Теорема Карно (термодинамика)

Термодинамика
Классический тепловой двигатель Карно
ветви Классический Статистическая Химическая Квантовая термодинамика Равновесие  / Неравновесие
Законы Zeroth Первый Второй В третьих
Системы Закрытая система Изолированная система Состояние Уравнение состояния Идеальный газ Настоящий газ Состояние вопроса Фаза (материя) Равновесие Контрольный объем Инструменты Процессы Изобарический Изохорический Изотермический Адиабатический Изэнтропический Изентальпический Квазистатический Политропный Бесплатное расширение Обратимость Необратимость Необратимость Циклы Тепловые двигатели Тепловые насосы Тепловая эффективность
Свойства системы Примечание: Сопряженные переменные в курсивом Диаграммы свойств Интенсивные и обширные свойства Функции процесса Работа Нагревать Функции государства Температура  / энтропия  ( введение ) Давление  / Объем Химический потенциал  / число частиц Качество пара Сниженные свойства
Свойства материала Базы данных недвижимости Удельная теплоемкость  ${\ displaystyle c =}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ partial S}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ partial T}$ Сжимаемость  ${\ displaystyle \ beta = -}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ partial V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ partial p}$ Термическое расширение  ${\ Displaystyle \ альфа =}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ partial V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ partial T}$
Уравнения Теорема Карно Теорема Клаузиуса Фундаментальное отношение Закон идеального газа Максвелл отношения Онсагер взаимные отношения Уравнения Бриджмена Таблица термодинамических уравнений
Возможности Свободная энергия Свободная энтропия Внутренняя энергия ${\ Displaystyle U (S, V)}$ Энтальпия ${\ Displaystyle H (S, p) = U + pV}$ Свободная энергия Гельмгольца ${\ Displaystyle А (Т, В) = U-TS}$ Свободная энергия Гиббса ${\ Displaystyle G (T, p) = H-TS}$
История Культура История Общий Энтропия Газовые законы Машины "вечный двигатель" Философия Энтропия и время Энтропия и жизнь Броуновская трещотка Демон Максвелла Парадокс тепловой смерти Парадокс лошмидта Синергетика Теории Теория калорийности Vis viva («живая сила») Механический эквивалент тепла Сила мотивации Ключевые публикации " Экспериментальное исследование ... тепла " « О равновесии неоднородных веществ » « Размышления о движущей силе огня » Сроки Термодинамика Тепловые двигатели Изобразительное искусство Образование Термодинамическая поверхность Максвелла Энтропия как рассеивание энергии
Ученые Бернулли Больцман Карно Клапейрон Клаузиус Каратеодори Duhem Гиббс фон Гельмгольц Джоуль Максвелл фон Майер Онсагер Ренкин Смитон Шталь Томпсон Томсон ван дер Ваальс Waterston
Другой Зарождение Самостоятельная сборка Самоорганизация Порядок и беспорядок
Категория
v т е

Теорема Карно , разработанная в 1824 году Николя Леонардом Сади Карно , также называемая правилом Карно , представляет собой принцип, определяющий пределы максимальной эффективности , которую может получить любой тепловой двигатель . Эффективность двигателя Карно зависит исключительно от температуры горячего и холодного резервуаров.

Теорема Карно утверждает, что все тепловые двигатели между двумя тепловыми резервуарами менее эффективны, чем тепловая машина Карно, работающая между одними и теми же резервуарами. Каждый тепловой двигатель Карно между парой тепловых резервуаров одинаково эффективен, независимо от используемого рабочего вещества или деталей работы.

Максимальная эффективность - это отношение разницы температур между резервуарами и температуры горячего резервуара, выраженное в уравнении , где T _C и T _H - абсолютные температуры холодного и горячего резервуаров, соответственно, а эффективность - это отношение работы, проделанной двигателем, к теплу, отведенному из горячего резервуара.${\ displaystyle \ eta _ {\ text {max}} = 1 - {\ frac {T _ {\ mathrm {C}}} {T _ {\ mathrm {H}}}}}$${\ displaystyle \ eta}$

Теорема Карно является следствием второго начала термодинамики . Исторически он был основан на современной теории калорийности и предшествовал установлению второго закона. ^[1]

Доказательство [ править ]

Доказательство теоремы Карно - это доказательство от противоречия или reductio ad absurdum , как показано на рисунке, показывающем две тепловые машины, работающие между двумя резервуарами с разной температурой. Тепловой двигатель с большей эффективностью ( ) приводит в движение тепловой двигатель с меньшей эффективностью ( ), заставляя последний действовать как тепловой насос . Эта пара двигателей не получает внешней энергии и работает исключительно за счет энергии, выделяемой при передаче тепла из горячего в холодный резервуар. Однако если , то чистый тепловой поток будет направлен назад, то есть в горячий резервуар:${\ displaystyle \ eta _ {M}}$${\ displaystyle \ eta _ {L}}$${\ displaystyle \ eta _ {M}> \ eta _ {L}}$

${\ displaystyle Q _ {\ text {hot}} ^ {\ text {out}} = Q <{\ frac {\ eta _ {M}} {\ eta _ {L}}} Q = Q _ {\ text {hot }} ^ {\ text {in}}.}$

Принято считать, что это невозможно, потому что это нарушает второй закон термодинамики .

Начнем с проверки значений работы и теплового потока, изображенных на рисунке. Во-первых, мы должны указать на важное предостережение: двигатель с меньшей эффективностью ( ) работает как тепловой насос и, следовательно, должен быть реверсивным двигателем. ^{[ необходима цитата ]} Если менее эффективный двигатель ( ) не является обратимым, то устройство может быть построено, но выражения для работы и теплового потока, показанные на рисунке, будут недействительными.${\ displaystyle \ eta _ {L}}$${\ displaystyle \ eta _ {L}}$

Ограничивая наше обсуждение случаями, когда engine ( ) имеет меньшую эффективность, чем engine ( ), мы можем упростить обозначения, приняв соглашение, согласно которому все символы и представляют неотрицательные величины (поскольку направление потока энергии никогда не меняет знак случаи, когда ). Сохранение энергии требует, чтобы для каждого двигателя входящая энергия равнялась выходной энергии :${\ displaystyle \ eta _ {L}}$${\ displaystyle \ eta _ {M}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle W}$${\displaystyle \eta _{L}\leq \eta _{M}}$${\displaystyle E_{\text{in}}}$${\displaystyle E_{\text{out}}}$

${\displaystyle E_{\text{in}}^{M}=Q=(1-\eta _{M})Q+\eta _{M}Q=E_{\text{out}}^{M},}$

${\displaystyle E_{\text{in}}^{L}=\eta _{M}Q+\eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)={\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q=E_{\text{out}}^{L},}$

Эта цифра также согласуется с определением эффективности как для обоих двигателей:${\displaystyle \eta =W/Q_{h}}$

${\displaystyle \eta _{M}={\frac {W_{M}}{Q_{h}^{M}}}={\frac {\eta _{M}Q}{Q}}=\eta _{M},}$

${\displaystyle \eta _{L}={\frac {W_{L}}{Q_{h}^{L}}}={\frac {\eta _{M}Q}{{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}}=\eta _{L}.}$

Может показаться странным , что гипотетический тепловой насос с низкой эффективностью используются нарушать второй закон термодинамики, а показатель качества для холодильных агрегатов не эффективность, , но коэффициент полезного действия (КПД), ^[2] , который является . Реверсивный тепловой двигатель с низкой термодинамической эффективностью передает больше тепла горячему резервуару за определенный объем работы, когда он работает как тепловой насос.${\displaystyle W/Q_{h}}$${\displaystyle Q_{c}/W}$${\displaystyle W/Q_{h}}$

Установив правильность значений теплового потока, показанных на рисунке, теорема Карно может быть доказана для необратимых и обратимых тепловых двигателей. ^[3]

Реверсивные двигатели [ править ]

Чтобы увидеть , что каждый обратимым двигатель , работающий между резервуарами и должна иметь такую же эффективность, предположим , что два реверсивные тепловые двигатели имеют различные значения , и пусть более эффективный двигатель (М) привод менее эффективный двигатель (L) в качестве теплового насоса. Как показано на рисунке, это приведет к тому, что тепло будет течь от холодного к горячему резервуару без какой-либо внешней работы или энергии, что нарушает второй закон термодинамики. Следовательно, оба (реверсивных) тепловых двигателя имеют одинаковый КПД, и мы делаем вывод, что:${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle \eta }$

Все реверсивные двигатели, работающие между одними и теми же двумя тепловыми резервуарами, имеют одинаковую эффективность.

Это важный результат, поскольку он помогает установить теорему Клаузиуса , из которой следует, что изменение энтропии уникально для всех обратимых процессов: ^[4]

${\displaystyle \Delta S=\int _{a}^{b}{\frac {dQ_{\text{rev}}}{T}},}$

по всем путям (от a до b в пространстве VT ). Если бы этот интеграл не был независимым от пути, то энтропия S потеряла бы свой статус переменной состояния . ^[5]

Необратимые двигатели [ править ]

Если один из двигателей необратимый, это должен быть двигатель (M), расположенный так, чтобы он приводил в движение менее эффективный, но реверсивный (L) двигатель. Но если этот необратимый двигатель эффективнее реверсивного двигателя (т. Е. Если ), то нарушается второй закон термодинамики. А поскольку цикл Карно представляет собой обратимый двигатель, мы имеем первую часть теоремы Карно:${\displaystyle \eta _{M}>\eta _{L}}$

Нет необратимого двигателя более эффективного, чем двигатель Карно, работающий между теми же двумя резервуарами.

Определение термодинамической температуры [ править ]

КПД двигателя - это работа, разделенная на тепло, поступающее в систему или

${\displaystyle \eta ={\frac {w_{\text{cy}}}{q_{H}}}={\frac {q_{H}-q_{C}}{q_{H}}}=1-{\frac {q_{C}}{q_{H}}}}$

( 1 )

где w _cy - работа, выполненная за цикл. Таким образом, эффективность зависит только от д _С / д _Н .

Поскольку все реверсивные двигатели, работающие между одними и теми же тепловыми резервуарами, одинаково эффективны, все реверсивные тепловые двигатели, работающие между температурами T ₁ и T _2, должны иметь одинаковую эффективность, то есть эффективность зависит только от двух температур:

${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})}$

( 2 )

Кроме того, реверсивный тепловой двигатель, работающий между температурами T ₁ и T _3, должен иметь такой же КПД, как и двигатель, состоящий из двух циклов, один между T ₁ и другой (промежуточной) температурой T ₂ , а второй - между T ₂ и T ₃ . Это может быть только в том случае, если

${\displaystyle f(T_{1},T_{3})={\frac {q_{3}}{q_{1}}}={\frac {q_{2}q_{3}}{q_{1}q_{2}}}=f(T_{1},T_{2})f(T_{2},T_{3}).}$

В конкретном случае это фиксированная эталонная температура: температура тройной точки воды. Тогда для любого Т ₂ и Т ₃ ,${\displaystyle T_{1}}$

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {f(T_{1},T_{3})}{f(T_{1},T_{2})}}={\frac {273.16\cdot f(T_{1},T_{3})}{273.16\cdot f(T_{1},T_{2})}}.}$

Следовательно, если термодинамическая температура определяется как

${\displaystyle T=273.16\cdot f(T_{1},T)\,}$

тогда функция, рассматриваемая как функция термодинамической температуры, имеет вид

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {T_{3}}{T_{2}}},}$

а эталонная температура T ₁ имеет значение 273,16. (Конечно, можно использовать любую эталонную температуру и любое положительное числовое значение - выбор здесь соответствует шкале Кельвина .)

Отсюда сразу следует, что

${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})={\frac {T_{C}}{T_{H}}}}$

( 3 )

Подставляя уравнение 3 обратно в уравнение 1, получаем соотношение для эффективности с точки зрения температуры:

${\displaystyle \eta =1-{\frac {q_{C}}{q_{H}}}=1-{\frac {T_{C}}{T_{H}}}}$

( 4 )

Применимость к топливным элементам и батареям [ править ]

Поскольку топливные элементы и батареи могут генерировать полезную мощность, когда все компоненты системы имеют одинаковую температуру ( ), они явно не ограничиваются теоремой Карно, которая гласит, что энергия не может генерироваться, когда . Это потому, что теорема Карно применима к двигателям, преобразующим тепловую энергию в работу, тогда как топливные элементы и батареи вместо этого преобразуют химическую энергию в работу. ^[6] Тем не менее, второй закон термодинамики по- прежнему предусматривает ограничения на преобразование энергии топливных элементов и батарей. ^[7]${\displaystyle T=T_{H}=T_{C}}$${\displaystyle T_{H}=T_{C}}$

Ссылки [ править ]