В математике , точнее в теории групп , характер представления группы — это функция на группе , которая ставит в соответствие каждому элементу группы след соответствующей матрицы . Персонаж несет в себе существенную информацию о представлении в более сжатой форме. Георг Фробениус первоначально разработал теорию представлений конечных групп, полностью основанную на характерах и без какой-либо явной матричной реализации самих представлений. Это возможно, потому что комплексное представление конечной группыопределяется (с точностью до изоморфизма ) своим характером. Ситуация с представлениями над полем положительной характеристики , так называемыми «модульными представлениями», более деликатна, но и в этом случае Рихард Брауэр разработал мощную теорию характеров. Многие глубокие теоремы о строении конечных групп используют характеры модулярных представлений .
Характеры неприводимых представлений кодируют многие важные свойства группы и поэтому могут использоваться для изучения ее структуры. Теория характеров является важным инструментом в классификации конечных простых групп . Почти половина доказательства теоремы Фейта-Томпсона включает сложные вычисления со значениями символов. Более простые, но все же важные результаты, использующие теорию характеров, включают теорему Бернсайда (с тех пор было найдено чисто теоретико-групповое доказательство теоремы Бернсайда, но это доказательство появилось более чем через полвека после первоначального доказательства Бернсайда), а также теорему Ричарда Брауэра и Митио Судзуки утверждает, что конечная простая группане может иметь обобщенную группу кватернионов в качестве своей силовской 2 -подгруппы .
Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F , и пусть ρ : G → GL( V ) — представление группы G на V . Характером ρ называется функция χ ρ : G → F , заданная формулой
Характер хр называется неприводимым или простым , если р — неприводимое представление . Степень характера χ есть размерность ρ ; _ _ в нулевой характеристике это равно значению χ (1) . Характер степени 1 называется линейным . Когда G конечна и F имеет нулевую характеристику, ядром характера хр является нормальная подгруппа :
которое является в точности ядром представления ρ . Однако характер не является групповым гомоморфизмом вообще.
где ρ ⊕ σ — прямая сумма , ρ ⊗ σ — тензорное произведение , ρ ∗ — сопряженное транспонирование ρ , Alt 2 — знакопеременное произведение Alt 2 ρ = ρ ∧ ρ , а Sym 2 — симметричный квадрат , т . е. определяется по