом простом случае метка внутри кет-кода является собственным значением физического оператора, например, , , так далее.
Обозначение бюстгальтера
Поскольку кеты - это просто векторы в эрмитовом векторном пространстве, ими можно манипулировать, используя обычные правила линейной алгебры, например:
Обратите внимание, как последняя строка выше включает бесконечно много разных кетов, по одному на каждое действительное число x .
Поскольку кет является элементом векторного пространства, бюстгальтер является элементом его двойственного пространства , то есть бюстгальтер - это линейный функционал, который представляет собой линейное отображение из векторного пространства в комплексные числа. Таким образом, полезно рассматривать кеты и бюстгальтеры как элементы разных векторных пространств (однако см. Ниже), причем оба являются разными полезными концепциями.
Бюстгальтер и кет (т.е. функционал и вектор), могут быть объединены в оператор первого ранга с внешним продуктом
Внутреннее произведение и идентификация бра-кета в гильбертовом пространстве
Обозначение бюстгальтера особенно полезно в гильбертовых пространствах, которые имеют внутреннее произведение [5], которое позволяет эрмитово сопряжение и отождествлять вектор с линейным функционалом, то есть кет с бюстгальтером, и наоборот (см. Теорему о представлении Рисса ). Скалярное произведение на гильбертовом пространстве (с первым аргументом антилинейным, как предпочитают физики) полностью эквивалентно (антилинейной) идентификации между пространством кетов и пространством бюстгальтеров в обозначении скобок: для вектора кет определить функциональный (например, бюстгальтер) от
Бюстгальтеры и кеты как векторы-строки и столбцы
В простом случае, когда мы рассматриваем векторное пространство , кет может быть идентифицирован с вектором-столбцом , а бюстгальтер - с вектором-строкой . Если к тому же мы используем стандартный эрмитов внутренний продукт на, Бюстгальтер , соответствующий кет, в частности лифчика ⟨ м | и кет | м ⟩ с одной и теми же этикетками являются сопряженным транспонированием . Более того, соглашения установлены таким образом, что написание бюстгальтеров, кетов и линейных операторов рядом друг с другом просто подразумевает матричное умножение . [6] В частности, внешний продукт столбца и вектора-строки ket и bra можно идентифицировать с помощью умножения матриц (вектор-столбец умножается на вектор-строку, равняется матрице).
Для конечномерного векторного пространства, используя фиксированный ортонормированный базис , внутреннее произведение может быть записано как матричное умножение вектора-строки на вектор-столбец:
Исходя из этого, бюстгальтеры и кеты можно определить как:
а потом понятно, что бюстгальтер рядом с кет подразумевает матричное умножение .
Сопряженное транспонирование (также называемое эрмитово сопряженным ) бюстгальтера является соответствующими кетами , и наоборот:
потому что если начать с бюстгальтера
затем выполняет комплексное сопряжение , а затем транспонирует матрицу , в итоге получается кет
Запись элементов конечномерного (или mutatis mutandis счетно бесконечного) векторного пространства в виде вектора-столбца чисел требует выбора основы . Выбор основы не всегда полезно , потому что квантовая механика вычисления включают часто переключение между различными основаниями (например , положением основой, импульсом, энергией основой базисом), и можно написать что - то вроде « | м ⟩ » без привязки к какой - либо конкретной основе. В ситуациях с участием двух различных важных базисных векторов, базисные векторы могут быть приняты в обозначениях явно и здесь будет называться просто « | - ⟩ » и « | + ⟩ ».
Ненормализуемые состояния и негильбертовы пространства
Обозначения Брэке можно использовать, даже если векторное пространство не является гильбертовым пространством .
В квантовой механике принято записывать кеты с бесконечной нормой , то есть ненормируемые волновые функции . Примеры включают состояния, волновые функции которых являются дельта-функциями Дирака или бесконечными плоскими волнами . Технически они не принадлежат самому гильбертову пространству . Однако определение «гильбертова пространства» может быть расширено, чтобы учесть эти состояния (см. Конструкцию Гельфанда – Наймарка – Сигала или оснащенные гильбертовы пространства ). Обозначение бюстгальтера продолжает работать аналогичным образом в этом более широком контексте.
Банаховы пространства - это другое обобщение гильбертовых пространств. В банаховом пространстве B векторы могут быть обозначены кетами, а непрерывные линейные функционалы - бюстгальтерами. В любом векторном пространстве без топологии мы также можем обозначить векторы kets и линейные функционалы bras. В этих более общих контекстах скобка не имеет значения внутреннего продукта, потому что теорема о представлении Рисса не применяется.
Использование в квантовой механике
Математическая структура квантовой механики в значительной степени основана на линейной алгебре :
- Волновые функции и другие квантовые состояния могут быть представлены как векторы в комплексном гильбертовом пространстве . (Точная структура этого гильбертова пространства зависит от ситуации.) В обозначениях бра-кета, например, электрон может находиться в «состоянии» | г | ⟩ . (Технически, квантовые состояния лучей векторов в гильбертовом пространстве, а с | г | ⟩ соответствует одному и тому же состояние для любого ненулевого комплексного числа с .)
- Квантовые суперпозиции можно описать как векторные суммы составляющих состояний. Например, электрон в состоянии | 1⟩ + i | 2⟩ находится в квантовой суперпозиции состояний | 1⟩ и | 2⟩ .
- Измерения связаны с линейными операторами (называемыми наблюдаемыми ) в гильбертовом пространстве квантовых состояний.
- Динамика также описывается линейными операторами в гильбертовом пространстве. Например, в картине Шредингера есть линейный оператор эволюции во времени U, обладающий тем свойством, что если электрон находится в состоянии | г | ⟩ прямо сейчас, в более позднее время он будет находиться в состоянии U | г | ⟩ , то же U для всех возможных | г | ⟩ .
- Нормализация волновой функции - это масштабирование волновой функции так, чтобы ее норма была равна 1.
Поскольку практически каждое вычисление в квантовой механике включает в себя векторы и линейные операторы, оно может включать и часто включает в себя брэкет-нотацию. Вот несколько примеров:
Бесспиновая волновая функция положения и пространства
Гильбертово пространство точечной частицы со спином -0 натянуто на «позиционный базис » { | г ⟩ } , где метка г распространяется на множество всех точек в пространстве позиций . Эта метка является собственным значением оператора положения, действующего в таком базисном состоянии,. Поскольку в базисе есть несчетное бесконечное число компонент вектора, это бесчисленное бесконечномерное гильбертово пространство. Размеры гильбертова пространства (обычно бесконечного) и позиционного пространства (обычно 1, 2 или 3) не следует объединять.
Начиная с любого ket | Ψ⟩ в этом гильбертовом пространстве, можно определить комплексную скалярную функцию от r , известную как волновая функция ,
В левой части Ψ ( r ) - функция, отображающая любую точку в пространстве в комплексное число; в правой части | Ψ⟩ = ∫ d 3 r Ψ ( r ) | г ⟩ является кетами , состоящими из суперпозиции кетова с относительными коэффициентами , определенных этой функцией.
В таком случае принято определять линейные операторы, действующие на волновые функции, в терминах линейных операторов, действующих на кеты, как
Например, оператор импульса имеет следующее координатное представление,
Иногда даже встречается такое выражение, как
хотя это что-то вроде злоупотребления обозначениями . Дифференциальный оператор следует понимать как абстрактный оператор, действующий на кеты, который имеет эффект дифференцирования волновых функций после того, как выражение проецируется на базис положения,хотя в импульсном базисе этот оператор представляет собой простой оператор умножения (на iħ p ). То есть, чтобы сказать,
или же
Перекрытие состояний
В квантовой механике выражение ⟨ ф | г | ⟩ , как правило , интерпретируется как амплитуда вероятности для состояния ф к коллапсу в государственный ф . Математически это означает коэффициент проекции ψ на φ . Он также описывается как проекция состояния ψ на состояние φ .
Изменение основы для частицы со спином 1/2
Стационарная частица со спином 1/2 имеет двумерное гильбертово пространство. Один ортонормированный базис :
где | ↑ г ⟩ это состояние с определенным значением спина оператора S г , равные + ½ и | ↓ г ⟩ это состояние с определенным значением оператора спина S г , равных -½.
Поскольку они являются основой , любое квантовое состояние частицы может быть выражено как линейная комбинация (т. Е. Квантовая суперпозиция ) этих двух состояний:
где a ψ и b ψ - комплексные числа.
Другая основа для того же гильбертова пространства:
определяется в терминах S x, а не S z .
Опять же, любое состояние частицы можно выразить как линейную комбинацию этих двух:
В векторной форме вы можете написать
в зависимости от того, какую основу вы используете. Другими словами, «координаты» вектора зависят от используемого базиса.
Между , , а также ; см. изменение базы .
Подводные камни и неоднозначное использование
Существуют некоторые условные обозначения и способы использования обозначений, которые могут сбивать с толку или двусмысленно для непосвященного или раннего ученика.
Разделение внутреннего продукта и векторов
Причина путаницы заключается в том, что эта нотация не отделяет операцию внутреннего продукта от нотации вектора (бюстгальтера). Если бюстгальтер-вектор (двойное пространство) построен как линейная комбинация других бра-векторов (например, при его выражении в некотором базисе), запись создает некоторую двусмысленность и скрывает математические детали. Мы можем сравнить обозначение бра-кета с использованием полужирного шрифта для векторов, таких как, а также для внутреннего продукта. Рассмотрим следующий двойственный пространственный бра-вектор в базисе:
Должно быть определено условно, если комплексные числа находятся внутри или вне внутреннего продукта, и каждое соглашение дает разные результаты.
Повторное использование символов
Обычно для меток и констант используется один и тот же символ . Например,, где символ используется одновременно как имя оператора , его собственный вектор и соответствующее собственное значение . Иногда шляпу также опускают для операторов, и можно увидеть такие обозначения, как[7]
Эрмитово сопряжение кетов
Обычно можно увидеть использование , где кинжал () соответствует эрмитово сопряженному . Однако с технической точки зрения это неверно, так как ket,, представляет вектор в комплексном гильбертовом пространстве, и бюстгальтер, , - линейный функционал от векторов из. Другими словами, это просто вектор, а представляет собой комбинацию вектора и внутреннего продукта.
Операции внутри бюстгальтеров и кетов
Это сделано для быстрой записи векторов масштабирования. Например, если вектор масштабируется , это может быть обозначено . Это может быть неоднозначным, посколькуэто просто метка состояния, а не математический объект, над которым могут выполняться операции. Это использование более распространено при обозначении векторов как тензорных произведений, когда часть меток перемещается за пределы разработанного слота, например.
Линейные операторы
Линейные операторы, действующие на кетов
Линейный оператор представляет собой карту , которая вводит кета и выводит кета. (Чтобы называться «линейным», необходимы определенные свойства .) Другими словами, если является линейным оператором и является кет-вектором, то - еще один кет-вектор.
В -мерное гильбертово пространство, мы можем наложить базис на пространство и представить по его координатам как вектор-столбец . Используя ту же основу для, он представлен комплексная матрица. Кет-вектортеперь можно вычислить умножением матриц .
Линейные операторы широко используются в теории квантовой механики. Например, наблюдаемые физические величины представлены самосопряженными операторами , такими как энергия или импульс , тогда как преобразующие процессы представлены унитарными линейными операторами, такими как вращение или прогрессия времени.
Линейные операторы, действующие на бюстгальтеры
Операторы также могут рассматриваться как действующие на бюстгальтеры с правой стороны . В частности, если линейный оператор и ⟨ ф | это бюстгальтер, то ⟨ ф | А - еще один бюстгальтер, определяемый правилом
(другими словами, композиция функций ). Это выражение обычно записывается как (ср. Внутренний продукт энергии )
В одном из N - мерном гильбертовом пространстве, ⟨ ф | может быть записан как вектор-строка 1 × N , а A (как и в предыдущем разделе) является матрицей N × N. Тогда бюстгальтер ⟨ ф | A можно вычислить обычным умножением матриц .
Если один и тот же вектор состояния появляется как на бюстгальтере, так и на кет-стороне,
то это выражение дает математическое ожидание или среднее или среднее значение наблюдаемой, представленной оператором A для физической системы в состоянии | г | ⟩ .
Внешние продукты
Удобный способ для определения линейных операторов в гильбертовом пространстве Н дается внешним произведением : если ⟨ ф | бюстгальтер и | г | ⟩ является кет, внешний продукт
обозначает оператор ранга один с правилом
- .
Для конечномерного векторного пространства внешний продукт можно понимать как простое матричное умножение:
Внешний продукт представляет собой матрицу N × N , как и ожидалось для линейного оператора.
Одно из применений внешнего продукта - создание операторов проекции . Учитывая кет | г | ⟩ нормы 1, ортогональная проекция на подпространство , натянутое на | г | ⟩ есть
Это идемпотент в алгебре наблюдаемых, действующий в гильбертовом пространстве.
Эрмитов сопряженный оператор
Так же , как кеты и бюстгальтеры могут быть преобразованы друг в друг (изготовление | ф ⟩ в ⟨ ф | ), элемент из сопряженного пространства , соответствующий A | г | ⟩ есть ⟨ г | | † , где † обозначает эрмиты конъюгат (или сопряженный) оператор А . Другими словами,
Если A выражается в виде матрицы размера N × N , то A † является ее сопряженной транспонированной матрицей .
Самосопряженные операторы, где A = A † , играют важную роль в квантовой механике; например, наблюдаемое всегда описывается самосопряженным оператором. Если является самосопряженным оператором, то ⟨ г | | А | г | ⟩ всегда вещественное число (не сложно). Это означает, что ожидаемые значения наблюдаемых реальны.
Характеристики
Нотация Брэке была разработана для облегчения формального манипулирования линейно-алгебраическими выражениями. Некоторые из свойств, которые позволяют эту манипуляцию, перечислены здесь. В дальнейшем, с 1 и гр 2 обозначают произвольные комплексные числа , с * обозначает комплексное сопряжение из C , и B обозначают произвольные линейные операторы, и эти свойства провести при любом выборе бюстгальтеров и кетов.
Линейность
- Поскольку бюстгальтеры являются линейными функционалами,
- По определению сложения и умножения линейных функционалов в сопряженном пространстве , [8]
Ассоциативность
Для любого выражения, содержащего комплексные числа, бюстгальтеры, кеты, внутренние продукты, внешние продукты и / или линейные операторы (но не сложения), записанные в форме скобок, группировки в скобках не имеют значения (т. Е. Сохраняется свойство ассоциативности ). Например:
и так далее. Выражения справа (без скобок) могут быть записаны однозначно из- за равенства слева. Обратите внимание, что свойство ассоциативности не выполняется для выражений, которые включают нелинейные операторы, такие как антилинейный оператор обращения времени в физике.
Эрмитово спряжение
Обозначение Брэ-Кет позволяет особенно легко вычислить эрмитово сопряженное выражение (также называемое кинжалом и обозначаемое † ). Формальные правила таковы:
- Эрмитово сопряжение бюстгальтера - это соответствующий кет, и наоборот.
- Эрмитово сопряжение комплексного числа является его комплексно сопряженным.
- Эрмитово сопряжение эрмитово сопряженного чего-либо (линейных операторов, бюстгальтеров, кетов, чисел) есть само, т. Е.
- Для любой комбинации комплексных чисел, бюстгальтеров, кетов, внутренних произведений, внешних произведений и / или линейных операторов, записанных в обозначениях бра-кет, его эрмитово сопряжение можно вычислить, изменив порядок компонентов и взяв эрмитово сопряжение каждый.
Этих правил достаточно, чтобы формально написать эрмитово сопряжение любого такого выражения; вот некоторые примеры:
- Кеты:
- Внутренние продукты:
- Обратите внимание , что ⟨ ф | г | ⟩ является скаляром, так эрмитово сопряженная только комплексно сопряженное, т.е.
- Матричные элементы:
- Внешние продукты:
Композитные бюстгальтеры и кеты
Два гильбертовая V и W могут образовать третье пространство V ⊗ W с помощью тензорного произведения . В квантовой механике это используется для описания составных систем. Если система состоит из двух подсистем, описанных в V и W соответственно, то гильбертово пространство всей системы является тензорным произведением этих двух пространств. (Исключение составляют случаи, когда подсистемы на самом деле являются идентичными частицами . В этом случае ситуация немного сложнее.)
Если | г | ⟩ является кет в V и | ф ⟩ является кет в W , прямое произведение двух кетов является кет в V ⊗ W . Об этом написано в различных обозначениях:
См. Квантовую запутанность и парадокс ЭПР для приложений этого продукта.
Единичный оператор
Рассмотрим полную ортонормированную систему ( базис ),
для гильбертова пространства H относительно нормы из скалярного произведения ⟨·, · .
Из базового функционального анализа известно, что любой кет также можно записать как
с ⟨· | ·⟩ - скалярным произведением в гильбертовом пространстве.
Из коммутативности кетов с (комплексными) скалярами следует, что
должен быть оператором идентичности , который отправляет каждый вектор самому себе.
Таким образом, это может быть вставлено в любое выражение, не влияя на его значение; Например
где в последней строке используется соглашение Эйнштейна о суммировании , чтобы избежать беспорядка.
В квантовой механике , часто случается так, что мало или нет информации о внутреннем продукте ⟨ г | | ф ⟩ два произвольных (государственный) кетов присутствует, в то время как еще можно сказать о коэффициентах разложения ⟨ ф | е я ⟩ = ⟨ е я | г | ⟩ * и ⟨ е я | ф ⟩ из этих векторов по отношению к конкретному (ортонормированной) основе. В этом случае особенно полезно вставить оператор установки в кронштейн один или несколько раз.
Для получения дополнительной информации см. Разрешение удостоверения ,
- 1 = ∫ d x | х ⟩ ⟨ х | = ∫ d p | р ⟩ ⟨ р | , где
- | р ⟩ = ∫ д х е IXP / ħ | х ⟩ / √ 2 πħ .
Поскольку ⟨ х '| х ⟩ = δ ( х - х ') , плоские волны следуют,
- ⟨ Х | р ⟩ = е IXP / ħ / √ 2 πħ .
В своей книге (1958) гл. III.20, Дирак определяет стандартный кет, который с точностью до нормализации является трансляционно-инвариантным собственным состоянием импульса. в импульсном представлении, т. е. . Следовательно, соответствующая волновая функция является постоянной,, а также
- , также как и .
Обычно, когда все матричные элементы оператора, например
доступны, это разрешение служит для восстановления полного оператора,
Обозначения, используемые математиками
Объектом, который физики рассматривают при использовании обозначений на скобках, является гильбертово пространство ( полное внутреннее пространство продукта ).
Пусть H гильбертово пространство и ч ∈ H вектор в Н . Что физики обозначили бы через | ч ⟩ является сам вектор. Это,
- .
Пусть H * быть сопряженное из H . Это пространство линейных функционалов на Н . Изоморфизм Φ: H → H * определяется формулой Φ ( h ) = φ h , где для каждого g ∈ H определим
- ,
где IP (·, ·) , (·, ·) , ⟨·, ·⟩ и ⟨· | ·⟩ - разные обозначения для выражения внутреннего произведения между двумя элементами в гильбертовом пространстве (или для первых трех, в любом внутреннем пространство продукта). Notational путаница возникает при определении ф ч и г с ⟨ ч | и | г ⟩ соответственно. Это из-за буквальных символических замен. Пусть ф ч = H = ⟨ ч | и пусть g = G = | г ⟩ . Это дает
Круглые скобки игнорируются, а двойные черты удаляются. Некоторые свойства этого обозначения удобны, поскольку мы имеем дело с линейными операторами, а композиция действует как умножение колец .
Более того, математики обычно пишут двойственную сущность не на первом месте, как это делают физики, а на втором, и они обычно используют не звездочку, а черточку (которую физики оставляют для средних значений и сопряженного спинора Дирака ) для обозначения комплексно-сопряженные числа; т.е. для скалярных произведений математики обычно пишут
тогда как физики писали бы для того же количества
Смотрите также
- Диаграммы углового момента (квантовая механика)
- n -щелевое интерферометрическое уравнение
- Квантовое состояние
- Внутренний продукт
Заметки
- ^ Дирак 1939
- ↑ Шанкар 1994 , Глава 1
- ↑ Грассман, 1862 г.
- ^ Лекция 2 | Квантовые запутывания, часть 1 (Стэнфорд) , Леонард Сасскинд о комплексных числах, комплексно сопряженных, бюстгальтер, кет. 2006-10-02.
- ^ Лекция 2 | Квантовые запутывания, часть 1 (Стэнфорд) , Леонард Сасскинд о внутреннем продукте, 2006-10-02.
- ^ Гидни, Крейг (2017). Обозначение Бра – Кета упрощает умножение матриц
- ↑ Сакурай, Джун Джон (21 сентября 2017 г.). Современная квантовая механика (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-42241-3.
- ^ Лекция отмечает Роберт Littlejohn , уравнения 12 и 13
Рекомендации
- Дирак, РАМ (1939). «Новые обозначения для квантовой механики». Математические труды Кембриджского философского общества . 35 (3): 416–418. Bibcode : 1939PCPS ... 35..416D . DOI : 10.1017 / S0305004100021162 .. См. Также его стандартный текст, Принципы квантовой механики , IV издание, Clarendon Press (1958), ISBN 978-0198520115
- Грассманн, Х. (1862). Теория расширений . История источников математики. 2000 перевод Ллойда К. Канненберга. Американское математическое общество, Лондонское математическое общество.
- Кахори, Флориан (1929). История математических обозначений Том II . Издательство Open Court . п. 134 . ISBN 978-0-486-67766-8.
- Шанкар Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). ISBN 0-306-44790-8.
- Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Пески, Мэтью (1965). Лекции Фейнмана по физике . III . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02118-8.
Внешние ссылки
- Ричард Фицпатрик, «Квантовая механика: курс для выпускников» , Техасский университет в Остине. Включает:
- 1. Кетское пространство
- 2. Пространство для бюстгальтера.
- 3. Операторы
- 4. Внешний продукт
- 5. Собственные значения и собственные векторы.
- Роберт Литтлджон, Конспекты лекций «Математический формализм квантовой механики», включая обозначения на скобках. Калифорнийский университет в Беркли.
- Gieres, F. (2000). «Математические сюрпризы и формализм Дирака в квантовой механике». Rep. Prog. Phys . 63 (12): 1893–1931. arXiv : квант-ph / 9907069 . Bibcode : 2000RPPh ... 63.1893G . DOI : 10.1088 / 0034-4885 / 63/12/201 . S2CID 10854218 .