В математике , и особенно в дифференциальной геометрии , форма соединения - это способ организации данных соединения с использованием языка движущихся систем отсчета и дифференциальных форм .
Исторически сложилось так, что формы связи были введены Эли Картаном в первой половине 20-го века как часть и одна из основных мотиваций его метода движущихся систем отсчета. Форма соединения обычно зависит от выбора системы координат и не является тензорным объектом. После первоначальной работы Картана были сформулированы различные обобщения и переосмысления формы связи. В частности, на главном расслоении , A Принципиальные схему соединения является естественной реинтерпретацией формы соединения в виде тензорный объекта. С другой стороны, форма связности имеет то преимущество, что она является дифференциальной формой, определенной на дифференцируемом многообразии, а не на абстрактном главном связке над ним. Следовательно, несмотря на отсутствие тензорности, формы соединения продолжают использоваться из-за относительной простоты выполнения с ними вычислений. [1] В физике формы связи также широко используются в контексте калибровочной теории через калибровочную ковариантную производную .
Форма соединения сопоставляет каждую основу о наличии векторного расслоения на матрицу дифференциальных форм. Форма соединение не тензориальная потому , что при изменении базиса , форма связности преобразуется таким образом , что предполагает внешнюю производную из переходных функций , во многом таким же образом , как и символы Кристоффеля для связности Леви-Чивита . Основным тензорным инвариантом формы соединения является форма кривизны . При наличии формы припоя, идентифицирующей векторное расслоение с касательным расслоением , существует дополнительный инвариант: торсионная форма . Во многих случаях рассматриваются формы связности векторных расслоений с дополнительной структурой: расслоения со структурной группой .
Векторные пучки
Рамки на векторном расслоении
Пусть E будет векторное расслоение размерности волокна к над дифференцируемой многообразия M . Локальная рамка для E представляет собой упорядоченный базис из местных участков в E . Всегда можно построить локальный фрейм, поскольку векторные расслоения всегда определяются в терминах локальной тривиализации , по аналогии с атласом многообразия. То есть, учитывая любую точку й на многообразие базовых М существует открытая окрестность U ⊂ M из х , для которых векторного расслоения над U изоморфно пространству U × R к : это локальная тривиализация. Таким образом, структура векторного пространства на R k может быть расширена до всей локальной тривиализации, а также может быть расширен базис на R k ; это определяет локальный фрейм. (Здесь R означает действительные числа, хотя большая часть разработок здесь может быть распространена на модули над кольцами в целом и на векторные пространства над комплексными числами в частности.)
Пусть е = ( е & alpha ; ) & alpha ; = 1,2, ..., K быть локальный кадр на E . Этот кадр может быть использован , чтобы выразить локально любое сечение Е . Например, предположим, что ξ - это локальная секция, определенная над тем же открытым множеством, что и каркас e . потом
где £ , & alpha ; ( е ) обозначает компоненты из £ , в кадре е . В виде матричного уравнения это читается как
В общей теории относительности такие поля системы отсчета называются тетрадами . Тетрада конкретно связывает локальную систему отсчета с явной системой координат на базовом многообразии M (система координат на M устанавливается атласом).
Внешние соединения
Соединение в Е представляет собой тип дифференциального оператора
где Γ обозначает пучок локальных сечений векторного расслоения и Ω 1 М представляет собой пучок дифференциальных 1-форм на М . Чтобы D было связью, она должна быть правильно связана с внешней производной . В частности, если v - локальное сечение E , а f - гладкая функция, то
где df - внешняя производная от f .
Иногда удобно распространить определение D на произвольные E -значные формы , рассматривая его как дифференциальный оператор на тензорном произведении E с полной внешней алгеброй дифференциальных форм. Для внешней связи D, удовлетворяющей этому свойству совместимости, существует единственное расширение D :
такой, что
где v однородна степени deg v . Другими словами, D является дифференцированием на пучке градуированных модулей Γ ( E ⊗ Ω * M ).
Формы подключения
Форма соединения возникает при наложении внешнего соединения на конкретный каркас e . После применения внешней связности к e α , это единственная k × k- матрица ( ω α β ) одноформ на M такая, что
В терминах формы соединения теперь может быть выражено внешнее соединение любого участка E. Например, предположим, что ξ = Σ α e α ξ α . потом
Взяв компоненты с обеих сторон,
где подразумевается, что d и ω относятся к покомпонентной производной по реперу e и матрице 1-форм, соответственно, действующей на компоненты ξ . С другой стороны , матрица 1-форма ω является априори достаточно , чтобы полностью определить соединение локально на открытом множестве , над которой основа секции е определена.
Смена кадра
Для того чтобы расширить ω для подходящего глобального объекта, необходимо изучить , как он ведет себя , когда другой выбор основных разделов Е выбран. Напишите ω α β = ω α β ( e ), чтобы указать зависимость от выбора e .
Предположим, что e ′ - другой выбор локального базиса. Тогда существует обратимый к × K матрица функций г таким образом, что
Применение внешней связи к обеим сторонам дает закон преобразования для ω :
Отметим, в частности, что ω не может преобразовываться тензорным образом, поскольку правило перехода от одного кадра к другому включает производные переходной матрицы g .
Формы глобального подключения
Если { U р } является открытым покрытием М , а каждый U р оснащен тривиализацией х р из Е , то можно определить глобальную форму соединения с точкой зрения латания данных между местными формами соединений на перекрытиях регионы. Более подробно, форма связи на M - это система матриц ω ( e p ) 1-форм, определенных на каждом U p, которые удовлетворяют следующему условию совместимости
Это условие совместимости гарантирует, в частности, что внешняя связь секции E , рассматриваемая абстрактно как секция E ⊗ Ω 1 M , не зависит от выбора базовой секции, используемой для определения связи.
Кривизна
Кривизны два-форма из формы связности в Е определяются
В отличие от формы соединения, кривизна тензорно ведет себя при смене рамки, что можно проверить напрямую с помощью леммы Пуанкаре . В частности, если e → e g - это смена кадра, то двухформная форма кривизны преобразуется следующим образом:
Одна из интерпретаций этого закона преобразования заключается в следующем. Пусть e * - дуальный базис, соответствующий шкале e . Тогда 2-форма
не зависит от выбора рамы. В частности, Ω является векторной двумерной формой на M со значениями в кольце эндоморфизмов Hom ( E , E ). Символично,
В терминах внешней связности D эндоморфизм кривизны задается формулой
для об ∈ E . Таким образом, кривизна измеряет нарушение последовательности
быть цепным комплексом (в смысле когомологий де Рама ).
Пайка и кручение
Предположим , что размерность волокна к из Е равна размерности многообразия M . В этом случае векторный пучок E помимо соединения иногда снабжен дополнительной частью данных: формой припоя . Форма припоя является глобально определенный вектор-один-форма θ ∈ Q , 1 ( M , E ) таким образом, что отображение
линейный изоморфизм для всех х ∈ M . Если задана форма пайки, то можно определить кручение соединения (с точки зрения внешнего соединения) как
Кручения Θ является Е -значными 2-формой на М .
Форма припоя и связанные с ним торсионными оба могут быть описаны в терминах локального фрейма е из Е . Если θ - припой, то он разлагается на компоненты каркаса
Тогда компоненты кручения равны
Подобно кривизне, можно показать, что Θ ведет себя как контравариантный тензор при изменении системы отсчета:
Не зависящее от кадра скручивание также может быть восстановлено из компонентов каркаса:
Бьянки идентичности
В тождестве Бьянки относится кручение к кривизне. Первая идентичность Бьянки утверждает, что
в то время как вторая идентичность Бьянки утверждает, что
Пример: связь Леви-Чивита
В качестве примера предположим, что M имеет риманову метрику . Если есть векторное расслоение E над M , то метрика может быть расширена на все векторное расслоение как метрика расслоения . Затем можно определить соединение, совместимое с этой метрикой пакета, это метрическое соединение . В частном случае, когда E является касательным расслоением TM , метрическая связность называется римановой связностью . Учитывая риманову связность, всегда можно найти уникальную эквивалентную связь без кручения . Это связность Леви-Чивита на касательном расслоении ТМ в М . [2] [3]
Локальный фрейм на касательном расслоении - это упорядоченный список векторных полей e = ( e i | i = 1, 2, ..., n ) , где n = dim M , определенных на открытом подмножестве M, которые являются линейно независимыми в каждой точке своего домена. Символы Кристоффеля определяют связь Леви-Чивита следующим образом:
Если θ = { θ i | я = 1, 2, ..., п }, обозначает двойную основу из кокасательного расслоения , таким образом, что θ я ( е J ) = δ я J (The Кронекера ), то форма соединения является
В терминах формы связи внешняя связь на векторном поле v = Σ i e i v i задается формулой
Можно восстановить связь Леви-Чивита в обычном смысле этого слова, заключив контракт с e i :
Кривизна
2-форма кривизны связности Леви-Чивиты - это матрица (Ω i j ), заданная формулой
Для простоты предположим , что кадр е является голономным , так что dθ я = 0 . [4] Затем, используя теперь соглашение о суммировании повторяющихся индексов,
где R - тензор кривизны Римана .
Кручение
Связность Леви-Чивита характеризуется как единственная метрическая связность в касательном расслоении с нулевым кручением. Для описания кручения отметим, что векторное расслоение E является касательным расслоением. Это влечет за собой каноническую форму припоя (иногда называется канонической-формой , особенно в контексте классической механики ) , которая является сечение θ из Hom (T M , T M ) = T * M ⊗ T M , соответствующие идентификационного эндоморфизму касательные пространства. В кадре e форма припоя имеет вид {{{1}}} , где снова θ i - двойственный базис.
Кручение соединения задается формулой Θ = Dθ , или в терминах компонентов каркаса формы припоя формулой
Если снова для простоты предположить, что е голономно, это выражение сводится к
- ,
которая обращается в нуль тогда и только тогда, когда Γ i kj симметрична по своим нижним индексам.
Учитывая метрическую связь с кручением, один раз всегда можно найти единственную уникальную связь без кручения, это связность Леви-Чивита. Разница между римановой связностью и связанной с ней связностью Леви-Чивиты - это тензор конторсии .
Структурные группы
Более конкретный тип формы соединения может быть построен, когда векторное расслоение E несет структурную группу . Это равносильно предпочтительный класс кадров е на Е , которые связаны с помощью группы Ли G . Например, при наличии метрики в E можно работать с фреймами, которые образуют ортонормированный базис в каждой точке. Структурная группа тогда является ортогональной группой , поскольку эта группа сохраняет ортонормированность реперов. Другие примеры включают:
- Обычные кадры, рассмотренные в предыдущем параграфе, имеют структурную группу GL ( K ) , где K является размером волокон E .
- Голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия (или почти комплексного многообразия ). [5] Здесь структурная группа GL n ( C ) ⊂ GL 2n ( R ). [6] Если дана эрмитова метрика , то структурная группа сводится к унитарной группе, действующей на унитарных шкалах. [5]
- Спиноры на многообразии со спиновой структурой . Кадры унитарны по отношению к инвариантному внутреннему произведению на пространстве спинов, и группа сводится к группе спинов .
- Голоморфные касательные расслоения на CR-многообразиях . [7]
В общем, пусть E - данное векторное расслоение со слоистой размерностью k, а G ⊂ GL ( k ) - данная подгруппа Ли общей линейной группы R k . Если ( e α ) является локальным фреймом E , то матричнозначная функция ( g i j ): M → G может воздействовать на e α, чтобы создать новый фрейм
Два таких рамы G о связанных . Неформально векторный пакет E имеет структуру G- связки, если указан предпочтительный класс кадров, все из которых локально G- связаны друг с другом. Формально E - это расслоение со структурной группой G , типичным слоем которой является R k с естественным действием G как подгруппы в GL ( k ).
Совместимые соединения
Соединение совместимо со структурой G- связки на E при условии, что связанные параллельные транспортные карты всегда отправляют один G- кадр другому. Формально вдоль кривой γ локально (т. Е. При достаточно малых t ) должно выполняться следующее :
для некоторой матрицы g α β (которая также может зависеть от t ). Дифференцирование при t = 0 дает
где коэффициенты omega ; & alpha ; & beta ; находятся в алгебре Ли г группы Ли G .
С учетом этого наблюдения форма связности ω α β, определяемая формулой
это совместимо со структурой , если матрица из одного-форма со & alpha ; & beta ; ( е ) принимает значения в г .
Более того, форма кривизны совместимого соединения является двухформой с g -значением.
Смена кадра
Под сменой кадра
где g - G -значная функция, определенная на открытом подмножестве M , форма связи преобразуется через
Или, используя матричные произведения:
Чтобы интерпретировать каждый из этих терминов, напомним, что g : M → G - G -значная (локально определенная) функция. Имея это в виду,
где ω g - форма Маурера-Картана для группы G , здесь подтянутая к M по функции g , а Ad - присоединенное представление группы G на ее алгебре Ли.
Основные пакеты
Форма соединения, представленная до сих пор, зависит от конкретного выбора рамы. В первом определении рама - это просто локальная основа секций. Каждому кадру дается форма связи с законом преобразования для перехода от одного кадра к другому. Во втором определении сами фреймы несут некоторую дополнительную структуру, предоставляемую группой Ли, и изменения фрейма ограничиваются теми, которые принимают в нем свои значения. Язык основных связок, впервые примененный Чарльзом Эресманном в 1940-х годах, обеспечивает способ организации этих многочисленных форм связи и законов преобразования, соединяющих их в единую внутреннюю форму с единым правилом преобразования. Недостатком этого подхода является то, что формы больше не определены на самом многообразии, а скорее на более крупном основном связке.
Основное соединение для формы соединения
Предположим , что E → M является векторное расслоение со структурной группой G . Пусть { U } открытое покрытие из М , вместе с G -реперное на каждом U , обозначим через е U . Они связаны на пересечениях перекрывающихся открытых множеств соотношением
для некоторого G -значной функции ч UV , определенный на ¯u П V .
Пусть F G E множество всех G реперы берется по каждой точке М . Это является главным G расслоением над M . Подробно, используя тот факт, что все G- кадры связаны с G , F G E может быть реализовано в терминах склейки данных между наборами открытой крышки:
где отношение эквивалентности определяется
На F G E определите основную G -связь следующим образом, задав однозначную g -форму для каждого произведения U × G , которая учитывает отношение эквивалентности в областях перекрытия. Сначала позвольте
- карты проекции. Теперь для точки ( x , g ) ∈ U × G положим
1-формы ω построена таким образом , отношениях переходы между перекрывающимися наборами, и , следовательно , опускается , чтобы дать глобально определенную 1-форму на главном расслоении Р О Е . Можно показать , что ω является главной связью в том смысле , что он воспроизводит генераторы правого G действия на F G E и эквивариантно переплетается правильное действие на Т (F G E ) с присоединенным представлением G .
Формы подключения, связанные с основным подключением
С другой стороны , главная G -связность ω в главном G -расслоений P → M приводит к набору соединительных форм на М . Пусть е : M → P является локальным сечением Р . Тогда обратный вызов ω вдоль e определяет g -значную однозначную форму на M :
Изменяя фреймы с помощью G- значной функции g , можно увидеть, что ω ( e ) преобразуется требуемым образом с помощью правила Лейбница и присоединения:
где X - вектор на M , а d обозначает прямой ход .
Смотрите также
- Связь Эресманна
- Картановое соединение
- Аффинная связь
- Форма кривизны
Заметки
- ^ Griffiths & Harris (1978) , Wells (1980) , Spivak (1999) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFSpivak1999 ( справка )
- ↑ См. Йост (2011) , глава 4, для полного описания связи Леви-Чивита с этой точки зрения.
- ^ См. Spivak (1999) harvtxt error: множественные цели (2 ×): CITEREFSpivak1999 ( help ) , II.7 для полного описания связи Леви-Чивита с этой точки зрения.
- ^ В неголономной системе отсчета выражение кривизны дополнительно усложняется тем фактом, что необходимо учитывать производные dθ i .
- ^ а б Уэллс (1973).
- ^ См., Например, Кобаяси и Номидзу, Том II.
- ^ См. Черна и Мозера.
Рекомендации
- Черн С.-С., Вопросы дифференциальной геометрии , Институт перспективных исследований, записанные на мимеографе конспекты лекций, 1951.
- Черн СС; Мозер, Дж. К. (1974), "Вещественные гиперповерхности в комплексных многообразиях", Acta Math. , 133 : 219-271, DOI : 10.1007 / BF02392146
- Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1978), принципы алгебраической геометрии , Джон Вили и сыновья, ISBN 0-471-05059-8
- Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ (PDF) , Universitext (шестое изд.), Springer, Heidelberg, DOI : 10.1007 / 978-3-642-21298-7 , ISBN 978-3-642-21297-0, Руководство по ремонту 2829653
- Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
- Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 2 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15732-5
- Спивак, Майкл (1999), Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 2) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
- Спивак, Майкл (1999), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (Том 3) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-72-1
- Уэллс, РО (1973), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Уэллс Р.О. (1980), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях , Прентис – Холл. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )