В геометрии , плотная упаковка равных сфер является плотным расположением конгруэнтных сфер в бесконечном, регулярное расположение (или решетка ). Карл Фридрих Гаусс доказал, что наивысшая средняя плотность, то есть наибольшая доля пространства, занимаемого сферами, которая может быть достигнута решетчатой упаковкой, равна
- .
Такая же плотность упаковки может быть также достигнута за счет чередования стопок одних и тех же плотноупакованных плоскостей сфер, включая структуры, апериодические в направлении стопки. Гипотеза Кеплера утверждает, что это наивысшая плотность, которая может быть достигнута любым расположением сфер, регулярным или неправильным. Эта гипотеза была доказана Т.С. Хейлзом . [1] [2] Наибольшая плотность известна только в случае 1, 2, 3, 8 и 24 измерений. [3]
Многие кристаллические структуры основаны на плотной упаковке одного типа атомов или на плотной упаковке больших ионов с меньшими ионами, заполняющими промежутки между ними. Кубическая и гексагональная конфигурации очень близки друг к другу по энергии, и может быть трудно предсказать, какая форма будет предпочтительнее, исходя из первых принципов.
Решетки FCC и HCP
fcc | hcp | |
---|---|---|
Расположение ГЦК может быть ориентировано в двух разных плоскостях: квадратной или треугольной. Их можно увидеть в кубооктаэдре с 12 вершинами, представляющими положения 12 соседних сфер вокруг одной центральной сферы. Расположение ГПУ можно увидеть в треугольной ориентации, но чередуются два положения сфер в треугольном расположении ортобикуполов . |
Есть две простые регулярные решетки, которые достигают этой наивысшей средней плотности. Их называют гранецентрированными кубическими ( ГЦК ) (также называемыми кубическими плотноупакованными ) и гексагональными плотноупакованными ( ГПУ ) из-за их симметрии . Оба основаны на листах сфер, расположенных в вершинах треугольной плитки; они различаются тем, как листы уложены друг на друга. ГЦК-решетка также известна математикам как решетка, порожденная корневой системой A 3 . [4]
Проблема с пушечным ядром
Проблема плотной упаковки сфер была впервые математически проанализирована Томасом Харриотом примерно в 1587 году после того, как сэр Уолтер Рэли во время своей экспедиции в Америку задал ему вопрос о складировании ядер на кораблях . [5] Пушечные ядра обычно складывались в прямоугольную или треугольную деревянную раму, образуя трех- или четырехстороннюю пирамиду. Обе конструкции создают гранецентрированную кубическую решетку с разной ориентацией относительно земли. Гексагональная плотная упаковка приведет к шестигранной пирамиде с шестиугольным основанием.
Задача о пушечном ядре спрашивает, какие плоские квадратные конструкции пушечных ядер можно сложить в квадратную пирамиду. Эдуард Лукас сформулировал задачу как диофантово уравнение или же и предположил, что единственными решениями являются а также . Здесь - количество слоев в пирамидальном расположении стопки, а - количество ядер по краю в плоском квадратном расположении.
Расположение и интервал
И в схемах ГЦК, и в ГПУ каждая сфера имеет двенадцать соседей. Для каждой сферы есть один зазор, окруженный шестью сферами ( октаэдрические ), и два меньших зазора, окруженных четырьмя сферами (тетраэдрические). Расстояние до центров этих промежутков от центров окружающих сфер составляет √ 3 ⁄ 2 для тетраэдра и √ 2 для октаэдра, когда радиус сферы равен 1.
По отношению к опорному слою с позиционированием A возможно еще два позиционирования B и C. Любая последовательность A, B и C без немедленного повторения одной и той же возможна и дает одинаково плотную упаковку для сфер заданного радиуса.
Самые регулярные - это
- fcc = ABC ABC ABC ... (каждый третий слой одинаковый)
- hcp = AB AB AB AB ... (все остальные слои такие же).
Существует бесчисленное множество неупорядоченных расположений плоскостей (например, ABCACBABABAC ...), которые иногда собирательно называют «упаковками Барлоу» в честь кристаллографа Уильяма Барлоу [6].
В плотной упаковке расстояние между центрами сфер в плоскости xy представляет собой простую сотовую мозаику с шагом (расстоянием между центрами сфер) в один диаметр сферы. Расстояние между центрами сфер, спроецированных на ось z (вертикальную), составляет:
где d - диаметр сферы; это следует из тетраэдрического расположения плотноупакованных сфер.
Координационное число ГПУ и ГЦК 12 и их атомные упаковочные факторы (НПФ) равны числу упомянутого выше, 0,74.
Сравнение hcp и fcc |
---|
Рис. 1. Решетка ГПУ (слева) и решетка ГЦК (справа). Контур каждой соответствующей решетки Браве показан красным. Буквы указывают, какие слои совпадают. В ГПУ-матрице есть два слоя «А», где все сферы находятся в одинаковом положении. Все три слоя в стеке ГЦК разные. Обратите внимание, что наложение ГЦК может быть преобразовано в наложение ГПУ путем перемещения самой верхней сферы, как показано пунктирной линией. |
Рисунок 2 - Здесь показан набор из одиннадцати сфер решетки ГПУ, показанной на рисунке 1 . Стек ГПУ отличается от трех верхних уровней стека ГЦК, показанных на рисунке 3, только на самом нижнем уровне; он может быть преобразован в fcc соответствующим поворотом или перемещением. | Рисунок 3 - Томас Харриот , около 1585 года, впервые задумался над математикой расположения пушечных ядер или штабеля пушечных ядер, имеющего ГЦК решетку. Обратите внимание, как смежные шары вдоль каждого края правильного тетраэдра, охватывающего стопку, все находятся в прямом контакте друг с другом. Этого не происходит в решетке ГПУ, как показано на рисунке 2 . |
Генерация решетки
При формировании решетки упаковки сфер в первую очередь следует обратить внимание на то, что всякий раз, когда две сферы соприкасаются, прямая линия может быть проведена от центра одной сферы к центру другой, пересекая точку контакта. Расстояние между центрами по кратчайшему пути, а именно эта прямая линия, поэтому будет r 1 + r 2, где r 1 - радиус первой сферы, а r 2 - радиус второй. В плотной упаковке все сферы имеют общий радиус r . Следовательно, два центра просто будут находиться на расстоянии 2 r .
Простая ГПУ решетка
Чтобы сформировать ABAB -... гексагональную плотную упаковку сфер, координатные точки решетки будут центрами сфер. Предположим, цель состоит в том, чтобы заполнить коробку сферами согласно hcp. Коробка будет помещена в координатное пространство x - y - z .
Сначала сформируйте ряд сфер. Все центры будут лежать на прямой линии. Их координата x будет изменяться на 2 r, поскольку расстояние между центрами соприкасающихся сфер равно 2 r . У координаты и г-координата будут таким же. Для простоты скажем, что шары представляют собой первый ряд, а их координаты y и z равны просто r , так что их поверхности лежат на нулевых плоскостях. Координаты центров первого ряда будут иметь вид (2 r , r , r ), (4 r , r , r ), (6 r , r , r ), (8 r , r , r ), ... .
Теперь сформируйте следующий ряд сфер. Опять же , центры будут все лежит на одной прямом с х -координатами разностей 2 г , но будут смещением расстояния г в й -направлении так , что центр каждого шара в этой строке совпадет с й координатой где две сферы соприкасаются в первом ряду. Это позволяет сферам нового ряда перемещаться ближе к первому ряду, пока все сферы в новом ряду не коснутся двух сфер первого ряда. Поскольку новые сферы касаются двух сфер, их центры образуют равносторонний треугольник с центрами этих двух соседей. Все стороны имеют длину 2 r , поэтому разница в высоте или координате y между строками равна √ 3 r . Таким образом, эта строка будет иметь такие координаты:
Первая сфера этого ряда касается только одной сферы в исходном ряду, но ее положение совпадает с положением остальной части ряда.
Следующая строка следует этой схеме сдвига координаты x на r и координаты y на √ 3 . Добавляйте строки до тех пор, пока не достигнете максимальных границ блока по осям x и y .
В шаблоне наложения ABAB -... плоскости сфер с нечетными номерами будут иметь точно такие же координаты, за исключением разницы шага в координатах z, а плоскости сфер с четными номерами будут иметь одинаковые координаты x и y . Оба типа плоскостей формируются с использованием упомянутого выше шаблона, но начальное место для первой сферы первого ряда будет другим.
Используя плоскость, описанную выше как плоскость № 1, плоскость A, поместите сферу поверх этой плоскости так, чтобы она касалась трех сфер в плоскости A. Все три сферы уже касаются друг друга, образуя равносторонний треугольник, и, поскольку все они касаются новой сферы, четыре центра образуют правильный тетраэдр . [7] Все стороны равны 2 r, потому что все стороны образованы двумя соприкасающимися сферами. Высота которой или разница координат z между двумя "плоскостями" равна√ 6 r 2/3. Это, в сочетании со смещениями в координатах x и y, дает центры первой строки в плоскости B:
Координаты второй строки следуют шаблону, описанному выше, и составляют:
Разница по сравнению со следующим самолетом, самолетом А, снова √ 6 r 2/3в г -направлении и сдвиг в х и у , чтобы они соответствовали х - и у -координаты первой плоскости A. [8]
В общем случае координаты центров сфер можно записать как:
где i , j и k - индексы, начинающиеся с 0, для координат x , y и z .
Индексы Миллера
Кристаллографические особенности ГПУ-систем, такие как векторы и семейства атомных плоскостей, могут быть описаны с использованием обозначения индекса Миллера с четырьмя значениями ( hkil ), в котором третий индекс i обозначает удобный, но вырожденный компонент, равный - h - k . Ч , я и к направлению индекса разделены на 120 °, и, таким образом , не ортогональны; л компонент является взаимно перпендикулярны к ч , I и K индекса направления.
Заполнение оставшегося места
ГЦК- и ГПУ-упаковки - это самые плотные известные упаковки из одинаковых сфер с наивысшей симметрией (наименьшие повторяющиеся единицы). Известны более плотные упаковки сфер , но они включают неравную упаковку сфер . Плотность упаковки 1, полностью заполняющая пространство, требует несферической формы, такой как соты .
Замена каждой точки контакта между двумя сферами ребром, соединяющим центры соприкасающихся сфер, дает тетраэдры и октаэдры с равной длиной ребра. Расположение ГЦК дает четырехгранно-октаэдрические соты . Компоновка ГПУ образует спиральные четырехгранно-октаэдрические соты . Если вместо этого каждая сфера дополнена точками в пространстве, которые находятся ближе к ней, чем к любой другой сфере, образуются двойники этих сот: ромбические додекаэдрические соты для ГЦК и трапеции-ромбические додекаэдрические соты для ГПУ.
Сферические пузырьки появляются в мыльной воде в виде ГЦК или ГПУ, когда вода в промежутках между пузырьками стекает. Этот образец также приближается к ромбическим додекаэдрическим сотам или трапециевидным додекаэдрическим сотам . Однако такие пены с ГЦК или ГПУ с очень малым содержанием жидкости нестабильны, поскольку не удовлетворяют законам Плато . Пены Кельвина и пена Weaire-Фелэно являются более стабильными, имеющей меньшей межфазной энергией в пределе очень малого содержания жидкости. [9]
Смотрите также
- Кубическая кристаллическая система
- Постоянная Эрмита
- Случайная близкая упаковка
- Упаковка сфер
- Набивка цилиндрической сферы
Заметки
- Перейти ↑ Hales, TC (1998). «Обзор гипотезы Кеплера». arXiv : math / 9811071v2 .
- ^ Шпиро, Джордж (2003). «Математика: складывается ли доказательство?» . Природа . 424 (6944): 12–13. Bibcode : 2003Natur.424 ... 12S . DOI : 10.1038 / 424012a .
- ^ Cohn, H .; Кумар, А .; Миллер, SD; Радченко, Д .; Вязовская, М. (2017). «Проблема упаковки сфер в размерности 24». Анналы математики . 185 (3): 1017–1033. arXiv : 1603.06518 . DOI : 10.4007 / annals.2017.185.3.8 .
- ^ Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Джеймс Александр ; Баннаи, Эйити (1999). Сферические упаковки, решетки и группы . Springer. Раздел 6.3.
- ^ Дорогой, Дэвид. «Проблема пушечного ядра» . Интернет-энциклопедия науки .
- ^ Барлоу, Уильям (1883). «Вероятная природа внутренней симметрии кристаллов» (PDF) . Природа . 29 (738): 186–188. Bibcode : 1883Natur..29..186B . DOI : 10.1038 / 029186a0 .
- ^ «О сферической упаковке» . Grunch.net . Проверено 12 июня 2014 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Гексагональная плотная упаковка" . MathWorld .
- ^ Кантат, Изабель; Коэн-Аддад, Сильви; Элиас, Флоренция; Гранер, Франсуа; Хёлер, Рейнхард; Flatman, Рут; Питуа, Оливье (2013). Пены, структура и динамика . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199662890.
Внешние ссылки
- П. Кришна и Д. Пандей, Международный союз кристаллографии "Плотно упакованные структуры", Университетский колледж Кардифф Пресс. Кардифф, Уэльс. PDF