Копродукт

В теории категорий , в копроизведении или категорической сумме , представляет собой конструкция , которая включает в себя в качестве примеров несвязной из множеств и топологических пространств , в свободное произведение из групп , а также прямую сумма из модулей и векторных пространств . Копродукт семейства объектов - это, по сути, «наименее специфический» объект, к которому каждый объект в семействе допускает морфизм . Это категория теоретико- двойное понятие к категорическому продукту, что означает, что определение такое же, как и у продукта, но с перевернутыми стрелками . Несмотря на это, казалось бы, безобидное изменение названия и обозначений, сопутствующие продукты могут и обычно сильно отличаются от продуктов.

Определение [ править ]

Пусть C будет категория и пусть X ₁ и X ₂ объектами C . Объект называется копроизведением X ₁ и X ₂ , записывается X ₁ ∐ X ₂ или X ₁ ⊕ X ₂ , или иногда просто X ₁ + X ₂ , если существуют морфизмы i ₁  : X ₁ → X ₁ ∐ X _2. и я₂  : X ₂ → X ₁ ∐ X _2, удовлетворяющее следующему универсальному свойству : для любого объекта Y и любых морфизмов f ₁  : X ₁ → Y и f ₂  : X ₂ → Y существует единственный морфизм f  : X ₁ ∐ X ₂ → Y такие, что f ₁ = f ∘ i ₁ и f ₂ = f ∘я ₂ . То есть коммутирует следующая диаграмма :

Единственная стрелка f, соединяющая эту диаграмму, может быть обозначена f ₁ ∐ f ₂ , f ₁ ⊕ f ₂ , f ₁ + f ₂ или [ f ₁ , f ₂ ]. Морфизмы i ₁ и i ₂ называются каноническими инъекциями , хотя они не обязательно должны быть инъекциями или даже моническими .

Определение копроизведения может быть продлено до произвольного семейства объектов , индексированных множество J . Копроизведение семейства { X _j  : j ∈ J } - это объект X вместе с набором морфизмов i _j  : X _j → X такой, что для любого объекта Y и любого набора морфизмов f _j  : X _j → Y , существует единственный морфизм f из X в Y такой, что f_J = F ∘ я _J . То есть следующая диаграмма коммутирует для каждого j в J :

Копроизведение X семейства { X _j } часто обозначается или${\ displaystyle \ coprod _ {j \ in J} X_ {j}}$${\ displaystyle \ bigoplus _ {j \ in J} X_ {j}.}$

Иногда морфизм f: X → Y может быть обозначен, чтобы указать его зависимость от индивидуума f _j  s.${\ displaystyle \ coprod _ {j \ in J} f_ {j}}$

Примеры [ править ]

Копроизведение в категории множеств - это просто несвязное объединение с отображениями i _j, являющимися отображениями включения . В отличие от прямых продуктов , не все сопродукции в других категориях явно основаны на понятии множеств, потому что союзы плохо себя ведут в отношении операций сохранения (например, объединение двух групп не обязательно должно быть группой), и поэтому сопродукты в разных категории могут кардинально отличаться друг от друга. Например, копроизведение в категории групп , называемое бесплатным продуктом , довольно сложно. С другой стороны, в категории абелевых групп (и в равной степени для векторных пространств), копроизведение, называемое прямой суммой , состоит из элементов прямого произведения, которые имеют лишь конечное число ненулевых членов. (Следовательно, оно точно совпадает с прямым произведением в случае конечного числа множителей.)

Для коммутативного кольца R копроизведение в категории коммутативных R -алгебр является тензорным произведением . В категории (некоммутативных) R -алгебр копроизведение является фактором тензорной алгебры (см. Свободное произведение ассоциативных алгебр ).

В случае топологических пространств копроизведения - это дизъюнктные объединения с их дизъюнктными объединенными топологиями . То есть это несвязное объединение базовых множеств, а открытые множества - это множества, открытые в каждом из пространств , в довольно очевидном смысле. В категории заостренных пространств , фундаментальной в теории гомотопий , копроизведение - это сумма клина (которая составляет соединение набора пространств с базовыми точками в общей базовой точке).

Несмотря на все это несходство, в основе всего этого лежит несвязное объединение: прямая сумма абелевых групп - это группа, порожденная "почти" несвязным объединением (несвязным объединением всех ненулевых элементов вместе с общим ноль), аналогично для векторных пространств: пространство, натянутое на «почти» дизъюнктное объединение; бесплатный продукт для групп генерируется набором всех букв из подобного «почти непересекающегося» объединения, в котором никакие два элемента из разных наборов не могут коммутировать.

Копроизведение категории poset - это операция соединения.

Обсуждение [ править ]

Приведенная выше конструкция копроизведения на самом деле является частным случаем копредела в теории категорий. Копроизведение в категории можно определить как копредел любого функтора из дискретной категории в . Не каждое семейство будет иметь копроизведение в общем случае, но если оно есть, то копроизведение уникально в строгом смысле: если и являются двумя копроизведениями семейства , то (по определению копроизведений) существует единственный изоморфизм такой, что для каждый .${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle \ lbrace X_ {j} \ rbrace}$${\ displaystyle i_ {j}: X_ {j} \ rightarrow X}$${\displaystyle k_{j}:X_{j}\rightarrow Y}$${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$${\displaystyle j\in J}$

Как и любое универсальное свойство , копроизведение можно понимать как универсальный морфизм. Пусть будет диагональный функтор , который присваивает каждому объекту упорядоченная пара и каждого морфизма пара . Тогда копроизведение в задается универсальным морфизмом функтору из объекта в .${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X\right)}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle \left(f,f\right)}$${\displaystyle X+Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \left(X,Y\right)}$${\displaystyle C\times C}$

Копродукт, проиндексированный пустым набором (то есть пустым сопродуктом ), совпадает с исходным объектом в .${\displaystyle C}$

Если это набор такой, что все копроизведения для семейств, проиндексированных с, существуют, то можно выбрать продукты совместимым образом, чтобы копроизведение превратилось в функтор . Копроизведение семьи часто обозначается как ${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$

и карты известны как естественные инъекции .${\displaystyle i_{j}}$

Позволить обозначим множество всех морфизмов из к в (то есть, рупор посаженные в ), мы имеем естественный изоморфизм${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}$

задается биекцией, отображающей каждый набор морфизмов

${\displaystyle (f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)}$

(продукт в Set , категория множеств , которая является декартовым произведением , поэтому это набор морфизмов) к морфизму

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).}$

То, что это отображение является сюръекцией, следует из коммутативности диаграммы: любой морфизм является копроизведением набора ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f\circ i_{j})_{j\in J}.}$

То, что это инъекция, следует из универсальной конструкции, определяющей единственность таких отображений. Естественность изоморфизма также является следствием диаграммы. Таким образом, контравариантный гом-функтор превращает копроизведения в продукты. Иными словами, Хом-функтор, рассматриваемый как функтор из противоположной категории до Set непрерывно; он сохраняет пределы (сопродукт в - это продукт в ).${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$

Если , скажем , - конечное множество , то копроизведение объектов часто обозначается как . Предположим , что существуют все конечные копроизведения в C , копроизведение функторы были выбраны , как описано выше, и 0 обозначает исходный объект из C , соответствующий пустой копроизведением. Тогда у нас есть естественные изоморфизмы${\displaystyle J}$${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноида ; Категория с конечными копроизведениями является примером симметричной моноидальной категории .

Если у категории есть нулевой объект , то у нас есть единственный морфизм (поскольку он терминальный ) и, следовательно, морфизм . Поскольку также является начальным, у нас есть канонический изоморфизм, как в предыдущем абзаце. Таким образом, у нас есть морфизмы и , по которым мы выводим канонический морфизм . Это может быть расширено индукцией до канонического морфизма от любого конечного копроизведения к соответствующему произведению. Этот морфизм, вообще говоря, не обязательно должен быть изоморфизмом; в Grp это собственный эпиморфизм, а в Set _* (категория отмеченных множеств ) это собственный мономорфизм${\displaystyle Z}$${\displaystyle X\rightarrow Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$. В любой предаддитивной категории этот морфизм является изоморфизмом, и соответствующий объект известен как бипроизведение . Категория со всеми конечными бипродукциями называется полуаддитивной категорией .

Если все семейства объектов, проиндексированных с помощью, имеют копроизведения , то копроизведение содержит функтор . Обратите внимание, что, как и произведение, этот функтор ковариантен .${\displaystyle J}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$

См. Также [ править ]

• Товар
• Пределы и коллимиты
• Соэквалайзер
• Прямой лимит

Ссылки [ править ]

• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .

Внешние ссылки [ править ]

• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры копродукций в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн .